代数学引论第二版答案

代数学引论第二版答案

【篇一：代数学引论第一章答案】

则g. 证明: 对任意a,b错误！未找到引用源。g,由结合律我们可得

到

(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群g为交换群.

2. 如果群g中,每个元素a都适合a2=e, 则g为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b错误！未找到引用源。g,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)

=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

因此g为交换群.

[方法2] 对任意a,b错误！未找到引用源。g,

a2b2=e=(ab)2,

由上一题的结论可知g为交换群.

3. 设g是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)

a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac推出b=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明g

在该乘法下成一群. 证明:[方法1]

设g={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i错误！未找到引用源。j(i,j=1,2,…,n),有

akai错误！未找到引用源。ak aj------------1 aiak错误！未找到引用源。aj ak------------2

再由乘法的封闭性可知

g={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------3

g={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------4

由1和3知对任意at错误！未找到引用源。g, 存在am错误！未找

到引用源。g,使得

akam=at.

由2和4知对任意at错误！未找到引用源。g, 存在as错误！未找

到引用源。g,使得

asak=at.

由下一题的结论可知g在该乘法下成一群.

下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]

为了证明g在给定的乘法运算下成一群，只要证明g内存在幺元(单

位元)，并且证明g内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设

g={a1,a2,…,an}. (Ⅰ) 证明g内存在幺元.

1 存在at错误！未找到引用源。g，使得a1at=a1.(这一点的证明并

不难，这里不给证明); 2 证明a1at= ata1; 因为

a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=

(a1)2,

故此

a1(ata1)at= a1(a1at)at.

由条件(1),(2)可得到

a1at= ata1.

3 证明at就是g的幺元; 对任意ak错误！未找到引用源。g,

a1(atak) =(a1at)ak=a1ak

由条件(2)可知

atak=ak.

类似可证

akat=ak.

因此at就是g的幺元. (Ⅱ) 证明g内任意元素都可逆；

上面我们已经证明g内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记g内元素.下面证明任意a错误！未找到引用源。g，存在b错误！未找到引用源。g，使得

ab=ba=e.

1 对任意a错误！未找到引用源。g，存在b错误！未找到引用源。g，使得

ab=e;

(这一点很容易证明这里略过.)

2 证明ba=ab=e; 因为

a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e

再由条件(2),(3)知

ba=ab.

因此g内任意元素都可逆.

由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知g在该乘法下成一群.

4. 设g是非空集合并在g内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结

合律,并且对于任一对元素a,b错误！未找到引用源。g,下列方程

ax=b和ya=b

取一元a错误！未找到引用源。g,因xa=a在g内有解, 记一个解为ea对任意 b错误！未找到引用源。g, ax=b在g内有解, 记一个解为c,那么有ac=b ,所以

eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b,

因此ea为g内的左幺元.

再者对任意d错误！未找到引用源。g, xd=ea在g内有解,即g内

任意元素对ea存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此g在该乘法下成一群.

[总结]

群有几种等价的定义:

(1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.

(2) 设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且g内包含幺元, g内任意元素都有逆元,则称g为该运算下的群.

(3) 设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且g内包含左幺元, g内任意元素对左幺元都有左逆元,则称g 为该运算下的群.

(4) 设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对元素a,b错误！未找到引用源。g,下列方程

ax=b和ya=b

分别在g内恒有解，则称g为该运算下的群.

值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.

5. 在s3中找出两个元素x,y,适合

(xy)2错误！未找到引用源。x2y2.

[思路] 在一个群g中，x,y错误！未找到引用源。g, xy=yx错误！

未找到引用源。 (xy)2错误！未找到引用源。x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到s3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解: 取

x=错误！未找到引用源。, y=错误！未找到引用源。

那么

(xy)2错误！未找到引用源。= x2y2.

[注意]

我们可以通过mathematica软件编写sn的群表,输出程序如下:

pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)

(table[a[[b[[i]]]],{i,1,n}]);

se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)