概率论与数理统计论文

概率论与数理统计论文
引言：
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科，是对随机现象和统计规律进行演绎和归纳的一门科学，在现实生活中有很广泛的应用。

例如：天气预报，地震监测，彩票，股票等等，天气监测准确率高了的话，就单农业而言收效会更高，地震监测准确的话，也会避免很多灾祸，假若人人都知道如果每周买100张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要1000年，如果每周买1000张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要100年的话，还会有人抱着“早不中，晚就中”的心理白花钱买彩票吗？这些都和概率有关，所以我们要学好概率指导生活实践。

无论大家意识到与否，随机现象贯穿于我们日常生活中每一个角落，例如：体育比赛安排场数需要概率，“抓阄”中包含中概率，生活中许多谚语也包含着概率：例如，三个“臭皮匠”胜过“诸葛亮”，先下手为强后下手遭殃等等，医学方面也会用到概率论，如果对随机问题一窍不通可能不知不觉的会产生很多损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”。

关键词：概率统计；随机事件；数学期望；n重贝努利试验，随机变量的数字特征
一．随机变量的数字特征
1．数学期望
设X是离散型的随机变量，其概率函数为
如果级数
i i
i
a p
绝对收敛，则定义X的数学期望为
()i i
i
E X a p =∑；
设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()xf x dx
+∞
-∞⎰绝对可积，则定义X 的数学期望为
()()E X xf x dx
+∞
-∞
=⎰
．
2．随机变量函数的数学期望
设X 为离散型随机变量，其概率函数
如果级数
()i
i
i
g a p
∑绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为
设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数
如果级数
(,)i j ij
j
i
g a b p ∑∑
绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为
[(,)](,)i j ij
j
i
E g X Y g a b p =∑∑；
特别地
();()i ij j ij
i
i
j
i
E X a p E Y b p ==∑∑∑∑.
设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx +∞
-∞⎰绝对收敛，
则X 的函数()g X 的数学期望为
[()]()()E g X g x f x dx
+∞
-∞
=⎰
．
设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分
(,)(,)g x y f x y dxdy
+∞+∞
-∞
-∞
⎰⎰
绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为
[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy
+∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
；
特别地
()(,)E x xf x y dxdy
+∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
,
()(,)E Y yf x y dxdy
+∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
.
3．数学期望的性质
3.1 ()E c c = (其中c 为常数)；
3.2 ()()E kX b kE X b +=+ (,k b 为常数)；
3.3 ()()()E X Y E X E Y +=+；
3.4 如果X 与相互独立，则()()()E XY E X E Y =.
4．方差与标准差
随机变量X 的方差定义为
2()[()]D X E X E X =-．
计算方差常用下列公式：
22()()[()]D X E X E X =-’
当X 为离散型随机变量，其概率函数为
如果级数
2
(())
i i
i
a E X p -∑收敛，则X 的方差为
2()(())i i
i
D X a
E X p =-∑；
当X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分2(())()x E X f x dx +∞
-∞-⎰收敛，则X 的方差为
2()(())()D X x E x f x dx
+∞
-∞
=-⎰.
随机变量X 的标准差定义为方差()D X .
5．方差的性质
5.1 ()0D c = (c 是常数)；
5.2 2
()()D kX k D X = (k 为常数)；
5.3如果X 与Y 独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+.
6．协方差
设(,)X Y 为二维随机变量，随机变量(,)X Y 的协方差定义为
cov(,)[(())(())]X Y E X E X Y E Y =--．
计算协方差常用下列公式：
cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-．
当X Y =时，cov(,)cov(,)()X Y X X D X ==．
协方差具有下列性质：
6.1 cov(,)0X c = (c 是常数)；
6.2 cov(,)cov(,)X Y Y X =；
6.3
cov(,)cov(,)kX lY kl X Y = (,k l 是常数)；
6.4 1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+
7．相关系数
随机变量(,)X Y 的相关系数定义为
相关系数XY ρ反映了随机变量X 与Y 之间线性关系的紧密程度，当||XY ρ越大，X 与Y 之间的线性相关程度越密切，当0XY ρ=时，称X 与Y 不相关．
相关系数具有下列性质：
7.1 ||1XY ρ≤；
7.2 ||1XY ρ=的充要条件是()1P Y aX b =+=，其中,a b 为常数；
7.3 若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关，即0XY ρ=，但由0XY ρ=不能推断X 与Y 独立．
7.4下列5个命题是等价的： ．
7.4.1 0XY ρ=；
7.4.2 cov(,)0X Y =；
7.4.3 ()()()E XY E X E Y =；
7.4.4 ()()()D X Y D X D Y +=+)；
7.4.5 ()()()D X Y D X D Y -=+．
利用协方差或相关系数可以计算
()()()2cov(,)()()2D X Y D X D Y X Y D X D Y ρ±=+±=+±．
8．原点矩与中心矩
随机变量X 的k 阶原点矩定义为
()k
E X ； 随机变量X 的k 阶中心矩定义为
[(())]k E X E X -]；
随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为
()k l
E X Y ； 随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k l
E X E X Y E Y --．
一阶原点矩是数学期望()E X ；
二阶中心矩是方差D(X)；
(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y .
9．常用分布的数字特征
9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时，
(),()(1)E X np D X np p ==-．
9.2 当X 服从泊松分布()p λ时，
(),()E X D X λλ==，
9.3 当X 服从区间(,)a b 上均匀分布时，
9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时，
9.5 当X 服从正态分布
2
(,)N μσ时， 2(),()E X D X μσ==．
9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布
22
1212(,,,,)N μμσσρ时，
211(),()E X D X μσ==；
222(),()E Y D Y μσ==；
上面讲了那么多的知识点，看起来很是繁琐，个人认为重点是期望、方差、协方差、相关系数的概念、计算和性质；常用分布的数字特征；利用性质计算随机变量函数的期望。

从随机变量的数字特征的引出中，我们可以知道研究随机变量的数字特征可以简化某些实际问题的解答，可以从总体上掌握随机变量某一侧面的性质,下面讲讲上述内容的应用
二， 三，总结
参考文献?
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2011:146-147?
[3]??毛纲元，概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M],武汉：华中理工大学出版社
2000:523-530.?
[4]??茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程[M]，高等教育出版社，2004。