概率论与数理统计论文

概率论与数理统计论文

引言：

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科，是对随机现象和统计规律进行演绎和归纳的一门科学，在现实生活中有很广泛的应用。例如：天气预报，地震监测，彩票，股票等等，天气监测准确率高了的话，就单农业而言收效会更高，地震监测准确的话，也会避免很多灾祸，假若人人都知道如果每周买100张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要1000年，如果每周买1000张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要100年的话，还会有人抱着“早不中，晚就中”的心理白花钱买彩票吗？这些都和概率有关，所以我们要学好概率指导生活实践。无论大家意识到与否，随机现象贯穿于我们日常生活中每一个角落，例如：体育比赛安排场数需要概率，“抓阄”中包含中概率，生活中许多谚语也包含着概率：例如，三个“臭皮匠”胜过“诸葛亮”，先下手为强后下手遭殃等等，医学方面也会用到概率论，如果对随机问题一窍不通可能不知不觉的会产生很多损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”。

关键词：概率统计；随机事件；数学期望；n重贝努利试验，随机变量的数字特征

一．随机变量的数字特征

1．数学期望

设X是离散型的随机变量，其概率函数为

如果级数

i i

i

a p

绝对收敛，则定义X的数学期望为

()i i

i

E X a p =∑；

设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()xf x dx

+∞

-∞⎰绝对可积，则定义X 的数学期望为

()()E X xf x dx

+∞

-∞

=⎰

．

2．随机变量函数的数学期望

设X 为离散型随机变量，其概率函数

如果级数

()i

i

i

g a p

∑绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为

设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数

如果级数

(,)i j ij

j

i

g a b p ∑∑

绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为

[(,)](,)i j ij

j

i

E g X Y g a b p =∑∑；

特别地

();()i ij j ij

i

i

j

i

E X a p E Y b p ==∑∑∑∑.

设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx +∞

-∞⎰绝对收敛，

则X 的函数()g X 的数学期望为

[()]()()E g X g x f x dx

+∞

-∞

=⎰

．

设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分

(,)(,)g x y f x y dxdy

+∞+∞

-∞

-∞

⎰⎰

绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为

[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy

+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

；

特别地

()(,)E x xf x y dxdy

+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

,

()(,)E Y yf x y dxdy

+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

.

3．数学期望的性质

3.1 ()E c c = (其中c 为常数)；

3.2 ()()E kX b kE X b +=+ (,k b 为常数)；

3.3 ()()()E X Y E X E Y +=+；

3.4 如果X 与相互独立，则()()()E XY E X E Y =.

4．方差与标准差

随机变量X 的方差定义为

2()[()]D X E X E X =-．

计算方差常用下列公式：

22()()[()]D X E X E X =-’

当X 为离散型随机变量，其概率函数为

如果级数

2

(())

i i

i

a E X p -∑收敛，则X 的方差为

2()(())i i

i

D X a

E X p =-∑；

当X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分2(())()x E X f x dx +∞

-∞-⎰收敛，则X 的方差为

2()(())()D X x E x f x dx

+∞

-∞

=-⎰.

随机变量X 的标准差定义为方差()D X .

5．方差的性质

5.1 ()0D c = (c 是常数)；

5.2 2

()()D kX k D X = (k 为常数)；

5.3如果X 与Y 独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+.

6．协方差

设(,)X Y 为二维随机变量，随机变量(,)X Y 的协方差定义为

cov(,)[(())(())]X Y E X E X Y E Y =--．

计算协方差常用下列公式：

cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-．

当X Y =时，cov(,)cov(,)()X Y X X D X ==．

协方差具有下列性质：

6.1 cov(,)0X c = (c 是常数)；

6.2 cov(,)cov(,)X Y Y X =；

6.3

cov(,)cov(,)kX lY kl X Y = (,k l 是常数)；

6.4 1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+

7．相关系数

随机变量(,)X Y 的相关系数定义为

相关系数XY ρ反映了随机变量X 与Y 之间线性关系的紧密程度，当||XY ρ越大，X 与Y 之间的线性相关程度越密切，当0XY ρ=时，称X 与Y 不相关．

相关系数具有下列性质：