第二章-数值分析(04)内积空间

证明：以二阶矩阵为例证明 10 取x ee2 得x T Ax 11 22 0 0 x 1 , 得x T Ax a a 取 , 01
数值分析
数值分析
(2) A是正定阵, A 也是正定阵； （由i 0证明） (3) A R nn , 若A是非奇异的, 则AT A是n 阶实对称正定阵；
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关因 为 若 , 线 性 无 关 则k R, . , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立矛 盾. ,
数值分析
数值分析
在不同的空间中Cauchy Schwarz不等式有 ,
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积得 ,
(1 , 11 r r ) 1 (1 , 1 ) 0
由 1 0 ( 1 , 1 ) 1
2
0, 从而有1 0 .
数值分析
数值分析
二、 内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： ( , )
(1) x R n , x
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为 n 维向量 x 的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
a b
n
ij ij
若 ( x ) 1, 则 b ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx
a
数值分析
定义 设[a , b]是有限或无限区间, ( x )是定义 在[a , b]上的非负可积函数, 若其满足 (1) ( x )dx 0,
a b
数值分析
(2) x n ( x )dx存在, n 0,1...
3. C[a , b], f ( x ), g( x ) C[a , b], 对于给定的权函数 ( x ) 0, x [a , b] 称为在C[a , b]中带权 ( x )的内积. ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx
a b
i , j 1
T i 1 n
x n
y1 y2 y , y n
(2) A为对称正定矩阵 ( x , y ) x T Ay
T
n
i , j 1
xa
i
ij
yj
a11 a12 y1 x Ay x1 x2 y a21 a22 2 a11 x1 y1 a12 x1 y2 a21 x2 y1 a22 x2 y2
数值分析
数值分析
前述三种空间关系
线性空间
(,)
内积 空间
|| ||
赋范线性空间
(,) || ||
1 2
数值分析
数值分析
三、内积空间中的正交系
内积空间大多数研究的是向 量空间、连续函数空间和多 项式空间
定理1 若1 , 2 , , r是一组两两正交的非零向量, 则1 , 2 , , r 线性无关.
(x
i , j 1 n
ya
i
n
x j ( y, x )
z i )a ij y j y j ( x, y) ( z, y)
i ij
ij
( 4)
( x , x ) x T Ax
i , j 1
xa
nxj 0Fra bibliotek数值分析数值分析
几种线性空间中内积的定义:
2. R nn , A, B R nn , 定义内积 ( A, B )
2 a a
b
2
1 2
b
1 2
思考 : ( f , g ) ( x ) f ( x ) g( x )dx
a
b
写出Cauchy Schwarz不等式的表达形式.
数值分析
数值分析
用内积范数表示 Schwarz不等式的形式是 ( , )
由Schwarz不等式可以证明内积范 数公理中的 三角不等式 .
a
b
则称 ( x )是[a , b]上的一个权函数. 常见的权函数有 :
(1) ( x ) 1
1 x 1 1 ( 2) ( x ) 1 x 1 1 x2 ( 3) ( x ) e x 0 x x2 ( 4) ( x ) e x
A

xT Ax
i , j 1
xa
i
n
ij
xj
特别，A为n阶对角阵, x的A范数,定义为 x
A

x T Ax
aii xi2
i 1
n
数值分析
数值分析
( 3) f ( x ) C[a , b], b f ( x )2 f f ( x ), f ( x ) a 称 f 为[a , b]上连续函数 ( x )的内积范数。 f (4) f ( x ) C[a , b],
(3)( ,0) (0, ) 0
数值分析
数值分析 和定义范数类似，内积也有多种不同的定义方式。
几种线性空间中定义的内积: x1 n n 1. R 中, x , y R , x2 x , 定义内积
(1) ( x , y ) x y x i yi
1 2 1 2
b ( x ) f ( x )2 f f ( x ), f ( x ) a 称 f 为[a , b]上连续函数 ( x )的带权 ( x )的内积范数。 f
数值分析
定理 : (Cauchy Schwarz不等式) 设 , 是内积空间V 中任意两个向量, 则有 ( , )2 ( , )( , ) 等号只有当且仅当 和 是线性相关时才成立.
证明：三角不等式
证：在内积空间V 中, , V , 有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
同理可得2 r 0. 故 1 , 2 ,, r 线性无关.
非零向量之间是两两正交的=》向量是线性无关的； 非零向量之间线性无关=/》两两正交。
数值分析
数值分析
内积空间 Vn中的标准正交基
定义 在内积空间V n中取一组基S {v1 , v 2 , , v n } i j 0 若 (vi , v j ) 0 i j 则称基S是V n中的正交基.
数值分析
数值分析
由Schwarz不 等 式, 当 , 不 是 零 向 量 时 ( , )

1,
即
1
( , )

1
定义内积空间 中任意两个向量 和 的夹角 V
arccos
( , )

，且 [0, ]
对两个不为零的向量 , , 若( , ) 0, 则称和 是正交的 记为 . ,
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非 零), 显 然 定 理 中 等 号 成 立 之, 如 果 等 号 ;反
常用的向量内积定义方式（两种）
矩阵和连续函数以及多项式定义内积的方式
内积范数的定义（带权的内积范数） 正交基、标准正交基、矩阵的正交分解 对称正定矩阵、正交矩阵、正交变换 正交多项式、规范化正交多项式、首1正交多项式 正交函数组离散化的
数值分析
一. 内积空间
定义 :设V是实数域R上的线性空间,如果α,β V 都有一个实数记为(α,β)与其对应, 且满足以下条件, 则称实数(α,β)为向量α,β的内积. ①对称性(α,β) (β,α) ②可加性(α β, γ) (α, γ) (β, γ); ③齐次性(kα,β) k(α,β), k R; ④正定性(α,α) 0, 且当且仅当α 0时才有 (α,α) 0
（由xT Ax 0, x 0证明） T T T 证明：x A Ax ( Ax ) ( Ax ) x 0, A可逆， Ax 0
1
xT AT Ax ( Ax )T ( Ax ) 0
数值分析
(2) A为对称正定矩阵, x与y的内积可定义为 ( x , y ) x T Ay
数值分析
内积空间+赋内积范数=？
第三节 内积空间
线性空间 + 赋范数 = 赋范线性空间
线性空间 + 赋内积 = 内积空间
一、内积空间
范数描述了空间中单 个元素的大小长度的 二、内积范数 量度，内积定义的是 三、内积空间中的正交系 空间中两个元素之间 的位置关系的量度。
四、正交多项式
数值分析
内积的判断（4个条件）
n n
不同的表达形式 .
(1) R 中, x , y R , ( x, y)
x y
i 1 i
n
i
( x i ) ( yi ) x y
i 1 i 1
n
1 2 2
n
1 2 2
(2)C [a , b]中, f ( x ), g( x ) C [a , b]

b
a
f ( x ) g( x )dx ( f ( x ) dx ) ( g ( x ) dx )
数值分析
数值分析
(2) A为对称正定矩阵 ( x , y ) x T Ay
i , j 1
xa
i
n
ij
yj
( x , y ) x T Ay x i a i y i
i 1 n
a1 特 别 取A an
数值分析
数值分析
对称正定阵A R nn x T Ax 0, x 0 a11 ... a1k det( Ak ) 0, Ak : : k 1, 2, ..., n a ... akk k1 i 0 ( i 1, 2, ..., n)
证 : (1) ( x , y ) x T Ay
数值分析
i , j 1
xa
i i ij
n i , j 1
xa
i
ij
n
ij
yj
yj
i , j 1
xa
j
n
ji
yi
( 2)
( x z, y)
i , j 1
xa
i
n
ij
yj
i , j 1
z a
i
i , j 1 n
3 2 0 例 A 2 4 2 , 0 2 5 3 2 3 0, 0, A 40 2 4
数值分析
数值分析
x Ax 0,
T T
x 0
正定矩阵的性质 (1) 正定阵主对角元恒正；
a11 a12 x1 二次型：x Ax x1 x2 x a21 a22 2 2 2 a11 x1 a12 x1 x2 a21 x1 x2 a22 x2 1 2 x1 2 2 x1 4 x1 x2 5 x2 x1 x2 2 5 x 2
定义了内积的线性空间称为内积空间
数值分析
数值分析
内积的基本性质:
(1)( , k ) k ( , )
证 : ( , k ) ( k , ) k ( , ) k ( , )
(2)( , ) ( , ) ( , )