工程电磁场第八章-导行电磁波

令
当 ,பைடு நூலகம்时，
（截止波数）
波不沿z方向传 播，故截止。
故波动方程化为：
四个横向场分量式
可先求纵向场分量的波动方程，得到 再依基本方程组求得所有四个横向分量： 所以，纵向场分量 和 满足标量波动方程：
由上述求得 和 后，即可从电磁场基本方 程组中的两个旋度方程得四个横向分量
结论
1，在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动 方程,结合相应的边界条件即可求得纵向分量 和 ,而场的横向分量即可由纵向分量求得. 2，既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每 一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具 有不同的传输特性. 3， 是微分方程在特定边界条件下的特征值,它 是一个与导波系统横截面形状,尺寸及传输模式 有关的参量.由于当相移常数 时,意味着波 在导系统不再传播,亦称为截止,此时 ,故将 称为截止波数.
横电波（TE波）
对于TE波，因在传播方向不存在电场分量，即 故： j H
Ex
z
kc2
y
j H z Ey 2 kc x H z Hx 2 k c x
Hy H z kc2 y
对于TE波，需要研究确定 波动方程：
的方法， 满足
且在金属导体内壁的边界条件为：
传播特性
（相位常数 ，截止波数 ，相速 波阻抗 ，传输功率等。） (1)相移常数 和截止波数 ，波导波长
波数 与电磁波的频率成正比。 者的关系为：
三
(2)相速 与波导波长 电磁波在波导中传播，其等相位面移动速率称为 相速。 导行波的波长称为 波导波长
(3)波阻抗 定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波 阻抗，即： (4)传输功率 由玻印亭定理，波导中某个波型的传输功 率为：
对于TEM波（
）
这正是拉氏方程，表明：导波系统中TEM波在横 截面上的场分量满足拉氏方程。因此其分布应该与静 态场中相同边界条件下的场分布相同。由此断定：凡 能维持二维静态场的导波系统，都能传输TEM波。 例如二线传输线（如图）、同轴线等， 也即为了传输TEM波必须要有二个以上的 导体。由于TEM波在横截面上的电场具有 与二维的静电场同样的性质，它必定起始 于一个导体而终止于另一个导体。 空心金属波导管内（如图），由于不能维持二维静 态场，故不能传输TEM波。这是波导管中电磁波显著 的特点之一。
横磁波（TM波）
因在传播方向上不存在磁场分量,即： 故由四个横向分量式得：
对于TM波来说，需要研究确定 波动方程：
的方法， 满足
且在金属导体(理想导体，切向电场为零)内壁的 边界条件为： 式中S——波导周界
这表明对于TM波来说，归结为在第一类齐次边界 条件下求解二维齐次波动方程的本征值kc的解。 以上是根据在波导传输的电磁波是否有电场或磁 场的纵向分量而将其划分为三类波型，其中，TE和 TM波还可细分为很多种不同的波型（理论上讲有无 穷多个）它们都是一定边界条件下波动方程的解。 除上述三类波型外，在有的波导系统中，也有 和 都不零的波型，一般称之为混合波型（混合 模）。
第八章 导行电磁波（一）
王 栋 刘 兴 制作
第八章 导行电磁波
§8-1 导波场的一般分析方法 §8-2 矩形波导 §8-3 圆柱型波导 §8-4 谐振腔
§8-1 导波场的一般分析方法
一般概念：
导行电磁波：电磁波沿波导装置传输。 导行装置：双线传输线、双轴线、金属波导管以及 介质波导等。 直行的均匀导波装置：导波装置不弯折、无分支. 均匀是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截平面 上，导波装置具有相同的截面形式、截面面积以 及填充的介质。
（2）当f<fc（或k<kc）时
是一个衰减常数，由于场分量都有传播因子 所以沿z方向很快衰减。 由此可见，波导呈现高通滤波器的特性。对给定 的模式，只有频率高于模式截止频率的波，才能在 波导内传播。
§8-2 矩形波导
上一节介绍了均匀波导中电磁波的分类及 其一般特征。这一节具体讨论一种最常用的金 属波导管——矩形波导。
（1）当f>fc（或k>kc时
① 相位常数
这是一个相位常数为 且有：
的传播模式，
② 波长
式中 是频率为f的平面电磁波在无限大理想介质 中的波长。 上式表明波长 大于无限大媒质中的波长。
③ 相速度
式中 为无限大媒质中波的相速度。 可见，波导内波的相速度 亦大于无限大媒 质中波的相速度，也说明了波在波导中的真实传 播方向并不是z轴方向，而是曲折前进，这一点 不同于TEM波。 上式还表明 是频率的函数，TE、TM波是色 散波，此色散不同于前面的因导电媒质引起的色 散，它是由波导的边界条件引起的，因此，称它 为几何色散。
方程推导
由麦克斯韦方程:
其中, 都是复矢量函数,原有 场量与它的关系是:
将(8-1)取旋度,得:
利用矢量恒等式 得: 再将 代入得:
2
2 同理得: H H t2 2 2 E E 0 用复矢量表示 2 2 H H 0 （8-10）（8-11）:
理想导体法 向磁场为零
H Z n
0
S
式中，S——波导周界， n为边界法向单位矢量。
这表明对于TE波来说，归结为在第二类齐次边 界条件下求解二维齐次波动方程：
对于该方程，只有在kc取某些特定的离散值时 才有解，使解存在的kc值称为本征值。针对不同 截面形状及尺寸的波导，这些本征值是不同的， 后面讨论矩形波导时，将用分离变量法求出它的 本征值kc
导波原理
对由均匀填充介质的金属波导管建立如图所示的 坐标系 设z轴与波导的轴线相重 合，横截面为xoy平面， 同时做以下假设： （1）波导的横截面形状和媒质特性沿轴线 z 不变 化。有轴向均匀性。 （2）波导内填充均匀、线性、各向同性的理想介质。 （3）波导内没有激励源存在即： 和 。 （4）电磁波沿z轴传播，且场随时间正弦变化。
再求出四个横向分量式
TM波的每个场分量表达式中都含有m、n值，对应 每一组的m及n值，在波导中就有一种场分布，故一 组m及n值决定了一种波型（又称模式）。可见，矩 形波导中有无穷多个TM波型（模式），统称TMmn， m表示x轴（a边）的半驻波数，n表示y轴（b边）半 驻波数，用电力线及磁力线表示出场的结构图。
式可知：
所以，TE10场分量为：
由上式可见，TE10模只有三个非零的场分量即： ，它们的电磁场分布图如下。
下面三个图画出了TE10模电磁波在t=0时的电场、 磁场分布，首先看TE10波的电场分布：
（a）BB/横截面
（b）AA/纵截面
（c）CC/纵截面
TE10波的磁场分布：
（a）EE/横截面
（b）DD/纵截面
矩形波导中的横磁波TE波
方程及边界条件：
满足上述边界条件的本征值解的解为： 式中Amn——振幅常数，由导行波的激励源决定， m、n为任何正整数和零，但m、n不能为 同时为零，否则场量将全部为零。
利用
可求得四个横向场分量为：
矩形波导中的传播特性
1，TEmn和TMmn模。 由TM波的解及TE波的解答可看出，在波导管横 截面上，场是正弦变化的，其分布情况直接取决 于m和n这个常数的值，取不同的m、n值，有不同 的场分布，称为不同的模式，分别用TEmn和TMmn 表示。在实际解中，总是选取一个特定的模式来 传送电磁波。 对于TM波，m和n都不能取零，故不存在TM00、 TM0n和TMm0模电磁波。 对于TE波，m和n都不能取零，故不存在TE00模 电磁波。
矩形波导中的横磁波（TM波）
TM波中 由 决定。 ，先求 场，其它场分量
用分离变量法，令
代入左边方程得： 同除XY得：
再令：
代入上式得
代TM波边界条件 得：
到
同理：代 得：
到
所以EZ的解为：
式中 是振幅常数，由导行波的激励源决定，m、 n是不为零的任何正整数，否则，只要m、n中有一 个为零，场量将全部为零。
4，主模和高次模 矩形波导可以工作在多模状态，也可以工作 在单模状态，由
可知： 波导尺寸a、b决定后，m、n值越小，截止波长越大， 见下图（一般a>b）：
当m=1、n=0，则λc=2a； 当m=0、n=1，则λc=2b；
当m=2、n=0，则λc=a； 当m=1、n=1，则
TE10模和TM11模分别是TE波和TM波中具有最长 截止波长的模式，称为最低模式。而TE10模的λc比 TM11模的λc还长，它具有最长的截止波长。因此， TE10模亦称为主模，其它模式为高次模。 四，主模TE10波 由 当m=1、n=0时，得TE10的本征值
（4）多模区与单模区 由于TE10模的截止波长λc（=2a）是矩形波导中能出 现最长的截止波长，因此： a，当工作波长λ>=2a时，电磁波就不能在波导中传播， 所以λ>=2a的区域称为截止区。 b，当λ<a，则至少会出现两种以上的波型，这个区叫 多模区。 c，当a<λ<2a时，则只有一个TE10模出现。其它模式都 处于截止状态，这种情况为单模传输。又称单模区。在 使用波导传输能量时，通常要求工作在单模状态。 （5）保证TE10波单模工作时，尺寸a、b的选择。 a，当b/a=1时，基波双重简并，因为要求只激励单一 模，有困难，所以这种尺寸的波导不宜作信息传输用。 b，当b/a=1/2时，在2a>λ>a的范围内只可能传输TE10
式中，Z为该波型的波阻抗。
1，TEM波传输特性 ①
② ③
(仅与媒质参数有关， 与导波装置几何形状无关)
=工作波长
④ 波阻抗
η是电磁波在无界介质( )中的波阻抗(媒质 的本征阻抗) 所以，TEM波的波阻抗与媒质的本征阻抗相同。
2，对TE波、对TM波
而
，因此：
由
可知，
当k>kc时，波沿z方向传播，这种模式叫传播模式。 当k<kc时，场沿z方向指数衰减，波导内没有波的传 播这种模式称为非传播模式或凋落模式。 当k=kc时的频率称为截止频率fc，有 把对应截止频率fc的自由空间波长 λc称为截止 波长。
矩形波导示意图
矩形波导管通过传播TE波或TM波来传输电 磁能量；矩形波导管不能传播TEM波。其实，在 单导体的空心或填充介质的波导管内，都不可能 存在TEM波。 由理想导体壁组成的截面为矩形的波导管， 如图所示，内壁面的长和宽分别是a和b。波导 内填充介电常数为 、磁导率为 、的媒质。 如前面所述，矩形波导中能传播的模式是TE模 式和TM模式。下面分别讨论TM波和TE波。
所以，依 和 分量存在情况，将导行 电磁波分为TEM、TE、TM三种模式。
横电磁波（TEM波）
对TEM波，因在传播方向上不存在电场和磁场 量， ， 故由四个横向分量式可知： ， ， ， 即有： 存在的条件是： 。
在无耗损媒质中， 故 因此对TEM波， ，故相速、波长及波阻抗和无 界空间均匀媒质中相同。 而且由于截止波数 ，因此理论上任意频 率均能在此类传输线上传输。 此时不能用纵向场分析法，而可用二维静态场 分析法或后述传输线方程进行分析。
所以，波导的本征值kc（截止波数）决定了 它的截止频率和截止波长。而kc与波导的几何形 状及尺寸的大小有关。 由此可得： 1，当f>fc（或工作波长λ<λc时） ——电磁波才可以在波导内传播，为传播模式。 2，当f<fc（或工作波长λ>λc时） ——为非传播模式。 这和传播TEM波的波导系统不同，TEM波传 播模式是没有截止频率和截止波长的，因此，在 双导线传输线中即可传播高频电磁波，也可传播 低频电磁波以至稳恒电流。
2，截止波长 由
可得
而相应的截止波长 可见截止频率 及波长 与工作频率无关， 仅与波导的尺寸和模式有关。
3，简并现象 不同的波型可以具有相同的截止波长，这 种现象叫简并现象，发生简并的模式称为简并 模式。 在TEmn和TMmn模中，除TE0n、TEm0模外， 其它模式都是“双重简并的”，例如TE11与 TM11模，TE21与TM21模等等。 简并模在同一频率时， 相同， 相同， 也相同。
TE10波的立体电磁场分布：
由此可见：
（1）TE10模只有三个非零的场分量，即： （2）由理想导体表面的边界条件可知，在波导壁 上的电流线密度 ，它与磁场强度有关，且有：
——壁面的外法线方向单位矢量。
——壁上的磁场强度。 （3）各场分量均与y无关，即在y方向为均匀分布， 在z方向为正弦行波；在x方向上为驻波。
再将(8-1)式代入得:
令
得， 这就是传输系统中场量 应满足的齐次波动方程.
在广义坐标系中：
横向分量 纵向 横向 纵向
将上式代入场量的齐次波动方程得：
二维拉氏算子 其中
也分解成两部分：
与横向坐标有关
与纵向坐标有关
中的xy可为xoy平面（x，y） 也可为圆柱坐标（ ）
得广义坐标：
同理
对于无耗损线：