中考数学十大解题思路之等积法
中考数学复习：十招实用数学解题方法
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
同样这些方法也能给你们现在的学习有些帮助。
请同学们把它作为资料好好保存，当然，以后全部学会弄懂，保存大脑当中再好不过了。
1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
中考数学十大题型解题方法之等(面或体)积法
中考数学十大题型解题方法之等(面或体)积法
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等积法：
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明几何题有时会收到事半功倍的效果。
运用面积关系来证明或计算几何题的方法，称为等积法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。
等积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用等积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，
也很容易考虑到。
更多精彩内容请点击:初中>初三>数学>初三数学试题
等积法：
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明几何题有时会收到事半功倍的效果。
运用面积关系来证明或计算几何题的方法，称为等积法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。
等积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用等积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
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例谈“等积式”命题的常见证法
例谈“等积式”命题的常见证法摘要：“等积式”命题的证明,贯穿初中数学的始终, 历来是中考的重点内容之一。
在教学中，教师应注重教学方法的应用，可采用“遇等积、化等比、横看竖看找相似；无相似，再考虑，等线等比等积代”的顺口溜式教学，定能收到良好的教学效果。
关键词：等积式；相似；转化等积式的证明问题历来是中考的热门题型。
该类题目具有覆盖面广、综合性强、思路广阔、证法灵活多变等特点，学生普遍感到力不从心，以至无从下手，往往产生一种畏难情绪，一触到此题类型就被卡住，造成不应有的失分。
为了帮助学生打开证题思路，寻求合适的证明方法，提高解题效率和质量，在教学中，教师应注重教学方法的应用。
本文通过典型例题进行剖析。
一、应用平行线分线段成比例定理当待证结论中的四条线段分别在两直线上时，可以考虑利用平行线分线段成比例定理来证明。
例1如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，并与BO1的延长线交于P，PB分别交⊙O1、⊙O2于c、D两点。
求证：PA·PD=PE·PC行线分线段成比例定理来证。
为此，需连结AC、DE，再证AC//DE，因为PA为⊙O1的切线，因此得到∠l=∠2，而∠2=∠3，故∠l=∠3，于是AC//DE。
故结论获证。
二、直接证明有关的三角形相似将等积式化为比例式后，用三点定型法确定四条线段所在的两个三角形，然后设法证明它们相似，这是证明这类问题的最基本、最常用的方法。
例2如图2，已知圆内接△ABC中，AB=AC，弦AE交BC于D，连结BE。
求证：AB·BD=AD·BE为∠3为公共角，故△ABD∽△AEB，至此问题就迎刃而解了。
三、相等线段代换后证三角形相似这种方法就是利用相等的线段代替等积式中的某些线段，利用其构成的三角形相似来证题，即等线代换。
例3 如图3，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC 于D。
等面积法技巧
等面积法技巧一、等面积法是什么呢？嘿，宝子们！等面积法啊，就像是数学里的一个神奇小魔法。
简单来说呢，就是利用不同图形的面积相等来解决各种问题。
比如说，一个三角形，你可以通过不同的底和高的组合来表示它的面积，然后如果这个三角形和另外一个图形面积相等，那就可以建立起等式关系啦。
二、等面积法的技巧应用1. 在三角形中的应用当你遇到一个三角形，已知一条边上的高和这条边的长度，但是要求另外一条边上的高的时候，等面积法就超级好用。
比如说，有一个三角形ABC，AB边的长度是5，AB边上的高是4，现在要求AC边上的高，而AC边的长度是8。
那我们先根据三角形面积公式S = 1/2×底×高，算出三角形ABC的面积是1/2×5×4 = 10。
然后设AC边上的高为h，再根据等面积法，1/2×8×h = 10，这样就能算出h = 2.5啦。
如果一个三角形被分割成几个小三角形，而且这些小三角形有共同的顶点或者边的时候，等面积法也能派上大用场。
例如，三角形ABC中，D是BC边上的一点，连接AD把三角形ABC分成了三角形ABD和三角形ACD。
如果已知BD和DC的长度比例，以及三角形ABC的总面积，就可以通过等面积法求出三角形ABD和三角形ACD 各自的面积。
2. 在四边形中的应用对于平行四边形，等面积法也有它的巧妙之处。
假设平行四边形ABCD，AB边上的高为h1，AD边上的高为h2，AB = a，AD = b。
我们知道平行四边形面积S = a×h1 = b×h2。
如果已知其中三个量，就可以通过等面积法求出第四个量。
在梯形中，等面积法也能发挥作用。
比如梯形ABCD，上底为a，下底为b，高为h。
如果把梯形沿着对角线分割成两个三角形，那么这两个三角形的面积和就等于梯形的面积。
我们可以通过等面积法建立等式来求解一些未知量，像已知上底、下底和其中一个三角形的面积，求高之类的问题。
初中数学常见解题模型及思路(中考数学难题破解自有定理)
初中数学常见解题模型及思路（中考数学难题破解自有定理）上下：2.04左右：2.17初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）a．代数篇：1．循环小数化分数:设元―扩大――相减（无限变有限）相消法。
例.把0.108108108化为分数。
设s=0.108108108（1）两边同乘1000得：1000s=108.108108（2）（2）-（1）得：999s=108从而：s=108余例仿此――9992．对称式计算技巧：“平方差公式―完全平方公式”―整体思想之结合：x+y；x-y；xy；x2?y2中，知二求二。
222(x?y)?x?y?2xy?2x?2y(?x?)2y2?xy2222(x?y)?x?y?2xy?(x?)y?4xy加减配合，灵活变型。
2（x?）?x2?3．特定公式1x1?2的变型几应用。
x24．立方差公式：a3?b3?（a?b）（a2mab?b2）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+222+2021的和。
三种方法举例：略6．等比数列议和法：方法+公式：设元―乘坐等比―相乘―解。
例.求1+2+4+8+16+32+2222n令s=1+2+4+8+16+32+222+2n（1）两边同乘2得:2s=2+4+8+32+64+222+2n+2n?1（2）（2）-（1）得：2s-s=2n?1-1从而求出s。
7．11n?m1111等。
的灵活应用：如：?mnmn62?3238．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f（n）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：1上下：2.04左右：2.171111⑴．等距式：变小和内积。
x2?y2；?；2?2；xy2+x2y等（x、y为一元二次方程方程的两xyxy根）⑵．非对称式：根的定义―降次―变小和内积（一代二韦）。
10.三大非负数：三大永正数；211．常用最值式：。
（x?y）?正数等（非负数+正数）12．换元大法。
等积问题的证明
等积问题的证明等积问题是初中平面几何的重要内容，它涉及的知识内容广泛，有利于考查学生的综合运用知识的能力，因而受到教育界的普通重视，是各地中考热点之一。
从内容来看，等积问题涉及全等，相似，平行线成比例线段等。
从方法来看，它涉及到相似的证明，全等的证明，平行线的证明，成比例线段等。
等积问题综合性强，类型繁多，涉及面广，难度大，加之许多学生由于基础知识不牢，不善于归纳总结。
结果在解决等积问题时不能灵活运用，感觉问题的分析困难，甚至是无从下手，望而生畏。
为此，我通过多年的教学实践、总结，提出了等积证明的“三步曲”。
所谓之“三步曲”是指在证明等积问题时，首先考虑把等积问题化为等比问题，证明相关的三角形相似。
其次，在无法证明三角形相似时，可用问题中所蕴含的与等比中某一线段相等的线段或相等的比值来代替。
最后，若无法找到相应的等线或等比时则通过平行线成比例线段这一相关性质找相应的比值。
下面我就结合一些具体的实例进行分析。
一、等积问题证明第一步：化等比，定相似遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然后 考虑证明两个三角形相似。
例1：（2005年沈阳市中考题）如图，△ABC 内接于⊙O ， AD 平分∠ABC ，交BC 于E ，交⊙O 于D 。
求证：AB ·AC=AD ·AE分析：欲证AB ·AC=AD ·AE 可通过证明等比式ACAE ADAB =，由图可知AB 、AE 是构成△ABE 的两边，AD 、AC 是连接DC 后所得△ADC 的两边， 因而可同 过证明这两个三角形相似即可。
证明：连接DC ∵AD 平分∠ABC ∴∠BAD=∠CAD 又∵∠ABC=∠ADC ∴△ABE ∽△ADC ∴ACAE ADAB =∴AB ·AC=AD ·AE二、等积证明第二步：不相似，莫生气，等线等比来代替。
D若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明，此时可通过查找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。
2020年九年级数学中考复习——常用解题方法【等积变换法】(一)
2020中考复习——常用解题方法【等积变换法】（一）知识点梳理：等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。
它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。
在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。
下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：【例1】△ABC中，AB=10，CB=8，AC=6，则其内切圆半径为()A. 6B. 4.8C. 2D. 1【答案】C【解】：△ABC中，AB=10，CB=8，AC=6，满足AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；设内切圆的半径为r，则12(6+8+10)r=12×6×8，解得r=2；∴△ABC内切圆半径为2．【解题反思】本题考查了直角三角形的内切圆半径的计算问题，是基础题．根据勾股定理判断△ABC是直角三角形，利用等积法求出内切圆的半径r．【例2】如图AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为________．【答案】2【解】：过点E作EG⊥AC，∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB于F，∴EF=EG，设EF=EG= x，∵BD是中线，S△BDC=20，AD=12AC=6，∴△ABD的面积=20，即△ABE的面积+△ADE的面积=20，∴12×AB×EF+12×AD×EG=20，∴12×14×x+12×6×x=20，解得x =2，∴EF =2．故答案为：2【解题反思】先过点E 作EG ⊥AC ，设EF =EG =x ，根据△ABD 的面积=20，得出△ABE 的面积+△ADE 的面积=20，即12×14×x +12×6×x =20，求得x 的值即可．本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据△ABD 的面积=20，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用．【例3】如图，正比例函数y =2x 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(m,2)，一次函数图象经过点B(−2,−1)与x 轴的交点为C ．(1)求一次函数的解析式；(2)求△AOC 的面积；(3)求点O 到直线AC 的距离．【解】：(1)∵正比例函数y =2x 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(m,2)， ∴2m =2，m =1．把(1,2)和(−2,−1)代入y =kx +b ，得{k +b =2−2k +b =−1， 解得{k =1b =1， 则一次函数解析式是y =x +1；(2)令y =0，则x +1=0，x =−1．所以点C 的坐标为(−1,0)，则△AOC 的面积=12×1×2=1；(3)过点O 作OD ⊥AC 与点D ，∵AC =√(1+1)2+22=2√2，S △AOC =12AC ·OD =12×2√2×OD =1，∴OD=√22．【解题反思】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，关键是根据正比例函数解析式求得m的值．(1)首先根据正比例函数解析式求得m的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；(2)根据(1)中的解析式，令y=0求得点C的坐标，从而求得三角形的面积；(3)把AC当作底边，点O到直线AC的距离就是AC边上的高，由三角形的面积即可求解．综合训练一、选择题1.如图，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，要使圆与线段AB有两个公共点，则r的值不可能是()A. 135B. 145C. 3D. 1652.如图，△ABC中，AB=4，BC=6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE=2，则AF的长为()A. 3B. 103C. 72D. 1543.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于()A. 245B. 125C. 5D. 44.如图，ΔABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为()A. 0.4cm2B. 0.5cm2C. 0.6cm2D. 0.7cm25.如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R，则PQ+PR的值是()A. 2√2B. 2C. 2√3D. 836.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(8,0)，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点Q从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P、Q运动的时间为t(0<t<8)秒.以PQ为斜边，向第一象限内作等腰Rt△PBQ，连接OB.下列四个说法：①OP+OQ=8；②B点坐标为(4,4)；③四边形PBQO的面积为16；④PQ>OB.其中正确的说法个数有()A. 4B. 3C. 2D. 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，若点M是线段EF的中点，则PM 的最小值为()A. 1.2B. 2.4C. 2.5D. 4.8二、填空题8.如图，圆的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，则阴影部分的面积是_______．9.如图，AC⊥BC，∠CDA与∠CDB相等且互补，则点C到AB的距离是线段________的长．若AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，则CD=________．10.Rt△ABC中，∠A=90°，AD是斜边上的高．若AB=3，AC=4，BC=5，则AD=________．11.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，点P为AB上的动点(不与点A、B重合)，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为____．12.如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，，那么△ABC的内切圆半径连结AP、BP、CP，如果S△APF+S△BPE+S△PCD=9√32为_________．三、解答题13.如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法一：____________________________________．方法二：____________________________________．(2)观察图2请你写出下列三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系．(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a−b=5，ab=−6，求(a+b)2的值；②已知：a>0，a−2a =1，求a+2a的值．14.如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G；(2)比较BC与BG的大小：BC______BG，理由是______；(3)已知AC=5，求BG的长．15.如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．(1)求证：△ADC≅△CEB;(2)如图(2)，延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰直角三角形FCG，∠FCG=90∘，连接AG交l于H，求证：BF=2CH;(3)在(2)的条件下，若AD=12，BF=15，BC=13，请直接写出点G到直线AC的距离．16.如图，AB是⊙O的直径，C是BD⏜的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．(1)求证：CF=BF;(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．17.我们知道，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，过三角形外心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“外似线”．【轻松作图】(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，D为斜边AB的中点，请过点D画出△ABC的所有“外似线”．【尝试证明】(2)如图2，已知一次函数y=x+1与反比例函数y=k交于A、B两点，C是点Bx关于y轴的对称点，连接BC、AC，若点A坐标为(1,2)，连接CO并延长交AB于点D，试说明CD是△ABC的“外似线”．【拓展运用】̂的中点，若半径R=5，BC=8，(3)如图3，已知⊙O为△ABC的外接圆，点A是CAB求△ABC的“外似线”的长．答案和解析1.D解：作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，∵△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，∴CD=AC⋅BC AB =125，即圆心C到AB的距离d=125，∵AC<BC，∴以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是125<r≤3．2.B解：如图，过点D作DG⊥BC交BC于点G，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DG，又∵S△ABC=S△ABD+S△BDC，AF⊥BC，∴12×BC×AF=12×AB×DE+12×BC×DG，即12×6×AF=12×4×2+12×6×2，∴AF=103．3.A解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB=√32+42=5，∵S菱形ABCD=12AC×BD=AB×DH，∴12×8×6=5DH，∴DH=245，4.B解：延长AP交BC于E，如下图，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90∘，在ΔAPB和ΔEPB中，{∠APB=∠EPB BP=BP∠ABP=∠EBP,∴ΔAPB≅ΔEPB(ASA)，∴SΔAPB=SΔEPB，AP=PE，∴ΔAPC和ΔCPE等底同高，∴SΔAPC=SΔPCE，∴SΔPBC=SΔPBE+SΔPCE=12SΔABC=0.5cm2．5.A解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则S△BCE=S△BCP+S△BEP，即12BE⋅ℎ=12BC⋅PQ+12BE⋅PR，∵BE=BC，∴ℎ=PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为4，∴ℎ=4√2×12=2√2．6.B解：∵点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴负半轴方向运动，∴AQ=OP，∴OP+OQ=AQ+OQ=OA，∵A点坐标为(8,0)，∴OP+OQ=OA=8．故①正确；连AB，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠BPQ=∠BQP=45°，∵∠BPO=∠BPQ+∠OPQ=45°+90°−∠OQP=135°−∠OQP，∠AQB=180°−∠BQP−∠OQP=135°−∠OQP，∴∠AQB=∠BPO，∵BP=BQ，OP=AQ，∴△BPO≌△BQA，∴BO=BA，∠PBO=∠QBA，∴∠OBA=∠PBQ=90°，∴△OBA是等腰直角三角形，作BH⊥OA于H点，则BH=OH=12OA=4，∴B点坐标为(4,4)．故②正确；∵△BPO≌△BQA，∴△BPO的面积=△BQA的面积，∴△BPO的面积+△OBQ的面积=△BQA的面积+△OBQ的面积，即四边形PBQO的面积=等腰直角三角形OBA的面积，∵等腰直角三角形OBA的面积=12OA·BH=12×8×4=16，∴四边形PBQO的面积为16．故③正确；当运动的时间为4秒时，OP=OQ=4，则由勾股定理得PQ=4√2，而OB=4√2，此时PQ=OB．故④错误．因此正确的说法有3个．7.B解：连接CP．∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2 =√62+82 =10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，∠EPF=90°，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC= 12BC⋅AC=12 AB⋅CP，即12×8×6=12×10⋅CP，解得CP=4.8，即EF=CP=4.8，此时PM的值最小，最小值为PM=12EF=2.4．8.2π【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的对称性有关知识，根据C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【解答】解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，∴两函数图象关于x轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：12π×22=2π．9.CD；2.4cm解：根据点到直线的距离定义得出线段CD的长度是点C到直线AB的距离，∵∠ACB=90°，AC⊥BC，∴S△ABC=12AC·BC=12AB·CD∴CD=2.4cm．10.2.4解：根据题意可知，S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AD，即：12×3×4=12×5×AD，解得AD=2.4，∴AD=2.4．11.2.4解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CP，即12×3×4=12×5⋅CP，解得CP=2.4．12.√3解：过P点作正三角形的三边的平行线，即QM//AB交BC、AC于Q、M，RN//BC交AB、AC于R、N，SO//AC交AB、BC于S、O，∵△ABC是等边三角形，∴△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，∴MF=FN，DQ=DO，RE=SE，∴四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，∴可知黑色部分的面积=白色部分的面积，∵S△AFP+S△PCD+S△BPE=9√32，∴S△ABC=9√3，设△ABC边AB的高为h，∠ABC=60°，∴sin∠ABC=sin60°=ℎBC，即ℎ=sin60°·BC，∵AB=BC，∴S△ABC=12AB2sin60°=9√3，∴AB=6，∴三角形ABC的高ℎ=3√3，∴S△ABC=12×r×3AB=12×AB×ℎ∴△ABC的内切圆半径r=13ℎ=√3．13.解：(1)(m−n)2；(m+n)2−4mn；(2)(m−n)2=(m+n)2−4mn；(3)①解：∵a−b=5，ab=−6，∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=52+4×(−6)=25−24=1；②解：由已知得：(a+2a )2=(a−2a)2+4⋅a⋅2a=12+8=9，∵a>0，a+2a>0，∴a+2a=3．解：(1)方法1：(m−n)2；方法2：(m+n)2−4mn；(2)(m−n)2=(m+n)2−4mn；故答案为(m−n)2；(m+n)2−4mn；(m−n)2=(m+n)2−4mn；14.(1)如图所示，BG即为所求；(2)>；垂线段最短；(3)S△ABC=4×4−12×1×4−12×1×3−12×4×3=6.5，∵AC=√32+42=5，∴12×AC×BG=6.5，即12×5×BG=6.5，解得BG=2.6．解：(2)BC>BG，理由是垂线段最短，故答案为：>，垂线段最短．15.(1)证明：如图①中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图②中，作AM//CG交EH于M，连接GM．∵∠MAC+∠ACG=180°，∠ACG+∠BCF=180°，∴∠MAC=∠BCF，∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACM=∠CBF，在△ACM和△CBF中，{∠MAC=∠BCFAC=BC∠ACM=∠CBF,∴△MAC≌△CBF，∴CM=BF，AM=CF=CG，∵AM//CG，∴四边形AMGC是平行四边形，∴MH=HC，∴BF=CM=2CH；(3)∵△MAC≌△CBF，∴CM=BF=15，∵AC=BC=13，∴S四边形AMCG=2⋅S△AMC=AC⋅ℎ(ℎ是点G到AC的距离)，∴2×12×15×12=13ℎ，∴ℎ=18013．16.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠A=90∘−∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90∘，∴∠ECB=90∘−∠ABC，∴∠ECB=∠A.又∵C是BD⏜的中点，∴CD⏜=CB⏜，∴∠CDB=∠CBD，又∵∠CDB=∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF．(2)解：∵BC⏜=CD⏜，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90∘，∴AB=√BC2+AC2=√36+64=10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AC，∴CE=BC⋅ACAB =6×810=245．17.解：(1)如图4，共有三条过点D的“外似线”，(2)如图5，由题可得：F(0,1)，反比例函数为y=2x，∴x+1=2x，解得x=−2，x=1，∴点B坐标为(−2,−1)，∵C是点B关于y轴的对称点，∴点C坐标为(2,−1)，E(0,−1)，∵OE是BC的垂直平分线，BE=FE=2，∴∠FBE=45°，∵OA=OC=√5，AC=√10，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，点O在AC的垂直平分线上，∴点O是△ABC的外心，∵∠ACD=∠ABC=45°，∠DAC=∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴CD是△ABC的“外似线”；(3)如图6，连接AO并延长交BC于点D，∵A为弧CAB中点，AD过圆心O，∴AD⊥BC，BD=CD=4∵OA=OB=5，∴OD=√52−42=3，∴AD=5+3=8，AB=AC=√42+82=4√5，①“外似线”EF交AB，AC两边，如图7，∵EF是外似线，∴EFBC =AOAD=58，∴△AEF∽△ABC，∴EF=5，②若“外似线”EF交AB，BC两边，则有两种情形：第一种情形：若△EBF∽△ABC时，解法一：如图8.1，则EF//AC，∴△EBF为等腰三角形，，∵∠EAO=∠CAO，∴∠EOA=∠EAO，∴EA=EO，过E作EG⊥OA，∴AG=OG=12AO=52，∵△AEG∽△ABD，∴AEAB =AGAD=528，∴AE=54√5，∴EF=BE=4√5−54√5=114√5，解法二：如图8.2，则EF//AC，∴∠OFD=∠ACB，，∴DF=32，∴BF=112，∵△EBF∽△ABC，∴EFAC =BFBC，∴EF=114√5，解法三：如图8.3，建立平面直角坐标系，则EF//AC，∴B(−4,0)，C(4,0)，A(0,8)，O(0,3)∴y AB=2x+8，y AC=−2x+8，∴yEF=−2x+3∴2x+8=−2x+3，解得x=−54，∴E(−54,112)∴EF=BE=√(−54+4)2+(112)2=114√5；第二种情形：当△BEF∽△BCA时，解法一：如图9.1，OG⊥AB，则EF=BF，由①知，AO=5,AG=2√5，∴OG=√5，在Rt△OEG中，tan B=tan∠OEG=OGEG=2，∴EG=√52，∴BE=5√52，∵△BEF∽△BCA，∴EFAC =BEBC，∴4√5=5√528，∴EF=254；解法二：如图9.2，过C作CM⊥AB，则由等积法可得：CM=BC•ADAB =8×84√5=165√5，∴在Rt△ACM中，AM=√(4√5)2−(165√5)2=125√5，∵∠OFE=∠CAB，∴如图9.3，在Rt△ODF中tan∠CAM=tan∠OFD=ODDF= 16√55 12√5 5=43，∴DF=94，∴BF=4+94=254，∴EF=BF=254；③若“外似线”EF交CA，CB两边，同②，EF=114√5，EF=254．综上：EF=5，EF=114√5，EF=254。
中考：等面积法
等面积法方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：(1)面积计算公式(2)对于公式⑤的证明（如上图）：S= S△ABD+S△CBD= +==(3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.一、等面积法在直角三角形的应用在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。
如图：基本公式: ①勾股定理:②等面积法：证明②：即：,例题1：如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ?例题2：如图，在Rt ABC (BC AC ) ,∠C=90°，当斜边AB =10cm，斜边AB上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度?巩固练习：1、如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24, BC=7，作ABC 的三个内角的角平分线交于点P，再过点P 依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E, 作PF⊥AC于F .(1)求证：PD = PE = PF ;(2)求出：PD的值.2、如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A.22二、等面积法在等腰三角形的应用在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来探索出线段之间的数量关系！例题1：如图,在△ABC 中, AB=AC, AC 边上的高BD=10cm.（1）如图1,求AB 边上高CE 的长；（2）如图2,若点P 为BC 边上任意一点, PM⊥AB 于点M, PN⊥AC 于点N,求PM+PN 的值；（3）如图3,若点P 为BC 延长线上任意一点,PM⊥AB 于M,PN⊥AC 于点N,在①PM+PN ；②PM PN 中有一个是定值,判断出来并求值.例题2：已知等边△ABC和内部一点P，设点P 到△ABC三边的AB、BC 、AC 的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，问h1、h2、h3 与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由。
初中数学解题方法汇总
不可不知的10种中考数学解题技巧1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有很多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不但用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些相关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它能够是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
初中数学解题思想及十大解题方法
建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，掌握解题技巧，并将做过的题⽬加以划分，以便在考试中游刃有余。
解题⽅法01配⽅法通过把⼀个解析式利⽤恒等变形的⽅法，把其中的某些项配成⼀个或⼏个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的⽅法，叫配⽅法。
配⽅法⽤得最多的是配成完全平⽅式，它是数学中⼀种重要的恒等变形的⽅法，它的应⽤⼗分⾮常⼴泛，在因式分解、化简根式、解⽅程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等⽅⾯都经常⽤到它。
02因式分解法因式分解，就是把⼀个多项式化成⼏个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的⼀个有⼒⼯具、⼀种数学⽅法，在代数、⼏何、三⾓等的解题中起着重要的作⽤。
因式分解的⽅法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、⼗字相乘法等外，还有利⽤拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
03 换元法通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在⼀个⽐较复杂的数学式⼦中，⽤新的变元去代替原式的⼀个部分或改造原来的式⼦，使它简化，使问题易于解决。
04判别式法与韦达定理⼀元⼆次⽅程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅⽤来判定根的性质，⽽且作为⼀种解题⽅法，在代数式变形，解⽅程（组），解不等式，研究函数乃⾄⼏何、三⾓运算中都有⾮常⼴泛的应⽤。
韦达定理除了已知⼀元⼆次⽅程的⼀个根，求另⼀根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应⽤外，还可以求根的对称函数，计论⼆次⽅程根的符号，解对称⽅程组，以及解⼀些有关⼆次曲线的问题等。
05待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，⽽后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从⽽解答数学问题，这种解题⽅法称为待定系数法。
06构造法在解题时，我们常常会采⽤这样的⽅法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是⼀个图形、⼀个⽅程（组）、⼀个等式、⼀个函数、⼀个等价命题等，架起⼀座连接条件和结论的桥梁，从⽽使问题得以解决，这种解题的数学⽅法，我们称为构造法。
2024年中考+数学专题复习+证比例式或等积式的七种技巧+讲义
证比例式或等积式的七种技巧点石成金证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段.若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换.经典例题解剖例如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：AC•CF＝CB•DF．分析：先证明△FDA∽△FCD，得出DFCF =ADDC，再证明△ACD∽△CBD，可得ADCD=ACCB，即可解答．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵E为CB的中点，∴CE＝EB＝DE=12BC，∴∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∵∠ACD+∠CAB＝90°∴∠B＝∠ACD，∴∠ADF＝∠ACD，又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD，∴DFCF =ADDC，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ADCD =ACCB，∴DFCF =ACCB，即AC⋅CF＝CB⋅DF．分类训练技巧1 构造平行线法1．三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线．求证：ABAC =BDDC．分析：由比例式ABAE =BDDC，想到作平行线，用到了平行线的性质；只要证明AE＝AC即可，用到了等腰三角形的判定定理，由CE∥AD，写出比例式ABAC =BDDC，用到了平行线分线段成比例定理（推论）；技巧2三点定型法2．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．分析：（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可得出结论；（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC＝∠AQF，求出∠BQF＝∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质即可得出结论．3．已知：如图，在△ABC中, ∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC 于E，交BC的延长线于F，求证：CD²=DE⋅DF。
2020年中考数学培优 专题讲义设计 第14讲 数学基本方法之等积法
第14讲数学基本方法之等积法在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等式.等积法也常在证明某些定理时被用到.【例题讲解】例题1已知：如图，在△R t ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，AD⊥BC，求AD的长为．AB D C答案：AD＝2.4.例题2、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线上一点，且B E＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值为.A DREPB Q C答案：2 2.【解析】连接BP，易知△SBEC ＝△SBEP＋△SBCP，所以111·BE·CM＝·BE·PR＋·BC·PQ，由BC222＝BE，等号两边同时约掉，剩下CM＝PR＋PQ，所以CM＝连接BP，过C作CM⊥BD，22BC＝. 22∵△SBEC ＝△SBEP＋△S BCP＝BC×PQ×11＋BE×PR×22＝BC×（PQ＋PR）×1 2＝BE×CM×12，BC＝BE，∴PQ＋PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝2BC＝2，又∵BC＝CD，CM＝BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，12∴CM＝BD＝，22即PQ＋PR值是AERMB22Q．DPC【对于填空选择题，可用特殊值法！】例题3如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则B B＋C C ＋D D的最大值为，最小值为．D CPC'B'D'A B答案：2，2.【解析】连接AC、DP，S＝1×1×1，正方形A BCD由勾股定理得：AC＝12 12 ＝2，∵AB＝1，∴1≤AP≤2，SDPC＝SAPC＝12AP×C C ，1＝S正方形A BCD＝SABP＋SADP＋SDPC＝12AP（B B＋C C ＋D D），B B＋CC ＋D D＝∵1≤AP≤2，2AP，2≤B B＋C C ＋D D≤2，D CPC'B'D'A B【巩固练习】1、如图，点P为等边△ABC内任意一点，AB＝2，则点P到△ABC三边的距离之和为.2、如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF的长为.3、如图，D是△R t ABC斜边AB上一点，且B D＝BC＝AC＝1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE ⊥AB于点E，则PE＋PF的值是.4.如图，已知直线y＝2x－2上有一动点Q，点P坐标为（－1，0），则PQ的最小值为.【请用等积法】图4图55.如图，在△R t ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3.，则PE＋PF＝.ADFPEB C6.将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a²＋b²＝c².7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF ⊥AC，E、F为垂足．求证：PE＋PF＝AB．ADE FB P C8．如图，平行四边形ABCD中，AB: BC＝3:2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE:EB＝1:2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求证：DP CEDQ AFD CFP QA E B9.在△ABC中，AB＝13，BC＝14．（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD＝5，则△ABC的面积为；（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH＝x，AE＝m，CF＝n，请用含x的代数式表示m＋n，并求m＋n的最大值和最小值．A AFE HD C B DB图1 10．【问题情境】图2C张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F ．求证：PD＋PE ＝CF．A A ADF F FDB P ECDB PG EC B C EP图1图2图3小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE ＝CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD＋PE ＝CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；E DAGPBCH FC'图4【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝23dm，AD＝3dm，BD＝37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．A M E NBCD图5参考答案 1.答案：3.2.答案：3.答案：60 132 2..【解析】如图所示，过C作CH A B于H，D是Rt ABC斜边AB上一点，且BD BC AC 1，2C H ，2SBDC 112 BD g CH 12222，又Q SBCD SBPCSBPD1111BD g PE BC g PF 1PE 1PF，2222P E PF22．CFAPD E H B4.答案：45 5.【解析】如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，过点Q作QC＋QB，则∵y＝2x－2∴A（0，－2），B（1，0）∵△PQB∽△AOB∴BQ PB＝OB AB∵AB＝OBBQ2∴＝1525∴BQ＝52OA2＝5，PB＝2，OB＝1∴PQ＝PB2BQ2251645＝4－＝＝.55525.答案：65 5.如图作BM⊥AC于M，连接PD．ADFP MEB C∵∠ABC＝90°，AD＝DC，AB＝6，BC＝3，∴BD＝AD＝DC，AC＝AB2BC2＝35，∵11·AB·BC＝·AC·BM，22∴BM＝655，∴SABD ＝SADP＋SBDP，∴111·AD·BM＝·AD·PF＝·BD·PE，222∴PE＋PF＝BM＝655．ADFP MEB C6.答案：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a．∵S四边形ADCB ＝SACD＋SABC＝11b²＋ab．22又∵S四边形ADCB ＝SADB＋SDCB＝11c²＋a（b－a）22∴1111b²＋ab＝c²＋a（b－a）2222∴a²＋b²＝c².c AaAcbDaED b Eb cbcFC a BC a B F 图1图2请参照上述证法，利用图2证明：a²＋b²＝c²．【解析】连结BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF＝b－a，∵S又S五边形ACBED五边形ACBED ＝S＝SACBACB＋S＋SABEABD＋S＋SADEBDE＝＝111ab＋b²＋ab，222111ab＋c²＋a（b－a），222∴111111ab＋b²＋ab＝ab＋c²＋a（b－a），222222∴a²＋b²＝c².A cbDaEbcC a B F7.【解析】过P作PG⊥AB于G，交BD于O，∵PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°，∴四边形AGPF是矩形，∴AG＝PF，PG∥AC，∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP，∴OB＝OP，∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°，在△BGO和△PEO中BGO PEOGOB EOPOB OP∴△BGO≌△PEO，∴PE＝BG，∵AB＝BG＋AG，∴PE＋PF＝AB．ADG EOFB P C8.【解析】连接DE、DF，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：SDEC SDFA12S平行四边形ABCD，即11AF×DF＝CE×DQ22，∴AF×DP＝CE×DQ，∴.DQ AFD CFA PEQB9.【解析】（1）在△R t ABD中，AB＝13，BD＝5，∴AD＝AB2－BD2 ＝132－52 ＝12.∵BC＝14，∴△SABC ＝11BC·AD＝×14×12＝84.22故答案为：84．（2）∵△SABC ＝S△A BH＋S△B HC，∴11BH·AE＋BH·CF＝84．22∴xm＋xn＝168.∴m＋n＝168 x∵AD＝12，DC＝14－5＝9，∴AC＝AD2CD2＝15，∵m＋n与x成反比，∴当BH⊥AC时，m＋n有最大值．∴（m＋n）BH＝AC·BH．∴m＋n＝AC＝15.∵m＋n与x成反比，∴当BH值最大时，m＋n有最小值．∴当点H与点C重合时m＋n有最小值．∴m＋n＝168 14，∴m＋n等于12.∴m＋n的最大值为15，最小值为12．10.【解析】DP CE【问题情境】证明：（小军的方法）连接 AP ，如图②∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，且 ＝＋ ，△S ABC △S ABP △SACP∴ 1 11AB ·CF ＝ AB ·PD ＋ AC ·PE .2 2 2 ∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD ＋PE ．（小俊的方法）过点 P 作 PG ⊥CF ，垂足为 G ，如图②． ∵PD ⊥AB ，CF ⊥AB ，PG ⊥FC ，∴∠CFD ＝∠FDP ＝∠FGP ＝90°∴四边形 PDFG 是矩形．∴DP ＝FG ，∠DPG ＝90°.∴∠CGP ＝90°∵PE ⊥AC ，∴∠CEP ＝90°，∴∠PGC ＝∠CEP .∵∠BDP ＝∠DPG ＝90°，∴PG ∥AB .∴∠GPC ＝∠B .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∴∠GPC ＝∠ECP .在△PGC 和△CEP 中，PGC CEP GPC ECP PC CP∴△PGC ≌△CEP .∴CG ＝PE . CF ＝CG ＋FG＝PE ＋PDAFDG E B PC【变式探究】证明：连接 AP ，如图③． ∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF＝AB ，且＝ － ， △S ABC △S ABP △S ACP ∴ 1 1 1 AB ·CF ＝ AB ·PD － AC ·PE . 2 2 2∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD －PE .ADFGB C EP【结论运用】过点 E 作 EQ ⊥BC ，垂足为 Q ，如图④，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠C ＝∠ADC ＝90°.∵AD ＝8，CF ＝3，∴BF ＝BC －CF ＝AD －CF ＝5.由折叠可得：DF ＝BF ，∠BEF ＝∠DEF ． ∴DF ＝5.∵∠C ＝90°，∴DC ＝DF 2－CF 2 ＝ 5 2 －32 ＝4.∵EQ ⊥BC ，∠C ＝∠ADC ＝90°，∴∠EQC ＝90°＝∠C ＝∠ADC . ∴四边形 EQCD 是矩形.∴EQ ＝DC ＝4.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB.∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB.∴BE＝BF.由问题情境中的结论可得：PG＋PH＝EQ．∴PG＋PH＝4.∴PG＋PH的值为4.AG EPDBQ H FC'C【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤．∵AD·CE＝DE·BC，∴AD BC＝. DE EC∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE＝∠BCE＝90°.∴△ADE∽△BCE.∴∠A＝∠CBE.∴FA＝FB.由问题情境中的结论可得：ED＋EC＝BH．设DH＝x dm，则AH＝AD＋DH＝（3＋x）dm．∵BH⊥AF，∴∠BHA＝90°.∴BH²＝BD²－DH²＝AB²－AH².∵AB＝213，AD＝3，BD＝37，∴（37）²－x²＝（213）²－（3＋x）².解得：x＝1．∴BH²＝BD²－DH²＝37－1＝36.∴BH＝6dm.∴ED＋EC＝6.∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分别为AE、BE的中点，11∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE.22∴△DEM与△CEN的周长之和＝DE＋DM＋EM＋CN＋EN＋EC＝DE＋AE＋BE＋EC＝DE＋AB＋EC＝DE＋EC＋AB＝6＋23∴△DEM与△CEN的周长之和为（6＋23）dm.A M E NBCDHF。
初中数学几何辅助线之等面积法
一、等面积法
1、如图，在三角形ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，若AB=5，BC=12，AC=13，试求出BD 的长。
2、在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB 于D 。
（1）如图①，P 为BC 上一个动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，是判断线段PE 、PF 、CD 之间的关系并证明。
（2）如图②，当点P 移动到BC 的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立请加以证明，若不成立，请说明理由并指出新的关系式。
3、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且AE=AF ，BG ⊥AF 于G ，DH ⊥AE 于H 。
证明：BG=DH 。
C
①
4、已知□ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F 。
若DE=5，DF=8，求□ABCD 的边AB 、BC 的长和BE+BF 的长。
5、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，P 为边AB 上一个动点，过P 做PE ⊥AC 于E ，作PF ⊥BD 于F 。
若AB=8cm ，AD=6cm ，求PE+PF 的长。
D
A
A。
等面积法求解技巧
等面积法求解技巧在数学中，等面积法（也称为等积分法）是一种利用面积的性质来求解问题的方法。
它的基本原理是将一个复杂的几何或代数问题转化为一个计算面积的问题，然后通过计算面积来得到问题的解答。
在这篇文章中，我将介绍一些等面积法的基本技巧和应用。
首先，让我们来了解一下等面积法的基本思想。
对于一个几何或代数问题，我们通常可以找到一些已知的条件和一些未知的量。
等面积法的关键就是利用已知条件构造一个与问题相关的图形，并利用这个图形的面积性质来求解未知量。
通过找到一个和问题等面积的简单图形，我们可以将复杂的问题转化为求解一个简单的图形面积问题。
接下来，我将介绍一些常用的等面积法技巧。
第一，面积的保存性质。
对于一个区域，它的面积是不变的。
这意味着，如果我们将一个图形分割成若干个区域，然后计算每个区域的面积，再将这些面积加起来，就应该等于整个图形的面积。
这个性质可以用来解决一些复杂的几何问题。
例如，如果我们想要求解一个三角形的面积，但是这个三角形的形状很复杂，不容易计算，我们可以将这个三角形分割成若干个简单的三角形和矩形，然后分别计算它们的面积，再将这些面积加起来就得到了整个三角形的面积。
第二，平行四边形的面积公式。
对于一个平行四边形，它的面积可以通过底边长和高来计算。
如果我们知道了一个平行四边形的面积，但是不知道它的底边长，我们可以利用等面积法来求解底边长。
我们可以将这个平行四边形分割成一个矩形和两个三角形，然后利用已知的面积和高计算出矩形的底边长，再利用三角形的面积公式计算出每个三角形的底边长，最后将矩形的底边长和两个三角形的底边长加起来就得到了平行四边形的底边长。
第三，代数方程与几何图形的面积联系。
很多代数问题可以通过与几何图形的面积联系起来来求解。
例如，如果我们要求解一个关于x的代数方程，我们可以将这个方程表示为一个几何图形的面积问题，然后利用求解几何图形面积的方法来求解代数方程。
例如，如果我们要求解方程x^2 + x - 6 = 0，我们可以将它表示为一个长为x，宽为x+1的矩形的面积等于6的问题，然后利用矩形面积公式求解x的值。
中考热点专题：做母题练变式得方法提成绩第二十九讲：二次函数与几何综合中等积问题
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〖例〗
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等积变形：同底等高的两个三角 形面积相等。
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根据等积列方程求解 注意取值范围， 避免多解问题
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谢谢观看
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第二十九讲
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〖题眼〗中考热点微专题
〖核心〗 1、等积变形：同底（等底）等高（同 高）的两个三角形面积相等。 2、全等形等积。 3、根据等积列方程求解 4、注意动点确定横纵坐标的取值范围， 避免漏解或多解问题
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中考数学十大解题思路之等积法
等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。
它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。
在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。
下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：
一．求三角形的高
例1.如图1所示，在△ABC 中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB 边上的高CD 的长.
解：在△ABC 中，
.10010,10086222222===+=+AB AC BC
.222AB AC BC =+∴
∴△ABC 是直角三角形.
利用三角形面积计算公式得,
.2
121CD AB BC AC ⋅=⋅ 即8.410
68=⨯=⋅=AB BC AC CD 二．求图形的面积
例2. 如图2所示，⊙O 的半径为
3，OA=6,AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，
连接AC ，则图中阴影部分的面积是多
少？
分析：连接OB 、OC ，将图中不规
则的阴影部分的面积转化为扇形0BC
的面积是解决此问题的切入点和关
键.
解:连接OB 、OC ，
由BC ∥OA 知，△OCB 与△ACB 的
边CB 上的高相等.
故由等积性质可知,CB ACB S S 0∆∆=
易知，∠BOC=
60.
所以ππ2
336036020=⨯==CB S S 扇形阴影. 三.求三角形内切圆半径 例3.如图3所示,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C= 90，AC=4，BC=3.
求
⊙O 的半径.
解:设⊙O 的半径为r ，连接0A 、0B 、OC 、OE 、OF 、OG..
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴OG ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，且
OE=OF=OG=r.
在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
.5432222=+=+=AC BC AB
于是由ACO BCO ABO ABC S S S S ∆∆∆∆++=，得
.2
1212121AC BC r AC r BC r AB ⋅=⋅+⋅+⋅ 即 .)(AC BC r AC BC AB ⋅=++ ∴.14
3543=++⨯=++⋅=
AC BC AB AC BC r 四．求函数的解析式
例4．如图4所示，线段AB=8，直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，P 是直线m 上的一点,PB 交以AB 为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式.
分析：因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BP ，又因为把直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，所以DO ⊥AB,BP 和AC 看成三角形的底和高，于是很自然地连接AP 、OD ，利用同一个三角形的面
积相等的性质，就可以得到x 与y 的关系.
解:连结AP ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AC ⊥BP.
又∵直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，
∴DO ⊥AB
即△ABP 的AB 边上的高是4,
∴,42
121⨯=⋅AB AC BP 即xy=8×4. x
y 32= (x ＞4). 五.在探究规律题中的应用
例5.如图-5所示，将一个边长为1的正方形平均分成两个面积是
21矩形，又将一个面积为21矩形平均分成两个面积是4
1的矩形，再将一个面积为41的矩形平局分成两个面积是8
1的矩形，如此进行分割下去，如果分割n 次后，按图中揭示的规律计算： n 2
121212*********++++++ 分析：分割图形后各部分面积之和等于原图形
的面积根,得
.2
1221121212121161814121444432-=-=+++=+++ 于是利用这个规律就可以把问题解决.
解：n 2
121212*********++++++ =.212211n n n -=- 总之，等面积法是一种重要的数学解题思想方法。
利用此法解决相关数学问题时，不但思路清晰、过程简捷，而且更能体现出知识间的相互联系，更有利于培养学生的数学思维能力，发展学生的数学能力。
在数学解题教学中值得借鉴。