风险、收益和资产定价模型
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R=β RM+ε
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该公式给出的证券收益模型通常换一种写法，以使 余项ε 的平均值等于0。其中ε 是一段时期内平均值 为0的非系统性收益。这样上述公式可表示如下：
R=a+β RM+ε
式中，R—证券收益；ε —长期平均值为0。
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第四章
风险、收益和 资产定价模型
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本章目录
4.1 资产组合理论 4.2 资本资产定价模型（CAPM） 4.3 多因素CAPM定价模型
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4.1 资产组合理论
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投资收益率
投资者投资于一项资产组合的目的，就是在愿意接受 风险的条件下，寻求预期收益最大化。对于一项组合资 产而言，其在某一特定时期的资产组合的收益，等于资 产组合的变化加上资产组合的收益（股息、利息等）， 再除以资产组合的最初价值。用公式表示为：
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实践中我们处理这两个问题的方法是，首先计算在一个合 理的较短的单位时期内也许一个季度或更短的收益率。而跨越 若干相关的单位时期收益率，则由对单位时期的收益率进行平 均而求得。计算方法有三：算术平均收益率、时间加权收益率 和货币加权收益率。其计算公式是： （1）算术平均收益率：
资产组合系统风险性=β pσ m
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资产组合的β 值则可以通过单个证券的β 值及在资产组 合中每项资产所占的比重予以确定：
β p=X1β 1+ X2β 2+…+Xnβ n
或
n
P X i i i 1
式中：Xi—证券I在资产组合中所占的比重；N—资产组合 中证券的种数。
E(rp)= E(Rp)-RJ E(rm)= E(RM)-RJ 将以上二式代入方程：
E(Rp)= Rσ +β p[E(RM)-Rσ ] 则有：E(rp)= β p E（rm）
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表4—4 β值 0
β 系数和预期收益 0.5 1.0 1.5 2.0
预期 6
8
10 12 14
σ p2=P1[R1-E(Rp)]2+P2[R2-E(Rp)]2…+PN[RN-E（Rp）]2
或
N
P2 Pj[Rj E(RP)]2 j1 www.themegallery.com
（2）标准差( P ) 标准差被定义为方差的平方根.其公式为: N
P Pj[Rj E(RP)]2 j1
E(ri)= β if1E（rfl）+β if2E（rf2）+β ifj E（rfj）
这个公式即APT模型。
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投资组合风险
证券组合的预期收益
表4-1
五种可能的收益
结果
1 2 3 4 5
可能的收入
50% 30% 10% -10% -30%
主观可能性
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
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接上
注意，概率之和为1。预期收益是各种可能收入的简单 加权平均值，其中权重是各自相对发生概率。一般地， 组合的预期收益以E（RP）表示，可以写成：
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投资多样化
表4—2
资产组合 中的
股票数量
1 2 3 4 5 10 15 20
A+组股票风险与多样化 1960年6月—1970年5月
平均收 益率
收益率 标准差
与整个股市场的相关度
R
R2
0.88
7.0
0.54
0.29
0.69
5.0
0.63
0.40
0.74
4.8
0.75
在20世纪的70年代和80年代，对CAPM模型进行 的证实研究的主要结果可以概括如下：
研究证据普遍表明，已实现的收益率和 系统风险之间存在着明显的正相关关系
风险与收益的关系为线性关系
关于试图评估系统性风险和非系统性风险作 用的验证，没有得到确定的结果
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4.3 多因素CAPM定价 模型
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多因素CAPM定价模型
穆 顿 推 导 的 模 型 被 称 为 “ 多 因 素 CAPM”（Nultifactor CAPM）。该模型又表示如下：
E(rp)=β PME(rm)+β pflE(rfl)+ β pf2E(rf2)+…+β pfkE(rfk)
式中：K—市场外在风险的因素数量；β pfk—第K项 因素对资产组合影响的敏感性系数；E（rfk）—第K项 因素的预期收益减去无风险利率。所以，超市场因素 风险等于：
收益
率
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Fra Baidu bibliotek 资本资产定价模型的基本假定
市场是由厌恶风险的投资者组成的
所有投资者在进行其投资决策时， 都有一个普通的时间期间（如一个月、一年等）
所有投资者对未来的预期都是相同的， 他们对将来的证券风险和收益有相同的估计
在资本市场上，所有资产都可以完全细分， 没有交易成本和差别税收
将β P=X代入到上式中，有：
E（Rp）=(1-β p)·RJ+β P·E（RM）
或E（Rp）=RJ[E（RM）-RJ]
该公式就是资产定价模型。
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CAPN模型通常还用“风险溢价”或“超额回报” 形式表示。风险溢价形式通常等于回报率减去无风险 回报率。假如资产组合的预期收益分别为E(rp)和E(rm) 并有：
E(Rp)=R1P1+R2P2+…+RnPn
或
n
E(RP ) Pj Rj
j 1
式中：Rj—可能收益；Pj—相应的概率；n—可能收入 的个数。
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预期收益的可变性
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现在需要选择一个测量收益率总变动的指标。最常用的测 量标准是收益率的方差、标准差。 （1）收益率的方差。组合的方差，以σ p2表示，为：
极限值
3.51 3.80 4.22 4.13 5.89 5.84
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β 值的计算
一个证券或一个资产组合的β 值只能 通过回归统计历史数据的方法才能得到。
线性回归方程可由作图法求得。 在计算β 值时，也可以用最小二乘法 找出一条最佳拟合回归线。
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RP
V1
V0 D1 V0
式中：V1—期末的资产组合的市场价值；V0—期初的资 产组合的市场价值；D1—在一定时期投资者得到的收益 （股息、利息等）。
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从理论上讲，这种计算收益率的方法可以用于任何 一段时期，比如1个月或10年。但是这会引发如下问题： 第一，显然这种方法若用于长期，如多于几个月， 则不太可靠，因为其基本假定之一是所有的现金支付和 资金流入都发生在期末，若两笔投资收益率相同，则支 付较早的一笔的收益就被低估了； 第二，我们不能根据这一公式对一个月期的投资和 一年的组合投资的收益率进行比较，对于收益率的比较， 必须以单位时期来表示，如一年。
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表4—3
包含20种股票的资产组合标准差和预测的极限值的关系
股票组 别
A+ A AB+ B B-及C
含20种股票的资产组 合的标准差
3.94 4.17 4.52 4.45 5.27 5.32
各组股票的平均 β值
0.74 0.80 0.89 0.87 1.24 1.23
R AR P 1R P 2R N P 3 R P N
式 中 ： RA— 算 术 平 均 收 益 率 ； RPK—K 期 间 资 产 的 收 益 率 （K=1，2，3…，N）；N—期间数。
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（2）时间加权收益率： RT=[（1+RP1）（1+ RP2）…（1+RPN）]1/N-1 式中：RT—时间加权收益率；RPk—K期间资产收益 率；N—期间数。
4.2 资本资产定价模型 （CAPM）
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资本资产定价模型
根据原理，我们可以得出复合的资产组合的预期 收益，由于资产组合的预期收益同样也是预期收益 的加权平均值，所以有：
E（RP）=（1-X）RJ+XE（RM）
式中：E（RP）和E（RM）—资产组合的预期收益 和市场的预期收益；RJ—无风险利率。
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通过数学计算，可以推算出均衡定价的条件：
R(ri)= β ifjE（rfl）
式中：ri—证券i高于无风险利率的超额回报；β ifj——第i种 证券对第j个因素的敏感性；rfj—第j个系统性因素的高于无风 险利率的超额回报，这一回报可以看作第j个系统性风险的价格 （或风险溢价）。 将公式扩展为H个影响因素，i个证券，则有如下关系式：
这个公式通常被称为“市场模型”。从式中可以看 出，它可以在坐标系中用一条直线来表示（见图4—3）。 依据方程画出的下线有时称为“资本市场线”。
图4—3证券收益率市场模型 β ：市场灵敏度指标，是直线的斜率。 α ：收益率残值的平均值，是证券收益率轴的截距。 E： 收益率残值，是实际收益率点到直线的垂直距离。
Ri为证券i（i=1,2,3,）的随机收益率 E（Ri）为证券i（i=1,2,3,）的预期收益 β ih为第i种证券对第h个因素的敏感性指数 Fn为影响三种证券共同的第n种影响因素
ei为证券i 的非系统性收益 这样，根据APT模型，证券的随机收益率有如下的关系：
Ri=E（Ri）+β ih+β i2+F2+ei
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用市场模型来刻画证券收益，使得我们能很方便地确定系 统性和非系统性风险。证券系统性风险等于市场收益的标准差 乘以β 值，非系统性风险等于非系统性收益的标准差σ t,也即：
系统性风险=m 非系统性风险t
有了个别证券系统性风险的计量模型，就可以计算出资 产组合的系统性风险。它等于资产组合的β p因子乘以市场风 险指数σ m。即：
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APM模型的验证
由于CAPM包括广义的资产组合，因此，实证验证 可以建立在对个别证券和组合证券两种证券进行验证 的基础上。对个别证券进行验证而得到的风险收益替 代关系的估计，并不是最好的方法，原因主要有二：
“基础不同的错误”
“收益偏差效果”
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0.56
0.65
4.6
0.77
0.59
0.71
4.6
0.79
0.62
0.68
4.2
0.85
0.72
0.69
4.0
0.88
0.77
0.67
3.9
0.89
0.80
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图4-2 系统性和非系统性风险
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个别证券的风险
证券收益=系统性收益+非系统性收益 由于系统收益是市场性收益的一定比例，它可用一 个符号β 乘以市场收益（RM）来表示。符号β 有时 称为β 值，表明了系统收益对市场收益水平变动的 敏感性，因此有时也称为“市场敏感指数”。 非系统性收益通常用ε 表示，这样证券收益可以表 达成：
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（3）货币加权收益率：
V 0(1 C R 1D )(1 C R 2 D )2(C 1 KR D V )N N
式中：RD—货币加权收益率；V0—资产组合期初市场 价值；VN—资产组合期末市场价值；Ck—资产组合在 K期间的净现金流量（现金流入减现金流出，K=1，2， 3，4，5，…，N）。
β pflE(rfl)+ β pflE(rf2)+…+β pflE(rfk)
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4.4 套利定价理论模型
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套利定价理论模型
为了描述APT模型，在这里我们假定一个资产组合中包括 了三种证券，这三种证券受两种因素的影响。其中：
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该公式给出的证券收益模型通常换一种写法，以使 余项ε 的平均值等于0。其中ε 是一段时期内平均值 为0的非系统性收益。这样上述公式可表示如下：
R=a+β RM+ε
式中，R—证券收益；ε —长期平均值为0。
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第四章
风险、收益和 资产定价模型
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4.1 资产组合理论 4.2 资本资产定价模型（CAPM） 4.3 多因素CAPM定价模型
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4.1 资产组合理论
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投资收益率
投资者投资于一项资产组合的目的，就是在愿意接受 风险的条件下，寻求预期收益最大化。对于一项组合资 产而言，其在某一特定时期的资产组合的收益，等于资 产组合的变化加上资产组合的收益（股息、利息等）， 再除以资产组合的最初价值。用公式表示为：
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实践中我们处理这两个问题的方法是，首先计算在一个合 理的较短的单位时期内也许一个季度或更短的收益率。而跨越 若干相关的单位时期收益率，则由对单位时期的收益率进行平 均而求得。计算方法有三：算术平均收益率、时间加权收益率 和货币加权收益率。其计算公式是： （1）算术平均收益率：
资产组合系统风险性=β pσ m
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资产组合的β 值则可以通过单个证券的β 值及在资产组 合中每项资产所占的比重予以确定：
β p=X1β 1+ X2β 2+…+Xnβ n
或
n
P X i i i 1
式中：Xi—证券I在资产组合中所占的比重；N—资产组合 中证券的种数。
E(rp)= E(Rp)-RJ E(rm)= E(RM)-RJ 将以上二式代入方程：
E(Rp)= Rσ +β p[E(RM)-Rσ ] 则有：E(rp)= β p E（rm）
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表4—4 β值 0
β 系数和预期收益 0.5 1.0 1.5 2.0
预期 6
8
10 12 14
σ p2=P1[R1-E(Rp)]2+P2[R2-E(Rp)]2…+PN[RN-E（Rp）]2
或
N
P2 Pj[Rj E(RP)]2 j1 www.themegallery.com
（2）标准差( P ) 标准差被定义为方差的平方根.其公式为: N
P Pj[Rj E(RP)]2 j1
E(ri)= β if1E（rfl）+β if2E（rf2）+β ifj E（rfj）
这个公式即APT模型。
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投资组合风险
证券组合的预期收益
表4-1
五种可能的收益
结果
1 2 3 4 5
可能的收入
50% 30% 10% -10% -30%
主观可能性
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
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接上
注意，概率之和为1。预期收益是各种可能收入的简单 加权平均值，其中权重是各自相对发生概率。一般地， 组合的预期收益以E（RP）表示，可以写成：
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投资多样化
表4—2
资产组合 中的
股票数量
1 2 3 4 5 10 15 20
A+组股票风险与多样化 1960年6月—1970年5月
平均收 益率
收益率 标准差
与整个股市场的相关度
R
R2
0.88
7.0
0.54
0.29
0.69
5.0
0.63
0.40
0.74
4.8
0.75
在20世纪的70年代和80年代，对CAPM模型进行 的证实研究的主要结果可以概括如下：
研究证据普遍表明，已实现的收益率和 系统风险之间存在着明显的正相关关系
风险与收益的关系为线性关系
关于试图评估系统性风险和非系统性风险作 用的验证，没有得到确定的结果
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4.3 多因素CAPM定价 模型
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多因素CAPM定价模型
穆 顿 推 导 的 模 型 被 称 为 “ 多 因 素 CAPM”（Nultifactor CAPM）。该模型又表示如下：
E(rp)=β PME(rm)+β pflE(rfl)+ β pf2E(rf2)+…+β pfkE(rfk)
式中：K—市场外在风险的因素数量；β pfk—第K项 因素对资产组合影响的敏感性系数；E（rfk）—第K项 因素的预期收益减去无风险利率。所以，超市场因素 风险等于：
收益
率
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Fra Baidu bibliotek 资本资产定价模型的基本假定
市场是由厌恶风险的投资者组成的
所有投资者在进行其投资决策时， 都有一个普通的时间期间（如一个月、一年等）
所有投资者对未来的预期都是相同的， 他们对将来的证券风险和收益有相同的估计
在资本市场上，所有资产都可以完全细分， 没有交易成本和差别税收
将β P=X代入到上式中，有：
E（Rp）=(1-β p)·RJ+β P·E（RM）
或E（Rp）=RJ[E（RM）-RJ]
该公式就是资产定价模型。
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CAPN模型通常还用“风险溢价”或“超额回报” 形式表示。风险溢价形式通常等于回报率减去无风险 回报率。假如资产组合的预期收益分别为E(rp)和E(rm) 并有：
E(Rp)=R1P1+R2P2+…+RnPn
或
n
E(RP ) Pj Rj
j 1
式中：Rj—可能收益；Pj—相应的概率；n—可能收入 的个数。
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预期收益的可变性
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现在需要选择一个测量收益率总变动的指标。最常用的测 量标准是收益率的方差、标准差。 （1）收益率的方差。组合的方差，以σ p2表示，为：
极限值
3.51 3.80 4.22 4.13 5.89 5.84
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β 值的计算
一个证券或一个资产组合的β 值只能 通过回归统计历史数据的方法才能得到。
线性回归方程可由作图法求得。 在计算β 值时，也可以用最小二乘法 找出一条最佳拟合回归线。
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RP
V1
V0 D1 V0
式中：V1—期末的资产组合的市场价值；V0—期初的资 产组合的市场价值；D1—在一定时期投资者得到的收益 （股息、利息等）。
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从理论上讲，这种计算收益率的方法可以用于任何 一段时期，比如1个月或10年。但是这会引发如下问题： 第一，显然这种方法若用于长期，如多于几个月， 则不太可靠，因为其基本假定之一是所有的现金支付和 资金流入都发生在期末，若两笔投资收益率相同，则支 付较早的一笔的收益就被低估了； 第二，我们不能根据这一公式对一个月期的投资和 一年的组合投资的收益率进行比较，对于收益率的比较， 必须以单位时期来表示，如一年。
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表4—3
包含20种股票的资产组合标准差和预测的极限值的关系
股票组 别
A+ A AB+ B B-及C
含20种股票的资产组 合的标准差
3.94 4.17 4.52 4.45 5.27 5.32
各组股票的平均 β值
0.74 0.80 0.89 0.87 1.24 1.23
R AR P 1R P 2R N P 3 R P N
式 中 ： RA— 算 术 平 均 收 益 率 ； RPK—K 期 间 资 产 的 收 益 率 （K=1，2，3…，N）；N—期间数。
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（2）时间加权收益率： RT=[（1+RP1）（1+ RP2）…（1+RPN）]1/N-1 式中：RT—时间加权收益率；RPk—K期间资产收益 率；N—期间数。
4.2 资本资产定价模型 （CAPM）
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资本资产定价模型
根据原理，我们可以得出复合的资产组合的预期 收益，由于资产组合的预期收益同样也是预期收益 的加权平均值，所以有：
E（RP）=（1-X）RJ+XE（RM）
式中：E（RP）和E（RM）—资产组合的预期收益 和市场的预期收益；RJ—无风险利率。
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通过数学计算，可以推算出均衡定价的条件：
R(ri)= β ifjE（rfl）
式中：ri—证券i高于无风险利率的超额回报；β ifj——第i种 证券对第j个因素的敏感性；rfj—第j个系统性因素的高于无风 险利率的超额回报，这一回报可以看作第j个系统性风险的价格 （或风险溢价）。 将公式扩展为H个影响因素，i个证券，则有如下关系式：
这个公式通常被称为“市场模型”。从式中可以看 出，它可以在坐标系中用一条直线来表示（见图4—3）。 依据方程画出的下线有时称为“资本市场线”。
图4—3证券收益率市场模型 β ：市场灵敏度指标，是直线的斜率。 α ：收益率残值的平均值，是证券收益率轴的截距。 E： 收益率残值，是实际收益率点到直线的垂直距离。
Ri为证券i（i=1,2,3,）的随机收益率 E（Ri）为证券i（i=1,2,3,）的预期收益 β ih为第i种证券对第h个因素的敏感性指数 Fn为影响三种证券共同的第n种影响因素
ei为证券i 的非系统性收益 这样，根据APT模型，证券的随机收益率有如下的关系：
Ri=E（Ri）+β ih+β i2+F2+ei
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用市场模型来刻画证券收益，使得我们能很方便地确定系 统性和非系统性风险。证券系统性风险等于市场收益的标准差 乘以β 值，非系统性风险等于非系统性收益的标准差σ t,也即：
系统性风险=m 非系统性风险t
有了个别证券系统性风险的计量模型，就可以计算出资 产组合的系统性风险。它等于资产组合的β p因子乘以市场风 险指数σ m。即：
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APM模型的验证
由于CAPM包括广义的资产组合，因此，实证验证 可以建立在对个别证券和组合证券两种证券进行验证 的基础上。对个别证券进行验证而得到的风险收益替 代关系的估计，并不是最好的方法，原因主要有二：
“基础不同的错误”
“收益偏差效果”
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0.56
0.65
4.6
0.77
0.59
0.71
4.6
0.79
0.62
0.68
4.2
0.85
0.72
0.69
4.0
0.88
0.77
0.67
3.9
0.89
0.80
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图4-2 系统性和非系统性风险
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个别证券的风险
证券收益=系统性收益+非系统性收益 由于系统收益是市场性收益的一定比例，它可用一 个符号β 乘以市场收益（RM）来表示。符号β 有时 称为β 值，表明了系统收益对市场收益水平变动的 敏感性，因此有时也称为“市场敏感指数”。 非系统性收益通常用ε 表示，这样证券收益可以表 达成：
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（3）货币加权收益率：
V 0(1 C R 1D )(1 C R 2 D )2(C 1 KR D V )N N
式中：RD—货币加权收益率；V0—资产组合期初市场 价值；VN—资产组合期末市场价值；Ck—资产组合在 K期间的净现金流量（现金流入减现金流出，K=1，2， 3，4，5，…，N）。
β pflE(rfl)+ β pflE(rf2)+…+β pflE(rfk)
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4.4 套利定价理论模型
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套利定价理论模型
为了描述APT模型，在这里我们假定一个资产组合中包括 了三种证券，这三种证券受两种因素的影响。其中：