圆与相似、三角函数结合(二)

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【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。

中考数学圆与相似(大题培优易错难题)含答案解析

中考数学圆与相似(大题培优易错难题)含答案解析一、相似1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D.（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD.求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝ AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离.【答案】（1）证明：∵将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，∴∠ADP'＝∠ADP，∵AE∥PD，∴∠EAD＝∠ADP，∴∠EAD＝∠ADP'，∴AE＝DE（2）解：①∵DP∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴ = ，∵BC＝7，∴PD＝，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝ D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝＝ = ，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝，∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，∴CM＝，∴点D'到直线BC的距离为若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD'≌△DPA，∴AM＝PD＝，∵CM＝AC+AM，∴CM＝3+ ＝，∴点D'到直线BC的距离为综上所述：点D'到直线BC的距离为或；【解析】【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；②分点D'在直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC 的距离.2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DC2＝CE·CA，∴，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE~△CAD，∴∠CDE=∠CAD，又∵∠CBD=∠CAD，∴∠CDE=∠CBD，∴CD=CB.（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，由（1）知CD=CB，∴弧CD=弧CB，∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴，∵PB＝OB，∴PB=OB=OA=r，PO=2r，∴=2，∵CD=2，∴PC=4，PD=PC+CD=6，又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD，∴∠PCB=∠PAD，∵∠CPB=∠APD，∴△PCB~△PAD，∴，即，解得：r=4.即⊙O的半径为4.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得△CDE~△CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得∠CDE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得证.（2）连结OC，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理可得∠BOC=∠BAD，由平行线的判定得OC∥AD，根据平行线所截线段成比例可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似三角形的判定可得△PCB~△PAD，由相似三角形的性质可得，从而求得半径.3．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）解：，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴∥， .∵四边形是菱形，∴∥， .∴∥， .∴ .又∵，∴≌ .∴（2）解：方法1：过点作∥，交于点，∴ .∵，∴∽ .∴ .由（1）结论知 .∴ .∴ .∵四边形为菱形，∴ .∵四边形是平行四边形，∴∥ .∴ .∵∥，∴ .∴，即 .∴是等边三角形。

中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型

中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。

二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。

专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题-突破中考数学压轴题学霸秘笈大揭秘(学生版)

专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】例1 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠P AC=∠B．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB=12 ，求AC的长．例2如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接D P，使∠PDA＝∠ADC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AC＝3，tan∠PDC＝，求BC的长．例3已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，且AB=5，AD=4，在AD上取一点G，使AG=，点P是折线CB﹣BA上一动点，以PG为直径作⊙O交AC于点E，连结PE．（1）求sinC的值；（2）当点P与点B重合时如图②所示，⊙O交边AB于点F，求证：∠EPG=∠FPG；（3）点P在整个运动过程中：①当BC或AB与⊙O相切时，求所有满足条件的DE长；②点P以圆心O为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P′，当P′恰好落在AB边上时，求△OPP′与△OGE的面积之比（请直接写出答案）．例4已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥C P于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；[来源:]（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM的长．例5如图，已知在中，，，是边上一点，以为圆心，为半径的⊙与边的另一个交点为，连结、．（1）求△ABC的面积；（2）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）如果是直角三角形，求的长．例6已知如图，抛物线与轴相交于B(1，0)，C(5，0)两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A，B，C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N，交⊙P 于D．(1)填空:A点坐标是____，⊙P半径的长是_______，=____，=____，=____；(2)若S△BNC:S△AOB＝48:5，求N点的坐标；(3)若△AOB与以A，B，D为顶点的三角形相似，求MB·MD的值．【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．有下列结论：①MN=；②若MN与⊙O相切，则AM=；③若∠MON=90°，则MN与⊙O相切；④l1和l2的距离为2，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．3．如图，已知AD＝30，点B，C是AD的三等分点，分别以AB、BC、CD为直径作圆，圆心分别为E、F、G，AP切⊙G于点P，交⊙F于M、N，则弦MN的长是________．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为________.5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD ＝3，则AB的值是（）A．3 B．C．6 D．6．如图，五边形是边长为的正五边形，是正五边形的外接圆，过点作的切线，与、的延长线交分别于点和，延长、相交于点，那么的长度是________．7．如图，已知在⊙O中，直径AB＝4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于点H，连接AC，CF，BD，OD.(1)求证：△ACH∽△AFC；(2)猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；(3)探究：当点E位于何处时，S△AEC∶S△BOD＝1∶4？并加以说明．8．如图，是的直径，是上一点，，（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长.9．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D是劣弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB，CA的延长线于E，F两点．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．10．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD＝∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB＝弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sin∠D＝，求线段AF的长．12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥CE 于点D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）若AB＝10，CD＝4，求BC 的长．13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AE是弦，OG⊥AE于点G，交⊙O 于点D，连结BD交AE于点F，延长AE至点C，连结BC．(1)当BC=FC时，证明：BC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径，当tan A=，求GF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．（1）求证：PD∥CB；（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．15．如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？16．如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证: △BDA∽△CED.17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．18．如图，为的直径，，为上一点，且AC=BC，为BC上的一动点，延长至，使得，连接．（1）求证：直线是的切线；（2）若点由点运动到点，则线段扫过的面积是__________．（结果保留）19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，经过点A作AE⊥OC，垂足为点D，AE与BC交于点F，与过点B的直线交于点E，且EB＝EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若CD＝1，cos∠AEB＝，求BE的长．20．如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF。

初三圆综合

一对一“TSEP教学”教学案课题圆年级初三数学授课对象编写人周文春时间2014.5.17 学习目标熟悉并掌握圆的相关知识点与考点，能解答圆的综合性问题学习重点难点圆与相似三角形的结合教学过程T (测试)已知：如图，ABC∆内接于圆O，AB为直径，弦CE AB⊥于F，C是弧AD 的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是ACQ∆的外心；（2）若3tan,84ABC CF∠==,求CQ的长；（3）求证：2()FP PQ FP FG+=∙．S (归纳)1.三角形的“三心”2.圆心角与圆周角3.垂径定理4.三角函数的活用5.RT三角形的相似证明E (典例)【基础过关】1.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）（A）40°（B）50°（C）80°（D）100°2.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=，0C=1，则半径OB的长为_________ ．3.已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm4.已知圆O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切圆O于点C，连接AC，若角CAB=30度，求BD.5. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F．若⊙O的半径为2，则BF的长为（）（A）23（B）22（C）556（D）554【题型一：圆与三角函数结合，求线段、不规则图形面积】如图，⊙O的半径25r=，四边形ABCD内接圆⊙O，AC BD⊥于点H，P为CA 延长线上的一点，且PDA ABD∠=∠.（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由：（2）若3tan4ADB∠=，4333PA AH-=，求BD（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.【题型二：圆与相似三角形结合，利用三角函数求线段】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=25，求FG的长．【题型三：圆中线段求值，勾股定理与相似】已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥ A C，垂足为K。

2020春浙教版九年级中考数学复习测试：6.20圆与相似三角形的结合

第20讲圆与相似三角形的结合[学生用书P129]月球有多大？我们用三角函数可以测定月球的大小，当我们已知月球离地球的距离是三十八万四千千米，就可以用相似测定月球直径的大小．如图①，把一枚硬币(直径2.4 cm)放在离眼睛2.6 m的地方，大致能够把整个月面遮住．(试一试！)①②如图②，由△OAB∽△OCD，可得CDAB＝OFOE(相似三角形对应高的比等于相似比)．把AB＝0.024 m，OF＝384 000 000 m，OE＝2.6 m代入，得CD＝0.024×384 000 0002.6≈3 500 000(m)．就是说，月球的直径约是3 500 km.类型之一圆的基本性质与相似三角形例1[2018·南京中考]如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连结DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．【思路生成】(1)欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠F AG＝∠FDC，∠AGF ＝∠FCD；(2)首先证明CG是直径，再求CG长度即可解决问题；解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°，又∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC；(2)如答图，连结CG.答图∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴EAAF＝DADF，即EADA＝AFDF.∵△AFG∽△DFC，∴AGDC＝AF DF.∴AGDC＝EADA.在正方形ABCD中，DA＝DC，∴AG＝EA＝1，DG＝DA－AG＝4－1＝3. ∴CG＝DG2＋DC2＝32＋42＝5.∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径．∴⊙O的半径为5 2.圆与相似三角形的综合运用主要体现在以下几个方面：(1)证明圆中的比例式或等积式；(2)运用相似的性质进行圆的有关计算；(3)运用相似证明圆的切线．判定圆中的相似三角形(1)圆中的角主要有圆心角和圆周角，特别是直径所对的圆周角都是直角，利用圆心角、圆周角等寻找或构造相似三角形是基本思路；(2)利用圆的切线的判定或性质，或切线长定理寻找或构造相似三角形也是重要的方法．1．[太原竞赛]如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝11，BC＝5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为__73__．答图【解析】如答图，延长AC与圆相交于E，F，则AF＝5－11，AE＝5＋11，又AB＝6，由相交弦定理AD·AB＝AE·AF得AD＝AE·AFAB＝（5－11）（5＋11）6＝73.2．[第19届江苏竞赛]如图，AB为圆的直径，若AB＝AC＝5，BD＝4，则AE BE＝__724__．【解析】如答图，连结AD，答图∵AB为圆的直径，∴∠E＝90°，AD⊥BC，而AB＝AC＝5，BD＝4，则AD＝3，BD＝DC，∴BC＝2BD＝8，∵∠ACD＝∠BCE，∴Rt△CDA∽Rt△CEB，∴ADBE＝CDCE＝CABC，即3BE＝4CE＝58，所以BE＝245，CE＝325，则AE＝CE－AC＝325－5＝75，所以AEBE＝724.3．[苏州中考]如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E ，连结CD 交OE 于点F .(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连结OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求OEOD 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°.∴∠DEO ＝∠ACB . ∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC ，∴△DOE ∽△ABC ；(2)证明：∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A .∵∠A 和∠BDC 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ，∴∠ODE ＝∠BDC .∴∠ODF ＝∠BDE ；(3)∵△DOE ∽△ABC ，∴S △DOE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OD AB 2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1， ∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ，即S △BOC ＝2S 1.∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1，∴BE ＝12OE ，即OE ＝23OB ＝23OD ，∴OE OD ＝23.4．[2018·宁波中考]如图1，直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点⎝ ⎛⎭⎪⎫0<AC <165，以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E .连结OE 并延长交⊙A 于点F .(1)求直线l 的函数表达式和tan ∠BAO 的值． (2)如图2，连结CE ，当CE ＝EF 时． ①求证：△OCE ∽△OEA ； ②求点E 的坐标．(3)当点C 在线段OA 上运动时，求OE ·EF 的最大值．解：(1)∵直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)， ∴－34×4＋b ＝0，∴b ＝3，∴直线l 的函数表达式为y ＝－34x ＋3， ∴B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝OBOA＝3 4.(2)①证明：如答图①，连结DE，DF，∵CE＝EF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE，∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE，∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA；②如答图①，过点E作EM⊥OA于M，由①知，tan∠OAB＝3 4，设EM＝3m，则AM＝4m，∴OM＝4－4m，AE＝5m，∴E(4－4m，3m)，AC＝5m，∴OC＝4－5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE＝OEOA，∴OE2＝OA·OC＝4(4－5m)＝16－20m，∵E(4－4m，3m)，∴(4－4m)2＋9m2＝16－20m，解得m ＝0(舍)或m ＝1225，∴4－4m ＝5225，3m ＝3625， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫5225，3625.(3)如答图②，设⊙A 的半径为r ，设射线EA 与⊙A 相交于H ，过点O 作OG ⊥AB 于G ，连结FH ，答图①答图②∵A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝5，∴12AB ×OG ＝12OA ×OB ，∴OG ＝125， ∴AG ＝OG tan ∠OAB＝125×43＝165， ∴EG ＝AG －AE ＝165－r ，∵EH 是⊙A 直径， ∴EH ＝2r ，∠EFH ＝90°＝∠EGO ， ∵∠OEG ＝∠HEF ，∴△OEG ∽△HEF ， ∴OE HE ＝EG EF ，∴OE ·EF ＝HE ·EG ＝2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫165－r ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫r －852＋12825，∴r ＝85时，OE ·EF 取最大值为12825.类型之二圆的切线与相似三角形例2 [2018·成都]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结OF 交AD 于点G .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长； (3)若BE ＝8，sin B ＝513，求DG 的长．【思路生成】(1)连结OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；(2)连结DF ，由(1)得到BC 为⊙O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到△ABD 与△ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；(3)连结EF ，设圆的半径为r ，由sin B 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF ＝sin B ，进而求出DG 的长即可．解：(1)证明：如答图，连结OD ，答图∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，又⊙O过点D，∴BC为⊙O的切线；(2)如答图，连结DF，由(1)知BC为⊙O的切线，∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB，∵∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴ABAD＝ADAF，即AD2＝AB·AF＝xy，则AD＝xy；(3)如答图，连结EF，在Rt△BOD中，sin B＝ODOB＝513，设圆的半径为r，可得rr＋8＝513，解得r＝5，∴AE＝10，AB＝18，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∴sin ∠AEF ＝AF AE ＝513，∴AF ＝AE ·sin ∠AEF ＝10×513＝5013，∵AF ∥OD ，∴AG DG ＝AF OD ＝50135＝1013，即DG ＝1323AD ，∴AD ＝AB ·AF ＝18×5013＝301313，则DG ＝1323×301313＝301323.5．[2018·淄博中考]如图，以AB 为直径的⊙O外接于△ABC ，过A 点的切线AP 与BC 的延长线交于点P .∠APB 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，其中AE ，BD (AE <BD )的长是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个实数根．(1)求证：P A ·BD ＝PB ·AE ；(2)在线段BC 上是否存在一点M ，使得四边形ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．解：(1)证明：∵AP 为⊙O 的切线，AB 是直径，∴∠BAP ＝90°，即∠BAC ＋∠EAP ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BAC ＋∠DBP ＝90°，∴∠EAP＝∠DBP，又∵PD平分∠APB，∴∠APE＝∠BPD，∴△APE∽△BPD，∴P AAE＝PBBD，∴P A·BD＝PB·AE；(2)存在．如答图，过点D作DM⊥BC于点M，连结EM，答图∵PD平分∠APB，又AD⊥P A，DM⊥PM，∴DM＝DA，∵∠AED＝∠EAP＋∠APE，∠ADE＝∠DBP＋∠BPD，又由(1)知∠EAP＝∠DBP，∠APE＝∠BPD，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴DM＝AE，∵DM⊥BC，AC⊥BC，∴DM∥AC，∴四边形ADME为菱形，易得x2－5x＋6＝0的两个根为2，3，∵AE<BD，∴BD＝3，AE＝2，∵四边形ADME为菱形，∴DM＝AE＝AD＝2，在Rt△BDM中，BD＝3，DM＝2，∴BM＝32－22＝5，∵DM∥AC，∴BDDA＝BM MC，∴32＝5MC，∴MC＝253，∴S菱形ADME ＝AE·MC＝2×235＝453.6．[2018·遂宁中考]如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线P A切⊙O于点A，连结PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连结AM交CD于点N，连结AC，CM.(1)求证：CM2＝MN·MA；(2)若∠P＝30°，PC＝2，求CM的长．解：(1)证明：∵在⊙O中M点是半圆CD的中点，∴∠CAM＝∠DCM，又∵∠M是公共角，∴△CMN∽△AMC，∴CMAM＝MNMC，∴CM2＝MN·MA；(2)如答图，连结OA，DM，答图∵P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，又∵∠P＝30°，∴OA＝12PO＝12(PC＋CO)，设⊙O的半径为r，∵PC＝2，∴r＝12(2＋r)，解得r＝2，又∵CD是直径，∴∠CMD＝90°，∵M点是半圆CD的中点，∴CM＝DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2＋DM2＝CD2，∴2CM2＝(2r)2＝16，解得CM＝2 2.类型之三证明圆中的比例式或乘积式例3[天津竞赛]如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E.(1)求证：AC·BC＝2BD·CD；(2)若AE＝3，CD＝25，求弦AB和直径BC的长．【思路生成】(1)连结OD交AC于点F，由于D是弧AC的中点，∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，由垂径定理知，AF＝CF＝12AC.∠CFD＝∠BDC＝90°，则有△CDF∽△BCD；(2)延长BA，CD交于点G，易得Rt△CDE∽Rt△CAG，由比例线段解得CE ＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝4，由割线定理知，GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的值．解：(1)证明：如答图，连结OD交AC于点F，答图∵D是弧AC的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，且AF＝CF＝12AC.∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，又∵∠CFD＝90°，∴△CDF∽△BCD.∴CFBD＝CDBC，∴CF·BC＝BD·CD.∴AC·BC＝2BD·CD；(2)如答图，延长BA，CD交于点G，由(1)得∠ABD＝∠CBD，∠BDC＝90°，∴△BCG为等腰三角形，∴BD平分CG，∴CG＝2CD＝45，∴Rt△CDE∽Rt△CAG，∴CECG＝CDCA，即CE45＝25CE＋3，解得CE＝5或CE＝－8(舍去)．在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝CG2－AC2＝（45）2－（3＋5）2＝4，∵GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝AB2＋AC2＝62＋（3＋5）2＝10.7．如图，已知四边形ABCD为圆的内接四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.答图证明：如答图，在BD上取一点E，使∠BCE＝∠ACD，即得△BEC∽△ADC，可得BE BC ＝AD AC ，即AD ·BC ＝BE ·AC ，①又∵∠ACB ＝∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，即得AB AC ＝DE DC ，即AB ·CD ＝DE ·AC ，②由①＋②，可得AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC (BE ＋DE )＝AC ·BD .8．[江苏竞赛]如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .请你说明以下各式成立的理由：(1)∠CAD ＝2∠DBE ；(2)AD 2－AB 2＝BD ·DC .证明：(1)如答图，延长BE 交圆于点F ，连结AF ，则∠DBF ＝∠DAF ，答图∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝∠DAF ＋∠F ，∴AF ︵＝AC ︵＋CF ︵＝AB ︵＋DF ︵，∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴CF ︵＝DF ︵，即点F 是CD ︵的中点，∴∠CAD ＝2∠DAF ＝2∠DBE ；(2)如答图，连结BC 交AD 于点G ，∵AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ABC ，∠BAG ＝∠DAB ，∴△BAG ∽△DAB .∴AB AG ＝AD AB ，即AB 2＝AG ·AD .∴AD 2－AB 2＝AD 2－AG ·AD ＝AD (AD －AG )＝AD ·DG ，∵∠BDA ＝∠ADC ，∠DBG ＝∠DAC ，∴△BDG ∽△ADC .∴BD AD ＝DG DC ，∴AD ·DG ＝BD ·DC .∴AD 2－AB 2＝BD ·DC .相似三角形解决圆中计算问题作辅助线构造直角是证明圆中三角形相似的常见方法．圆中三角形的相似常见的基本图形如下图所示．类型之四利用相似三角形解决圆中的计算问题例4 [2018·武汉中考]如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连结PB ，PC ，PC交AB 于点E ，且P A ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若∠APC ＝3∠BPC ，求PE CE 的值．【思路生成】(1)连结OB ，OP ，△OAP 与△OBP 三边对应相等，这两个三角形全等，得∠OBP ＝∠OAP ＝90°，故PB 是⊙O 的切线；(2)连结BC ，AB 与OP 交于点H ，易证OP ⊥AB ，∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ，由△OAH ∽△CAB 得OH CB ＝12；由△HPB ∽△BPO ，求得HP OH ；再由△HPE ∽△BCE ，可得PE CE 的值．解：(1)证明：如答图，连结OB ，OP ，在△OAP 和△OBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，OP ＝OP ，AP ＝BP ，∴△OAP ≌△OBP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；(2)如答图，连结BC ，AB 与OP 交于点H ，答图∵∠APC ＝3∠BPC ，设∠BPC ＝x ，则∠APC ＝3x ，∠APB ＝x ＋3x ＝4x ，由(1)知∠APO ＝∠BPO ＝2x ，∴∠OPC ＝∠CPB ＝x ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，由P A ＝PB ，∠APH ＝∠BPH 可得OP ⊥AB ，∴∠AHO ＝∠ABC ＝90°，即OP ∥BC ，∴∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ＝x ，∴CB ＝BP ，易证△OAH∽△CAB，∴OHCB＝OAAC＝12，设OH＝a，则CB＝BP＝2a，易证△HPB∽△BPO，∴HPBP＝BPOP，设HP＝ya，则ya2a＝2aa＋ya，解得y1＝－1－172(舍)或y2＝－1＋172，∵OP∥CB，易证△HPE∽△BCE，∴PECE＝HPCB＝ya2a＝－1＋174.9．[2018·鄂州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC 与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连结P A，且∠P AB＝∠ADB.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若AB＝6，tan∠ADB＝34，求PB的长；(3)在(2)的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．解：(1)证明：如答图，连结OA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，又∵∠P AB＝∠ADB，∠OCA＝∠ADB，∴∠OAC＝∠P AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠OAC＋∠OAB＝90°，∴∠P AB＋∠OAB＝90°，即OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线；(2)如答图，过点B作BF⊥AP于点F，答图∵∠ACB＝∠P AB＝∠ADB，AB＝6，tan∠ADB＝3 4，∴BC＝10，BFAF＝34，设BF＝3a，AF＝4a，又∵AB＝6，∴(3a)2＋(4a)2＝62，∴a＝65，∴BF＝3a＝185，AF＝4a＝245，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴BFOA＝BPOP，即1855＝BPBP＋5，解得PB＝907；(3)如答图，连结OD交AC于点G，∵CD＝AD，∴OD⊥AC，并且CG＝AG＝12AC＝4，在Rt△COG中，由勾股定理可得OG＝OC2－CG2＝52－42＝3，∴DG＝OD－OG＝5－3＝2，S△CDG＝12CG·DG＝12×4×2＝4.显然Rt△CDG∽Rt△CED，∴S△CDES△CDG＝⎝⎛⎭⎪⎫CDCG2＝⎝⎛⎭⎪⎫2542＝54，∴S△CDE ＝54S△CDG＝54×4＝5.圆与相似三角形的综合运用(1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直；(2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．类型之五圆与相似三角形的综合运用例5 [2017·温州中考]如图，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是P A ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和CM ︵所对的圆心角的度数．(2)求证：AC ＝AB .(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，当点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．【思路生成】(1)根据三角形ABP 是等腰三角形，可得∠B 的度数，再连结MD ，根据MD 为△P AB 的中位线，可得∠MDB ＝∠APB ＝28°；(2)由等角的补角相等，得∠ACB ＝∠B ，则AC ＝AB ；(3)①由垂直平分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；②利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)∵MN ⊥AB ，AM ＝BM ，∴P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠B ，答图①∵∠APB ＝28°，∴∠B ＝76°，如答图①，连结MD ，∵MD 为△P AB 的中位线，∴MD ∥AP ，∴∠MDB ＝∠APB ＝28°，∴CM ︵所对的圆心角的度数为2∠MDB ＝56°.(2)证明：∵∠BAC ＝∠MDC ＝∠APB ，又∵∠BAP ＝180°－∠APB －∠B ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ， ∴∠BAP ＝∠ACB ，∵∠BAP ＝∠B ，∴∠ACB ＝∠B ，∴AC ＝AB .(3)①记MP 与圆的另一个交点为R ，∵MD 是Rt △MBP 的中线，∴DM ＝DP ，∴∠DPM＝∠DMP＝∠RCD，∴RC＝RP，∵∠ACR＝∠AMR＝90°，∴AM2＋MR2＝AR2＝AC2＋CR2，∴12＋MR2＝22＋PR2，∴12＋(4－PR)2＝22＋PR2，∴PR＝138，∴MR＝198，Ⅰ.当∠ACQ＝90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ＝MR＝19 8；Ⅱ.如答图②，当∠QCD＝90°时，在Rt△QCP中，由PR＝CR可知PQ＝2PR＝134，∴MQ＝34；答图②答图③Ⅲ.如答图③，当∠QDC＝90°时，∵BM＝1，MP＝4，∴BP＝17，∴DP＝12BP＝172，∵△PBM∽△PQD，∴MPPB＝DPPQ，∴PQ＝178，∴MQ＝158；Ⅳ.如答图④，当∠AEQ＝90°时，答图④由AE＝PE，可得AQ＝PQ，设MQ＝x，则x2＋1＝(4－x)2，解得x＝15 8，∴MQ＝15 8；综上所述，MQ的值为198或34或158；②△ACG和△DEG的面积之比为6－233.理由：如答图⑤，过C作CH⊥AB于H，答图⑤∵DM∥AF，DE∥AB，∴四边形AMDE 是平行四边形，四边形AMDF 是等腰梯形，∴DF ＝AM ＝DE ＝1，又由对称性可得GE ＝GD ，并且DG ＝DF ，∴△DEG 是等边三角形， ∴∠EDF ＝90°－60°＝30°，∴∠DEF ＝75°＝∠MDE ，∴∠GDM ＝75°－60°＝15°，∴∠GMD ＝∠PGD －∠GDM ＝15°， ∴∠GMD ＝∠GDM ，∴GM ＝GD ＝1，由∠B ＝∠BAP ＝∠DEF ＝75°，得∠BAC ＝30°，从而CH ＝12AC ＝12AB ＝1＝MG ，AH ＝3，∴CG ＝MH ＝3－1，∴S △ACG ＝12CG ×CH ＝3－12，∵S △DEG ＝34，∴S △ACG ∶S △DEG ＝6－233.10．[2018·温州中考]如图，已知P 为锐角∠MAN内部一点，过点P 作PB ⊥AM 于点B ，PC ⊥AN 于点C ，以PB 为直径作⊙O ，交直线CP 于点D ，连结AP ，BD ，AP 交⊙O 于点E .(1)求证：∠BPD ＝∠BAC .(2)连结EB ，ED ，当tan ∠MAN ＝2，AB ＝25时，在点P 的整个运动过程中．①若∠BDE ＝45°，求PD 的长；②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的BD 的长．(3)连结OC ，EC ，OC 交AP 于点F ，当tan ∠MAN ＝1，OC ∥BE 时，记△OFP的面积为S 1，△CFE 的面积为S 2，请写出S 1S 2的值．解：(1)证明：∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠ABP ＝∠ACP ＝90°，∴∠BAC ＋∠BPC ＝180°，又∠BPD ＋∠BPC ＝180°，∴∠BPD ＝∠BAC .(2)①如答图①，∵∠APB ＝∠BDE ＝45°，∠ABP ＝90°，∴BP ＝AB ＝25，∵∠BPD ＝∠BAC ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠BAC ，∴BD DP ＝2，∴BP ＝5PD ，∴PD ＝2；②Ⅰ.当BD ＝BE 时，∠BED ＝∠BDE ，∴∠BPD ＝∠BED ＝∠BDE ＝∠BPE ＝∠BAC ，∴tan ∠BPE ＝2， ∵AB ＝25，∴BP ＝5，∴BD ＝2；Ⅱ.当BE ＝DE 时，∠EBD ＝∠EDB ，∵∠APB＝∠BDE，∠DBE＝∠APC，∴∠APB＝∠APC，∴AC＝AB＝25，如答图①过点B作BG⊥AC于点G，则四边形BGCD是矩形，答图①∵AB＝25，tan∠BAC＝2，∴AG＝2，∴BD＝CG＝25－2；Ⅲ.当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，∴∠APC＝∠BAC，设PD＝x，则BD＝2x，∴ACPC＝2，而AG＝2，CD＝BG＝4，∴2x＋24－x＝2，∴x＝32，∴BD＝2x＝3，综上所述，当BD＝2，3或25－2时，△BDE为等腰三角形．(3)如答图②，过点O作OH⊥DC于点H，答图②∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，∴BD＝PD，设BD＝PD＝2a，PC＝2b，则OH＝a，CH＝a＋2b，AC＝4a＋2b，∵OC∥BE且∠BEP＝90°，∴∠PFC＝90°，∴∠P AC＋∠APC＝∠OCH＋∠APC＝90°，∴∠OCH＝∠P AC，∴△ACP∽△CHO，∴OHCH＝PCAC，即OH·AC＝CH·PC，∴a(4a＋2b)＝2b(a＋2b)，∴a＝b，即CP＝2a，CH＝3a，则OC＝10a，∵△CPF∽△COH，∴CFCH＝CPOC，即CF3a＝2a10a，则CF＝3105a，OF＝OC－CF＝2105a，∵BE∥OC且BO＝PO，∴OF为△PBE的中位线，∴EF＝PF，∴S1S2＝OFCF＝23.例6[全国数学联赛题]如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积．【思路生成】先求△ABD的面积，再证△ABD与△BCD的面积相等即可．解：如答图，连结AO，交BD于H，连结OB，答图∵AE＝EC，AB＝2AE，∴AB2＝2AE2＝AE·AC，∴ABAC＝AEAB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB＝∠ADB，∴AB＝AD.∵AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，∴BH ＝HD ，∵BO ＝2，BD ＝23，∴BH ＝HD ＝ 3.∴OH ＝OB 2－BH 2＝4－3＝1，AH ＝OA －OH ＝2－1＝1.∴S △ABD ＝12BD ·AH ＝12×23×1＝3，∵E 是AC 的中点，∴S △ABE ＝S △BCE ，S △ADE ＝S △CDE ，∴S △ABD ＝S △BCD ，∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2 3.[学生用书P67]【思维入门】1．[余姚自主招生]如图，AB 是半圆的直径，点C 是AB ︵的中点，点E 是AC ︵的中点，连结EB ，CA 交于点F ，则EF BF ＝( D )A.13B.14C.1－22 D.2－12【解析】连结AE ，CE ，作AD ∥CE ，交BE 于点D ，答图∵点E 是AC ︵的中点，设AE ＝CE ＝x ，根据平行线的性质得∠ADE ＝∠CED ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，则AD ＝2x ，又∠DAF ＝∠ACE ＝∠CAE ＝∠CBE ，而∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∴∠DAB ＝∠DBA ，∴BD ＝AD ＝2x ，∴BE ＝(2＋1)x .∵∠EAC ＝∠ABE ，∠AEF ＝∠BEA ，∴△AEF ∽△BEA ，∴AE BE ＝EF EA ，∴EF ＝(2－1)x ，BF ＝2x .∴EF BF ＝2－12.2．[雨花区自主招生]如图，BC 是半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，BF FC ＝5，又AB ＝8，AE ＝2，则AD 的长为( B )A ．1＋ 3 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 2 【解析】如答图，连结BE .答图∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得BE2＝AB2－AE2＝82－22＝60.∵BFFC＝5，∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x，又∵BE2＝BF·BC，即30x2＝60，解得x＝2，∴EC2＝FC·BC＝6x2＝12，∴EC＝23，∴AC＝AE＋EC＝2＋23，∵AD·AB＝AE·AC，∴AD＝AE·ACAB＝2（2＋23）8＝1＋32.3．[天津中考]如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A，D的⊙O与边AB，AC，BC分别相交于点E，F，M.对于如下五个结论：①∠FMC＝45°；②AE＋AF＝AB；③EDEF＝BABC；④2BM2＝BE·BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是(C)A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】如答图，连结AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，答图再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF，AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC＝45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE＋AF＝AB，正确；③连结FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM＝2BE，得左边＝4BE2，故需证明AB＝4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．4．[麻城自主招生]如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC.已知AE＝22，AC＝32，BC＝6，则⊙O的半径是(D)A．3 B．4C．4 3 D．2 3【解析】如答图，延长EC交⊙O于点F，连结DF.则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径，答图∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DEBC＝AEAC.则DE＝4.由Rt△ADE∽Rt△DFE，得EF＝DE2AE＝4 2.根据勾股定理，得DF＝DE2＋EF2＝16＋32＝43，则圆的半径是2 3.5．[淮安自主招生]如图，△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD＝2，AE＝1，那么BC＝__125__．答图【解析】如答图，连结OD ，∵AC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥AC ，在Rt △ADO 中，设OD ＝R ，∵AD ＝2，AE ＝1，∴22＋R 2＝(R ＋1)2，解得R ＝32，∴AO ＝52，AB ＝4，又∵∠C ＝90°，∴OD ∥BC ，∴△AOD ∽△ABC ，∴OD BC ＝OA AB ，即BC ＝4×3252＝125.6．[2018·柳州]如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D .(1)求证：△DAC ∽△DBA ；(2)过点C 作⊙O 的切线CE 交AD 于点E ，求证：CE ＝12AD ；(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连结CF 交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．解：(1)证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，答图∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA；(2)证明：∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE＝CE，∴∠DAC＝∠ECA，∵∠ACD ＝90°，∴∠ACE ＋∠DCE ＝90°，∠DAC ＋∠D ＝90°，∴∠D ＝∠DCE ，∴DE ＝CE ，∴AD ＝AE ＋DE ＝CE ＋CE ＝2CE ，∴CE ＝12AD ；(3)如答图，过点G 作GH ⊥BD 于H ，在Rt △ABD 中，AD ＝6，AB ＝3，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝2，∴tan ∠ABD ＝GH BH ＝2，∴GH ＝2BH ，∵点F 是直径AB 下方半圆的中点，∴∠BCF ＝45°，∴∠CGH ＝90°－∠BCF ＝45°，∴CH ＝GH ＝2BH ，∴BC ＝BH ＋CH ＝3BH ，在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC BC ＝2，∴AC ＝2BC ，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴4BC 2＋BC 2＝9，∴BC ＝355，∴3BH ＝355，∴BH ＝55，∴GH＝2BH＝25 5，在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，∴CG＝2GH＝2105.【思维拓展】7．[瓯海区自主招生]如图，已知：P A切⊙O于A，若AC为⊙O的直径，PBC为⊙O的割线，E为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且∠FPB＝45°，点F到PC的距离为5，则FC的长为(C)A．10 B．12 C．5 5 D．5 6【解析】设PB＝x，∵P A切⊙O于A，∴AP⊥AC，∴∠P AC＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠FPB＝45°，∴BE＝PB＝x，AB＝2x，PH＝FH＝5，∵∠C＋∠BAC＝90°，∠P AB＋∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P AB，∴△APB∽△CAB，∴AB BC ＝PB AB ，即2x BC ＝x 2x ，解得BC ＝4x ，∴CH ＝PC －PH ＝PB ＋BC －PH ＝5x －5，∵FH ∥AB ，∴△CFH ∽△CAB ，∴FH AB ＝CH CB ，即52x ＝5x －54x ，解得x ＝3，∴CH ＝5x －5＝10，在Rt △CFH 中，CF ＝FH 2＋CH 2＝52＋102＝5 5.8．[成都自主招生]如图，过⊙O 直径AB 上的点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，再过D 点作圆的切线l ，然后过C 点作l 的垂线交l 于点E ，若AC ＝a ，CB ＝b ，那么CE长为( A )A.2ab a ＋bB.abC.a ＋b 2D. a 2＋b 22 【解析】如答图，连结OD ，答图∵AB ＝AC ＋BC ＝a ＋b ，∴OD＝12(a＋b)，∴OC＝OA－AC＝12(a＋b)－a＝12(b－a)，∵CD⊥AB，∴∠DCO＝90°，在Rt△DCO中，CD＝OD2－OC2＝ab，∵l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l，∵CE⊥l，∴OD∥CE，∴∠ODC＝∠ECD，∴Rt△ODC∽Rt△DCE，∴CDCE＝ODCD，即abCE＝12（a＋b）ab，∴CE＝2ab a＋b.9．[第23届“希望杯”竞赛]如图，已知A，B，C三点在同一圆上，并且AB是⊙O的直径，若点C到AB的距离CD＝5，则⊙O的直径最小值是__10__．【解析】AD·DB＝CD2＝25，AB2＝(AD＋BD)2＝(AD －BD)2＋4AD·BD≥4AD·BD＝100，当AD＝BD时，AB取得最小值10.10．[成都中考]如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连结AP ，过点A作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当△P AB 是等腰三角形时，线段BC 的长为__8或5615或853__．【解析】 Ⅰ.当BA ＝BP 时，则AB ＝BP ＝BC ＝8，即线段BC 的长为8.Ⅱ.当AB ＝AP 时，如答图①，延长AO 交PB 于点D ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AD ⊥PB ，AE ＝12AB ＝4，∴BD ＝DP ，答图①在Rt △AEO 中，AE ＝4，AO ＝5，∴OE ＝3，∵∠OAE ＝∠BAD ，∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∴△AOE ∽△ABD ，∴AO AB ＝OE BD ，∴BD ＝245，∴BD ＝PD ＝245，即PB ＝485，∵AB＝AP＝8，∴∠ABD＝∠P，∵∠P AC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△CP A，∴BDAB＝P ACP，∴CP＝403，∴BC＝CP－BP＝403－485＝5615；Ⅲ.当P A＝PB时，如答图②，连结PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连结OB，则PF⊥AB，答图②∴AF＝FB＝4，在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，∴OF＝3，∴FP＝8，∵∠P AF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，∴△PFB∽△CGB，∴PFFB＝CGBG＝21，设BG＝t，则CG＝2t，∵∠CAG＝∠APF，∠AFP＝∠AGC＝90°，∴△APF∽△CAG，∴AFPF＝CGAG，∴2t8＋t＝12，解得t＝83，在Rt△BCG中，BC＝5t＝85 3，综上所述，当△P AB是等腰三角形时，线段BC的长为8或5615或853.11．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE.答图证明：如答图，连结OD，∵OC∥AD，∴∠COD＝∠ADO，∠COB＝∠DAO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC.∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB.∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则F A⊥AB. ∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴F A∥DE∥CB，∴FDFC＝AEAB.在△F AC中，∵DP∥F A，∴DPF A＝DCFC，即DPDC＝F AFC.∵F A，FD是⊙O的切线，∴F A＝FD，。

第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)

在 Rt△ADC 中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝ 3， S 阴影＝S 梯形 OCDA－S 扇形 AOC＝12(1＋2)× 3－60·3π60·22＝ 323－2π3 .
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°，当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.

精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析试题(含详细解析)

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（）A B C ．23 D2、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（）A ．12B ．43C ．35D ．45 3、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（）A ．5米B ．C ．D ．4、如图，琪琪一家驾车从A地出发，沿着北偏东60︒的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50︒的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．B地在C地的北偏西40︒方向上B．A地在B地的南偏西60︒方向上C．50ACB D．sin BAC∠=°∠=5、在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则sin B的值为（）A B C D．12∠的顶点位于正方形网格的格6、如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知α∠是（）点上，且cosα=αA．B．C．D．7、如图1所示，△DEF 中，∠DEF ＝90°，∠D ＝30°，B 是斜边DF 上一动点，过B 作AB ⊥DF 于B ，交边DE （或边EF ）于点A ，设BD ＝x ，△ABD 的面积为y ，图2是y 与x 之间函数的图象，则△ABD 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④9、如图，若O 的半径为R ，则它的外切正六边形的边长为（）A B C ． D ．6R10、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（）A．54B．35C．34D．45第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒．此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45°方向．（1）此时A到B的距离是 _____；（2）该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为 _____．（提示：sin15°=．2、当0≤θ≤α时，将二次函数y＝﹣x2（0≤x≤G，绕原点逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，则α的最大值为 _____．3、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且∠NAD＝30°，AB＝，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，连CQ，CQ的最小值是 ___．4、如图，等边ABC 的边长为2，点O 是ABC 的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段,AB BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②四边形ODBE 的面积始终等于ODE BDE S S =；④BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是________（填序号）．5、矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若3AD =，13BF BC =．（1）矩形ABCD 的面积为________；（2）sin BNF ∠的值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：221cot 60cos30tan 60sin 453⋅-+．2、平面直角坐标系中，过点M 的⊙O 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点，交OM 的反向延长线于点N ．（1）求经过A 、N 、B 三点的抛物线的解析式．（2）如图①，点E 为（1）中抛物线的顶点，连接EN ，判断直线EN 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（3）如图②，连接MD 、BD ，过点D 的直线l 交抛物线于点P ，且PDB DMN ∠=∠，直接写出直线DP 的解析式．3、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）4、如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-（a 为常数，且a ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线34y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求a的值；（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使∠AEC=45°？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．5、在⊙O中，AC AD，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：BA是⊙O的切线；（2）若AB＝6，①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC∴tanA=BCAC故选：B．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．2、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可．【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴tanα=αααα=24=12，故选A．【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义．3、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC ：AC =1：2，AB =10m ，可解出直角边BC ，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC ：AC =1：2．∴设BC =x ，则AC =2x ．∵AB =10， BC 2+ AC 2=AB 2，∴x 2+ (2x )2=102，解得：x =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．4、B【分析】根据题意可知60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，由此即可得到50BCE CBP ∠∠==︒即可判断A ；由60ABP ∠=︒可以判断B ；由9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒可以判断C ；求出30BAC ∠=︒即可判断D ．【详解】解：如图所示：由题意可知，60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，50BCE CBP ∠∠∴==︒，即B 在C 处的北偏西50，故A 不符合题意；60ABP ∠=︒，A ∴地在B 地的南偏西60︒方向上，故B 不符合题意；9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒，故C 错误．60BAD ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，1sin 2BAC ∠∴=，故D 不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．5、A【分析】利用勾股定理先求出AB 的长度，最后利用正弦值的定义得到sin AD B AB =，进而得到最终答案．【详解】解：如图所示在Rt ADB ∆中，由勾股定理可得：ABsinAD B AB ∴=== 故选：A ．【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6、B 【分析】先构造直角三角形，由cos α=邻边斜边求解即可得出答案【详解】 A.cos α===B.cosα=cosα===cosα===【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，cos α=邻边斜边是解题的关键． 7、C 【分析】由图得点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，由三角函数算出AB ，由三角形面积公式即可求解．【详解】由图可得：点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，tan 3012AB DB =⋅︒==∴1122ABDS=⨯⨯ 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A 运动到哪里能使ABD △面积最大是解题的关键． 8、D 【分析】①先证明△ABH ≌△BCE ，得AH =BE ，则1122AH AD BC ==，即12AH AB =，再根据平行线分线段成比例定理得：12HG BG =即可判断；②设BF =x ，CF =2x ，则BC ，计算FG =23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC AB ，根据①中得：13AG AC =即可判断； ④根据11,22HG AG BG CG ==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AH x∴52 BH x =∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =BC ，∠ABC =90°， ∴AC， ∵12AG AH CG BC == ∴13AG AC =∴13AG AC AB ==，故③正确； ④∵12GH AGBG CG == ∴11,22AHGABG ABGBCG S S S S ∆∆∆∆== ∴13ABGABCS S∆∆=∴16AHG ABC S S =，故④正确．故选D ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 9、B 【分析】如图连结OA ，OB ，OG ，根据六边形ABCDEF 为圆外切正六边形，得出∠AOB =60°△AOB 为等边三角形，根据点G 为切点，可得OG ⊥AB ，可得OG 平分∠AOB ，得出∠AOC =11603022AOB ∠=⨯︒=︒，根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：如图连结OA ，OB ，OG ，∵六边形ABCDEF 为圆外切正六边形，∴∠AOB =360°÷6=60°，△AOB 为等边三角形， ∵点G 为切点， ∴OG ⊥AB ， ∴OG 平分∠AOB ，∴∠AOC =11603022AOB ∠=⨯︒=︒，∴cos30°=OGOA，∴cos30OG OA ==︒ 故选择B ．【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键． 10、D 【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD ABCF BC =，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CDAFE CFD CF∠=∠=，由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===．故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．二、填空题1、 18 nmile 9nmile##993 nmile 【解析】【分析】如图，过S 作SD AB ⊥于,D 先由路程等于速度乘以时间求解,AB 再利用sin15°=tan1523, 再设,SD m 而,45,SDAB DBS ,18,BD m AD m 再利用tan1523,建立方程，再解方程，从而可得答案. 【详解】解：如图，过S 作SD AB ⊥于,D 由题意可得：40622718,15,45,sin15,604AB BAS DBS62,4DS AS设62,DS k 则4,AS k2284362,AD AS DS k k2tan15=23,62k DSADk设,SD m 而,45,SD AB DBS,18,BD m AD m23,18m m311823,m解得：939,m 经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离烟花S 中心的最近距离为：9 nmile.故答案为：18 nmile ，9 nmile. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用sin15︒的值求解tan15︒是解本题的关键. 2、30 【解析】【分析】根据题意，找到图象G 的切线，进而根据旋转的性质即可求得α的最大值【详解】解：∵将二次函数y ＝﹣x 2（0≤x ≤G ，逆时针旋转θ得到图形G 均是某个函数的图象，设过原点的直线y kx =∴当y ＝﹣x 2，y kx =存在唯一交点时即2x kx -=)20k=解得k =设()P m 为y =上一点，过点P 作PQ y ⊥轴，则,OQ PQ m ==tan POQ ∠=30POQ ∴∠=︒当图象G 旋转30时，与y 轴相切，符合函数图象，故30θ≤︒ 即max =30α︒故答案为：30° 【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与y 轴的夹角是解题的关键．326【解析】【分析】如图，连接PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQ 先证明180,APBAQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ 证明180,A QBAQB 可得,,A Q A 三点共线，Q 在AA '上运动，过C 作CEAA 于,E 则,Q E 重合时，CQ 最短，再求解26tan 30,3DGAD 2622,3CG DC DG从而可得答案. 【详解】解：如图，连接,,PQ AQ PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQPBQ ∴是等边三角形，60,PQB QBP QPB30,DAN 正方形,ABCD90,22,BAD AB AD DC60,MAB PQB ,AFP BFQ,AFP QFB ∽ ,AFPF QF BF,APF ABQ ,AFQ PFB ,PFB AFQ ∽,PBF AQF60,AQFAPQ ABP ABQ PBQ 360180,APB AQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ则,ABP A BQ ≌ ,APBA QB 180,A QB AQB ,,A Q A 三点共线，∴ Q 在AA '上运动，过C作CE AA于,E则,Q E重合时，CQ最短，60,22,ABA AB A BABA是等边三角形，记AA'交DC于,G60,30,BAA DAG60,AGD CGE326tan3022,33DG AD2622,3CG DC DG326sin60226 2.23CE CG所以CQ【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到Q的运动轨迹是解本题的关键.4、①③④【解析】【分析】如图：连接OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，可证△BOD≌△COE，即BD=CE、OD=OE，则可对①进行判断；利用α△ααα=α△ααα得到四边形ODBE的面积=13α△ααα=√33，则可对③进行判断；再作OH⊥DE，则DH=EH，计算出S△DOE=√34αα2,利用S△DOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵等边ABC∴∠ABC =∠ACB =60°,∵点O 是△ABC 的中心，∴OB =OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC =∠OCB =30°∵∠BOC =120°，即∠BOE +∠COE =120°，而∠DOE =120°，即∠BOE +∠BOD =120°，∴∠BOD =∠COE ,在△BOD 和△COE 中{∠ααα=∠ααααα=αα∠ααα=∠ααα∴△BOD ≌△COE ,∴BD =CE ，OD =OE ，所以①正确；∴α△ααα=α△ααα∴四边形ODBE 的面积 =α△ααα=13α△ααα=13×√34×22=√33，故②正确；如图：作OH⊥DE，则DH=EH，∵∠DOE=120°,∴∠ODE=_OEH=30°,∴αα=12αα，HE=√3αα=√32αα,∴αα=√3αα,∴α△ααα=12⋅12αα⋅√3αα=√34αα2,即S△DOE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴α△ααα≠α△ααα;所以③错误；∵BD=CE,∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时αα=√33,∴△BDE周长的最小值=2+1=3,所以④止确．故填①③④．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键5、【解析】【分析】（1）矩形ABCD中，由折叠可得DF=AD=3，在Rt CDF中，用勾股定理求得CDABCD的面积；（2）由折叠可得AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F 、、、四点共圆，故BNF BEF ∠=∠，设AE EF x ==，在Rt BEF △中，由勾股定理得： x =sin BNF ∠的值. 【详解】（1）矩形ABCD 中，3AD =，13BF BC =，∴3BC AD ==，113BF AD ==，2CF BC BF =-=，90C ∠=︒，由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，CD =∴矩形ABCD 的面积=3AD CD ⋅=故答案为：（2）将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，∴AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F ∴、、、四点共圆，BNF BEF ∴∠=∠，设AE EF x ==，则BE AB AE x =-，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=，即222)1x x +=，解得x =，∴sin BNF ∠=sin BF BEF EF ∠==【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.三、解答题1、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：2213=⨯+原式 11122=-+ =0【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键．2、（1）2y =；（2）直线EN 与⊙O 相切，理由见解析；（3）2y =-或2y =- 【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得()2,0A -，()2,0B ；根据抛物线轴对称的性质，得经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得0,E ⎛ ⎝⎭；根据勾股定理的性质，得2NE ，2OE ；根据圆的性质，得ON ；根据勾股定理的逆定理，通过222ON NE OE +=，推导得90ONE ∠=︒，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得30NOE ∠=︒，分当点P 纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得30QOB NOE ∠=∠=︒；根据含30角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点Q 坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案．【详解】（1）∵⊙O 过点M∴2OM =∵⊙O 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），∴OA OB OM ==∴()2,0A -，()2,0B∴经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =∵⊙O 交OM 的反向延长线于点N∴(1,N - 设经过A 、N 、B 三点的抛物线为：2y ax bx c =++∴经过A 、N 、B 三点的抛物线，对称轴为：0x =∴0b =∴2y ax c =+ ∴40a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴经过A 、N 、B三点的抛物线为：2y x =；（2）经过A 、N 、B三点的抛物线为：2y x =，且对称轴为：0x = ∴当0x =时，抛物线取最小值y =0,E ⎛ ⎝⎭∴()222413NE ⎛=-+= ⎝⎭，22163OE ⎛== ⎝⎭∵2ON OM ==∴24ON = ∵416433+= ∴222ON NE OE +=∴90ONE ∠=︒∴直线EN 与⊙O 相切；（3）∵90ONE ∠=︒∴1sin 2NE NOE OE ∠=== ∴30NOE ∠=︒如图，当点P 纵坐标大于0时，直线EP 交⊙O 于点Q ，连接OQ ，过点Q 作QK OB ⊥，交OB 于点K∴2OQ OD OM ===∴()0,2D -∵PDB DMN ∠=∠，2NOE DMN ∠=∠，2QOB PDB ∠=∠ ∴30QOB NOE ∠=∠=︒ ∴112QK OQ ==∴OK ==∴)Q 设直线DP 的解析式为：y kx b =+∴12b b +==-⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴2y =-；如图，当点P 纵坐标小于0时，直线EP 交⊙O 于点Q ，连接OQ ，过点Q 作QK OB ⊥，交OB 于点K∴2OQ OD OM === ∵PDB DMN ∠=∠，2NOE DMN ∠=∠，2QOB PDB ∠=∠ ∴30QOB NOE ∠=∠=︒ ∴112QK OQ ==∴OK ==∴)1Q - 设直线DP 的解析式为：y kx b =+∴12b b +=-=-⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴2y -； ∴直线DP的解析式为：2y =-或2y =-．【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解．3、（1）见解析；（21【解析】【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒，在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD =，∴BD AD ==，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC AC ︒===．【点睛】本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．4、（1）：y =14x 2-12x -2；（2）a （3）在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．理由见解析【解析】【分析】（1）令y =0可得A 和B 两点的坐标，把点B 的坐标代入直线y =-34x +b 中可得b 的值，根据点D 的横坐标为-5，可得点D 的坐标，将点D 的坐标代入抛物线的解析式中可得答案；（2）因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC ∽△APB 或△ABC ∽△PAB ．如图1和图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）根据OA =OC =2，∠AOC =90°画圆O ，半径为2，可知若优弧上存在一点E 与A ，C 构建的∠AEC =45°，再证明BD 与⊙O 相离，圆外角小于圆上角，可得结论．【详解】解：（1）抛物线y =a （x +2）（x -4），令y =0，解得x =-2或x =4，∴A （-2，0），B （4，0），把B （4，0）代入直线y =−34x +b 中，b =3，∴直线的解析式为y =-34x +3，当x=-5时，y=-34×（-5）+3=274，∴D（-5，274），∵点D（-5，274）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，∴a（-5+2）（-5-4）=274，∴a=14，∴抛物线的函数表达式为：y=14（x+2）（x-4）=14x2-12x-2；（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-8a，∴C（0，-8a），OC=8a．∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角．∴若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．过点P作PN⊥x轴于点N，①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如图1所示，设P（x，y），则ON=x，PN=y，tan ∠BAC =tan ∠PAB ， ∴OC PN OA AN =，即：822a y x =+， ∴y =4ax +8a ，∴P （x ，4ax +8a ），代入抛物线解析式y =a （x +2）（x -4），得a （x +2）（x -4）=4ax +8a ，整理得：x 2-6x -16=0，解得：x =8或x =-2（与点A 重合，舍去），∴P （8，40a ），∵△ABC ∽△APB ，∴AC ABAB AP =，解得：a ②若△ABC ∽△PAB ，则有∠ABC =∠PAB ，如图2所示，与①同理，可求得：y =2ax +4a ，∴P （x ，2ax +4a ），代入抛物线解析式y =a （x +2）（x -4），得a （x +2）（x -4）=2ax +4a ，整理得：x 2-4x -12=0，解得：x =6或x =-2（与点A 重合，舍去），∴P （6，16a ），∵△ABC ∽△PAB ，∴AB BCAP AB =，解得：a综上所述，a （3）在（1）的条件下，二次函数的解析式为：y =14x 2-12x -2；当x =0时，y =-2，∴C （0，-2），∴OA =OC =2，如图3，以O 为圆心2为半径画圆，在ANC 上取一点E 1，过点O 作OF ⊥BD 于F ，∵∠AOC =90°，∴∠AE 1C =45°，在直线y =-34x +3中，OM =3，OB =4，∴BM =5，∴S △OBM =12×3×4=12×5OF ，∴OF =125＞2， ∴直线BD 与⊙O 相离，∴∠AEC ＜45°，∴在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角的性质，坐标和图形的性质等知识，解（1）的关键是确定点D 的坐标，解（2）的关键是利用分类讨论的思想；解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题．5、（1）证明见解析；（2）①4π-【解析】【分析】（1）连接AO ，由AC AD =，四边形ABCD 是平行四边形，即得推得ACO △为等边三角形，即可得∠BAO =∠BAC +∠CAO =90°，即BA 是⊙O 的切线．（2）①由（1）有A 0=tan 60AB =︒②将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO 面积减去三角形ACO 面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可．【详解】（1）证明：连接OA∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD//BE∴∠ADC=∠DCO又∵AC AD=∴∠ACD=∠ADC∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=2∠ADC又∵2∠ADC=AOC∠∴AOC ACO∠=∠∴AO=AC又∵OC=AO∴ACO△为等边三角形∴∠ACO=∠CAO=60°，∠ACD=∠DCO=30°又∵AB//CD∴∠BAC=∠ACD=30°∴∠BAO=∠BAC+∠CAO=30°+60°=90°∴BA是⊙O的切线．（2）①由（1）可知∠BAO=90°，∠BOA=60°∴tanBA BOAAO ∠=∴AO =6tan tan BA BOA BOA ===∠∠②连接AO ，与CD 交于点M∵AC =OAC =60°∴CM =sin 603AC ⋅︒==∴11322AOC S AO CM =⋅⋅=⨯=△∵AO =AOC =60°∴22360AOCn r S ===︒扇形ππ ∴2AOC AOC S S S =-△阴影扇形（）∴224S =-=-阴影（ππ【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键．。

圆与三角函数线

05
实例分析
三角函数线在几何问题中的应用
确定角度
01
三角函数线可以用来确定几何图形中的角度，例如在三角形中，
通过三角函数线可以找到角的大小。
计算长度
02
利用三角函数线，可以计算出几何图形中某条边的长度，例如
在直角三角形中，可以通过三角函数线计算斜边长度。
解决最值问题
03
通过三角函数线，可以解决几何图形中的最值问题，例如在圆
圆与三角函数线在解析几何问题中的应用
极坐标与直角坐标转换
圆和三角函数线在解析几何中常常用于极坐标与直角坐标之间的转换，例如在求解某些曲线方程时，可以将极坐标转换为直角坐标，或者将直角坐标转换为极坐标。
解决轨迹问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些轨迹问题，例如在平面内求一个点绕另一个点做圆周运动的轨迹。
解决最值问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些最值问题，例如在平面内求一个点到另一个点的距离的最大值或最小值。
06
总结与展望
总结
圆与三角函数线是数学中两个重要的概念，它们在几何、代数和三角学等多个领域都有广泛的应用。
三角函数线是三角函数在直角坐标系中的图像表示，包括正弦线、余弦线和正切线等。
圆是二维平面上的一个封闭曲线，其性质包括圆心到圆上任一点的距离相等、经过圆心的直径将圆分成两个相等的部分等。
圆与三角函数线在解析几何、微积分、物理和工程等领域都有广泛的应用，是数学和科学研究中不可或缺的工具。
未来研究方向
随着数学和科学技术的不断发展，圆与三角函数线的研究也在不断
深入。
未来研究方向包括探索圆与三角函数线的更多性质和应用，以及如何将它们应用于实际问题中，如物理学、工程学和经济学等。

第40讲与圆有关的计算与证明题课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt

复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1

2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以为直径的
⊙ 与 △ 的边相切于点，且与边
交于点，点为的中点，连接，，
.
（1）求证：是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2，为 ⊙ 的直径，过圆上一
点作 ⊙ 的切线交的延长线于点，过点
作 // 交于点，连接．
（1）直线与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
目录导航
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第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线与 ⊙ 相切.
，的点，连接，，点在的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点在的延长线上，

初中数学知识点(圆,相似,三角函数)

第十二次课托勒密定理：四边形 ABCD内接于圆，求证 AC*BD=AD*BC+AB*CD 复习：全等，相似，圆，四边形，三角函数 1.三角形：三角形模型（A字型，8字型，燕尾型，外角平分线）内心：三角形内接圆的圆心重心：三角形中线的交点外心：三角形外接圆的圆心垂心：三角形高的交点
2.全等判定方法：SSS,SAS,ASA,HL,AAS
弦切角定理弦切角的度数等于它所加的弧的圆心角度数的一半，等于它所加弧所对的圆
周角度数
圆幂定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两
条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD
这两个集合有包含关系，称为集合 A为集合 B的子集。用平面上闭合曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图如果集合 A为集合 B的子集，且集合 B为集合 A的子集，此时集合 A与
集合 B中的元素是一样的，因此集合 A与集合 B相等，记作 A=B，如果集合 A 包含于集合 B如果集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素,我们就说 A ⊆ B(读作 A包含于 B),或 B ⊇ A(读作 B包含 A),称集合 A是集合 B的子集.如果 A
A={x∈I|p}，其中 x叫做代表元素，I是代表元素 x的取值范围，p是个元素的共同特征。开区间：{x|1<x<2}等价于 x∈（1,2）左闭右开区间：{x|1《x<2}等价于 x∈[1,2）闭区间：{x|1《x《2}等价于 x∈[1,2] {x|x>1}等价于 x∈（1，+∞） {x|x《2}等价于 x∈（-∞，2）

数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一:圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E。

(1）求证:点E是边BC的中点;(2)求证:BC2＝BD·BA；(3)当以点O,D,E，C为顶点的四边形是正方形时，求证:△ABC是等腰直角三角形．解：(1）连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°。

∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD,∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC。

∵AC为直径,∴∠ADC＝90°,∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB,∴EB＝EC，即点E为边BC的中点（2)∵AC为直径,∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD,∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G,且D是BC的中点，DE⊥AB,垂足为点E,交AC的延长线于点F.（1）求证:直线EF是⊙O的切线;（2）已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB,∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2）∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A,∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中,∵∠ODF＝90°,∴cos∠FOD＝ODOF＝25。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

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圆与相似、三角函数结合（二）
1、已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于 A 、B 两点，点 C 为⊙O 上一点。

（1）如图 1，若 AC 为直径，求证：OP ∥BC ；（2）如图 2，若 sin ∠P ＝
13
12
，求 tan ∠C 的值。

知识点一圆与直角三角形斜边中线【知识梳理】
如图：Rt △ABC 中，∠ABC =90°,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于 D ，基本结论有：（1）DE 切⊙O ⇔ E 是 BC 的中点；
（2）若 DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED =2∠A ；
③CD·CA=4BE 2,
BA
BC
BD CD R DE =
=
图形特殊化：在（1）的条件下
如图 2：DE∥AB △ABC、△CDE是等腰直角三角形；
如图 3：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：①DE：EF=1:3；②BE：R=1：2
【例题精讲】
例1、如图，AB 是⊙O 的直径，点C为圆上一点，且∠BAC=30°，M 是线段 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且∠ECF=∠E。

（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）设⊙O 的半径为 1，且 AC=CE，求EC和MO的长。

【课堂练习】
如图，AB 是半圆 O 的直径，C 为半圆上一点，N 是线段 BC 上一点（不与 B﹑C 重合），过N 作 AB 的垂线交 AB 于 M，交 AC 的延长线于 E，过 C 点作半圆 O 的切线交 EM 于 F。

（1）求证：△ACO∽△NCF；
（2）若 NC∶CF＝3：2，求 sinB 的值。

例2、如图，A 是以 BC 为直径的⊙O 上一点，AD⊥BC 于点 D，过点 B 作⊙O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，G 是 AD 的中点，连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F，延长 AF•与 CB 的延长线相交于点 P。

（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
（3）若 FG=BF，且⊙O 的半径长为32，求 BD 和 FG 的长度。

【课堂练习】
如图 D 为 Rt△ABC 斜边 AB 上一点，以 CD 为直径的圆分别交△ABC 三边于 E，F，G 三点，连接 FE，FG。

（1）求证：∠EFG＝∠B；
（2）若 AC＝2BC＝45，D 为 AE 的中点，求 FG 的长。

知识点二圆与等腰三角形结合【知识梳理】
如图，△ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径作⊙O ，交 BC 于点 D ，交 AC 于点 F ，基本结论有：（1）DE ⊥AC DE 切⊙O ；
（2）在 DE ⊥AC 或 DE 切⊙O 下，有：①△DFC 是等腰三角形；②EF=EC ；③D 是弧BF 的中点。

【例题精讲】
例1、如图，△ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 、BC 于点 D 、F ，连接 BD 交 OF 于点 E 。

（1）求证：OF ⊥BD ；（2）若 AB=
2
5
，DF=25，求 AD 的长。

【课堂练习】
如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 相交于点 E ，点 F 是 BE 的中点。

（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若 AE ＝14，BC ＝12，求 BF 的长。

例2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 在劣弧 AC 上，∠ABD=45°。

（1）如图 1，BD 交 AC 于 E ，连 CD ，若 AB=BD ，求证：CD=2DE （2）如图2，连接AD 、CD ，已知tan ∠CAD=
5
1
，求sin ∠BDC 。

【课堂练习】
在⊙O 中，AB 为直径，PC 为弦，且 PA＝PC。

（1）如图 1，求证：OP∥BC；
（2）如图 2，DE 切⊙O 于点 C，DE∥AB，求 tan∠A 的值。

知识点三圆与直角梯形结合
【知识梳理】
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：
A A D A D
D
（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD ·BC ＝
AB 4
1
2=R 2；（2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO •AE=2R 2
(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG=FG.
【例题精讲】
例1、直角梯形ABCD 中，∠BCD=90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F. （1）求证：CD 为⊙O 的切线（2）若
53=AB BE ，求
DF
BF
的值
【课堂练习】
1、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点一点E ，EF ⊥AC 于点F. （1）求证：⊙O 与AC 相切；（2）若EF=3，BC=4，求tan A ∠的值.
2、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧 AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5。

（1）如图（1），若点 P 是弧 AB 的中点，求 PB 的长；（2）如图（2），过点 P 作 PD ⊥BC 于点 E ，交 AB 于点 D ，若
4
5
EP DE ，求 PC 的长。

1、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ⊥AC ，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交 BC 于点 E 。

（1）求证：DE 为⊙A 的切线；（2）如果 BE=4，CE=2，求 DE 的值。

2、如图，已知以 Rt △ABC 的斜边 AB 为直径作△ABC 的外接圆⊙O ，∠ABC 的平分线 BE 交AC 于 D ，交⊙O 于 E ，过 E 作 EF ∥AC 交 BA 的延长线于 F 。

（1）求证：EF 是⊙O 切线；（1）若 EF=8，tan ∠AEF=
2
1
，求 CD 的长。

3、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于点 D ，E 是 BC 的中点，连接 DE ，OE 。

（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若 cos ∠BAD=
53，BE=3
14
，求 OE 的长。

4、如图 1，△ABC 中，CA=CB，点 O 在高 CH 上，OD⊥CA 于点 D，以 O 为圆心，OD 为半径作⊙O，若AC=5，AB=6。

（1）若 O 为 CH 的中点，⊙O 与 OH 相交于点 E，连接 AE、BE，求△ABE 的面积；
（2）如图 2，若⊙O 过点 H，且连接 DH，求 tan∠AHD 的值。

11。

圆与相似、三角函数结合(二)

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精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析试题(含详细解析)

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