初中数学竞赛有理数及其运算的技巧(含答案)

有理数及其运算技巧

有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。

当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示

为一个既约分数。并且，有理数可以比较大小，有

理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

§1、数轴与大小：

两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。

例1观察图1中的数轴

用字母a,b,c依次表示点A，B，C对应的数，试确定这三个数的

大小关系。

思路：由B点在A点右边，知b-a>0，而A，B都在原点左边，故ab>0，又c>0，

这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小。

解：因为C点在1的右边，所以c>1，

因为A点在-1与之间，B点在与0之间，所以AB的距离大于而小于

1，即

由同样的理由有

，。

所以

又ab>0,故

从而有 0

所以

例2：设a,b是两个有理数，且a

证明1：∵ aa, ∴ b-a>0.

而

∴

∴

证明2 ∵

∴即

∴又

∴即

故

说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b 之间存在一个有理数，

由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。

§2、符号与括号

有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。

例3计算

思路：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，......，分别配对的方式计算，就能得到一系列的-1。

解：

下面需对n的奇偶性进行讨论：

当n为偶数时，上式是个（-1）的和，

即；

当n为奇数时，上式是个（-1）的和，再加上最后一项，所

以有

说明：两种情况可以合并为：

例4计算

解法1 原式=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+…+(1997+1998-1999-2000) =(-4)×500+2001=1

解法2 原式

说明：以上两例说明妙添括号，有利于快速解题。

§3、算对与算巧

求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有

这样做，他把这个算式头尾倒过来写成然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。

例5计算:

（1）；

（2）；

（3）

解：（1）应用关系式来进行“拆项”。

原式

（2）∵

…

，

∴原式=

或者用下面的“错位相减法”求和。

令，则

将这两式错位相减得

即

再将这两式错位后式减去前式得

∴；

（3）考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：

∴原式=

说明：分析和错位相减是有理数运算中常和的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。

例6计算

（1）；

（2）

，

思路与解：（1）直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为

，即原式分母的值是1，所以原式=24690。

（2）四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表

示以简化计算。

设，则

原式=

说明：通过以上例题可以看到，用字母表示数或表示一个式子，常常可使计算简化。

例7购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种物品各一件共需多少元？

解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995

元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因

为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物

品各一件共需

2×1995-2984=1006（元）

说明：用方程的观点解此题，思维更清晰，设购买物品i=1，2，3，4，

5

则，①

②

由2×①-② 得