电路原理 第7章 一阶电路(清华)

例
S(t=0) + 10V
iL RV
电压表量程为50V R=10Ω t=0时 打开开关S，
uV V
–
10kΩ
L=0.4H 电压表坏了,试分析其原因。
分析
iL
(0+)
=
iL(0−)
=1A
iL = e− t /τ
( t > 0)
( t ≥ 0)
uV = − RV i L = −10000e − t / τ
自由分量(暂态)
US
全解 0 - US
uC
′ uC
稳态分量
τ
′′ uC
t
暂态分量
t duC U S − RC i=C e (t > 0) = dt R
US R
i
0
t
能量关系：
电源提供能量一部分消耗在电阻上， 一部分储存在电容中，且wC = wR
w R = ∫ i 2 R dt = ∫
0 ∞ ∞ 0
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7.4 一阶电路的零状态响应
零状态响应（zero-state response）：储能元件初始能量为零， 在激励（电源）作用下产生的响应。 一、直流激励下的零状态响应 1. RC电路的零状态响应 S(t=0) R i + uR US C uC (0-)=0 解答形式为： 列方程 + uC -
+
iC
例2 10V
1Ω S
4Ω
t = 0时闭合开关S，求uL(0+)。 + L uL iL -
解
∵ u L ( 0 − ) = 0 ∴ u L ( 0 + ) = 0 对否？
需由0+电路求uL(0+)。 0+电路为 1Ω 4Ω
×
10V
+ L uL(0+) iL(0+) -
iL(0+)= iL(0−) = 2A
3 E m − RE m − uL (0 ) = 2 2ωL
+
3 E m REm + = 2ωL 2
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7.3
一阶电路的零输入响应
零输入响应（Zero-input response）：激励（电源）为零， 由初始储能引起的响应。 一、 RC放电电路 S(t=0) 已知 uC (0-)=U0 ，求 uC ，i 。 解 +
1 t = iL ( 0 ) + ∫0 u(ξ )dξ L
−
−
ψ = LiL
当u为有限值时
ψ = ψ (0 ) + ∫ − u(ξ )dξ
0
−
t
iL(0+)= iL(0-) ψL (0+)= ψL (0-)
磁链守恒
iL(0+)= iL(0-) ψL (0+)= ψL (0-)
磁链守恒
结论： 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感 电流（磁链）换路前后保持不变。 小结： 换路定则
2. 电路结构发生变化。 开关闭合 开关断开 参数变化 换路 三、分析方法 经典法 拉普拉斯变换法 状态变量法
思考： +
S
R1 R2 R3
uS -
有无过渡过程？ 时域分析法 复频域分析法 时域分析法
四、一阶电路（First-order Circuit） 由一个独立储能元件组成的电路, 描述电路的方 程是一阶微分方程。
q (0+) = q (0-) uC (0+) = uC (0-)
ψ (0+)= ψ (0-) iL(0+)= iL(0-)
注意 换路定则成立的条件。
三、电路起始条件（initial condition）的确定 例1 + 10V -
i 10kΩ 40kΩ
S
iC
+ t = 0时打开开关S uC - 求 uC (0+) 和 iC (0+)
∫
0+
0−
i (ξ )dξ = 0
q (0+) = q (0-) uC (0+) = uC (0-)
电荷守恒
结论 ： 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电 压（电荷）换路前后保持不变。
2. 电感
iL
+ u L -
di L u= L dt
1 t i L = ∫ u(ξ )dξ L −∞
1 t 1 0− i L = ∫ u(ξ )dξ + ∫ − u(ξ )dξ L −∞ L 0
′′ = A e uC
全解
−
t RC
′ + uC ′′ = U S + A e uC = uC
−
t RC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
A= - US
uC = U S − U S e
强制分量(稳态)
−
t RC
= U S (1 − e
−
t RC
)
( t ≥ 0)
τ大 τ小
过渡过程时间的长 过渡过程时间的短
uC U0
0 储能大 放电时间长 放电电流小
τ大 τ小 t
定性讨论（设电压初值一定）：
C 大（R不变） R 大（ C不变）
w = 0.5Cu2 i = u/R
t
uC = U 0e
−
0
t τ
τ
2τ
3τ
5τ
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
U0 e -2
例3 +
R
S
uS
-
� 已知： = u E sin( ω t + 60 )V + S m L uL + + + 求： i ( 0 ) , u ( 0 ) 和 u ( 0 )。 L L R iL -
解 对开关S打开前的电路，用相量法计算：
̇ I Lm
计算t =
Em ∠60� = jωL
−
Em iL = sin(ωt − 30� ) ωL
0.135 U0
U0 e -3
0.05 U0
U0 e -5
0.007 U0
工程上认为，经过 3τ ~ 5τ 的时间过渡过程结束。
τ ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
U0
uC
0 t1
t2 τ
t
uC ( t 2 ) = 0.368uC ( t 1 )
次切距的长度 t2-t1 = τ 分析：
i = −C
d uC dt
C
uC
–
+
i
R
uR
uC = uR= Ri
d uC RC + uC = 0 一阶齐次常微分方程 dt uC ( 0 + ) = U 0
–
设 uC = Ae
pt
d( Ae pt ) RC + Ae pt = 0 dt
RCApe pt + Ae pt = 0
特征方程（characteristic equation）为 特征根（characteristic root）为 则
t − RC
( t > 0)
I0
0
t
令 τ =RC , 称τ为一阶电路的时间常数（time constant）。
库⎤ ⎡ 安秒 ⎤ [τ ] = [RC ] = [欧][法] = [欧]⎡ [ ] ⎢ ⎥= 欧⎢ ⎥ = [秒] ⎣伏 ⎦ ⎣ 伏 ⎦
τ = RC
1 1 p=− =− RC τ
时间常数 τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。
uV (0+)=
- 10000V 造成
V 损坏。
iL
S(t=0) 改进措施 10V
续流 二极管
R=10Ω L=0.4H
小结 1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的 响应，都是一个指数衰减函数。
2. 衰减快慢取决于时间常数τ
RC电路 RL电路
τ = RC τ = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比。
Em Em � i L (0 ) = sin(ωt − 30 ) t = 0− = − ωL 2ωL
0－时iL的值
由换路定则得
Em i L (0 ) = i L (0 ) = − 2ωL
+ −
由 0+电路求uR(0+)和uL(0+)。
R
3Em 2 +
+
− Em 2ωL
+
+ uL(0+) -
− REm uR ( 0 ) = i L ( 0 ) R = 2ωL
RCp+1=0
1 p=− RC
uC = Ae pt
= Ae
−
1 t RC
起始值
uC (0+) = uC(0-)=U0
由起始值定待定系数
U 0 = Ae
A=U0
−
1 t RC
t =0
U0 uC
uC = U 0e
−
t RC
( t ≥ 0)
0
t i
uC U 0 i = e = R R
t − RC
= I 0e
i
( t ≥ 0)
I0
0
uL = − Ri = − RI 0e
−
t L/ R
( t > 0)
uL
0 -RI0
t t
令 τ = L/R , τ称为一阶RL电路时间常数
L 亨 韦 伏⋅秒 [τ ] = [ ] = [ ] = [ ]=[ ] = [秒] R 欧 安⋅欧 安⋅欧
定性讨论R、L对过渡过程的影响。 放电慢 设i(0)一定： L大 起始能量大 τ大 R小 放电过程消耗能量小 工程上认为，经过 3τ ～ 5τ 的时间过渡过程结束。
=0 特征方程 Lp+R Lp+R=
R 特征根 p = − L
i ( t ) = Ae pt
由初始值 i(0+)= I0 定待定系数A
A= i(0+)= I0
得 i ( t ) = I 0e pt = I 0e
R − t L
( t ≥ 0)
i = I 0e
R − t L
= I 0e
t − L/ R
uC
–
C
i = 0 , uC= US
i
US
S
uC C
初始状态 0
R
US
uC
+ –
?
过渡状态
t1
新稳态
t
过渡过程（transient process）： 电路由一个稳态过 渡到另一个稳态需要经历的过程。 过渡状态（瞬态、暂态） 二、过渡过程产生的原因 1. 电路内部含有储能元件 L ，M ， C。 dw p= 能量不能跃变 dt
0
∞
2
∞
t U 02 U 0 − RC 2 ( e ) R dt = R R
∫
∞
0
e
−
2t RC
dt
1 2 = CU 0 2
二、RL电路的零输入响应
R1 US R i
+ S(t=0) L
i (0+) = i (0-) =
US = I0 R1 + R
uL
–
L
di + Ri = 0 dt
(t > 0)
t1时刻曲线的斜率等于
duC dt
t1
U 0 − τt =− e τ
t1
1 = − uC ( t1 ) τ
按此速率，经过τ 秒后uC减为零。
能量关系:
设uC(0+)=U0
uC
+ -
C
R
电容C不断释放能量被R 吸收，直到全部消耗完毕。
1 2 电容放出能量 CU 0 2
电阻吸收能量
W R = ∫ i Rdt = ∫0
u L ( 0 + ) = −2 × 4 = −8 V
求起始值的一般步骤: （1）由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。 （2） 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 （3） 画0+等值电路。 a. 换路后的电路 b. t=0+时刻电容电压（电感电流）用电压源（电流源） 替代。方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 c. 独立源取t=0+时刻值。 （4） 由0+电路求所需各变量的0+值。
初始条件（initial condition）为 t = 0+时u ，i 及其各 阶导数的值。
二、换路定则（switching law）
1. 电容 1 t uC = ∫ i (ξ )dξ C −∞
i
uC
+ -
C
1 0− 1 t = ∫ i (ξ )dξ + ∫ − i (ξ )dξ C −∞ C 0
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7.2
电路中起始条件的确定
f(t) t
0- 0 0+
一、 t = 0+与 t = 0-的概念 换路在 t=0 时刻进行 0-
t = 0 的前一瞬间
0+ t = 0 的后一瞬间
f (0 ) = lim f ( t )
t →0 t <0
−
f (0 + ) = lim f ( t )
t →0 t >0
� 本章重点
• 初始值的确定 • 零输入响应 • 零状态响应 • 全响应 • 稳态分量 暂态分量
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7.1 动态电路概述
动态电路（dynamic circuit）: 用微分方程描述的电路 一、电路的过渡过程
i
US
S
R
S未动作前（稳态）
uC+
–
C
i = 0 , uC = 0
i
R US
+ S接通电源后很长时间（新稳态）
RC
duC + uC = U S dt
一阶非齐次线性常微分方程 。
′ + uC ′′ uC = uC
特解 通解
′ = US ′ ：特解（强制分量）uC uC
与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量
Baidu Nhomakorabea′′ ：通解（自由分量，暂态分量） uC
duC 齐次方程 RC + uC = 0 的解 dt
1 t = uC (0 ) + ∫ − i (ξ )dξ C 0
−
q=C uC
当t = 0+时
+
q = q(0 ) + ∫ − i (ξ )dξ
0
−
−
t
1 uC ( 0 ) = uC ( 0 ) + C
∫
0+
0−
i (ξ )d ξ
q (0+)
=
q (0-
)+
∫
0+
0−
i (ξ )dξ = 0
i(ξ)为有限值时
解 由换路定则 由换路前电路得 画0+电路，求iC(0+)
uC (0+) = uC (0-)
10 × 40 uC (0 ) = = 8V 10 + 40
−
i
+ 10V -
10kΩ + 8V -
iC (0 + )？ = iC ( 0 − ) = 0
×
10 − 8 iC ( 0 ) = = 0.2mA 10
R C
t U S − RC 2 ( e ) R dt R