经典平行四边形压轴题

1．如图，已知以△ABC 的三边为边在BC 的同侧作等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF 是什么四边形？写出理由。（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？

（3）当△ABC 满足什么条件时，以

A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？

2．（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．

90AEF o

，且EF 交正方形外角

DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证

AME ECF △≌△，

所以

AE EF ．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点

E 是边BC 的中点”改为“点

E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它

条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说

明理由；

（2）小华提出：如图

3，点E 是BC 的延长线上（除

C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“

AE =EF ”仍然成

立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

3．（20XX 年铁岭市）

ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE

△是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．

A

D

F

C G

E

B

图1

A

D

F

C G E B 图2

A

D

F

C G

E B

图3

A

G C

D

B

F

E 图

A

D

C

B

F

E G

图

（1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时．

①求证：

AEB ADC △≌△；

②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点

D 运动到什么位置时，四边形

BCGE 是菱形？并说明理由．

4．（20XX 年日照市）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

（1）求证：EG =CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转

45o ，如图②所示，取

DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍

然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通

过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

5（2009江西）如图1，在等腰梯形

ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点

F ．46AB

BC

，，60B

∠.

（1）求点

E 到BC 的距离；

F

B A

D

C

E

G

第24题图①

D

F

B

A

D

C

E

G

第24题图②

F

B

A

C

E

第24题图③

3

2

1G

E

F

D C

B

A （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过

P 作PM EF 交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，

连结

PN ，设EP

x .

①当点

N 在线段AD 上时（如图

2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出

PMN △的周长；若改变，请说

明理由；②当点

N 在线段DC 上时（如图

3），是否存在点

P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的

x

的值；若不存在，请说明理由

6．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD ⊥CF

成立．

（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ．①求证：BD ⊥CF ；②当AB =4，AD=

时，求线段BG 的长．

7.探究问题：⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠

EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．

A D E B

F C

图

4（备

A D E

B

F C

图

5（备

A D E B

F C

图1

图2

A D E B

F C P

N

M

图3

A D

E

B

F

C

P

N M