FFT 与小波变换的区别---FFT的缺陷
傅里叶变换和小波变换简介
小波应用
通常来讲， 离散小波变换 (DWT)用于信号编码，而连续小 波变换 (CWT)用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机 科学而CWT经常用于科学研究。 小波变换现在被大量不同的应用领域采纳，经常取代了傅里 叶变换的位置。很多物理学的领域经历了这个范式的转变，包括 分子动力学，从头计算(ab initio calculations),天文物理学，密度 矩阵局部化，地震地质物理学，光学，湍流，和量子力学。其他 经历了这种变化的学科有图像处理，血压，心率和心电图分析， DNA分析，蛋白质分析，气象学，通用信号处理，语言识别，计 算变换一样，小波变换可以用 于原始数据(例如图像)，然后将变换后的数据编码，得到有效的压 缩。JPEG 2000 是采用小波的图像标准。
它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变 换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信
号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的 许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里 程碑式的进展。
傅立叶，1768年生于法国
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傅氏变换简介
傅立叶变换历史： 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830) 在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广 泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的 解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很 多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换和小波变换都是信号处理领域中常见的数学工具。
傅里叶变换能够将一个信号分解成若干个正弦和余弦函数，这些正弦和余弦函数在频域中表示了信号的频率和振幅特征。
小波变换则是通过将信号与一组基函数进行内积运算，得到各个频带上的信号能量，从而实现信号的时频分析。
相较于傅里叶变换，小波变换具有多分辨率的特点，能够更细致地描述信号的时域与频域信息。
在信号处理、图像处理、通信等领域，这两个变换被广泛地使用。
傅立叶变换与小波变换的比较
傅立叶变换与小波变换的比较傅立叶分析和小波分析都是数字信号处理中常用的基本方法。
它们俩的共同点，都是用一些基本的东西（fourier是用sin和cos，小波是用不同的wavelet，如haar）来组合出各种各样的函数。
傅立叶分析是联系时域（或者是空间域）与频率域的纽带，是一种纯频域的应用最为广泛的信号分析方法，它在频域具有完全准确的定位性，但在时域无任何分辨能力。
换句话说就是，傅立叶分析反映了整个信号全部时间内的整体频域特性。
小波分析，顾名思义，就是又小又波动的分析。
“小”是指它在时域都具有紧支集或近似紧支集，这使得小波母函数在时频域都具有较好的局部特征（紧密集中）；“波动”是指小波函数具有正负交替的波动性。
若要用一句话来概括二者，可大致描述为：傅立叶分析是一种能在频域对信号进行准确分析的高效方法，小波则是针对傅立叶分析在时域上的不足而提出的，可以局部集中地在时频域对信号进行分析的方法。
通俗地说，傅立叶能联系空间（时间）域和频率域，但是不能有尺度的变化，另外，它对于频率域上反转对应回时域的某处却缺乏相应的处理能力，这是它的缺点。
也就是说，它可以告诉你，信号中的哪个频率高，但是无法告诉你具体高多少，哪个位置高，为什么这么高，却不能立刻告诉你。
小波就不一样了，具有多尺度特性，可以把频率强度和位置（时刻）联系起来，一定程度上解决了傅立叶分析分析的缺点。
小波分析已经在很多信号分析领域取得了出色的应用。
这并不是说小波分析方法可以替代傅立叶分析分析方法。
如果是单纯进行频率域上面的分析就没有必要使用小波分析方法，使用傅立叶方法更简单，效果也更好。
其实如果仅仅是为了简单的用一用小波的话，只要知道数字滤波器是怎么回事就会做小波分析了。
简单的说，在普通工程应用中，小波分析就是对一个序列做一次滤波就完了，只不过它这个滤波不一定是为了平滑减噪之类的，它滤波的结果在不同领域有不同的用途，比如说在语音信号压缩领域，就是利用它滤波以后，有很多0这样一个特点来达到压缩的目的，在信号奇异性检测领域，就是利用它滤波之后，原来的信号有突变的地方，滤波结果是一个较大的值，而没有突变的地方，滤波结果是接近于0的值，不过原本小波分析和傅立叶分析一样，都是很复杂的数学分析，只不过Mallet这个人通过一些方法证明了这个分析可以通过一个简单的滤波操作来完成，所以以后的工程应用中只要直接滤波就行了。
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比异同IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
傅里叶变换与小波变换区别
傅里叶变换的特点：
对于数据信号的去噪,傅立叶变换是将信号完全的放在频率域中分析,但无法给出信号在每一个时间点的变化情况,无论信号在时间轴上任何一点产生突变,都将会影响到整个频域的信号。
因此,傅立叶变换不能有效的区分出信号中出现的尖峰是由突变部分还是不平稳白噪声引起的。
小波变换的特点
小波变换是以某些特定的函数为基,将数据信号展开成级数系列,它是空间(时间)和频率的局部变换,因此,小波变换可同时在时域和频域中对数据信号进行多尺度联合分析,从而能有效地从信号中提取信息。
对于数据信号的去噪,由于小波分析可以同时在时域和频域中对信号进行联合分析,并且它具有多尺度细化分析的功能。
因此,我们可以在不同的分解层上和不同的小波基函数下对信号的突变部分和噪声进行有效的区分,从而实现信号的消噪。
从傅里叶变换到小波变换
从傅里叶变换到小波变换
傅里叶变换和小波变换都是信号处理中常用的数学工具。
傅里叶变换可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波，从而可以对信号的频率特性进行分析。
而小波变换则可以将一个信号分解为不同尺度和位置的小波函数，从而可以对信号的时间特性进行分析。
相比于傅里叶变换，小波变换能够更好地捕捉信号的瞬时特性，因此在一些特定的应用领域中更为适用。
然而，两者的原理和应用也有一些不同，需要根据具体的问题进行选择。
在实际应用中，傅里叶变换和小波变换经常会结合使用，以实现更全面的信号分析和处理。
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傅里叶变换小波变换
傅里叶变换和小波变换都是信号处理中常用的数学工具，常常被用来分析和处理时域信号和频域信号。
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转化为频域信号的数学方法，使我们能够将信号从时域的角度更好地观察。
傅里叶变换将一个连续时间的信号分解成一组正弦波，每个正弦波由其频率、振幅和相位三个参数组成。
傅里叶变换的应用非常广泛，例如在音频和图像处理、通信系统和控制系统等领域。
小波变换（Wavelet Transform）是另一种将时域信号转化为频域信号的数学方法，与傅里叶变换不同的是，小波变换采用的不是正弦波，而是非周期性的小波。
小波变换可以提供比傅里叶变换更丰富的频域信息，其主要优势在于它可以提供时间频率局部化的信息，从而更好地描述信号的瞬时特征。
小波变换的应用领域也非常广泛，如数据压缩、信号去噪、图像处理、模式识别等领域。
虽然傅里叶变换和小波变换都可以将信号从时域转化为频域，但它们的适用范围和方法有所不同。
在实际应用中，需要根据具体问题的需求和信号的特性选择合适的变换方法。
小波变换的优点和局限性
小波变换的优点和局限性小波变换（Wavelet Transform）是一种在信号处理和图像处理领域广泛应用的数学工具。
它具有许多优点，如多分辨率分析、时频局部化以及适应性等。
然而，小波变换也存在一些局限性，如辨析能力不足和计算复杂度高等。
本文将探讨小波变换的优点和局限性，并对其应用进行一些思考和讨论。
首先，小波变换具有多分辨率分析的优点。
传统的傅里叶变换只能提供全局频率信息，而小波变换能够提供不同尺度上的频率信息。
这使得小波变换在信号处理中能够更好地捕捉到信号的局部特征，并且能够对信号进行更精细的分析。
例如，在音频信号处理中，小波变换能够更好地分辨不同频率的乐音，使得音乐的音质更加清晰。
其次，小波变换具有时频局部化的优点。
传统的傅里叶变换无法同时提供信号的时域和频域信息，而小波变换能够在时频域上同时进行分析。
这使得小波变换在时频分析中能够更准确地捕捉到信号的瞬时特征，并且能够对信号的时频变化进行更精确的描述。
例如，在语音信号处理中，小波变换能够更好地分析语音信号的音调和音频的变化。
此外，小波变换具有适应性的优点。
小波基函数可以根据不同的应用场景进行选择和设计，从而适应不同类型的信号和数据。
这使得小波变换在不同领域的应用更加广泛和灵活。
例如，在图像处理中，可以根据图像的特点选择不同的小波基函数，从而更好地提取图像的边缘和纹理等特征。
然而，小波变换也存在一些局限性。
首先，小波变换的辨析能力不足。
由于小波基函数的局限性，小波变换在处理具有复杂频谱的信号时可能无法提供准确的分析结果。
例如，在处理包含多个频率成分的信号时，小波变换可能无法准确地分辨出各个成分的频率信息。
其次，小波变换的计算复杂度较高。
小波变换需要进行多次卷积和下采样操作，这导致了计算量较大。
尤其是在处理大规模数据时，小波变换的计算时间可能会很长。
这限制了小波变换在实时处理和大数据分析等领域的应用。
综上所述，小波变换具有多分辨率分析、时频局部化和适应性等优点，能够在信号处理和图像处理中提供更精细和准确的分析结果。
傅立叶变换和小波分析
傅立叶变换和小波分析无论是傅立叶变换还是小波变换，其实质都是一样的，既：将信号在时间域和频率域之间相互转换，从看似复杂的数据中找出一些直观的信息，再对它进行分析。
由于信号往往在频域有比在时域更加简单和直观的特性，所以，大部分信号分析的工作是在频域中进行的。
音乐——其实就是时/频分析的一个极好例子，乐谱就是音乐在频域的信号分布，而音乐就是将乐谱变换到时域之后的函数。
从音乐到乐谱，是一次傅立叶或小波变换；从乐谱到音乐，就是一次傅立叶或小波逆变换。
1、傅立叶变换可以理解为：任意一条在实数域内有意义的曲线都可以分解为若干个正弦曲线的叠加。
傅立叶变换与分形的原理其实是同源的，不要小瞧这个变换，它可能就是宇宙的一个最基本法则。
换句通俗的话说就是：无论多么复杂的物质，都可以用几种简单的基本物质通过一定方式的组合来构成。
小到分子原子，中到地形地貌，大到银河系宇宙，其实都是这样。
但是，傅立叶变换也有它的缺陷。
由于正弦波是无限宽度的，这使得被分析的信号也需要具有从负无穷大到正无穷大都有意义的特性，所以傅立叶变换不能很好的处理一些局部信号。
比如，一个在局部范围内有非0值而其余所有地方都等于0的函数，它的频谱会呈现出一幅相当混乱的状况。
这时，频域的信号反而不如时域的直观，频谱分析变得很艰难。
2、小波分析为了克服傅立叶变换的这些缺陷，数学家和工程师们已经开发出若干种使用有限宽度基函数进行变换的方法。
这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，这些有限宽度的波被称为“小波”（Wavelet）。
基于它们的变换被称为“小波变换”（Wavelet transforms）。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。
小波变换 傅里叶变换
小波变换傅里叶变换
小波变换和傅里叶变换都是信号处理中常用的数学工具。
它们用于将一个信号从时域转换到频域，以便更好地理解和分析信号。
傅里叶变换是一种经典的频域分析工具，它将信号分解成一系列正弦波的叠加，得到信号的频谱。
傅里叶变换的缺点是无法提供时间信息，只能给出频率信息。
此外，由于傅里叶变换是一种全局变换，无法适应信号的局部特性。
小波变换是一种局部变换，它可以分解信号成多个不同尺度和频率的小波。
与傅里叶变换不同，小波变换可以提供时间和频率信息，因此更适用于分析非平稳信号。
此外，小波变换还具有多分辨率特性，使得可以在不同尺度上观察信号。
总的来说，小波变换和傅里叶变换都有各自的优缺点。
在不同的应用场景中，可以根据需要选择合适的变换方法来分析信号。
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小波变换(DWT)短时傅里叶分析(STFT)与快速傅里叶(FFT)之间的关系
小波变换（DWT）短时傅里叶分析（STFT）与快速傅里叶（FFT）之间的关系首先，我们来了解一下小波变换（DWT）和快速傅里叶变换（FFT）之间的关系。
快速傅里叶变换（FFT）是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。
离散傅里叶变换将一个离散信号转换为具有信号频率和幅度信息的频域表示。
而FFT是一种高效的计算离散傅里叶变换的算法，它能够快速地计算大规模的傅里叶变换。
小波变换（DWT）基于一组称为小波函数的基函数。
小波函数具有局部性质，即在时间域上存在有限的持续时间，而在频域上具有广泛的频率范围。
这使得小波变换能够提供更好的时间和频率局部化能力，能够捕捉到信号的局部特征。
小波变换（DWT）与快速傅里叶变换（FFT）之间的关系在于，小波变换可以通过一系列小波滤波器和抽取器来实现，其中抽取器可以使用FFT进行计算。
具体来说，DWT将信号分解成不同尺度的小波系数，而抽取器则将小波系数进行下采样，通过FFT计算频域表示。
因此，可以说FFT是DWT的一个子过程，用于计算小波系数的频域表示。
而短时傅里叶分析（STFT）则是一种将信号分解成时间和频率的二维表示的方法。
STFT使用窗函数将信号分割成多个时间段，并对每个时间段进行快速傅里叶变换（FFT）以获得对应的频率表示。
与DWT不同，STFT的窗函数在时间和频率上都具有固定的尺度，因此STFT无法实现对不同尺度的频率局部化。
然而，可以通过使用多个不同尺度的窗函数来实现一种称为连续小波变换（CWT）的变体，这种变体具有类似于STFT中的时间-频率二维表示的特性。
连续小波变换将信号分解成一组连续尺度的小波系数，可以通过对每个尺度应用小波函数来实现。
这种连续尺度小波分解可以通过DWT和FFT的结合来实现，其中DWT用于尺度的离散变化，而FFT用于尺度内的频域表示。
总结起来，小波变换（DWT）、短时傅里叶分析（STFT）和快速傅里叶变换（FFT）在信号和图像处理中具有不同的应用。
最新小波变换与傅里叶变换的对比、异同
小波变换与傅里叶变换的对比、异同------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz 基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理三、快速算法。
如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换（FFT）。
这里我不想解释过多的基2算法，和所谓的三重循环，还有那经典的蝶形单元，或是分裂基之类，我想说的就是一种时频对应关系。
也就是算法的来源。
我们首先明确，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可以先做傅里叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅里叶变换。
这里要注意，实际我们在玩DSP。
因此，大家要记住，圆周卷积和离散傅里叶变换，是一家子。
快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。
因此，我们实现离散线性卷积，先要补零。
然后使得它和圆周卷积相等。
然后就是快速傅里叶变换，频域相乘，最后反快速傅里叶变换。
当然，如果我们就需要的是圆周卷积，那我们也就不需要多此一举的补零。
这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。
这点很重要。
Y=AX。
这里的A是循环矩阵。
但不幸的是A仍然是满阵。
小波的快速算法。
MALLAT 算法，是一个令人振奋的东西。
FFT与小波变换的区别---FFT的缺陷
分段平稳信号这两种波形的FFT完全一样！完全分不出信号出现的位置，说明傅里叶变换缺乏时间对频率的定位功能。
小波则可以还原。
经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
傅里叶变换：1）首先傅里叶变换是傅里叶级数（有限周期函数）向（无限周期函数）的扩展，将该函数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和（或积分）。
2）傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域的积分，显然我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。
3）经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
4）从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数{1/sqrt(2π),sin(t)/sqrt(π),cos(t)/sqrt(π),...}看做一个线性函数空间的一个基，这里与线性代数里的线性空间有两点不同，第一该处是函数空间，每个元素都是一个函数而不是一个数，第二这里是无限维空间，基有无限多个元素。
但是这并不影响我们的理解。
我们可以像在有限维线性空间中那样将傅里叶变换理解为这个函数在以三角函数为基的空间的展开，而将傅里叶逆变换理解为一个旋转（或其他变换），举个例子：一个立方体，正着放的时候我们看到的是正面（频域），当我们旋转一下，我们可能看到其他面比如反面（时域）。
FFT与小波变换的区别---FFT的缺陷
分段平稳信号这两种波形的FFT完全一样！完全分不出信号出现的位置，说明傅里叶变换缺乏时间对频率的定位功能。
小波则可以还原。
经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
傅里叶变换：1）首先傅里叶变换是傅里叶级数（有限周期函数）向（无限周期函数）的扩展，将该函数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和（或积分）。
2）傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域内的积分，显然我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。
3）经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
4）从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数{1/sqrt(2π),sin(t)/sqrt(π),cos(t)/sqrt(π),...}看做一个线性函数空间的一个基，这里与线性代数里的线性空间有两点不同，第一该处是函数空间，每个元素都是一个函数而不是一个数，第二这里是无限维空间，基有无限多个元素。
但是这并不影响我们的理解。
我们可以像在有限维线性空间中那样将傅里叶变换理解为这个函数在以三角函数为基的空间的展开，而将傅里叶逆变换理解为一个旋转（或其他变换），举个例子：一个立方体，正着放的时候我们看到的是正面（频域），当我们旋转一下，我们可能看到其他面比如反面（时域）。
小波变换与傅里叶变换比较PPT文档共28页
能用傅里叶变换分析的函数都可以用小波变换
母小波缩放平移代替正弦波
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换特点：
1. 无约束基，即随着j，k增大系数迅速减小 2. 小波变换可对信号特征局部描述和分离 3. 小波变换具有可调性和可适性 4. 小波的定义方程只有乘法和加法
Thank you
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
傅里叶变换 用一系列不同频率的正弦信号表示一个信号 一系列不同频率的正弦信号是傅里叶变换的基函数
结果对比
小波变换与傅里叶变换比较
比较实例2 正弦信号与白噪声叠加
小波变换与傅里叶变换比较
利用db5小波5层分解
低频系数
高频系数
小波变换与傅里叶变换比较
a5重构结果
时域
频域
小波变换与傅里叶变换比较
结果对比
小波变换与傅里叶变换比较
比较实例3 noisbloc信号
小波变换与傅里叶变换比较
利用haar小波5层分解
硬阈值
软阈值
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
小波变换与傅里叶变换比较
总结
I. 平稳信号与瞬变信号 II. 整体与局部 III.适用性与灵活性
小波变换与傅里叶变换比较
谢谢大家！
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
小波变换比傅里叶变换好在哪里_小波变换与傅里叶变换详解
小波变换比傅里叶变换好在哪里_小波变换与傅里叶变换详解小波变换与傅里叶变换有什么区别吗？小波变换与傅里叶变换哪个好？我们通过小波变换与傅里叶变换的详细解读、小波变换与傅里叶变换的区别、傅里叶变换缺点方面来解析。
小波变换与傅里叶变换的区别傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分析。
小波分析中，利用联合时间一尺度函数分析信号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进行时频域分析。
傅里叶变换的不足
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。
而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。
尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信有天生缺陷。
它只能获取一段信总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。
因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
小波变换与傅里叶变换详解从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。
小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。
下面就按照傅里叶--》短时傅里叶变换--》小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。
一、傅里叶变换关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。
小波变换与小波滤波.
用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要 比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小 波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。
15
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time / s
二、小波分析的去噪原理
在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性， 非平稳,并且奇异点较多的特点。含噪的一维信号模型 可表示为：
s(t) f (t) σ *e(t) t 0,1,, n _1
其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， 为噪声σ 标准偏差。
34
1.7 小波重构
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
重构过程为：A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1； A1+D1＝S。
应用之一：小波分析信号去噪中的应用
主要内容
心电信号的噪声特点 小波分析与传统信号处理方法的比较 小波去噪的基本原理 小波去噪的基本步骤 小波去噪中的阈值函数和阈值的选取 小波去噪中小波函数的选择 去噪效果的评价 程序说明 总结
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1.6 离散小波变换（DWT）
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法(马 拉)。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数 字信号处理中常称为双通道子带编码。
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1.6 离散小波变换（DWT）
一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号 的近似值A（Approximations）
小波变换与短时傅里叶变换的区别和联系
小波变换与短时傅里叶变换的区别和联系小波变换(Wavelet Transform,WT)和短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform,STFT)都是数字信号处理中常用的工具,用于分析不同频率范围内的信号。
虽然它们在原理和实现上有一些相似之处,但它们在某些方面也存在明显的区别和联系。
区别:
1. 小波变换和短时傅里叶变换的应用场景不同。
小波变换通常用于分析时域信号,如音频和视频信号,而短时傅里叶变换则通常用于分析频域信号,如振动信号和雷达信号。
2. 小波变换的参数更复杂。
与短时傅里叶变换相比,小波变换需要指定多个参数,包括小波基的选择、小波系数的尺度和频率范围等,因此计算相对复杂。
3. 小波变换的应用范围更广。
除了音频和视频信号外,小波变换还可以应用于信号处理中的许多领域,如图像处理、模式识别、文本分析等。
联系:
1. 小波变换和短时傅里叶变换都是基于数字信号处理的理论,用于分析不同频率范围内的信号。
2. 小波变换和短时傅里叶变换都可以将信号分解成不同频率范围内的子频,从而实现频域和时域的分析。
3. 小波变换和短时傅里叶变换都可以用于信号的可视化和滤波,以提高信号的质量和可读性。
4. 在某些应用中,如音频信号的均衡器设置和降噪处理,小波变换和短时傅里叶变换也可以结合使用,以提高处理效果。
小波变换和短时傅里叶变换都是数字信号处理中常用的工具,它们在某些方面也存在明显的区别和联系。
了解它们的不同之处和联系,可以帮助用户更好地应用它们,以实现更好的信号处理效果。
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分段平稳信号
这两种波形的FFT完全一样！完全分不出信号出现的位置，说明傅里叶变换缺乏时间对频率的定位功能。
小波则可以还原。
经过傅里叶变换
之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
傅里叶变换： 1）首先傅里叶变换是傅里叶级数（有限周期 函数） 向（无限周期 函数）的扩展，将该函数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和（或积分）。
2）傅里叶级数中各项系数例如cosx 项系数是原函数与其在某一定义域内的积分，显然我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。
3）经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。
傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是此时需保证变换时t 不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。
可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
4） 从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数
{1/sqrt(2π),sin(t)/sqrt(π),cos(t)/sqrt(π),...}看做一个线性函数空间的一个基，这里与线性代数里的线性空间有两点不同，第一该处是函数空间，每个元素都是一个函数而不是一个数，第二这里是无限维空间，基有无限多个元素。
但是这并不影响我们的理解。
我们可以像在有限维线性空间中那样将傅里叶变换理解为这个函数在以三角函数为基的空间的展开，而将傅
里叶逆变换理解为一个旋转（或其他变换），举个例子：一个立方体，正着放的时候我们看到的是正面（频域），当我们旋转一下，我们可能看到其他面比如反面（时域）。
短时傅里叶变换：
由上叙述可知傅里叶变换之后的图像仅包含频域信息，丢失了时域信息，在那些同时需要频域和时域信息的时候（在什么时候存在哪些频率）就显得无能为力，因此出现了短时傅里叶变换，短时傅里叶变换认为在一个小的时间段deltat内信号是稳定的，信号包含的频率是不变的，利用一个窗口函数与原始函数卷积，在特定的时间仅计算该时间前后共deltat时间内的信号的傅里叶变换作为该时间点的傅里叶变换，即该时刻的频谱。
小波变换：
虽然短时傅里叶变换可以解释一些问题，但是由于窄的窗口函数时间分辨率高但是频率分辨率低，而宽的窗口函数频率分辨率高但时间分辨率低，低频信号时间分辨率较低而频率分辨率较高，此处时间分辨率低很容易理解，因为波长越长，他在不同的时段的贡献就越多，前几个时段或后几个时段都可能也包含了部分信号导致针对某一频率在时间变化时得到的相关系数变化缓慢，尖峰较宽，分辨率低，对于频率分辨率不是很好理解，我是这样理解的，低频信号波长较长，在于原始信号相关时微小变化对相关系数影响大，而高频信号波长短，频率的微小变换对相关系数的影响不是很明显。
而短时傅里叶变换窗口大小固定，不能同时得到较好的时间和频率分辨率。
这样便产生了小波，小波可以理解为是在短时傅里叶变换的基础上对窗口函数增加了一个尺度因子，该尺度因子随着频度变化而变化，使得在低频时降低窗口宽度增加时间分辨率而在高频时增加窗口宽度增加频率分辨率。
暂时写到这里，各位有什么精彩的理解或指教尽管发言，谢谢。
来源：李端顺
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源地址: /GetEntry.do?id=495880219&owner=229912909
傅立叶变换的缺点
傅里叶变换具有良好的性质，能够实现时域到频域相互转换，它实质是将f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加。
这样我们就可以把对原函数f(t)的研究转化为不同频率分量的幅值和相位的研究。
从傅里叶变换公式可以看出，它是以正弦波及其高次谐波为标准基的，因此它是对信号的一种总体上的分析，具有单一的局部定位能力，也就是在时域的良好定位是以频域的全部信号分析为代价的，对频域的良好定位是以时域的全部信号分析为代价的，时域和频域分析具有分析上的矛盾，傅立叶变换的频率谱中要么频率是准确的而时间是模糊的，要么时间是准确的而频率是模糊的，它不可能同时在时域和频域都具有良好的定位的能力。
傅立叶变换是建立在平稳信号的基础上的，在非平稳时变信号的分析上，它却无能为力。
傅立叶变换把信号的时域特征和频域特征联系在一起，使我们可以从信号的时域和频域两个角度观察和分析信号，但是二者却是绝对分离的，即在频域不包含任何时域信息，在时域中同样找不到任何频域信息的影子。
对于傅立叶频谱中的某一频率，不知道这一频率是何
时产生的，只能从全局上分析信号。
这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。