高中数学新教材必修第二册专题6.2 平面向量的运算(第二课时)(解析版)

6.2 平面向量的运算（第二课时）

运用一 向量的线性运算

【例1】（1）（2019·河北定州一中高一开学考试）化简

()()

112a 8b 4a 2b 32⎡⎤

+--⎢⎥⎣⎦

的结果是( ) A ．2a b - B ．2b a - C ．b a - D ．a b -

（2）．将1

12

[2(2a +8b )-4(4a -2b )]化简成最简形式为( ) A.2a -b B.2b -a

C.a -b

D.b -a

（3）

212

()(24)(213)5315

a b a b a b --+++等于（ ）

A.2a

B.2

3

b C.0

D.0

【答案】（1）B （2）B （3）C 【解析】（1）原式等于()1124a 42b a 2b 32⎡⎤⎛⎫

⨯-++=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

．故选：B ． （2）

()()()

111

22844241616812242121212

a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤+--=+-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦.

故选B.

（3）

2122224426

()(24)(213)0531555331515

a b a b a b a b a b a b --+++=---++= 故选C 【举一反三】

1．化简()()

323223a b b a ---=___________． 【答案】1213a b -

【解析】由题意，可得()()

32322369461213a b b a a b b a a b ---=--+=-， 故答案为1213a b -．

2．1(23)3()3

a b a b --+=________________。

【答案】7

43

a b --

【解析】

()()

127

233334333a b a b a b a b a b --+=---=-- 故答案为7

43

a b --

运用二 共线定理

【例2-1】设,a b 是不共线的两个非零向量.

（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线； （2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；

（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4±.（3）4

3

k =

. 【解析】证明：（1）22AB OB OA a b AC OC OA a b =-=+=-=--，，所以AC AB =-. 又因为A 为公共点，所以A B C ，，三点共线.

（2）设()

82a kb ka b λλ+=+∈R ，，则82k k λλ=⎧⎨

=⎩

，

， 解得42k λ=⎧⎨=⎩，或42k λ=-⎧⎨

=-⎩

，

， 所以实数k 的值为4±.

（3）()()

2332AC AB BC a b a b a b =+=++-=-， 因为A C D ，，三点共线，所以AC 与CD 共线.

从而存在实数μ使AC CD μ=，即()

322a b a kb μ-=-，

得322.k μμ=⎧⎨-=-⎩，解得32

4.

3k μ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，所以43k =.

【例2-2】（2019·湖南高三期末（理））如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为__________．

【解析】根据条件：1AC AN y =

，1

AB AM x

=； 又11

33

AG AB AC =

+；∴1133AG AM AN x y =+； 又M ，G ，N 三点共线；∴

1133y x

+=1； ∵x ＞0，y ＞0；

∴3x +y ＝（3x +y ）（1133x y +）44333x y y x =++≥+=

3x +y 的最小值为43+．当且仅当3x y y x =时“=”成立．故答案为：43

+．

【举一反三】

1．（2017·天津市新华中学高一期末）已知a 与b 是两个不共线向量，且向量(

)a b λ+与()

3b a -共线，则

λ的值为____．

【答案】1

3

-

【解析】由向量共线可得：()

3a b k b a λ+=-，即3a b kb ka λ+=-

13k k

λ=-⎧∴⎨=⎩，解得：13λ=-本题正确结果：13-

2．已知向量,a b 为平面内所有向量的一组基底，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则

,,,A B C D 四点中一定共线的三点是_________.

【答案】,,A B D

【解析】()()()

5672222BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=，所以,,A B D 三点共线.故答案为

,,A B D

3．（2019·四川双流中学高二开学考试（文））已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ∉，若正实数x 、y 满足42OP xOA yOB =+，则

11

x y

+的最小值为______.

【答案】

34

+ 【解析】

42OP xOA yOB =+，24

x y

OP OA OB ∴=

+， 由于A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，所以124

x y

+=，

又0x >，0y >，由基本不等式得

1111324244x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3344

+≥=，

当且仅当4y ==时，等号成立，

因此，11x y +的最小值为34+，故答案为：

34

+. 4．已知两个非零向量a b ，不共线，23OA a b OB a b OC a b =+=+=+，

，. （1）证明：A B C ，

，三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +与a kb +共线. 【答案】（1）详见解析（2）1k =±

【解析】（1）因为23OA a b OB a b OC a b =+=+=+，，， 所以2()AB OB OA a b a b b =-=+-+=，

3()2AC OC OA a b a b b =-=+-+=，

所以2AC AB =，即AC 与AB 共线.

又因为AC 与AB 有公共点A ，所以A B C ，

，三点共线. （2）因为a b ，为非零向量且不共线，所以0a kb +≠.