工程力学弯曲变形
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三、挠度与转角的关系
tan dw , arctan(dw)
dx
dx
在小变形下 tan dw w' (x)
dx
§12-2 挠曲轴近似微分方程
纯弯曲:
1M
EI
非纯弯曲:
1 M (x)
(x) EI
(略去剪力对梁变形的影响)
由高数知识可知,平面曲线 w w(x) 上任一点的曲率为
d2w
EI
d2w2 dx 2
bF l
x F(x a)
转角方程
EI1( x)
bF 2l
x2
C1
挠曲轴方程
EI2( x)
bF 2l
x2
F 2
(x
a)2
C2
EIw1( x)
bF 6l
x3
C1 x
D1
EIw2( x)
bF 6l
x3
F 6
( x a)3
C2x
D2
⑶ 确定积分常数
EIw1 (0)
叠加法:梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。
应用前提:(1)线弹性范围内的小变形; (2)内力、应力和变形与载荷成线性关系。
工 具:附录D 注 意:
(1)当载荷方向与表中载荷方向相反时,则变形要变号; (2)转角函数可由挠度函数微分一次得到。
例:图示简支梁,同时承受均布载荷q和集中载荷F作用,试用 叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。
1 EI
[ bF 2l
x2
F 2
( x a)2
Fb (b2 6l
l 2 )]
挠曲轴方程
w2( x)
1 EI
[ bF 6l
x3
F 6
( x a)3
Fb (b2 6l
l2)x]
⑸ 确定最大挠度
A 0
C
1 EI
[ bF 2l
a2
Fb (b2 6l
l 2 )]
Fab 3 EI z l
(a
b)
0
解:⑴ 列弯矩方程,建立如图坐标系
AC段(0 ≤ x≤a)
M1( x)
bF l
x
CB段(a ≤ x≤l)
bF M2(x) l x F(x a)
⑵积分
AC段(0 ≤ x≤a)
CB段(a ≤ x≤l)
弯矩方程
M1( x)
bF l
x
bF M2(x) l x F(x a)
挠曲轴近似微分方程
EI d2w1 bF x dx2 l
1
(x)
1
d2x ( dw )2
dx
3/2
d2w
d2x
1
(
dw dx
)
2
3/
2
M (x) EI
挠曲轴微分方程
在小变形下 (dw远)2小于1,挠曲轴方程简化为 dx d2w M (x) d2x EI
挠曲轴近似微分方程
d2w M (x) d2 x EI
近似微分方程适用于 弹性范围内小挠度平面 弯曲。
C2a
D2 ]
解得:
C1
C
2
Fb (b2 6l
l2)
D1 D2 0
⑷ AC段(0 ≤ x≤a)
转角方程
1 ( x)
1 EI
[ bF 2l
x2
Fb (b2 6l
l 2 )]
挠曲轴方程
w1( x)
1 EI
[ bF 6l
x3
Fb 6l
(b2
l 2 ) x]
CB段(a ≤ x≤l)
转角方程
2(x)
§12-3 积分法求弯曲变形
d2w d2x
M (x) EI
转角方程
dw dx
M (x)dx EI
C
挠曲轴方程
w
M (x)dxdx EI
Cx
D
C、D 为积分常数,由以下两类条件确定:
1.边界条件:梁截面的已知位移条件或位移约束条件。如:
固定端截面
w 0, 0
铰支座截面 w 0
弯曲变形对称截面 0
1. 将BC刚化,分析简支梁AB的变形,将分布载荷q平移到B截面,
EI
d2w d2x
F
(l
x)
转角方程 EI (x) F x2 Flx C
2
挠曲轴方程 EIw(x) F x3 Fl x2 Cx D 62
⑶ 确定积分常数
在固定端A,转角和挠度均应等于零,即
x 0,A 0
x 0, wA 0
EI (0) F 02 Fl0 C
2 EIw(0) F 03 Fl 02 C0 D
一、挠度(w):横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的
线位移(mm) 。
挠曲轴方程: w w(x)
向上的挠度 w 0
挠曲轴是挠度方程的函数曲线
向下的挠度 w 0
二、转角( ):横截面的角位移,也等于挠曲轴在该截面处的
切线与x 轴的夹角(rad)。
转角方程: (x)
逆转 0 顺转 0
2.光滑连续条件:挠曲轴是一条光滑连续的曲线,任一截面 的挠度和转角只有一个确定的值。
例:图示为一悬臂梁,EI=常数,在其自由端受一集中力F 的作用,试 求此梁的挠曲轴方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角。
解:(1)选取坐标系如图所示, 梁的弯矩方程为
M (x) F(l x)
⑵ 挠曲轴近似微分方程
所以转角为零的点在AC 段
1(x)
1 EI
[ bF 2l
x2
Fb (b2 6l
l 2 )]
0
x l2 b2 3
wmax w(
l2 b2 ) 3
3Fb (l 2 b2 )3 27 EI z l
§12-4 叠加法求弯曲变形
积分法:优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定 某些特定截面的转角和挠度,而并不需求出转角和挠度 的普遍方程时,积分法就显得过于累赘;另外,当梁上 同时作用多个荷载时,采用积分法需确定多个积分常数。
62
C 0, D 0
(4)梁的挠曲轴方程和转角方程分别为
(x) F (1 x2 lx)
EI 2 w(x) F (x3 3lx2 )
6EI
⑸ 确定最大挠度和最大转角
梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B 处
max
B
Fl2 2EI
, wmax
wBΒιβλιοθήκη Fl3 3EI例:简支梁AB如图所示(图中a > b),承受集中载荷F作 用,梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程, 并确定挠度的最大值。
bF 6l
03
C1
0
D1
0
EIw2 (l )
bF 6l
l3
F 6
(l
a)3
C2l
D2
0
1(a)
1 EI
( bF 2l
a2
C 1)
2(a)
1 EI
[ bF 2l
a2
F 2
(a
a)2
C2]
w1 (a )
1 EI
( bF 6l
a3
C1a
D1 )
w2 (a )
1 EI
[ bF 6l
a3
F 6
(a
a)3
解:查附录D,均布载荷q单独作用时
wCq
5ql 4 384EI
集中载荷F单独作用时
wCF
Fl3 48EI
截面C的挠度:
wC
wCq
wCF
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
逐段刚化叠加
例:外伸梁所受载荷及尺寸如图示,弯曲刚度EI已知。试求截面 C的挠度。
解:将该梁看作是由简支梁AB和固定在截面B的悬臂梁BC组成。