弯曲应力(工程力学)概要

§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
§6－１ 梁的纯弯曲
1、横力弯曲 q
横截面上既有剪力Q又有 弯矩M的情况
2、横力弯曲构件横截面上的（内力）、应力
剪力Q 内力
弯矩M
剪应力t 正应力s
aP A
Q
Pa B
则二方面都要考虑。
s max t s t
s max c s c
目录
M
s max Wz
s
依此强度准则可进行三种强度计算：
校核强度：
、校核强度：
设计截面尺寸：
s max [s ]
Wz
M
[s ]
设计载荷： M Wz[s ]; [P] f (M )
q=3.6kN/m
A L=3m
M
qL2
8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
B 面木梁如图，[s]=7MPa，试求最
大正应力,并校核梁的正应力强度。
解：画内力图求危面内力
qL2 3600 32 M max 8 8 4050 Nm x 求最大应力并校核强度
s max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
③画危面应力分布图，找危险点
s A4
c
M B y2 Iz
4 88 763108
46.2MPa
s A 2
t
M C y2 Iz
2.5 88 763 10 8
28.2MPa
s A3
t
M B y1 Iz
4 52 763108
27.2MPa
结论：对于截面关于中性
轴不对称的弯曲构件，最
M
2.5kNm
M C 2.5kNm (下拉、上压 )
A1 y1 G y2
A2
-4kNm A3
A4
M B 4kNm（上拉、下压）
画危面应力分布图，找危险点
s A4
c
M B y2 Iz
4 88 763108
46.2MPa
s A 2
t
M C y2 Iz
2.5 88 763 10 8
28.2MPa
6.25MPa 7MPa [s ]
P1=9kN
P2=4kN
A
CB
D
y1
G
z
1m 1m 1m
y2
M
2.5kNm
-4kNm 解：求支座反力并画弯矩图
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，铸铁的[st]=30MPa，[sc]=60
MPa，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
弯曲近似成立。 l
横力弯曲正应力公式
s My
IZ
横力弯曲最大正应力
M
s max WZ
目录
q=3.6kN/m
A L=3m
M
qL2
8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截 B
面木梁如图，试求最大正应力。
解：画内力图求危险截面上 的内力
M max
qL2 8
3600 32 8
4050 Nm
大弯矩的截面不一定是产
生最大拉应力或最大压应
力的截面。
§6－４ 弯曲正应力的强度条件
σmax
M y max Iz
M WZ
σ
1.对等截面梁且截面关于中性轴对称，弯矩最大截面的上
下边缘产生最大正应力
２.若截面关于中性轴不对称，注意最大正应力的计
算。
３.若材料为脆性材料，脆性材料的抗拉和抗压性能不同，
x 求最大应力
s max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
Ｃ
y1
z
1m 1m 1m
y2
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点，
解：求支座反力
y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩
假设：纵向纤维无相互挤压。
4. 几何方程：
a
b
dq
x
A
y
B
y
O
A1
O1 B1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
c
d
y
) ))
y
) x
A1B1 AB AB
A1B1 OO1 OO1
( y)dq dq dq
y
x
y
...... (1)
（二）物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应 力状态。
在横截面上建立坐标系：以对称轴为y轴,以中性轴为Z轴。
3 . 纯弯曲
某段梁的内力只有弯 矩没有剪力时，该段梁的 变形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
4 . 纯弯曲段横截面上的应力
只有正应力，没有剪 应力
§6－2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
M
M
纵向对称面
a
c
b
d
M
a
c
b
d
（一）变形几何规律： 1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）变
形后仍为直线，但有转动； M
纵向线变为曲线，且上缩
下伸；横向线与纵向线变
形后仍正交。
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
纵向对称面 中性层
中性轴
3.假设
纵向对称面 中性层
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，且与弯曲后的轴线垂直。距中性层等高处的纵向纤维 变形相等。
Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大 拉应力及最大压应力。
RA 2.5kN ; RB 10.5kN ②画弯矩图并求危面内力
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
M
2.5kNm
A1 y1 G y2
A2
-4kNm A3
A4
x
M C 2.5kNm (下拉、上压 ) M B 4kNm（上拉、下压）
s
E x
Ey
...... (2)
（三）静力学关系：
z (中性)轴过形心
故y,z轴为形心主轴。
1 M s E y
EIZ
s My
I 目录
Z
s My
IZ
正应力沿梁高的分布： 线形分布
（四）最大正应力：
s max
Mymax Iz
令
Wz
I z ymax
抗弯截面模量。
s
max
M WZ
几种截面的抗弯截面模量:
b
d
a d
D
D
b B
矩形
Wz
Iz ymax
bh2 6
圆环
Wz
Iz D3 (1a 4)
ymax 32
回字框
Wz
BH 6
2
(1
bh3 BH 3
)
§6－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力
弹性力学精确分析表明，
q
当跨度 l 与横截面高度 h 之
比 l / h > 5 （细长梁）时，
纯弯曲正应力公式对于横力
s A3
t
M B y1 Iz
4 52 763108
27.2MPa
校核强度:
s max t 28.2 s t
s max c 46.2 s c
§6－5弯曲剪应力