埃博拉病毒传播分析与数学建模

****大学数学建模竞赛
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埃博拉病毒传播分析
摘要
本文的研究对象为1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区发现的埃博拉病毒。

埃博拉病毒是一种生物安全等级为4级，并且能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，其主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。

其病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。

面对其强大的传染力和对人类健康的巨大威胁，本文通过数学建模的方法了解埃博拉病毒的传播规律，并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

本文中，首先我们根据已给的信息及相关假设数据，通过对已知条件和所给表格书记的分析，我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程，因此我们采用了excel拟合曲线，分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线，估计参数，再根据其建立数学模型，并用MATLAB求解方程组，调试参数，从而得到我们需要的结果。

其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析，可以得出人类通过严格的药物控制过后，对其发病和潜伏的影响，从而能够达到对疫情的控制的作用，并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻的了解，以为更好的控制埃博拉病毒做出贡献。

关键词：非线性曲线拟合；微分方程；MATLAB；数学模型
1问题的重述
1.1背景
埃博拉病毒（又译作伊波拉病毒）于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后，引起了医学界的广泛关注和重视。

该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，其生物安全等级为4级。

埃博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。

各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。

发病后1～4天直至死亡，血液都含有病毒。

埃博拉病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之间），致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。

当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播；只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。

在疾病的早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度的传染性，在此期间接触病人甚至可能不会受感染，随着疾病的进展，病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性；存在似乎天生就对埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。

埃博拉病毒很难根除，迄今为止已有多次疫情爆发的记录。

据百度百科，最近的一次在2014年。

截至2014年9月25日，此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡，另有6500被确诊感染。

更为可怕的是，埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播！
1.2问题
假设某地区有20万居民和3000只猩猩。

人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。

研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息，请你根据相关信息，研究回答以下问题：
1、根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在
“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，并以下述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；
2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，
并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并以下述格式给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；
3、假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接
触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。

请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据，数据格式同问题2；
4、请依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫
药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。

2问题分析
问题一的分析
通过对已知条件的分析，并通过给出的表格数据，大致明白猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈。

我们通过excel作出发病随时间的变化曲线，潜伏随时间变化曲线，估计参数。

然后通过建立数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其死亡，自愈等曲线与给出表格大致相同，然后通过建立的模型求出问题一。

问题二的分析
同问题一分析，我们通过excel作出相应处于发病状态的曲线，自愈以及死亡和隔离的曲线，估计模型相应的参数。

然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。

问题三的分析
同问题二分析，我们通过excel作出治愈率提高80%后相应处于发病状态的曲线，自愈以及死亡和隔离的曲线，估计模型相应的参数。

然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。

问题四的分析
通过上术数据和曲线图的分析，可以很清楚的看出当有人类干预后即就是严格的通过药物后，发病和潜伏等都有很明显的改善。

3假设与符号
模型的假设：
由于埃博拉病毒的传播期限不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率；
平均潜伏期限为6天；
处于潜伏期的埃博拉病人不具有传染性。

符号说明：
t0 表示从最初发现埃博拉患者到卫生部门采取预防措施的时间间隔；
N 表示疫区总人口数；
S(t) 表示t时刻健康人数占总人口数的比例；
I(t) 表示t时刻感染人数占总人口数的比例；
E(t) 表示t时刻潜伏期的人口数占总人口数的比例；
Q(t) 表示t时刻退出类的人数占总人数的比例；
λ(t) 表示日接触率，即表示每个病人平均每天有效接触的人数；
N’表示疫区总猩猩口数；
S(t)’表示t时刻健康猩猩数占总猩猩数的比例；
I(t)’表示t时刻感染猩猩数占总猩猩数的比例；
E(t)’表示t时刻潜伏期的猩猩数占总猩猩数的比例；
Q(t)’表示t时刻退出类的猩猩数占总猩猩的比例；
λ(t)’表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触的猩猩数；
λ(t)’’表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触的人数；
g(t) 表示政府控制力度；
f(t) 表示疫情指标。

4 模型的建立与求解
问题一模型的构建
由问题的分析，将猩猩群分为易感猩猩群S ，病毒潜伏猩猩群E ，发病猩猩群I ，退出者Q 四类：
易感人群S 与病毒潜伏人群E 之间的转化
易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个病人平均每天有效接触的健康人数为λ(t)S ，NI 个病人平均每天能使λ(t)SNI 个易感者成为病毒潜伏者。

故
''''''
I N S dt ds N λ-=,即''''I S dt
ds
λ-= 病毒潜伏人群E 与发病人群I 间的转化
潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量，即 ''')'(''
E I t S dt dE ελ-=。

发病人群I 与退出者Q 间的转化
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
'''I dt
dQ
ω= ''''
I S dt ds λ-= ''')'(''
E I t S dt dE ελ-= '''I dt
dQ
ω= 1''''=+++Q I E S
')'0(,')'0(,')'0(,')'0(0000Q Q I I E E s S ====
很明显从我们建立的模型是无法得到E ’,S ’,I ’,Q ’的解析解的。

为了解决这个问题，我们求助于计算机软件MATLAB 来求出它们的数值解。

我们先通过附件中给的数据算出每一天的E ’,S ’,I ’,Q ’,做出它们与时间的函数图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。

对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。

这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。

所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数（λ’，ε’，α’）来使实际图象和理论图象趋于一致。

经过多次调试,我们发现，当λ’=人,ε’=,α’=时,实际图象和理论图象有最好的符合。

而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为这三个值的得到是合理的。

一旦参数确定，就可以通过MATLAB软件求出该方程组在某个区间段的数值解，从而可推算出我们所需的数值如下表所示。

在根据逻辑关系式计算可得下表的预测值
表1 “虚拟猩猩种群”群体数量预测结果
单位：只
结果分析
根据上表可知，在第80周以后，处于潜伏状态的猩猩接近于0 ，处于发病状态的猩猩也趋近与0，且猩猩的治愈数和因病死亡数变化不大，由该模型预测出的结果与附件中的数据的得出的发病率和累计死亡率趋势相同。

健康人数占总数比例（比对）
图健康人数占总数比例图（参考数据）
图健康人数占总数的比例图（模拟数据）潜伏人数占总数比例（比对）
图潜伏人数占总数的比例图（参考数据）
图潜伏人数占总数的比例图（模拟数据）退出人数占总数比例（比对）
图退出人数占总数的比例图（参考数据）
图 退出人数占总数的比例图（模拟数据）
MATLAB 主要程序
function dx=rossler(t,x,flag,a,b,c)
dx=[-a*x(1)+a*x(1)*x(3)+a*x(1)*x(2)+a*x(1)*x(1);a*x(1)-a*x(1)*x(3)-a*x(1)*x(2)-a*x(1)*x(1)-b*x(2);c-c*x(3)-c*x(2)-c*x(1)]; a=;b=;c=; x0=[ 0]';
[t,y]=ode45('rossler',[0 80],x0,[],a,b,c); flot(t,y);
问题二模型的构建
由问题的分析，将人群分为易感人群S ，病毒潜伏人群E ，发病人群I ，退出者Q 四类：
易感人群S 与病毒潜伏人群E 之间的转化
易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个病人平均每天有效接触的健康人数为λ(t)S ，NI 个病人平均每天能使λ(t)SNI 个易感者成为病毒潜伏者。

故
SNI NI S dt ds N
λλ--=''',即SI I S dt
ds
λλ--='''' 病毒潜伏人群E 与发病人群I 间的转化
潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量，即
E I t S dt dE
ελ-=)(。

发病人群I 与退出者Q 间的转化
单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即
I dt
dQ
ω= SI I S dt ds
λλ--=''' E I t S dt dE
ελ-=)( I dt
dQ
ω= 1=+++Q I E S
0000)0(,)0(,)0(,)0(Q Q I I E E s S ====
很明显从我们建立的模型是无法得到E,S,I,Q 的解析解的。

为了解决这个问题，我们求助于计算机软件MATLAB 来求出它们的数值解。

我们先通过附件中给的数据算出每一天的E,S,I,Q,做出它们与时间的函数图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。

对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。

这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。

所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数（λ，ε，α）来使实际图象和理论图象趋于一致。

隔离治疗人数占总人数的比例
图隔离治疗人数占总人数的比例图（模拟数据）
图隔离治疗人数占总人数的比例图（参考数据）死亡人数占总人数的比例
图死亡人数占总数的饿比例图（模拟数据）
图死亡人数占总数的比例图（参考数据）自愈人数占总人数的比例
图自愈人数占总数的比例图（模拟数据）
图自愈人数占总人数的比例（参考数据）发病人数占总数的比例图
图发病人数占总人数的比例（参考数据）
图发病人数占总数的比例图（模拟数据）
表2 “虚拟人类种群”群体数量预测结果
单位：个
结果分析 ：
由上表可知，在第80周以后，处于潜伏状态的人群变化幅度不大，处于发病状态的人群也变化幅度不大，且人群的治愈数和因病死亡数持续增长，由该模型预测出的结果与附件中的数据的得出的发病率和累计死亡率趋势相同。

问题三的分析
外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。

专家的预防措施力度g(t)在控制疫情的过程中起到了重要的作用，与下列因素有关：
专家关注的疫情来自于最近几天的疫情，不妨取近三天的平均值)(f t ； 当t=t 0时，g(t)有一个初始值，即为潜在的政府力度K 0；
综上所述，可以给出g(t)随疫情变化的曲线，形态如图所示，（横坐标为疫情，纵坐标为g(t)），其表达式为
)1()(1
2
)(10σt f e
k k t g -+=
其中k 0+k 1=1,。

根据有关数据，令k 0=，k 1=，当)(f t =时，取g(t 0)=，得参数估计1σ=. 政府控制力度g(t)与日传染率λ(t)的关系： (1)当政府控制力度为0的时候λ(t)取最大值； (2)随着g(t)的增大，λ(t)减小；
(3)当g(t)不强时，对λ(t)的变化所起的作用较小； (4)当g(t)超过一定的数值时对λ(t)的影响效果明显； (5)当g(t)趋近于1的时候(不可能为1)，则λ(t)趋近0。

由以上几点可以确定λ(t)随g(t)的变化关系曲线，采用函数
)1()(1
))(1(22σλt f e
k t --
-=
刻画此形态，其中1σ为常数。

图8 g(t)和λ(t)的关系图
表3 “虚拟人类种群”群体数量预测结果
单位：个
结果分析
由上表可知，在专家介入后，埃博拉病毒的预防控制力度加大，累计治愈的人数在增多，因病死亡人数虽然在增加，但是其增加幅度不大，说明埃博拉病毒已经得到了良好的控制，与预期估测结果相吻合。

问题四的分析
在发病初期，由于人们对埃博拉病毒的认识不够，重视不足，防范措施较差，没有有效的防疫药物、检疫药物和治疗药物治疗，也没有相应的政府控制措施，随着时间t的增长，病情不断恶化，感染病情所占比例I呈现不断增加的趋势，
健康人数占总人数的比例S不断下降，退出率Q也呈现持续增长的趋势，造成
了巨大的经济损失和人员伤亡。

在发病中后期，随着相关政府的介入和对该病毒的相关知识的普及，提高了人们对埃博拉病毒的预防意识，同时，在科研人员的不断努力下，防疫药物、检疫药物和治疗药物的种类增多、疗效增强，随着时间的增长，感染患者的比例I 呈下降趋势，健康人数所占比例S的下降趋势由急变缓，治愈率不断提高，死亡人数得到控制，一场殃及全人类的疫情风波得到较好的控制。

5模型的评价
本模型中，我们根据已给的信息及相关假设数据，通过对已知条件和所给表格书记的分析，我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程，因此我们采用了excel拟合曲线，分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线，估计参数，再根据其建立数学模型，并用MATLAB求解方程组，调试参数，从而得到我们需要的结果。

其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析，可以得出人类通过严格的药物控制过后，对其发病和潜伏的影响，从而能够达到对疫情的控制的作用，并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻的了解，以为更好的控制埃博拉病毒做出贡献。

本模型重点是分析规律和进行预测。

因为已知数据受很多随机因素的影响，规律性受到干扰，所以其变化情况不能较好地表达总体的规律性，进而不能对疫情进行较准确的预测；针对这个问题，我们对已知数据进行了统计平均，从总体的平均规律入手，没有局限于仅对现有数据的模拟。

但是也要根据现有的数据对模型进行检验。

从前面求解方程得到的图形结果来看，模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总体变化规律。

不论是本论文模型还是概率模型，进一步的工作和更准确的结果给出将有待于收集传染病学实际资料。

相信随着人们对埃博拉的进一步认识，随着社会各界的深入研究，从数学角度看，其传播模型将更加完善，预测结果将更准确，从医学角度看，埃博拉将有更好的治疗方案和防控措施，疫期将进一步缩短。

参考文献
[1]张秀兰林峰. 《数学建模于实验》化学工业出版社. 2013
[2]贺超英王少喻. 《MATLAB应用与实验教程》. 2013
[3]张德丰. 《MATLAB实用数值分析》. 20012
[4]SARS数学建模优秀论文.
[5]李学文李炳照王宏洲《数学建模优秀论文精选与点评》.2011。