埃博拉病毒传播分析与数学建模

****大学数学建模竞赛

承诺书

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埃博拉病毒传播分析

摘要

本文的研究对象为1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区发现的埃博拉病毒。埃博拉病毒是一种生物安全等级为4级，并且能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，其主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。其病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。面对其强大的传染力和对人类健康的巨大威胁，本文通过数学建模的方法了解埃博拉病毒的传播规律，并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

本文中，首先我们根据已给的信息及相关假设数据，通过对已知条件和所给表格书记的分析，我们大致明白了猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程，因此我们采用了excel拟合曲线，分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线，估计参数，再根据其建立数学模型，并用MATLAB求解方程组，调试参数，从而得到我们需要的结果。

其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析，可以得出人类通过严格的药物控制过后，对其发病和潜伏的影响，从而能够达到对疫情的控制的作用，并且对埃博拉病毒未来发展趋势有了更深刻的了解，以为更好的控制埃博拉病毒做出贡献。

关键词：非线性曲线拟合；微分方程；MATLAB；数学模型

1问题的重述

1.1背景

埃博拉病毒（又译作伊波拉病毒）于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后，引起了医学界的广泛关注和重视。该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，其生物安全等级为4级。

埃博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。发病后1～4天直至死亡，血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之间），致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。

当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播；只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度的传染性，在此期间接触病人甚至可能不会受感染，随着疾病的进展，病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性；存在似乎天生就对埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。

埃博拉病毒很难根除，迄今为止已有多次疫情爆发的记录。据百度百科，最近的一次在2014年。截至2014年9月25日，此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡，另有6500被确诊感染。更为可怕的是，埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播！

1.2问题

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息，请你根据相关信息，研究回答以下问题：

1、根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在

“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，并以下述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；

2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，

并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并以下述格式给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；

3、假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接

触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据，数据格式同问题2；

4、请依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。

2问题分析

问题一的分析

通过对已知条件的分析，并通过给出的表格数据，大致明白猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈。我们通过excel作出发病随时间的变化曲线，潜伏随时间变化曲线，估计参数。然后通过建立数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其死亡，自愈等曲线与给出表格大致相同，然后通过建立的模型求出问题一。问题二的分析

同问题一分析，我们通过excel作出相应处于发病状态的曲线，自愈以及死亡和隔离的曲线，估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。

问题三的分析

同问题二分析，我们通过excel作出治愈率提高80%后相应处于发病状态的曲线，自愈以及死亡和隔离的曲线，估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。

问题四的分析

通过上术数据和曲线图的分析，可以很清楚的看出当有人类干预后即就是严格的通过药物后，发病和潜伏等都有很明显的改善。

3假设与符号

模型的假设：

由于埃博拉病毒的传播期限不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率；

平均潜伏期限为6天；

处于潜伏期的埃博拉病人不具有传染性。

符号说明：

t0 表示从最初发现埃博拉患者到卫生部门采取预防措施的时间间隔；

N 表示疫区总人口数；

S(t) 表示t时刻健康人数占总人口数的比例；

I(t) 表示t时刻感染人数占总人口数的比例；

E(t) 表示t时刻潜伏期的人口数占总人口数的比例；

Q(t) 表示t时刻退出类的人数占总人数的比例；

λ(t) 表示日接触率，即表示每个病人平均每天有效接触的人数；

N’表示疫区总猩猩口数；

S(t)’表示t时刻健康猩猩数占总猩猩数的比例；

I(t)’表示t时刻感染猩猩数占总猩猩数的比例；

E(t)’表示t时刻潜伏期的猩猩数占总猩猩数的比例；

Q(t)’表示t时刻退出类的猩猩数占总猩猩的比例；

λ(t)’表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触的猩猩数；

λ(t)’’表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触的人数；

g(t) 表示政府控制力度；

f(t) 表示疫情指标。