一元方差分析讲解

一元方差分析（one way ANOVA）

Part 1 原理

概念：

一元：输入X（分散性数据）只有一个，但有不同的水平；输出Y（连续型数据）只有一个, 不同的X对于一个Y

目的：检验在不同输入水平下，对应的Y值的均值是否都相等。

前提：

1）当输入变量x只有一个且为离散型数据，y也只有一个，且为连续

型数据；

2）X有m个水平，每个水平下做了n个样本；

3）每个Xi水平下的,所做的n个结果(Yi1, yi2, yij, …,Yin) 服从正态分布；

4） m组数据的方差都相等，即：

σ12=σ22=σi2=…=σm2

目的：检验H0： u1=u2=…=ui=…=um 是否成立，即m组数据的均值是否相等，

H1： u1, u2, …, ui, …, um 至少有一个不等

容易知道，总共有m*n个数据，那么这些数据总的离散程度SST为：

ΣΣ（yij－y）2= ΣΣ[ ( yij－yi )+(yi－y )]2

= ΣΣ(( yij－yi )2+ ΣΣ (yi－y ))2+ 2 ΣΣ（yij－y） (yi－y )

﹛ (a+b)2=a2+b2+2ab , 容易理解吧﹜

容易证明2 ΣΣ（yij－y） (yi－y )=0

所以，上式= ΣΣ(( yij－yi )2+ ΣΣ (yi－y ))2

不难看出，ΣΣ(( yij－yi )2正好是组内离散度的总和，即SSE(error);

而ΣΣ (yi－y ))2正好是组间离散度的总和，即SSF(factor)

所以，SST=SSE+SSF

记m*n=N, SST, SSF， SSE的自由度和平均值分别为：

此时，一元方差分析里有个F值怎么算呢？

F=MSF/MSE, 得到一个F的数值，F的自由度为（m-1, N-m），这样查F函数，就能得到一

个P值。

如果查到到这个F＜Fα（m-1, N-m），那么就应该接受H0，否则接受H1；

用P值来判断，如果P＞α，那么就应该接受H0, 否则接受H1.

Part 2 用minitab 做一元方差分析

第一步：输入数据。将同一个X水平下所获得的Y的数值放入到mimitab的同一列中，得

到n列数据。

第二步：堆叠数据。点击“数据”---“堆叠”---列---选中这n列数---选中“当前工作表的列”，在这两个对话框中分布键入“Y,X”---点击“确认”

第三步：分析数据的稳定性。点击“统计”---“控制图”---“单值的变量控制图”---“I-MR”---变量选“Y“---点击“ I-MR 选项”---点击“阶段”—在“用此变量定义阶段”里选“X”列---确认

第四步：正态性检验。点击“图形”—“概率图”—“多个”，确定----“图形变量”选Y---“用于分组的类别变量”选X---确定。如果各列数据的P值都大于0.05，说明数据的正

态性比较好。

第五步：等方差检验。点击“统计”---“方差分析”---“等方差检验”—“响应”选Y，

“因子”选X—确认—点击minitab上面的工具栏图标，返回到minitab的对话框—

可以看到P值，如果P值大于0.05，那么说明其方差是相等的。

第六步：等均值检验。前面的五步，都是为了验证做一元方差分析所必须满足的前提，到了这步才是我们真正想知道的。点击“方差分析”—“单因子”---“响应”选Y—“因子”选X---确定。这时会看到minitab的主对话框，可以依据几个参数对原假设H0进行判断：a)P 值，如果P值低于0.05，则拒绝原假设，所谓if P value is low, Ho must go.

b) 各个u的置信区间，如果没有相互重叠的区域，则拒绝H0，否则接受H0.

如果想知道是哪几个u不等，可以在minitab中执行以下操作：

同时按下ctrl 键和E键，这时会跳出刚才操作的界面，点击“图形”----点击“比较”---选

择“Fisher”---确认。这时，minitab会逐一地比较各个u 值的差异，就可以知道哪些是不相等的了。

还可以看看其残差如何。点击“图形“—选择“四合一”—确定。这时会跳出一个残差图，分别由“正态概率图”、“与拟合值”、“直方图”、“与顺序”四个图组成。

更进一步，看ε2检验。ε2=SSF/SST. SSF是组间（因子）的变异，SSE是组内（噪音）的变异，SST=SSE+SSF。如果ε2大于0.8，那么说明变异主要是人员造成的。