电路分析第六章习题解答

令独立电压源为零，求等效电阻 Req
20Ω
i1
+ 5i1 −
i
a +
20Ω
u
− b
假设端电压 u 和端电流 i 的参考方向如上图所示，设 i 已知，有
i1
=
20 20 + 20
×i
=
0.5i
u = −5i1 + 20i1= 15i1 = 15 × 0.5i = 7.5i
Req
=
u i
=
7.5Ω
换路后的电路可化简为
R1
R3
•
iL
R2
+
L
us
−
解： 原电路化简为
• 图题 6-2
iL
Req
L uoc
其中
uoc
=
R2 R2 + R3
us ，
Req
=
R1
+
R2 R3 R2 + R3
对化简后的电路列写 KVL 方程，有
L diL dt
+ iL RБайду номын сангаасq
=
−uoc
代入 uoc 及 Req ，化简后得
(R2
+
R3
)
L
diL dt
由三要素公式得全响应为
u(t) = 12 + (9.6 −12)e−t = (12 − 2.4e−t )V (t ≥ 0)
其中，暂态分量为 − 2.4e−tV ，稳态分量为12V 。
若令换路后的电路中独立电源为零，则上图中 uoc = 0 。用三要素法可求零输
入响应为（过程略去）
u(t) = 7.2e−tV (t ≥ 0)
习题六
1． 如图题 6-1 所示，列出以电感电流为变量的一阶微分方程。
R1
L iL
+
uS iS
R2
−
解：
图题 6-1
由 KVL 得：
L
diL dt
+ iL R2
+ (iL
− is )R1
=
us
整理得：
L
diL dt
+ (R1
+
R2 )iL
=
us
+
R1is
2． 如图题 6-2 所示，列出以电感电流为变量的一阶微分方程。
50Ω
t=0
+
u 100Ω 0.1A −
50Ω 100Ω
iL 0.1H
解：
图题 6-10 用三要素法求解。
开关动作前 iL (0− ) = 0
开关动作后，电路为
50Ω
0.1A
50Ω + u 100Ω −
100Ω
iL 0 .1H
t = 0+ 时 iL (0+ ) = iL (0− ) = 0
此时，电感相当于断开。
u(0+ ) = 0.1× (100 //100) = 0.1× 50 = 5V t = ∞ 时，电路进入直流稳态，电感相当于短路。由分流公式得
1
iL (∞) =
1
50 +1
× 0.1 = 0.05A +1
100 100 50
u(∞) = 0.1× (100 //100 // 50) = 0.1× 25 = 2.5V
12Ω
+
40 V
−
t =0 +
8Ω u
−
+ 20nF uc
−
图题 6-4 解： 换路前等效电路为
+
+ 12Ω
40V
8Ω
uC (0− )
−
−
解得 uC (0− ) = 40V
换路瞬间电容电流不可能是无穷大，故有
uC (0+ ) = uC (0− ) = 40V
换路后 0+ 等效电路为
+ 12Ω
8Ω
u
解： t = 0− 时等效电路为
+ 100Ω + 400Ω
5V
uC (0− )
iL (0− )
−
−
解得
iL (0−
)
=
5 500
=
0.01A
=
10mA
uC (0− ) = iL (0− ) × 400 = 4V
uC (0+ ) = uC (0− ) = 4V
iL (0+ ) = iL (0− ) = 10mA
压 uC (t) 的零输入响应和零状态响应及其固有响应分量和强制响应分量，并判断 uC (t) 中的
暂态响应和稳态响应，求出完全响应。
t = 0 1kΩ
+
+
9V
1mF uC
2kΩ
−
−
解：
图题 6-13 换路后的电路变换为
+
Req
+
uoc
C uC
−
1mF −
其中
uoc
=
2k 2k + 1k
×9
=
6V
Req
得
i1
=
40 8000
=
5mA
i(0+ ) = iL (0+ ) − i1 (0+ ) = 5mA − 5mA = 0
6． 图题 6-6 电路中的开关闭合已经很久， t = 0 时断开开关。试求 uc (0+ ) ， iL (0+ ) 。
100Ω
400Ω
t=0
+
+
5V 1mF
uc
−
−
iL 1mH
图题 6-6
2Ω
ia
i1
+
2A
4Ω
u
+ 2i1 −
−
b
求得该二端电路的端口 VAR，便可得其等效电路。
设端电压 u 和端电流 i 的参考方向如上图所示，设 i 已知，则有
⎧u ⎩⎨i1
= =
2i + 4i1 2+i
+
2
i1
解得：
u = 12 + 8i
即该二端电路
uoc = 12V Req = 8Ω
开关动作后的电路可简化为
iL
40V
20Ω
15mH
−
解：
图题 6-11
开关动作前 iL (0− ) = 0
将开关动作后的电路化简。电感左边的二端电路为
20Ω
+ 5i1 −
a
+
i1
+
40V
20Ω
u oc
−
−
b
令端口电流为 0，求 uoc 。
i1
=
40 20 + 20
= 1A
uoc = −5i1 + 20i1 = 15i1 = 15V
将电流源置零，从电感两端看进去的等效电阻为
R = 50 + 100 ×100 = 100Ω 100 + 100
τ = L = 0.1 = 1 s R 100 1000
由三要素公式，得
iL (t) = 0.05 + (0 − 0.05) e−1000t = (0.05 − 0.05e−1000 t ) A (t ≥ 0)
i(t) = 2 + (1.2 − 2)e−10t = (2 − 0.8e−10t ) A (t ≥ 0)
由于电容初始电压为零，故是零状态响应。
10． 如图题 6-10 所示，开关断开已经很久， t = 0 时闭合开关，试求 t ≥ 0 时的电感
电流 iL (t) 和电阻电压 u(t) 。并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。
= 1k × 2k 1k + 2k
=
2kΩ 3
τ
=
Req
×C
=
2 ×103 3
× 10 −3
=
2s 3
令原电路中独立源为零，得
uoc = 0
uC (0+ ) = uC (0− ) = 12V
uC (∞) = 0
由三要素法求得零输入响应为
=
uC R1
，故
（1）
di1 = 1 duC = iC dt R1 dt R1C
（3）
将式（2）、（3）代入式（1）， 整理得：
(R2
+
R3 ) R1C
diC dt
+ (R1
+
R2
+
R3
− αR2 )iC
=
R1(R2
+
R3 )C
dis dt
4． 图题 6-4 电路中的开关闭合已经很久， t = 0 时断开开关。试求 uc (0+ ) 和 u(0+ ) 。
+ 15V
−
7.5Ω
iL 15mH
由上图求得
iL (0+ ) = iL (0− ) = 0
iL
(∞ )
=
15 7.5
=
2A
τ = L = 15 ×10−3 = 2 ×10−3 s R 7.5
由三要素公式得
iL (t) = 2(1− e−500 t ) A (t ≥ 0)
12． 如图题 6-12 所示，开关闭合在 a 端已经很久了，t = 0 时开关接至 b 端。求 t ≥ 0
−
(0+
)
+ uC (0+ ) = 40V
−
求得
u(0+
)
=
8 12 +
8
×
40
=
16V
5． 图题 6-5 电路中的开关闭合已经很久， t = 0 时断开开关。试求 iL (0− ) 和 iL (0+ ) 。 + 20V − 7mH iL
4KΩ 4KΩ
t =0 8KΩ
解：
图题 6-5 开关断开前等效电路为
u(t) = 2.5 + (5 − 2.5) e−1000 t = (2.5 + 2.5e−1000 t )V
是零状态响应。
(t ≥ 0)
11． 如图题 6-11 所示，开关断开已经很久， t = 0 时闭合开关，试求 t ≥ 0 时的电感 电流 iL (t) 。
20Ω t = 0
+ 5i1 −
+
i1
+ (R1R2
+ R1R3
+ R2 R3 )iL
=
− R2 u s
3． 如图题 6-3 所示，列出以电容电流为变量的一阶微分方程。 αi1
i1
ic
R2
iS
R1
C R3
解： 原电路变换为
图题 6-3
is
i1 R1
iC + C u−C
α R2 R2 + R3
i1
R2 + R3
由节点的 KCL 方程得
iC
a
+
i
uoc
= 12V
−
Req = 8Ω
0.1F
b
由上图求得
+
2Ω
+u uC −−
uC (0+ ) = uC (0− ) = 9V
i(0+
)
=
12 − 9 8+2
=
0.3A
u(0+ ) = i(0+ ) × 2 + uC (0+ ) = 9.6V
u(∞) = 12V
τ = RC = (8 + 2) × 0.1 = 1s
+
uC R1
+
uC R2 + R3
= is
+
α R2 R2 + R3
i1
将上式两边求导，得
diC + 1 duC + 1 duC = dis + α R2 di1 dt R1 dt R2 + R3 dt dt R2 + R3 dt
由于
iC
= C duC dt
，故
duC = iC dt C
（2）
由于 i1
该零输入响应中只含暂态分量，稳态分量为零。
若令 uC (0+ ) = 0 ，用三要素法对简化后的电路求得零状态响应为（过程略去） u(t) = 12 + (2.4 −12)e−t = (12 − 9.6e−t )V (t ≥ 0)
其中，暂态分量为 − 9.6e−tV ，稳态分量为12V 。
13． 如图题 6-13 所示，已知 uC (0− ) = 12V ， t = 0 时闭合开关，试求 t ≥ 0 时电容电
时电压 u(t) 的零输入响应和零状态响应，并判断 u(t) 中的暂态响应和稳态响应，求出完全
响应。
2Ω c
a
+
2A
i1
b 10Ω
4Ω
+
+ 2i1 −
9V
−
2Ω 0.1F
+ u(t) uC −−
图题 6-12
解：
开关动作前 uC (0− ) = 9V
将开关动作后的电路化简。电容和 2Ω 电阻串联支路左边的二端电路为
电容电压 uc (t) 。并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。
+
80V −
4KΩ i
ab
12KΩ 0.2H
t =0
+
u−c
0.1F 40Ω
图题 6-8
解： t = 0− 等效电路为
4kΩ
+
+
80V
12kΩ
uC
−
−
求得
uC
(0−
)
=
12k 12k + 4k
×
80
=
60V
开关动作后的电路为
+
uC 0.1F
40Ω
−
由节点的 KCL 方程及电容的换路定则，得
⎪⎧0.1 duC + uC = 0 ⎨ dt 40 ⎪⎩uC (0+ ) = uC (0− ) = 60V
解得： uC (t) = 60 e−0.25t V
是零输入响应。
(t ≥ 0)
9． 如图题 6-9 所示，开关闭合在 a 端已经很久，t = 0 时开关接至 b 端，试求 t ≥ 0 时 的电容电压 uc (t) 和电阻电流 i(t) 。并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。
7． 如图题 6-7 所示，开关闭合已经很久， t = 0 时断开开关，试求 t ≥ 0 的电流 i(t) 。
并判断该响应是零状态响应还是零输入响应。
t +
=
0
1H 3Ω
18V
2Ω
5H 20H
−
i
图题 6-7
解： 开关断开前， t = 0− 时等效电路为
+
3Ω
18V
2Ω
−
i
求得
i(0−
)
=
18 3
t=0 b
a 2A
6Ω
i +
4Ω uc
−
10mF
解：
图题 6-9 用三要素法求解。
开关动作前 uC (0− ) = 0
开关动作后的电路为
6Ω
+
2A
4Ω
10mF uC
i
−
t = 0+ 时 uC (0+ ) = uC (0− ) = 0
此时电容相当于短路，由分流公式可得
i(0+ )
=
4
6 +
6
×2
= 1.2A
t = ∞ 时，电路进入直流稳态，电容相当于开路，有 i(∞) = 2A
uC (∞) = 2 × 4 = 8V
将电流源置零，从电容两端看进去的等效电阻为
R = 6 + 4 = 10Ω τ = RC = 10 ×10 ×10−3 = 0.1s
由三要素公式，得
uC (t) = 8 + (0 − 8)e−10t = (8 − 8e−10t )V (t ≥ 0)
=
6A
开关断开后，电路等效为
3Ω
2Ω
L
i
L = 1+ 1 = 5H 1+ 1 5 20
由 KVL 及换路定则得
⎪⎧5 di + 5i = 0 ⎨ dt ⎪⎩i(0+ ) = i(0− ) = 6 解得： i(t) = 6e−t A (t ≥ 0)
换路后无电源，故是零输入响应。
8． 如图题 6-8 所示，开关接在 a 点为时已久，t = 0 时开关接至 b 点，试求 t ≥ 0 时的
+20V−
iL (0− )
4kΩ
4kΩ
8kΩ
求得
iL
(0− )
=
20 4k
=
5mA
iL (0+ ) = iL (0− ) = 5mA
t = 0+ 时等效电路为
+20V− 4kΩ i1
iL(0+) = 5mA
4kΩ
8kΩ
i(0+ )
列网孔方程
(4000 + 4000)i1 − 4000 × 5 ×10−3 = 20