4.71完全平方公式(基础)知识讲解
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4.71完全平方公式(基础)
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式; 3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方.
即()2
2
2
2a ab b a b ++=+,()2
2
2
2a ab b a b -+=-.
形如222a ab b ++,22
2a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释:(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式;
(2)完全平方公式的特点:左边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2
倍. 右边是两数的和(或差)的平方.
(3)完全平方公式有两个,二者不能互相代替,注意二者的使用条件.
(4)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义,a 、b 可以是字母,也可以是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式; (2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;
(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到). 要点三、因式分解注意事项
(1)因式分解的对象是多项式; (2)最终把多项式化成乘积形式;
(3)结果要彻底,即分解到不能再分解为止. 【典型例题】
类型一、公式法——完全平方公式
1、 下列各式是完全平方式的是( ). A .4
1
2+
-x x
B .21x +
C .1++xy x
D .122-+x x
【思路点拨】完全平方式是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍. 【答案】A ;
【解析】2
2
1142x x x ⎛⎫
-+=- ⎪⎝⎭
.
【总结升华】形如222a ab b ++,22
2a ab b -+的式子叫做完全平方式. 举一反三:
【变式】(1)如果多项式2
19
x kx ++是一个完全平方式,那么k 的值为 ;
(2)如果多项式2
4x kx -+是一个完全平方式,那么k 的值为 .
【答案】(1)2
3
k =±
;(2)4k =±. 2、分解因式:
(1)21449x x ++; (2)29124x x -+; (3)2
14a a ++; (4)2211
1162
a b ab -+. 【答案与解析】
解:(1)2
2
2
2
1449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+. (2)2
2
2
2
9124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-.
(3)22
22111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫
++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
(4)22
2221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫
-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征,套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应.
举一反三:
【变式】分解因式:
(1)2
9()12()4a b a b +-++; (2)2
2
2()()a a b c b c ++++;
(3)2
1025a a --; (4)2
2
()4()()4()x y x y x y x y +++-+-.
【答案】
解:(1)2
9()12()4a b a b +-++2
2
[3()]23()22a b a b =+-⋅+⋅+
22[3()2](332)a b a b =+-=+-.
(2)2
2
2()()a a b c b c ++++2
2
[()]()a b c a b c =++=++. (3)()
2210251025a a a a --=--+2
(5)a =--. (4)2
2
()4()()4()x y x y x y x y +++-+-
22()2()2()[2()]x y x y x y x y =+++-+-g g 22[()2()](3)x y x y x y =++-=-.
3、分解因式: (1)
223
4162
x y xy y ++;(2)4224
168a a b b -+;(3)222(3)(1)x x x +--. 【答案与解析】
解:(1)
2234
162
x y xy y ++2
2222()()1624x xy x y y y y =++=+. (2)4224
168a a b b -+222222
(4)[(2)(2)](2)(2)a b a b a b a b a b =-=+-=+-.
(3)222(3)(1)x x x +--22
(31)(31)x x x x x x =++-+-+
2222(41)(21)(41)(1)x x x x x x x =+-++=+-+.
【总结升华】分解因式的一般步骤:一“提”、二“套”、三“查”,即首先有公因式的提公因式,没有公因式的套公式,最后检查每一个多项式因式,看能否继续分解. 举一反三:
【变式】分解因式:
(1)2
2
4()12()()9()x a x a x b x b ++++++. (2)2
2
2
2
4()4()()x y x y x y +--+-. (3)2
244x y xy --+; (4)3
2
2
3
44x y x y xy ++; (5)(
)
()2
2
22221x x x x -+-+;
【答案】
解:(1)原式2
2
[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++
22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++.
(2)原式2
2
[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+-
22[2()()](3)x y x y x y =+--=+.
(3)原式()
()22
2
442x y xy x y =-+-=--
(4)原式=(
)()
2
22
442xy x xy y
xy x y ++=+
(5)原式(
)()
2
4
2
211x x x =-+=-
类型二、配方法
4、若x 731,则223x x ++=________.
【思路点拨】此题不能直接代入求值,先将原式配方后代入比较简便.
【答案】75;
【解析】()2
222321212x x x x x ++=+++=++,
将x 731代入得
2
73
275+=.
【总结升华】对于数据比较复杂的代入求值问题,要先观察式子的特点,看能不能将式子进行变形,以简便计
算.
举一反三:
【变式】已知x 为任意有理数,则多项式x -1-
14
2
x 的值为( )
. A .一定为负数 B .不可能为正数 C .一定为正数 D .可能为正数,负数或0 【答案】B ;
提示:x -1-142x =2
21111042x x x ⎛⎫⎛⎫
--+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【巩固练习】
一.选择题
1. 将2
24144a a ++因式分解,结果为( ).
A.()()188a a ++
B.()()1212a a +-
C.()2
12a +
D.()2
12a -
2.2
()n
m x y -是下列哪一个多项式分解的结果( )
A .22n
m x
y - B .2n n m m x x y y -+ C .222n
n m m x
x y y -+ D .2n n m m x x y y --
3. 下列各式可以化为完全平方式的是( ).
A.2
1x x ++ B.2
21x x +- C.2
44a a ++ D.2
2
a b + 4. 如果2
2
2536a mab b ++可分解为()2
56a b -,那么m 的值为( ).
A.30
B.-30
C.60
D.-60