高中数学特殊的方法给特殊的题型

高中数学特殊的方法给特殊的题型

——谈解选择题的特殊法

许昊宁

高考中的教学选择题一般是容易题或中档题，解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性。数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。在实际解题时，我们要运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

一、特殊值

例1. 若)2

4(cot tan cos π<α<π-

α>α>α，则∈α（ ） A. )4,2(π-π- B. )0,4

(π- C. )4,0(π D. )2

,4(ππ 分析：因为2

4π<α<π-，所以取6π-=α代入α>α>αcot tan sin ，满足条件，则排除A 、C 、D ，故选B 。

例2. 若)2

b a lg(R ),b lg a (lg 21Q ,b lg a lg P ,1b a +=+=⋅=>>，则（ ） A. Q P R << B. R Q P <<

C. R P Q <<

D. Q R P <<

分析：取10b ,100a ==，此时3025lg 55lg R ,1000lg 2

3Q ,2P =====，比较可知选R Q P <<，故选B 。

二、特殊函数

例3. 如果奇函数)x (f 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么)x (f 在区间[3,7--]上是（ ）

A. 增函数且最小值为5-

B. 减函数且最小值是5-

C. 增函数且最大值为5-

D. 减函数且最大值是5- 分析：构造特殊函数x 3

5)x (f =

，虽然满足题设条件，并易知)x (f 在区间]3,7[--上是增函数，且最大值为5)3(f -=-，故选C 。

例 4. 定义在R 上的奇函数)x (f 为减函数，设0b a ≤+，给出下列不等式：①0)a (f )a (f ≤-⋅；②0)b (f )b (f ≥-⋅；③)b (f )a (f )b (f )a (f -+-≤+；④)b (f )a (f )b (f )a (f -+-≥+。其中正确的不等式序号是（ ）

A. ①②④

B. ①④

C. ②④

D. ①③

分析：取x )x (f -=，逐项检查可知①④正确。故选D 。

三、特殊位置

例5. 过)0a (ax y 2>=的焦点F 作直线交抛物线与P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+q

1p 1（ ） A. a 2 B. a 21 C. a 4 D.

a

4 分析：考虑特殊位置OP PQ ⊥时，a 21|FQ ||PF |==，所以q 1p 1+a 4a 2a 2=+=，故选C 。

例6. 如图1，向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如图1所示，那么水瓶的形状是（ ）（如图2）

分析：取2H h =

，由图像可知，此时注水量V 大于容器容积的21，故选B 。

四、特殊点 例7. 如图3，设函数)0x (x 2)x (f ≥+=，则其反函数)x (f y 1-=的图像是（ ）

分析：由函数)0x (x 2)x (f ≥+=，可令0x =，得2y =；令4x =，得4y =，则特殊点（2，0）及（4，4）都应在反函数)x (f y 1-=的图像上，观察得A 、C 。又因反函数)x (f y 1-=的定义域为}2x |x {≥，故选C 。

例8. 已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 坐标为（4x ，0），若2x 14<<，则θtan 的取值范围是（ ） A. )1,3

1

( B. )32,31( C. )21,52( D. )32,52( 分析：考虑由0P 射到BC 的中点上，这样依次反射最终回到0P ，此时容易求出21tan =θ，由题设条件知，2x 14<<，则2

1tan ≠

θ，排除A 、B 、D ，故选C 。

五、特殊方程 例9. 双曲线)0b a (1b

y a x 2222>>=-的渐近线夹角为α，离心率为e ，则2c o s α等于（ ） A. e B. 2e C. e 1 D. 2e

1 分析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察，取双曲线方程为11y 4x 22=-，易得离心率25e =，5

22cos =α，故选C 。

例10. 不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧+->+->|x 2x 2|x 3x 30x 的解集是（ ） A. （0，2） B. （0，2.5）

C. （0，6 ）

D. )3,0( 分析：不等式的“极限”可以看成是方程，则只需验证36,5.2,2x 和=哪个为方程|x

2x 2|x 3x 3+-=+-的根，逐一代入，故选C 。

六、特殊模型

例11. 如果实数x 、y 满足等式3y )2x (22=+-，那么

x y 的最大值是（ ） A. 2

1 B.

33 C. 2

3 D. 3 分析：题中x y 可写成0x 0y --。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式1212x x y y k --=，可将问题看成圆3y )2x (22=+-上的点与坐标原点O 连线的斜率的最大值，即得D 。

总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间。