计算机数值方法试题
数值计算方法试题
一、 填空（共20分，每题2分）
1、设
，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.
2、设一阶差商
，
则二阶差商
3、数值微分中，已知等距节点的函数值
则由三点的求导公式，有
4、求方程 的近似根，用迭代公式
，取初始值
，
那么
5、解初始值问题
近似解的梯形公式是
6、 ，则A 的谱半径 ＝ ，A 的 ＝
7、设
，则＝ 和
=
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____ 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_____
10、设 ，当 时，必有分解式 ，其中L 为下三角阵，当其
对角线元素 足条件 时，这种分解是唯一的。
二、计算题（共60 分，每题15分）
1、设
在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足
（1）试求
H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式
2、已知的满足，试问如何利用构造一个
收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？
3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：
三、证明题
1、设
的Newton迭代格式
（1）写出解
（2）证明此迭代格式是线性收敛的
2、设R=I－CA，如果，证明：
（1）A、C都是非奇异的矩阵
（2）
参考答案：
一、填空题
1、2.3150
2、
3、
4、1.5
5、
6、
7、
8、收敛
9、O（h）
10、
二、计算题
1、1、（1）
（2）
，可得
2、由
因故
故，k=0,1,…收敛。
3、，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的
4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得
，记步长为h,对积分
用Simpson求积公式得
所以得数值解公式：
三、证明题
1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：
n=0,1,…
得，n=0,1,…
（2）因迭代函数，而，
又，则
故此迭代格式是线性收敛的。
2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩
阵(2)故则有
（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C
又RA-1=A-1–C，故
由（这里用到了教材98页引理的结论）
移项得 (2.2)
结合（2.1）、(2.2)两式，得
模拟试题
一、填空题（每空2分，共20分）
1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛
2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿
3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿
4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组
的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式
6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.
7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿
8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿
则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿
9、若
10、解常微分方程初值问题的梯形格式
是＿＿＿阶方法
二、计算题（每小题15分，共60分）
1、用列主元消去法解线性方程组
2、已知y=f（x）的数据如下
x 0 2 3
f（x） 1 3 2
求二次插值多项式及f（2.5）
3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
4、欧拉预报--校正公式求解初值问题
取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.
三、证明题（20分每题 10分）
1、明定积分近似计算的抛物线公式
具有三次代数精度
2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。
参考答案：
一、填空题
1、局部平方收敛
2、< 1
3、 4
4、
5、三阶均差为0
6、n
7、b-a
8、
9、 1 10、二阶方法
二、计算题
1、
2、
3、≈1.25992 (精确到,即保留小数点后5位)
4、y(0.2)≈0.01903
三、证明题
1、证明：当=1时，公式左边：
公式右边：
左边==右边
当=x时左边：
右边：左边==右边
当时左边：
右边：左边==右边
当时左边：
右边：左边==右边
当 时 左边：
右边：
故
具有三次代数精度
2、证明：略
数值计算方法试题
一、 填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则
a =( )，
b =（ ），
c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
)(( )，∑==
n
k k j
k x l
x 0
)(( )，当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n
k k ( )。
5、设1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f
和=?07
f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞
=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，
其中1)(0=x ?，则?=
1
4)(dx x x ? 。
8、给定方程组??
?=+-=-2211
21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，
SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法?????++=+=++++)],(),([2),(]
0[111]
0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是
阶方法。
10、设
??
????????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =
其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
二、 二、选择题（每题2分）
1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x
k k +=+)
()
1(收敛的充要条件是（ ）。
（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
?∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中，当系数)
(n i C 是负值
时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特
斯求积公式不使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， 3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ ）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
4、若用二阶中点公式
)),(4,2(1n n n n n n y x f h
y h x hf y y ++
+=+求解初值问题
1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（ ）。
(1)20≤ 三、1、（8分）用最小二乘法求形如2 bx a y +=的经验公式拟合以下数据： i x 19 25 30 38 i y 19.0 32.3 49.0 73.3 2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx e x ?-1 0时， (1) (1) 试用余项估计其误差。 （2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等 价形式（1）31+=x x 对应迭代格式3 11+=+n n x x ；(2) x x 11+ = 对应迭代格式 n n x x 1 11+ =+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。判断迭代格 式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后 第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比 较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组f AX =，其中 ??????????--=4114334A ，?? ??? ?????-=243024f （1） （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题? ????=+-=1)0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足 )()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p = 六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如 ?'+'++=≈1 )1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf （1） （1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设 ]1,0[)(4 C x f ∈，推导余项公式?-=1 0)()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。 2、 2、 用二步法 )],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα 求解常微分方程的初值问题?? ?=='00)() ,(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方法阶数尽 可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若A 是n n ?阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使 LU A =唯一成立。 （ ） ２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 （ ） 3、形如) ()(1i n i i b a x f A dx x f ∑?=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度 的次数为12+n 。 （ ） ４、矩阵?? ??? ??=210111012A 的２－范数2A ＝９。（ ） 5、设?? ??? ??=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。（用∞?） （ ） 6、设n n R A ?∈， n n R Q ?∈，且有I Q Q T =（单位阵），则有22QA A =。（ ） 7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。（ ） 8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解： ?? ??? ??????? ??-=????? ??-=6001032211012001542774322b a A ，则b a ,的值分别为=a 2，=b 2。（ ） 二、填空题：（共20分，每小题2分） 1、设102139)(2 48+++=x x x x f ，则均差 =]2,,2,2[810 f __________，=]3,,3,3[9 10 f __________。 2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数，[]b a p ,∈为)(x f 的一个m 重零点，Newton 迭代公式 )() ('1k k k k x f x f m x x -=+的收敛阶至少是 __________阶。 ３、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到__________阶的连续导数。 4、向量T X )2,1(-=,矩阵 ???? ??--=1327A ，则 =1AX __________，=∞)(A cond __________。 5、为使两点的数值求积公式：?-+≈1 1 10) ()()(x f x f dx x f 具有最高的代 数精确度，则其求积基点应为=1x __________，=2x __________。 6、设n n R A ?∈，A A T =，则)(A ρ（谱半径）__________2A 。（此处填小于、大于、等于） 7、设 ????? ?? ???=2141021A ，则=∞→k k A lim __________。 三、简答题：（9分） 1、 1、 方程x x 24-=在区间[]2,1内有唯一根*x ，若用迭代公式： 2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0( =k ，则其产生的序列{}k x 是否收敛于*x ？说明 理由。 2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？ 3、 3、 设001.0=x ，试选择较好的算法计算函数值2 cos 1)(x x x f -= 。 四、（10分）已知数值积分公式为： )]()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈ ? λ，试确定积分公式中的参数λ，使其 代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 五、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为： 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明：对一切a x k k ≥=,,2,1 ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 六、（9分）数值求积公式?+≈3 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公式？为什 么？其代数精度是多少？ 七、（9分）设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异，X 为精确解，0≠b ，若向量~ X 是b AX =的一个近似解，残向量~ X A b r -=，证明估计式： b r A c o n d X X X ) (~ ≤-（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。 八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数，试求满足 下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ，并导出其余项。 i 0 1 2 i x 0 1 2 )(i x f -1 1 3 )('i x f 3 九、(9分)设{})(x n ?是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列， )1,,,2,1(+=n n i x i 为{})(1x n +?的零点， )1,,,2,1)((+=n n i x l i 是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数， ∑? +=≈1 1 ) ()()(n k k k b a x f A dx x w x f 为高斯型求积公式，证明： （1） （1）当j k n j k ≠≤≤,,0时， )()(1 1 =∑+=i j i k n i i x x A ?? （2）?≠=b a j k j k dx x w x l x l ) (0 )()()( （3）∑? ?+==1 12)()()(n k b a b a k dx x w dx x w x l 十、（选做题8分） 若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+ ω， ),,1,0(n i x i =互异，求],,,[10p x x x f 的值，其中1+≤n p 。 数值计算方法答案 一、 一、填空题（每空1分，共17分） 1、（ 10 ） 2、（)0,22(- ) 22,0(） 3、a =( 3 )，b =（ 3 ），c =（ 1 ） 4、( 1 )、 ( j x )、( 324++x x ) 5、 6 、25.2364945 26!77==? 6、 9 7、 0 8、1 22 , 22- ）、（ 0>ii l ） 二、 二、选择题（每题2分） 1、（(2)） 2、（（1）） 3、（（1）） 4、（（3）） 三、1、（8分）解：},1{2x span =Φ ??? ???=22 22 38312519 1111 T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得：??????=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 2、（15分）解： 001302.07681 81121)(12][022==??≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 四、1、（15分）解：（1）3 2 1(31 )(-+='）x x ?，118.05.1<='）（ ?，故收敛； （2） x x x 1 121)(2+ - ='?，117.05.1<='）（ ?，故收敛； （3）23)(x x ='?， 15.135.12>?='）（?，故发散。 选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x Steffensen 迭代： k k k k k k k x x x x x x x +--- =+)(2))(())((2 1 ???? 11211)1(333 2 3++-++-+- =k k k k k x x x x x 计算结果：5.10=x ，324899.11=x ，324718.12=x 有加速效果。 2、（8分）解：Jacobi 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) (2)1(3)(3)(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) 1(2)1(3)(3)1(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ?????? ????? ?--=+-=-0430430 430430)(1 U L D B J ， 790569.0)410(85)(==或J B ρ SOR 迭代法：?? ???????=+-+-=+-+-=-+-=+++++ ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1() 1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2) (2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω 五、1、（15分）解：改进的欧拉法： ??? ??+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),() 0(111) 0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ； 经典的四阶龙格—库塔法： ?? ??? ?? ??? ? ++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ，所以1)1.0(1==y y 。 2、（8分）解：设)(3x H 为满足条件?? ?='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式， 则 2 1203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得： 212202232)()()()(x x x x x H x f k ---= 六、（下列2题任选一题，4分） 1、解：将3 2,,,1)(x x x x f =分布代入公式得： 201,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足?? ? ='='=1,0)()()()(3 3i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有：?=1 03) ()(x S dx x xH ， 22 )4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 03 )4(1 0)1(!4)(])()([)(-=-=??ξ 1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f =?=-=? 2、解： ] )(!3)(!2)()()(1()([) )(! 3)(!2)()(()()(!3)(!2)()()() 4(323 2103 211, +-'''+''-'-+'-+'''-''+'---+'''+''+'+=-=++n n n n n n n n n n n n n n n n h n x y h x y h x y h x y x y h x y h x y h x y h x y x y x y h x y h x y h x y y x y R θθαα ) ()()21661()()1221() ()11()()1(41312110h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''--++''-+-+'+-+--=θ αθαααα 所以?????? ?=-+-==--012210011110θαααα ??? ? ???===?230110θαα 主项：)(1253 n x y h ''' 该方法是二阶的。 数值计算方法试题 一、（24分）填空题 (1) (1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较 精确 。 (2) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到 第3位小数，则需要对分 次。 (3) (3) (2分)设 ()? ??? ??+=212 221x x x x x f ，则()=x f ' (4) (4) (3分)设 ()???≤≤+++≤≤=21,10,22 3 3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= , b= , c= 。 (5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算?1 dx e x ，要求误差不超过610-，利用 余项公式估计，至少用 个求积节点。 (6) (6) (6分)写出求解方程组?? ?=+-=+24.01 6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式 ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。 (7) (7) (4分)设 A =?? ??? 5443,则=∞A ，()Cond ∞=A 。 (8) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ，为保证算法 的绝对稳定，则步长h 的取值范围为 二. (64分) (1) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式， 并证明其收敛性。 (2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值， 并利用余项估计误差。 (3) (10分)求()x e x f =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项 (4) 式。 (5) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近似值，要 求误差限为5105.0-?。 (6) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组： ??? ??=++=++=++27 6234532424321321321x x x x x x x x x (7) (6) (8分)求方程组 ? ???? ??=???? ??????? ? ?12511213121x x 的最小二乘解。 (8) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题： ?? ?=≤≤=2)1(2 .11,y x y x dx dy 用改进的Euler 方法计算y (.)12 的近似值，取步长2.0=h 。 三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题) (1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足： ()151=p ，()201'=p ，()301''=p ，()572=p ，()722'=p (2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数 精度： ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? (3) (3) (6分)用幂法求矩阵 ? ??? ??=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为()T 0,1。 (4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤= 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N 的公式，使其精度尽量高，其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=, i=0,1,…,N, ()N a b h -= (5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ()()()()()?? ?==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题答案 一、 一、判断题：（共10分，每小题２分） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ） 二、 二、填空题：（共10分，每小题2分） 1、!89?、0 2、__二___ 3、__二___4、_16 、90__5、31 ,3 1 -6、 = 7、0 三、 三、简答题：（15分） 1、 1、 解：迭代函数为2ln /)4ln()(x x -=? 12ln 1 2412ln 141)(' x x ? 2、 2、 答：Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素)(k kk a 全 不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使0)det(≠A ，则消元 过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素)(k kk a 的绝对值很 小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差 的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的 技术，可避免主元素)(k kk a =0或) (k kk a 很小的情况发生，从而不会使计算中 断或因误差扩大太大而使计算不稳定。 3、 3、 解： +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!2cos 12142n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!21)(2 212n x x x f n n 四、 四、解：1)(=x f 显然精确成立； x x f =)(时，] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ； 2)(x x f =时，12122]20[]0[2332230 2 = ?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ； 3)(x x f =时，] 30[121 ]0[2422340 3 h h h h h dx x h -++==?； 4)(x x f =时，6]40[121]0[2553 2450 4 h h h h h h dx x h = -++≠=?； 所以，其代数精确度为3。 五、 五、证明： 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1 。 又1 )11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1，即序列{}k x 是单调递减有下界， 从而迭代过程收敛。 六、 六、解：是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=30)]2()1([23)(f f dx x p 。其代数精度为1。 七、 七、证明：由题意知：r b X A b AX -==~ , r A X X r A X X r X X A 1~ 1 ~ ~ )(--≤-?=-?=- 又 b A X X A AX b b AX ≤ ?≤=?=1 所以 b A A cond b r A A X X X ) (1~ =≤ --。 八、解：设)2)(1()()(2--+=x x ax x N x H ) 1)(0(21 21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(2----=--+-+=x x x x x f x f f x N 所以) 2)(1()1(21 21)(--+---=x x ax x x x x H 由3)0(' =H 得： 41= a 所以 134541)(2 3-+-= x x x x H 令)()()(x H x f x R -=，作辅助函数)2)(1()()()()(2 ----=t t t x k t H t f t g 则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：21,0,， x t = 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 计算机基本理论基础知识总汇 1、计算机按照数据处理规模大小可以分为（巨型计算机）（大型计算机）（小 型计算机）（微型计算机）（工作站）等 2、计算机的硬件主要由（控制器）（运算器）（存储器）（输入输出设备）以及 电源等硬件组成。 3、计算机主机是（控制器）（运算器）（存储器）的总称，主要包括(CPU）(内 存)（主板）等部件。 4、控制器和运算器集成在一起，合称为（中央处理器） 5、CPU是(Central Processing Unit)的缩写。 6、计算机硬件系统可以分为两大部分，即（主机）和（外部设备） 7、外部设备存储器包括（硬盘）（光盘）（U盘） 8、1971年，每个Intel成功的把（算术运算器）和（逻辑运算器）集成在一起， 发明了世界上第一块微处理器 9、计算机可以分为（硬件）和（软件）两大部分 10、运算器是信息的加工和处理部件，它的主要功能是完成（算术）运算和 （逻辑）运算。 11、运算器除了能进行各种加、减、乘、除运算外，还可以进行（逻辑运算） 12、运算器主要由（算术运算单元）（寄存器）（累加器）等组成 13、控制器主要由（指令译码器）（指令寄存器）（控制逻辑部件）等组成 14、（运算器）和（控制器）集成在一起就是通常所讲的CPU 15、（中央处理器）和（内存储器）一起被称为主机 16、存储器是计算机汇总记忆设备，用来存放（数据）和（程序） 17、CPU内部（缓存）的大小以及（速度）对CPU的性能影响很大。 18、存储器一般可以分为（内部存储器）和（外部存储器）两大类 19、一般把计算机的输入输出设备称为（外部设备） 20、计算机软件是指为了（运行）（管理）和（维护）计算机系统所编制的各 种程序的总和。 21、计算机软件可分为（系统软件）和一般（应用软件） 22、一般把计算机数据总线包含的二进制位数称为（字长） 23、计算机的（运算速度）是衡量计算机性能的主要指标，它主要取决于指 令的（执行时间） 24、CPU的总线包括(数据)（地址）和（控制） 25、CPU一般由（逻辑运算）单元、（控制）单元和（存储）单元组成。 26、衡量CPU性能的技术指标有（主频）（外频）（倍频系数）（Cache容量） （生产工艺技术）（封装类型）（CPU附加指令） 27、主频=（外频）*（倍数系数） 28、附加指令可以提高CPU处理（多媒体）（3D图形）等数据的能力 29、主板一般包括（CPU插槽）（控制芯片）（键盘和面板控制开关接口）（指 示灯插接件）（扩充插槽）等元件。 30、主板按照接口可分为（AT结构）和（ATX结构）的主板 31、主板可以按三种方法进行分类，即按（主板上使用的CPU）（主板结构） 或（主板采用的芯片组）来分类。 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 数值计算方法试题 一、填空（共20分，每题2分） 1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____. 2、设一阶差商， 则二阶差商 3、数值微分中，已知等距节点的函数值 则由三点的求导公式，有 4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值， 那么 5、解初始值问题近似解的梯形公式是 6、，则A的谱半径＝，A的＝ 7、设，则＝和 = 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔 迭代都_____ 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____ 10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件 时，这种分解是唯一的。 二、计算题（共60 分，每题15分） 1、设 （1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项的表达式 2、已知的满足，试问如何利用构造一个 收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？ 3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式： 三、证明题 1、设 （1）写出解的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的 2、设R=I－CA，如果，证明： （1）A、C都是非奇异的矩阵 （2） 参考答案： 一、填空题 1、2.3150 2、 3、 4、1.5 5、 6、 7、 8、收敛 9、O（h） 10、 二、计算题 1、1、（1） （2） 2、由，可得 因故 故，k=0,1,…收敛。 3、，该数值 计算机数值方法测试题二 Prepared on 22 November 2020 《计算机数值方法》测试题 一．判断题（1分×10=10分）（对打√，错打×） 1．数值方法是指解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。( ) 2．……计算R=≈是截断误差。( ) 3．不同的矩阵三角分解对应着不同的解法，但在本质上，都是经过A=LU 的分 解计算，再解Ly=b 和Ux=y 的线性方程组。( ) 4．一般不用n 次多项式做插值函数。( ) 5．Runge 现象说明并非插值多项式的次数越高其精度就越高。( ) 6．Romberg 算法是利用加速技术建立的。( ) 7．从复合求积的余项表达式看，计算值的精度与步长无关。( ) 8．可用待定系数法和函数值或公式的线性组合构造新的数值函数求解微分方程。 ( ) 9．局部截断误差e k （h ）与y （x k ）的计算值y k 有关。( ) 10．对大型线性方程组和非线性方程采用逐次逼近更为合适。( ) 二．填空题（2分×5=10分） 1． 设x ∈[a,b]，x ≠x 0，则一阶均差f （x ）= 。 2． 矩阵A 的F-范数||A||F = 。 3． Euler 公式为 。 4． 矩阵 A 的条件数Cond （A ）∞= 。 5． 设x 为准确值，x *为x 的一个近似值，近似值x *的相对误差E r （x *） = 。 三．选择题（2分×5=10分） 1．设x=Pi ；则x *=有（ ）位有效数字。 (A) 4位 (B)5位 (C)6位 2．顺序主元a ii ≠0（i=1,2……k ）的充要条件是A 的顺序主子式D i （i=1,2……n- 1）（ ）。 (A) 不全为0 (B) 全不为0 (C) 全为0 3．若存在实数P ≥1和c ＞0，则迭代为P 阶收敛的条件是（ ）。 (A) ∞ ?→?k lim p k k e e ||||1+=c (B) O(h p ) (C) O(h p+1) 4．方程x 3-x 2-1=0在x 0=附近有根，则迭代格式x k+1=在x 0=附近（ ）。 (A) 不收敛 (B) 局部收敛 (C)不确定 5．下面哪个公式的局部截断误差为O （h 3）。（ ） （A ）Euler 公式 （B ）三阶Runge —Kutta 公式 （C ）梯形公式 四．计算题（7分×6=42分） 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 1、利用计算机对指纹进行识别、对图像和声音进行处理属于的应用领域是_D_。 A、科学计算 B、自动控制 C、辅助设计 D、信息处理 2、当前计算机已应用于各种行业、各种领域，而计算机最早的设计是应用于B A、数据处理 B、科学计算 C、辅助设计 D、过程控制 3、1946年所设计的第一台计算机的目的是进行科学计算，其主要解决的问题 面向于B。 A、文化和教育 B、军事和科研 C、商业和服务 D、管理和网络 4、计算机网络的目标是实现____C__。 A、数据处理 B、文献检索 C、资源共享和信息传输 D、信息 传输 5、最早设计计算机的目的是进行科学计算，其主要计算的问题面向于__B__。 A、科研 B、军事 C、商业 D、管理 6、利用计算机来模仿人的高级思维活动称为___D_。 A、数据处理 B、自动控制 C、计算机辅助系统 D、人工智能 7、下列四项中，不属于多媒体所包括的媒体类型的是__A____。 A、X光 B、图像 C、音频 D、视频 8、当前计算机的应用领域极为广泛，但其应用最早的领域是__B__。 A、数据处理 B、科学计算 C、人工智能 D、过程控制 9、当前气象预报已广泛采用数值预报方法，这种预报方法会涉及计算机应用中 的__A__。 A、科学计算和数据处理 B、科学计算与辅助设计 C、科学计算和过程控制 D、数据处理和辅助设计 10、计算机最主要的工作特点是_A_____。 A、存储程序与自动控制 B、高速度与高精度 C、可靠性与可用性 D、有记忆能力 11、用来表示计算机辅助设计的英文缩写是__C__。 A、CAI B、CAM C、CAD D、CAT 12、计算机应用中最诱人、也是难度大且目前研究最为活跃的领域之一是_A__。 A、人工智能 B、信息处理 C、过程控制 D、辅助设计 13、某型计算机峰值性能为数千亿次/秒，主要用于大型科学与工程计算和大规模数据处理，它属于_A____。 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 练习2： 一、题目 钢筋混凝土矩形截面：b=300mm ，h=600mm ，h 0=560mm ，a s ’=25mm ，a s =40mm ，A s ’=157mm2，A s =804mm2，f y ’=280MPa ，f y =280MPa ，E s =200GPa ，E c =25.5GPa ，f c =13.4MPa ，f t =1.54MPa ，ε0=0.002，εcu =0.0038，εs u ≤10%=0.10。. 利用数值方法计算截面的M~N 关系，并附简化计算结果N u 。 b=300mm 2Φ10 h=600mm 4Φ16 二、简单分析： 本次作业是在上一次作业的基础上继续进行其他计算。主要任务是利用计算机软件来计算特定截面偏心受压情况下的纵向压力与弯矩的关系。可参考第一次作业的程序，做适当的修改即可。混凝土应力—应变曲线采用的是R üsch 建议的曲线。曲线的上升段采用抛物线形式，下降段为斜直线。 R üsch 建议的曲线：当 0εε≤时， '2 002[()] c c f ε εσεε=- 当 0cu εεε<≤时， 'c c f σ= 根据《高等钢筋混凝土结构学》提供的公式： 由平衡条件：0N =∑，0M =∑ 可知， ''0 ()()d x c ci s s s s N b y y A A σεσσ=+-? 0'''00000 ()()()(+)d () x s c ci i s s s N e y b y h x y y A h a σεσ+=-+-? 对于离纵向力较远钢筋应力的取值可参照以下情况： 平衡破坏：即受压边缘混凝土应变恰好达到极限应变时，受拉钢筋刚好达到屈服强度280MPa 。 受拉破坏：荷载偏心较大时，钢筋先屈服（达到280MPa ），经过一个过程后，混凝土达到极限压应变。 受压破坏：荷载偏心较小时，构件产生受压破坏。受压破坏是指受压较大一侧的混凝土达到极限压应变，而离纵向力较远一侧的钢筋可能受拉或者受压但都不屈服。此时钢筋应力可用以下代替： (1)s s s cu s h E E x σεε==- 轴心受压时，e0=0,全截面受压且破坏时压应变均为0.0038，两侧钢筋均受压屈服，代入上式中可以得到 ''' 13.43006002801572808072681.92c s y s y N b h A f A f kN σ=??+?+?=??+?+?= '''00()() 2 242.60c s y s s h b h h A f h a y N mm σ???-+??-= = . 由c++最终计算的数据所得到的N-M 图如下图所示。 《审计软件介绍》模拟笔试题 一、填空题（4分） 1．人们对数据的存储和管理大致经历了人工管理文件系统数据库系统三个阶段。 2．数据模型通常由数据结构、数据操作和完整性约束三部分组成。 3．按照应用领域的不同，审计软件可以分为通用审计软件和专用审计软件。 二、单项选择题（16分） 1．下列陈述中，属于面向数据的计算机审计主要内容的有（）a （A）对数据文件进行查询和分析（B）对信息系统主管进行离任审计 （C）检查防病毒软件安装情况（D）对安全防护系统进行检查 2．大量的数据用（）的形式来表示，是计算机数据处理的一个显著特点。b （A）光盘（B）代码 （C）纸性介质（D）软盘 3．在关系数据模型中，实体以及实体间的联系是通过（）来描述的。a （A）关系（B）键值 （C）属性（D）元组 4．下列运算（操作）中，属于传统的集合运算（操作）的有（）a （A）差（B）连接 （C）选择（D）投影 5．下列数据库管理系统中，属于关系型数据库管理系统的有（）a （A）Informix （B）IMS （C）文本文件（D）Microsoft Excel 6．在关系模型的特点中，所谓“关系必须是规范化的关系”，是指关系模型必须至少满足（）a （A）1NF （B）2NF （C）3NF （D）BCNF 7．下列工具中，属于数据库设计中可视化的规范化辅助设计软件的有（）c （A）Microsoft Access 2000 （B）Power Builder （C）Oracle Designer 2000 （D）Visual Basic 6 8．数据字典的最小组成单位是（）a （A）数据项（B）数据结构 （C）数据流（D）数据存储 9．将局部E-R模型集成为全局E-R模型的时候，可能会存在的冲突有（）a （A）属性冲突, （B）实体冲突 （C）联系冲突（D）以上都不对 10．为了保证源系统和目标系统对接口中传输的信息不产生歧义，要求接口语法所产生的语言（）a （A）没有二义性（B）采用形式化语言 （C）采用自然语言（D）保持独立 11．审计接口一般包括两方面的内容，一是信息传输的格式和规范，二是完成传输作业的（）b （A）参数（B）程序 （C）范围（D）字符集 12．审计接口的“前处理器”通常是指传输层的（）部分。a （A）数据采集（B）数据传输 （C）数据接收（D）数据校验 13．IDAPI是由（）公司为主制定的。a （A）Borland （B）Microsoft （C）Sybase （D）Lotus 14．下列技术和方法中，通过OLE DB提供的COM接口访问数据，能够适合于各种客户机/服务器应用系统和基于Web的应用的是（）c （A）ODBC （B）IDAPI （C）ADO （D）DAO 15．在分隔符形式的文本文件中，不同的字段之间是通过（）来划分的。d （A）逗号（B）竖线 （C）文本识别符号（D）字段分隔符号 16．在导入包含日期时间信息的文本文件的过程中，一般要进行（）操作。c （A）值域转换（B）代码转换 （C）日期时间格式转换（D）相关检验 17．用以标识缺省的Informix数据库服务器名称的环境变量是（）b （A）INFORMIXHOSTS （B）INFORMIXSERVER （C）DBCODESET （D）INFORMIXDIR 1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2) 3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解： 5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b) 7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ，使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度；利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 ) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ，并求)2(f 的近 似值（保留四位小数）。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ，并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表 一、填空（共20分，每题2分） 1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____. 2、设一阶差商， 则二阶差商 3、数值微分中，已知等距节点的函数值 则由三点的求导公式，有 4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值， 那么 5、解初始值问题近似解的梯形公式是 6、，则A的谱半径＝，A的＝ 7、设，则＝和 = 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔 迭代都_____ 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____ 10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件 时，这种分解是唯一的。 二、计算题（共60 分，每题15分） 1、设 （1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项的表达式 2、已知的满足，试问如何利用构造一个 收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？ 3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式： 三、证明题 1、设 （1）写出解的Newton迭代格式 （2）证明此迭代格式是线性收敛的 2、设R=I－CA，如果，证明： （1）A、C都是非奇异的矩阵 （2） 参考答案： 一、填空题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、收敛 9、O（h） 10、 二、计算题 1、1、（1） （2） 2、由，可得 因故 故，k=0,1,…收敛。 3、，该数值 求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得 ，记步长为h,对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 三、证明题 1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式： n=0,1,… 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 第O 章 绪论 一、教学设计 1．教学内容：数值计算方法这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。 3．教学目标：了解数值计算方法的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 4．教学方法：介绍与讨论 二、教学过程 §1。1引论 1．课程简介： 数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一个部分。 2．历史沿革： ①数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。 ②各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。 ③直到20世纪40年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢，作用也比较有限。 3．计算方法的形成： ①20世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。如：天气预报 ②计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。 ③以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学”开始形成并迅速发展。 4．作用与意义： 科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三大方法。这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。 5．计算方法的任务： ①将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。 例：!!212n x x x e n x ++++≈ ， h x y h x y x y )()()(-+≈' ②针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式。 例：解线性方程组，已有Cram 法则，但不可行。(几十万年) ③误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。 6．计算机数值方法的研究对象：(与科学计算有关的数学问题是多种多样的，最基本类型有：) 利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下： 实际问题――＞构造数学模型――＞设计数值计算方法――＞程序设计――＞上机求 出结果――＞回到实际问题。 数学模型举例： 例1：鸡兔同笼：（共10只，34只脚）导致方程组； 例2：曲边梯形的面积。 相应地，本课程主要研究的数值问题有：函数的插值与逼近方 法；微分与积分计算方法；线性方程组与非线性方程组计算方 法；微分方程数值解等。 7．主要特点 既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具 有应用广泛性与数值试验的高度技术性。（要求先掌握基本数 学知识，以及计算机的基本操作）北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
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