正交实验设计及结果分析

正交试验设计
对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。

但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。

正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。

1 正交试验设计的概念及原理
1.1 正交试验设计的基本概念
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。

它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。

例如：设计一个三因素、3水平的试验
A因素，设A1、A2、A33个水平；B因素，设B1、B2、B33个水平；C因素，设C1、C2、C3 3个水平，各因素的水平之间全部可能组合有27种。

全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。

但全面试验包含的水平组合数较多（图示的27个节点），工作量大，在有些情况下无法完成。

若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。

全面试验法示意图
三因素、三水平全面试验方案
正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。

正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。

虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。

如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包
含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。

1.2 正交试验设计的基本原理
正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。

上图中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。

即：
(1)A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3
(4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1
(7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2
以上选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。

对于A、B、C 3个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点，仅是全面试验的三分之一。

从上图中可以看到，9个试验点在选优区中分布是均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。

9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。

1.3 正交表及其基本性质
1.3.1 正交表
由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。

下表是一张正交表，记号为L8(27)，其中“L”代表正交表；L 右下角的数字“8”表示有8行，用这张正交表安排试验包含8个处理(水平组合) ；括号内的底数“2”表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。

L8(27) 正交表
常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。

2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等。

1.3.2 正交表的基本性质
1.3.
2.1 正交性
（1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等
例：L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。

（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且对出现的次数相等
例：L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。

即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。

1.3.
2.2 代表性
一方面：
（1）任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；
（2）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。

另一方面：
由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。

因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。

1.3.
2.3 综合可比性
（1）任一列的各水平出现的次数相等；
（2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。

这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。

从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。

根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。

所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。

整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。

因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。

如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平 A1、A2、A3 条件下各有 B 、C 的 3个不同水平，即：
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。

所以A因素3个水平间具有综合可比性。

同样，B、C 因素3个水平间亦具有综合可比性。

试验目的与要求
试验指标 选因素、定水平 因素、水平确定 选择合适正交表
列试验方案
正交表的三个基本性质中，正交性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果。

1.4 正交表的类别
1、等水平正交表 各列水平数相同的正交表称为等水平正交表。

如L 4(23)、L 8(27)、L 12(211)等各列中的水平为2，称为2水平正交表；L 9(34)、L 27(313)等各列水平为3，称为3水平正交表。

2、混合水平正交表 各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。

如L 8(4×24)表中有一列的水平数为4，有4列水平数为2。

也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。

再如L 16(44×23)，L 16(4×212)等都混合水平正交表。

2 正交试验设计的基本程序
对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试验设计方法，其设计基本程序如图所示。

正交试验设计的基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。

2.1 试验方案设计
（1） 明确试验目的，确定试验指标 试验设计前必须明确试验目的，即本
次试验要解决什么问题。

试验目的确定后，对试验结果如何衡
量，即需要确定出试验指标。

试验指标可为定量指标，也可为定性指标。

试验方案设计流程
一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或
模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。

（2）选因素、定水平，列因素水平表
根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。

一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。

试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以2-4个水平为宜。

对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过多（≤6），否则试验次数骤增。

因素的水平间距，应根据专业知识和已有的资料，尽可能把水平值取在理想区域。

四因素、三水平的试验因素水平表
（3）选择合适的正交表
正交表的选择是正交试验设计的首要问题。

确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。

正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作用的前提下，
尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。

一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数；因
数
例：选择一4个3水平因素试验的正交表
可以选用L9(34)或L27(313)
（A）不考察因素间的交互作用，宜选用L9（34）。

（B）考察交互作用，则应选用L27(313)。

课堂练习：
选择一5个3水平因子及一个2水平因子试验的正交表 L12(2×35)
（4）表头设计
表头设计，就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各列中去的过程。

在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用，以防止设计“混杂”。

例：不考察交互作用，可将因素(A)、(B)和(C)、（D）依次安排在L9(34)的第1、2、3、4列上，见下表所示。

表头设计
（5）编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。

把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了下表中的正交试验方案。

◇下表说明：试验号并非试验顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行；
安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。

试验方案及试验结果表
作业
1、正交表有哪些类型？它们的核心性质是什么？
2、写出正交表的表达式，并简述正交试验设计的基本程序。

3、不考虑交互作用，设计一个4水平的3因素正交试验方案
极差分析
方差分析
2.2 试验结果分析
▪分清各因素及其交互作用的主次顺序，分清哪个是主要因素，哪个是次要因素；
▪判断因素对试验指标影响的显著程度；
▪找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合，即试验因素各取什么水平时，试验指标最好；
▪分析因素与试验指标之间的关系，即当因素变化时，试验指标是如何变化的。

找出指标随因素变化的规律和趋势，为进一步
试验指明方向；
▪了解各因素之间的交互作用情况；
▪估计试验误差的大小。

▪ 3 正交试验的结果分析
3.1 直观分析法－极差分析法
计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结果分析最常用方法。

以下说明极差分析过程。

R j为第j列因素的极差，反映了第j列因素水平波动时，试验指标的变动幅度。

R j越大，说明该因素对试验指标的影响越大。

根据R j大小，可以判断因素的主次顺序。

K jm为第j列因素m水平所对应的试验指标和，k jm为K jm平均值。

由k jm大小可以判断第j列因素优水平和优组合。

3.1.1 不考察交互作用的试验结果分析
（1）确定试验因素的优水平和最优水平组合
分析A因素各水平对试验指标的影响。

根据正交设计的特性，对A1、A2、A3来说，三组试验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接比较。

如果因素A对试验指标无影响时，那么k A1、k A2、k A3应该相等，不相等时说明，A 因素的水平变动对试验结果有影响。

根据k A1、k A2、k A3的大小可以判断A1、A2、A3对试验指标的影响大小。

k A值愈接近要求值的水平是A因素的优水平。

同理，可以计算并确定B、C、D因素的优水平。

四个因素的优水平组合为试验的最优水平组合。

例1：分析下表中温度、时间、加碱量对转化率影响试验中各条件的最优值和最佳的工艺条件。

转化率试验数据表
（2）确定因素的主次顺序
根据极差R j的大小，可以判断各因素对试验指标的影响主次。

比较各R值大小，R值愈大的表示因素对指标的影响大，因素越重要，R值愈小因素的影响较小。

（3）绘制因素与指标趋势图
以各因素水平为横坐标，试验指标的平均值（k jm）为纵坐标，绘制因素与指标趋势图。

由因素与指标趋势图可以更直观地看出试验指标随着因素水平的变化而变化的趋势，可为进一步试验指明方向。

以上即为正交试验极差分析的基本程序与方法
▪极差R：表示该因素在其取值范围内试验指标变化的幅度。

R = max（Ki）- min（Ki）
例2：根据转化率试验结果计算极差R，并分析影响转化率因素的主次顺序。

解例：计算的k值和R值如下表：
温度时间加碱量
以上计算后分析得到下面的试验结论
▪各条件的最优值：温度3（90℃），
时间2（120分钟），加碱量2（6%）。

最佳工艺条件是以上三个最优水平
的组合。

▪对转化率影响最大的因素是温度，其
次是加碱量，时间的影响最小。

附1 多指标正交试验极差分析
对于多指标试验，方案设计和实施与单指标试验相同，不同在于每做一次试验，都需要对考察指标一一测试，分别记录。

试验结果分析时，也要对考察指标一一分析，然后综合评衡，确定出优条件。

（1）试验方案设计
确定试验指标X、Y、Z
挑因素，选水平，列因素水平表（见下表）
选正交表、设计表头、编制试验方案。

下表为四因素三水平试验，不考虑交互作用，选L9（34）安排试验。

（2）试验结果分析
计算各因素各水平下每种试验指标的数据和以及平均值，并计算极差R。

根据极差大小列出各指标下的因素主次顺序。

试验指标：主次顺序优化水平组合
X ACDB A3B3C1D2
Y CDAB A1B2C1D1
Z ADBC A2B2C2D3
初选优化工艺条件：根据各指标不同水平平均值确定各因素的优化水平组合。

综合平衡确定最优工艺条件。

以上三指标单独分析出的优化条件不一致，必须根据因素的影响主次，综合考虑，确定最佳工艺条件。

例：如下表数据，对于因素A，其对X影响大小排第一位，此时取A3；其对Z影响也排第一位，取A2；而其对Y影响排次要第三位，为次要因素，因此A可取A2或A3，但取A2时，Z比取A3减小了
14.8%，而X 增加了12%，且由Y 指标看，取A 2比A 3的Y 值高，故A 因素取A 2。

同理可分析B 取B 2，C 取C 1，D 取D 3。

优组合为A 2B 2C 1D 3.
附2 混合型正交表试验设计与极差分析
试验设计与结果分析同前，不同的是将极差R 进行调整，用调整后的R ’进行比较。

r 为因素每个水平试验重复数
d 折算系数，与因素水平有关。

r dR R '
3.1.2 考察交互作用的试验设计
（1）交互作用
在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间的联合搭配也对指标产生影响。

因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交互作用。

因素之间的交互作用总是存在的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程度不同而异。

一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不存在交互作用。

对于交互作用，设计时应引起高度重视。

在试验设计中，表示A、B间的交互作用记作A×B，称为1级交互作用；表示因素A、B、C之间的交互作用记作A×B×C，称为2级交互作用；依此类推，还有3级、4级交互作用等。

（2）交互作用的处理原则
试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交互作用问题的总原则。

作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。

但交互作用又与因素不同，表现在：
①用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；
②一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1）p 列。

表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m有关，与交互作用级数p有关。

2水平因素的各级交互作用均占1列；对于3水平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见，m和p越大，交
互作用所占列数越多。

例：对一个25因素试验，表头设计时，如果考虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：
C51 + C52 +C53 +C54 +C55＝5+10+10+5+1＝31，
那么此试验必选L32（25）正交表进行设计。

一般对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，要有选择地、合理地考察某些交互作用。

综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。

一般原则是：
①忽略高级交互作用
②有选择地考察一级交互作用。

通常只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。

③试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。

（3）有交互作用的试验表头设计
表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行安排。

这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键的一步。

在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。

所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作
用对试验指标的影响效果。

（4）有交互作用的正交设计
在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作用。

对于既考察因素主效应又考察因素间交互作用的正交设计，除表头设计和结果分析与前面介绍略有不同外，其它基本相同。

1、右表是一正交试验方案和结果表，请用极差分析法对试验结果进行分析，确定各因素对指标Y的影响大小和优水平，明确最优的工艺组合。

显著。

为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。

3.2.1 正交试验结果的方差分析
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F 统计量，作F 检验，即可判断因素作用是否显著。

（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
（2）自由度分解：
若计算出的F 值F 0>F a ，则拒绝原假设，认为该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若F 0≼F a ，则认为该因素或交互作用对试验结果无显著影响。

（6）正交试验方差分析说明
空列（误差）
因素SS SS SS T +=空列（误差）
因素T df df df +=
由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SS e及其自由度df e，因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。

当无空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。

误差自由度一般不应小于2，df e很小，F检验灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。

为了增大df e，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因（MS交）<2MS e，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。

L9(34) 正交表
8 3 2 1 3 y8 9
3
3
2
1
y9
分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。

单因素试验数据资料格式
L n （m k ）正交表及计算表格
表头设计
A
B
…
…
试验
数据
列号
1
2
…
k
x i
x i
2
试验号
1
1
…
…
…
x 1
x 1
2
[]
9
T -）K K K （31＝ （修正项）9
）y9...y2y1（）y9y8y7（）y6y5y4（）y3y2y1（31＝SS 22
322212
2
22A +++++-++++++++
2 1 …
…
…
x 2
x 2
2
…
…
…
…
…
… … n m … … … x n
x n
2
K 1j K 11 K 12 … K 1k
K 2j K 21 K 22 … K 2k … … … … … K mj K m1 K m2 … K mk K 1j 2
K 112
K 122
…
K 1k 2
K 2j 2 K 212 K 222
K 2k 2
… … … … … K mj 2 K m12 K m22 … K mk 2 SS j
SS 1
SS 2
…
SS k
CT
＝Q SS r 1＝Q CT ＝Q SS x Q n T
CT x T＝j j i＝j T T n
i＝i
T 2
n
i＝i --=∑∑∑m 12
ij
1
21
K ＝ 总偏差平方和： 列偏差平方和：
）
，，，＝（）（＝k ...21j n x －K r 1＝SS n
1＝i 2
i
m 1i 2
ij j ∑∑ 试验总次数为n ，每个因素水平数为m 个，每个水平作r 次重复 r ＝n/m 。

试验方案及结果分析表
试验结处理号A B C空列
果
1 1 1 11 6.25
2 1 2 22 4.97
3 1 3 33 4.54
4 2 1 237.53
5 2 2 31 5.54
6 2 3 12 5.5
7 3 1 3211.4
8 3 2 1310.9
9 3 3 218.95 K1j15.76 25.18 22.65 20.74
K2j18.57 21.41 21.45 21.87
K3j31.25 18.99 21.48 22.97
K1j2
248.3
8 634.03 513.02
430.1
5
K2j2
344.8
4 458.39 460.10
478.3
K3j2
976.5
6 360.62 461.39
527.6
2
（1）计算
计算各列各水平的K值
计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。

自由度：df A
计算方差：
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见下表
方 差 分 析
表
变异来源 平方和 自由度 均方 F 值 Fa
显著水平
A 45.40 2 22.70
79.6
F 0.05(2,4) =6.94 ** B 6.49 2 3.24 11.4 F 0.01(2,4)=18.0
*
C △ 0.31 2 0.16
误差e
0.83
2
0.41
误差e△ 1.1440.285
总和53.03
结论
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。

因素主次顺序A-B-C。

（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。

对因素A、B分析，确定优水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，可从经济、操作等角
度考虑取值，选C1。

优水平组合为A3B1C1。

3.2.3 考虑交互作用正交试验方差分析
例：用石墨炉原子吸收分光光度法测定锌锭中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，现研究影响吸光度的因素，确定最
佳测定条件
（1）计算
计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；计算各列偏差
平方和及自由度（见吸光度测定试验方案及结果分析表）。

（2）显著性检验
根据方差分析表，因素B高度显著，因素A、C及交互作用A×B、A
×C、B×C均不显著。

各因素对试验结果影响的主次顺序为：B、A、
A×C、C、A×B、B×C。

吸光度测定试验方案及结果分析表
方差分析表
变异来源平方和自由度均方F值临界值Fa 显著水平
A 0.0210 1 0.021 6.82 F0.05(1,3)=10.13
B 0.2346 1 0.235 76.19 F0.01(1,3)=34.12 **
A×B△0.0055 1 0.006
C 0.0078 1 0.008 2.53
A×C 0.0091 1 0.009 2.96
B×C
0.0001 1 0.000
△
误差e 0.0036 1 0.004
误差e
0.0923 3 0.00308
△
总
0.2818
和
（3）优化条件确定
根据方差分析表判断，试验中各因素的交互作用均不显著，确定
因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。

对显著因素B，通
过比较K1B和K2B的大小确定优水平为B2；同理A取A2，C取C1或
C2。

优组合为A2B2C1或A2B2C2。

方差分析可以分析出试验误差的大小，从而知道试验精度；不仅可给出各因素及交互作用对试验指标影响的主次顺序，而且可
分析出哪些因素影响显著，哪些影响不显著。

对于显著因素，选
取优水平并在试验中加以严格控制；对不显著因素，可视具体情况确定优水平。

但极差分析不能对各因素的主要程度给予精确的数量估计。

作业
试对以下转化率试验结果进行方差分析，判断各因素对转化率产影响程度，确定最优的工艺组
转化率处理号温度时间加碱量空列
（%）
1 1 1 1 1 31
2 1 2 2 2 54
3 1 3 3 3 38
4 2 1 2 3 53
5 2 2 3 1 49
T=450
CT=T2/n
=22500
变异来源平方和自由度均方F值Fa显著水平温度618 2 309 34.3 F0.05(2,2) =19 ** 时间114 2 57 6.3 F0.01(2,2)=99
加碱量234 2 117 13
误差e 18 2 9
总和984
结论：温度对转化率的影响显著，时间和加碱量的影响不显著，
因素主次顺序温度-加碱量-时间。

转化率越大越好。

对温度进行分析，确定优水平为A3（120℃）；
时间和加碱量对转化率的影响较小，可选择取值B2（120分钟）、
C2（6%）；优水平组合为A3B2C2。