专题24解三角形中的最值、范围问题

专题24 解三角形中的最值、范围问题

解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22

,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.

1、正弦定理：，其中为外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网

例如：（1）

（2）（恒等式）

（3）

2、余弦定理：

变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值

4、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.

5、解三角形中处理不等关系的几种方法

（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）

（2）利用均值不等式求得最值 【经典例题】

例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】

【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．

点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．

例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.

【解析】由，

得，所以，

则由余弦定理，

得，解得，又，所以的范围是.

例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2

例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】

【解析】由的三边分别为，，可得：

，

可知：，

，，

例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.

(1)求角的大小；

(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.

【答案】(1)(2).

【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，

由此可求角的大小；

（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.

（2）因为

所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，

例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*

（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.

详解：(Ⅰ)由己知

(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；

当时，为直角三角形，

当时，由正弦定理，

，

所以，当时，综上所述，.

例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A．（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.

，进而可得结果.

试题解析：（1）根据正弦定理得，即，

则，即，由于，

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知，，设函数．

（1）求函数的单调增区间；

（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围．

【答案】(1) ，．(2) .

【解析】试题分析：（1）由题，根据正弦函数的性质可求其单调增区间；

（2）由题可知，

（当且仅当时取等号），所以，，由此可求的取值范围．

（当且仅当时取等号），

所以，，，综上，的取值范围为．

例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角中，对边为，

（1）求的大小；（2）求代数式的取值范围.【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由及余弦定理的变形可得，因为，故得，从而可得锐角中．（2）利用正弦定理将所求变形为，然后根据的取值范围求出代数式的取值范围即可．试题解析：

（1）∵，，

∴ ，∴

∴，

∴,

∵为锐角三角形，且∴ ，即 , 解得，

∴∴∴．故代数式的取值范围．

点睛：

（1）求的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角的范围．

（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得的范围，然后结合函数的图象可得的范围，以达到求解的目的．

例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知的内角的对边分别为，若向量，且.

（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）由，得，利用正弦定理统一到角上易得（2）根据题意，得，由余弦定理，得，结合均值不等式可得，所以的最大值为4，又，从而得到周长的取值范围.

得.又，所以.

（2）根据题意，得.由余弦定理，得，

即，整理得，当且仅当时，取等号，

所以的最大值为4.又，所以，所以.

所以的周长的取值范围为.

【精选精练】

1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】因为，所以，即，即，