Ch85多元函数极值及其应用
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第五节 多元函数的极值
一.二元函数的极值 二.二元函数的最值 三.条件极值
一、二元函数的极值
1、二元函数极值的定义
定义1 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值.
例2：某厂要用铁板做成一体积V = 2m3的有盖长方体水箱， 问当长，宽，高各取怎样的尺寸，才能使用料最省？
解 : 设长宽高分别为x, y, z, 则 V xyz 2
表面积S 2( xy xz yz) 2( xy x 2 y 2 ) xy xy
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有二
阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ，
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
解方程组
f x ( x, y) 2xy(4 x f y ( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
2xy 4 4 yx
S
x
2y
4 x2
0
S
y
2x
4 y2
0
x y 3 2,z 3 2
由实际意义知
长、宽、高分别为3 2, 3 2, 3 2时用料最省
例3：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1,p2 ,销售量分别为q1,q2 ,需求函数分别为q1 = 24 - 0.2 p1, q2 = 10 - 0.05 p2,总成本函数C = 35 + 40(q1 + q2),问厂家如 何订价才能时利润最大？
驻点: (1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)
A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
在(1,0)处 A=12>0,B=0,C=6 AC B2 12 6 0 在(1,0)处取得极小值-5
在(1,2)处 A=12>0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0 在(1,2)处没有极值
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
二、二元函数的最值
求连续函数在闭区域上的最值的一般方法：
1.求f (x,y)在D 内驻点和偏导数不存在的点;
2.将f (x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的 边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大 者即为最大值，最小者即为最小值.
例1 P337 3
但在实际应用题中，若f(x,y)在D内只有一个驻点， 则函数值就是所求的最大（小）值。
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
例 1 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域
D上的最大值与最小值.
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，即y 6 x 于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
由 f x 4x( x 6) 2x2 0
y
x y6
D
o
x
得 x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,
f (4,2) 64,
定义2 凡使一阶偏导数同时为零的点，均称为 函数的驻点.
注意： 驻点
极值点
例 : (0,0)是z y2 x2的驻点, 但不是极值点
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
在(-3,0)处 A=-12,B=0,C=6 在(-3,0)处没有极值
AC B2 12 6 0
在(-3,2)处 A=-12<0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0
在(-3,2)处取得极大值31
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1）AC B2 0时具有极值，
当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值；
（2）AC B2 0时没有极值； （3）AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例4：讨论f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值 解 : f x 3x2 6x 9 0 x 1,3 f y -3y2 6 y 0 y 0,2
小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2 在 (0,0) 处有极小值．
例２函数 z 1 x2 y2
在(0,0)处有极大值．
例３ 函数 z y2 x2 在 (0,0) 处无极值．
Βιβλιοθήκη Baidu
(1)
(2)
z
o
y
x
2.二元函数取得极值的条件
定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极值, 且在点 ( x0 , y0 )具有偏导数,则它在该点的偏导数必然为 零,即 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
一.二元函数的极值 二.二元函数的最值 三.条件极值
一、二元函数的极值
1、二元函数极值的定义
定义1 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值.
例2：某厂要用铁板做成一体积V = 2m3的有盖长方体水箱， 问当长，宽，高各取怎样的尺寸，才能使用料最省？
解 : 设长宽高分别为x, y, z, 则 V xyz 2
表面积S 2( xy xz yz) 2( xy x 2 y 2 ) xy xy
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有二
阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ，
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
解方程组
f x ( x, y) 2xy(4 x f y ( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
2xy 4 4 yx
S
x
2y
4 x2
0
S
y
2x
4 y2
0
x y 3 2,z 3 2
由实际意义知
长、宽、高分别为3 2, 3 2, 3 2时用料最省
例3：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1,p2 ,销售量分别为q1,q2 ,需求函数分别为q1 = 24 - 0.2 p1, q2 = 10 - 0.05 p2,总成本函数C = 35 + 40(q1 + q2),问厂家如 何订价才能时利润最大？
驻点: (1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)
A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
在(1,0)处 A=12>0,B=0,C=6 AC B2 12 6 0 在(1,0)处取得极小值-5
在(1,2)处 A=12>0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0 在(1,2)处没有极值
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
二、二元函数的最值
求连续函数在闭区域上的最值的一般方法：
1.求f (x,y)在D 内驻点和偏导数不存在的点;
2.将f (x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的 边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大 者即为最大值，最小者即为最小值.
例1 P337 3
但在实际应用题中，若f(x,y)在D内只有一个驻点， 则函数值就是所求的最大（小）值。
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
例 1 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域
D上的最大值与最小值.
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，即y 6 x 于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
由 f x 4x( x 6) 2x2 0
y
x y6
D
o
x
得 x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,
f (4,2) 64,
定义2 凡使一阶偏导数同时为零的点，均称为 函数的驻点.
注意： 驻点
极值点
例 : (0,0)是z y2 x2的驻点, 但不是极值点
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
在(-3,0)处 A=-12,B=0,C=6 在(-3,0)处没有极值
AC B2 12 6 0
在(-3,2)处 A=-12<0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0
在(-3,2)处取得极大值31
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1）AC B2 0时具有极值，
当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值；
（2）AC B2 0时没有极值； （3）AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例4：讨论f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值 解 : f x 3x2 6x 9 0 x 1,3 f y -3y2 6 y 0 y 0,2
小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2 在 (0,0) 处有极小值．
例２函数 z 1 x2 y2
在(0,0)处有极大值．
例３ 函数 z y2 x2 在 (0,0) 处无极值．
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(1)
(2)
z
o
y
x
2.二元函数取得极值的条件
定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极值, 且在点 ( x0 , y0 )具有偏导数,则它在该点的偏导数必然为 零,即 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.