Ch85多元函数极值及其应用
数学与应用数学本科毕业范文-多元函数极值的判定及应用
本科毕业论文论文题目：多元函数极值的判定及应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)1．引言 (2)2．多元函数极值理论 (2)3．多元函数极值判定 (3)4. 多元函数条件极值的解法 (4)5. 多元函数极值应用 (5)参考文献 (10)多元函数极值的判定及应用【摘要】：多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文主要讲解多元函数极值理论，多元函数极值判定，多元函数条件极值的解法，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式及部分日常生活所遇到的问题上的应用.【关键词】：多元函数；极值；充要条件；条件极值；拉格朗日乘数法；The determination and application of multivariate function extremevalueAbstract：Conditional extreme value of pluralistic function is multivariate differential calculus important component, this paper mainly on extreme value of multivariate function extreme value of multivariate function theory, judgment, the conditional extreme value of pluralistic function method, and to investigate the conditional extreme value of pluralistic function in the proof of inequality and a part of daily life problems encountered on the application.Key words:Multivariate function extreme value; necessary and sufficient condition of conditional extremum; the Lagrange multiplier method;1. 引言本文主要讲解多元函数极值在日常生活中的应用，从中我们深刻的体会到学习多元函数极值的重要性。
提交版--多元函数的极值及其应用
多元函数的极值及其应用摘要函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。
在数学分析中，讨论了二元函数的极值、极值的充分、必要条件、条件极值以及求条件极值的拉格朗日乘数法。
本论文讨论了多元函数的极值及其应用。
在第一章中，我们将二元函数极值的讨论形式上推广到多元函数的极值上，给出了多元函数极值的充分、必要条件。
在第二章中，通过具体实例，我们总结讨论了多元函数的条件极值的求法，有代入消元法、拉格朗日乘数法、梯度法、不等式、二次方程判别式、数形结合法等五个方法，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的求法，同一个极值问题也可以有几种不同的求法，所以我们需选择适当的方法，掌握正确的解题思路。
在第三章中，我们总结归纳了多元函数的极值、条件极值在实际生活中的各种应用，在数学上，我们可以用来证明某些不等式、讨论圆内切n边形的最大面积等，在经济学中，可用来讨论效益最优化的问题，在物理学上，可用来讨论光的折射的最短路径等等，由此，我们可以体会到如何将实际生活中的问题转化成讨论极值问题的数学模型，并用我们总结的方法予以解决。
关键词：多元函数极值条件极值拉格朗日乘数法Extreme Value Of Multivariate Function And ItsApplicationABSTRACTFunction extreme value has always been an important content of mathematical research, there are many in the science and production practice related to extreme value problem.In mathematical analysis, discussed the the extremum of the extreme value of binary function, necessary and sufficient conditions, conditional extremumand Lagrange multiplier method of conditional extreme value. The extremum of function of many variables and its application are discussed in this paper.In the first chapter, we will discuss formally promotion to the extreme value of binary function on the extreme value of multivariate function is given, the necessary and sufficient conditions for the the extremum of function of many variables.In the second chapter, through specific examples, we summarize the conditional extreme value of multivariate function is discussed, the application of minimal polyomial to have substitution elimination method, the Lagrange multiplier method, gradient method, inequality, quadratic equation discriminant, in combination with number form, such as the five methods, we can see different conditional extreme value problem can have different religion, there are some different in this extremum problems can also be the same, so we need to choose the appropriate method, to master the correct way.In the third chapter, we summarized the extremum of function of many variables, conditional extreme value in the practical application of life, in mathematics, we can be used to prove some inequalities, discuss the circle edge trimming of the large area, etc., in economics, can be used to discuss the problem of optimization, in physics, can be used to discuss the shortest path of the refraction of light, etc., as a result, we can realize how will discuss the problems in the real life into the extremum problems of mathematical model, and we summarize the methods to solve.Keywords:Multivariate function The extreme Conditional extreme value Lagrange multiplier method目录前言 (1)第一章多元函数的极值 (1)1.1 二元函数的极值 (1)1.2 n元函数的极值 (5)第二章多元函数的条件极值 (9)2.1 代入消元法 (9)2.2 拉格朗日乘数法 (10)2.3 梯度法 (14)2.4 不等式法 (17)2.4 二次方程判别式 (19)2.5 数形结合法 (20)第三章多元函数极值的应用 (23)3.1 函数极值在数学中的应用 (23)3.2 函数极值在经济中的应用 (26)3.3 函数极值在物理学中的应用 (27)3.4 函数极值在化学中的应用 (28)参考文献 (30)前 言函数极值在数学问题上占有非常重要的作用，其求解与发展大力的推动了微积分学科的发展并做出了重大贡献。
多元函数的极值及其应用(精)
2012 年 5 月（上）科技创新与应用科教纵横多元函数的极值及其应用苏兴花（山东现代职业学院，山东济南 250104 ）多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛．然而在数学分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式时，无法判别二元函数的极值是否存在．鉴于这种状况与实际需要的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方便。
1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理二元函数的极值定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义，在 P 处给自变量的增量△P=(h,k，相应有函数增量．若，则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点（极小点）．极大点（极小点）的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值（极小值）．极大值与极小值统称为函数的极值．定义 2 方程组的解（xy 平面上的某些点）称为函数 f(x,y的稳定点．定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数，且P(a,b是函数 f(x,y的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b，且在 P(a,b的邻域 G 存在二阶连续偏导数．令 1）若△<0，则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点，(iA>0(或 C>0，P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0，P(a,b是函数 f(x,y的极大点． 2）若△>0，P(a,b不是函数 f(x,y的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广定理设 f(P是 R n 中的实函数，且 f(P在点 P 0 取到极值，则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点．其中为实对称矩阵，其元素且不全为零 (i,j= 1,2,...,n即A≠0． 1 若 A 为正定矩阵，f(P为极小值; 2 若 A 为负定矩阵，f(P为极大值; 3 若 A 既不正定，也不负定，则 f(P不是极值．注意：若二次齐次多项式为零，即 A=0 时，此时不能用 A 的正定与负定来判断 f(P是否为极值，或判断 f(P是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判定．定理 2 设二元函数 f(x,y在点 P 0 (x 0 ,y 0 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且 P 0 是稳定点，又，即△=0 时，则当时， f 在点 P 0 无极值．例 2 判别函数是否存在极值．解解方程组得稳定点 P 0 （ 0 ， 0 ）．因为函数 f(x,y 在 R 2 上可微，所以f(x,y 只可能在 (0,0 点取极值，且容易验证 B 2 -AC=0 ，用二阶偏导数判别法得不到结论，但又知，所以由定理 2 知函数 f(x,y=xy 2 在 (0,0 点不取极值．以上介绍了多元函数极值的相关定义、性质及定理，并给出一些较为有价值的定理，解决了几类在数学分析教材中无法解决的问题，下面我们将给出一些实际例子来验证定理及推论在判别多元函数极值问题中的作用． 2 多元函数极值的应用多元函数极值在实际问题中的应用例 3 考试中心组织非英语专业等级考试，租用学校教室做考场，已知每个大教室可容纳考生 50 名，需 2 名教师监考，租金 70 元；每个小教室可容纳考生 30 名，需 2 名教师监考，租金 40 元，本次考试考生共 1800 名，可提供监考教师 114 名，问怎样安排大小考场才能既满足要求又最省租金？解设用小教室 x 1 个，大教室 x 2 个，则线性规划模型为 min {40x 1 +70x 2 } 使得其中化为标准形使得其中求得全部基本允许点：而可知规划最优点为．即用 30 个小教室，18 个大教室最优．例 3 这道题是最优化问题，主要解决了如何合理配置资源才能达到不浪费资源，取得最优效果的问题。
12-6多元函数极值及应用
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
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当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值
z
o x
y
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.
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当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 ) 2 z (0,0) 0
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0 0
－
+
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
1 ( Ah B k ) 2 Q ( h , k ) 则 若 A≠0, A
+ ( x0 , y0 )
o x Q(h, k )可能
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
故 Q(h, k ) 与 A 同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
y
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
结束
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来方法：
多元函数的极值求法及其应用
多元函数的极值求法及其应用作者：骆旗来源：《科学导报·学术》2020年第55期【摘要】在高等数学的应用研究里面，函数的极值，最大值和最小值时最常见的，尤其是多元函数的极值和最值在日常生活中特别是在经济管理的应用上，函数的极值或最值，发挥着非常大的作用，比如，在企业管理中，我们可以利用函数的极值或最值，为企业管理层做出怎样才能利益最大化提供一定的解答参考，也可为许多制造企业提供如何才能使成本最小化的解答提供重要的参考。
不仅仅是企业，在管理上以及在日常生活中，函数极值特别是多元函数的极值都发挥着巨大大的作用。
在高等数学中学习多元函数的极值的求法，探讨多元函数的极值的在日常生活中的应用具有非常的现实意义，所以，为此展开这个话题的解释。
【关键词】高等数学、多元函数、极值、最值、经济管理、企业管理。
一.多元函数极值定义：设函数的定义域为，如果，若存在的某个领域属于，使得对于该邻域内异于的任何点，都有，（）则称函数在点处有最大（小）值，则称为函数的最大（小）值点。
类似可定义多元函数的极值。
显然多元函数的极值定义与一元函数的极值是相类似的，都是对应一个邻域内的一个极大值和极小值。
在定义上，他们有很多相似之处，但是对应的，因为二元和一元的函数形式已经改变，所以判断方法和求极值的方法对比一元上有了很多不同的地方。
让我们来看看二元函数的极值条件：（必要条件）：设函数在点有连续偏导数，且在点处有极值，则有。
这个条件对比一元有相似之处，也就是导数都需要为0，但是，它不是全导数，它是两个关于x和y的偏导数，这是多元函数特有的导数。
接下来我们看看第二个条件：（充分条件）：设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，，，则（1）.当时，具有极值，且当时，为极大值，当时，为极小值;（2）. 当时，不是极值;（3）. 当时，可能为极值，也可能不是极值，需要另外讨论。
由上面的必要条件和充分条件，可知多元函数极值和一元函数一样极值，有非常类似的地方，根據上面的条件，我们可以得出了求二元函数求极值的方法：（1）解方程组，，求得实数解，由此得出驻点;（2）对于每个驻点，求出对应A，B，C。
多元函数的极值与最优化问题
设每张CD 28 元，每个U盘 80 元，问他如何分配这 2000 元以达到最佳效果．
一般地，所谓条件极值，就是求 在附加条件： 问题的实质：求
求条件极值的方法主要有两种：
01
的无条件极值.
02
拉格朗日乘数法
03
将条件极值转化为无条件极值
04
下的可能极值点.
05
步骤：
1 构造函数
)
,
(
)
,
求函数
解 第一步 求驻点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步
解方程组
的极值.
求A、B、C的值，并列表判别
12
0
6
极小，
72
-5
解
例5
P
即
01
驻点为
02
(
03
1
04
1
05
)
06
函数在 P 有极值 故
二、多元函数的最值
依据 (这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程)
要设计一个容量为
则问题为求
令
解方程组
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小.
x , y , z 使在条件
试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,
例8-4
得唯一驻点
因此 , 当高为 思考: 提示: 利用对称性可知, 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
2x,
故长方体的体积
2y,
h - z.
多元函数的极值最值及应用
多元函数的极值最值及应用多元函数是指含有多个自变量的函数，其极值是指在定义域内取得的函数值中最大值和最小值。
对于多元函数的极值最值的求解，我们一般采用找到驻点和边界点的方法，即求取函数的偏导数，然后解方程组得到驻点，再通过分析边界点得到函数的极值。
首先，对于多元函数的驻点，我们需要求取函数的偏导数。
对于一个二元函数，例如f(x,y)，我们需要求取\frac{\partial f}{\partial x} 和\frac{\partialf}{\partial y}。
一般来说，驻点就是满足\frac{\partial f}{\partial x} = 0 和\frac{\partial f}{\partial y} = 0 的点。
对于一个三元函数，例如g(x,y,z)，我们需要求取\frac{\partial g}{\partial x}，\frac{\partial g}{\partial y} 和\frac{\partial g}{\partial z}，满足\frac{\partial g}{\partial x} = 0，\frac{\partial g}{\partial y} = 0 和\frac{\partial g}{\partial z} = 0 的点就是驻点。
然后，我们需要通过求取边界点来确定函数的极值。
对于一个二元函数，边界点一般是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1)、(x_2, y_2) 等。
对于一个三元函数，边界点则是定义域的边界上的点，例如(x_1, y_1, z_1)、(x_2, y_2, z_2) 等。
一般来说，我们通过求取上述的驻点和边界点，然后将它们代入多元函数中，比较得到的函数值来确定极值最值。
对于驻点，我们可以通过计算二阶偏导数来判断函数取得的是极大值还是极小值。
如果二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极小值；如果二阶偏导数的行列式小于零且二阶偏导数的主对角线元素大于零，则函数取得极大值。
85多元函数的极值与最值92241
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点. 驻点
极值点
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
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定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
4 3 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此
,
当高为
3
V0 4
,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
z
思考:
y
1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x
提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价
最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
最小.
令 F 2(xz yz) x y (x yz V0 )
z
解方程组
2z y yz 0 2z x xz 0
y x
多元函数极值及其运用
多元函数极值及其运用作者：***来源：《速读·中旬》2020年第07期◆摘要：本文主要討论多元函数极值问题，多元函数极值的研究过程中，拉格朗日乘数法是用力的解决工具。
本文通过解极值的方法来解最优问题，探究现实生活中的存在的最优化的问题。
◆关键词：多元函数极值;条件极值;拉格朗日乘数法;极值的运用多元函数极值在数学领域中是重要的一部分，在理论上遍及数学与当代科学的各个角落，也有在金融和工程等方面的最优问题，这些实际问题往往可以用相应的多元函数极值拉格朗日乘数法问题求解。
1多元函数极值极大值和极小值统称为极值，并在取得极值的这一点，称之为极值点。
2多元函数极值的拉格朗日乘数法解法若这样的点是唯一的，并有实际意义，则可直接确定此点为所求点。
3常见关于多元函数极值的实际问题实际生活中往往存在最优的问题，然而，最大值和最小值问题一定是最优问题，而极值问题往往不一定是最优问题。
所以，我们需要讨论最值与极值的问题。
制作一定体积的物体求用料最少（运用拉格朗日解法）例：一家企业想要用玻璃制作一个体积8立方米的无盖长方体水箱，问：当长方体水箱的长，宽，高各多少时，材料使用最省？4结束语多元函数条件极值在数学的微分学里是极其重要的组成部分，研究方法一般会涉及到代入法、拉格朗日乘数法、降维法、二次方程判别式、梯度法等等。
本论文是主要是了解多元函数极值，以及探讨多元函数条件极值在生活中达到最好的处理问题（最优问题）、证明不等式、典例题的解答。
参考文献[1]赵泽福.多元函数极值的运用分析[D].昭通学院，2016（02）：1.[2]曹宏泽，何素艳.多元函数极值的四种求解方法[D].大连外国语大学，2017（03）：20-2.[3]罗永滨.多元函数条件极值的解法与运用[D].数学与计算机科学系，2016（03）.[4]方倩珊，吴全荣.多元函数极值的求法探究[D].福建师大福清分校学报，2014（02）.[5]同济大学应用数学系.高等数学（下册）[M].五版，2002：52-61.。
7-经济数学--多元函数的极值及其应用
2a 3 ( x y ) 于是, A xy ( x 0, y 0), xy 3 2a 3 A A 2 a y 2 , 求偏导数 x 2 , x y x y 3 2 3 求驻点得 x y 2a , z a, 2
z x
y
于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为 3 2a ,
拉格朗日乘数法
L L( x, y, λ) f ( x, y ) λφ( x, y )
(其中 λ 为某一常数,称为拉格朗日乘子)的无条件极值问题.
z f ( x, y )在 ( x, y ) 0下 事实上, L( x , y, )的极值一定是 的极值.
目标函数z f ( x , y )在 条件 ( x , y ) 0下的极值
能极值点 . 解出x , y , λ , 其中x , y就是所求条件极值的可
（3）判别是否为极值 (实际问题)
拉格朗日乘数法只给出函数取得极值的必要 条件，因此，按照这种方法所求的点是否为极值 点，还需要讨论。不过在实际问题中，往往可以 根据问题本身的性质来判定所求的点是否为极值 点。
由于条件极值几乎都是实际问题，而实际问 题又是以求函数最值为宗旨，实际问题中的最值 问题实质上也是一个极值问题。
在约束条件 φ( x , y ) 0 下,求函数 z f ( x , y )的极值
方法1：(降元法) 从 φ( x , y ) 0 中解出y, 代入函数
z f ( x, y )中, 使之成为一元函数的无条件极值问题.
但在很多情况下,这种转化是困难的,有时甚至是不 可能的.因此,利用方法1去求条件极值往往较难实施. 为此，介绍一种求条件极值的方法 方法2：
将方程组的第一个方程乘以x， 第二个方程乘以y，
第六讲---多元函数极值及其应用
第六讲 多元函数的极值及其应用回顾上讲内容1.多元复合函数的求导法则；2.隐函数的求导法则。
本节教学内容1.多元函数的极大值与极小值；2.最值问题；3.条件极值。
【教学目的与要求】1.理解多元函数极值和条件极值的概念；2.掌握多元函数极值存在的必要条件；3.了解二元函数极值存在的充分条件；4.会用拉格朗日乘数法求条件极值；5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点与难点】1.求多元函数的最大值与最小值方法；2.求条件极值拉格朗日乘数法.§6.7 多元函数的极值及其应用一、极值的概念1.定义定义 如果函数),(y x f z =在),ˆ(0δP N 内的任何点),(y x P 处都有 ),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极大值),(00y x f ；反之，若成立),(),(00y x f y x f >，则称),(y x f z =在点),(000y x P 处有极小值),(00y x f ．函数的极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点.例1 函数2)1()1(22+-+-=y x z 在点0P )1,1(处有极小值．因为对点0P )1,1(的任一去心邻域内的任何点),(y x P ，都有2)()(0=>P f P f ．在这个曲面上，点)2,1,1(低于周围的点（图6－26）．例2 函数223y x z +-=在点0P )0,0(处有极大值（图6－27）．因为对点0P )0,0(的任一去心邻域内的任何点),(y x P ，都有3)()(0=<P f P f ．对于简单的函数，利用极值的定义就能判断出函数的极值．而对于一般的函数，仍需要借助多元函数微分法来求出函数的极值点．图6－26图6－27二、极值的判定定理1(极值的必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极值且两个偏导数存在，则0),(,0),(0000='='y x f y x f y x ．证 如果取0y y =，则函数),(0y x f 是x 的一元函数．因为0x x =时，),(00y x f 是一元函数),(0y x f 的极值，由一元函数极值存在的必要条件，有0),(00='y x f x ；同理 0),(00='y x f y ．使0),(00='y x f x ,0),(00='y x f y 同时成立的点),(000y x P ，称为函数),(y x f z =的驻点． 这个定理可以推广到二元以上的函数．例如，如果三元函数),,(z y x f u =在点0P ),,(000z y x 处的偏导数存在，则它在点0P ),,(000z y x 处存在极值的必要条件为,0),,(000='z y x f x ,0),,(000='z y x f y 0),,(000='z y x f z ．由定理1知，在偏导数存在的条件下，极值点必为驻点， 但驻点不一定是极值点．例如，点)0,0(是xy z =的驻点，但不是极值点，因为在点)0,0(的任何去心邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．那么如何判定一个驻点是否是极值点呢？定理2(极值存在的充分条件) 设函数),(y x f z =在),(0δP N 内具有连续的二阶偏导数，且0),(00='y x f x , 0),(00='y x f y ，即点),(000y x P 是函数),(y x f z =的驻点．令),(),,(),,(000000y x f C y x f B y x f A yy xy xx''=''=''=， 则 (1) 当02<-AC B 时，),(y x f 在点),(000y x P 处取得极值，且当0<A 时取得极大值，0>A 时取得极小值；(2) 当02>-AC B 时，),(y x f 在点),(000y x P 无极值；(3) 当02=-AC B 时，不能断定),(y x f 在点),(000y x P 是否取得极值．由定理1和定理2，求二元函数),(y x f z =极值的步骤如下：(1) 解方程组 求出驻点),(00y x ；(2) 计算C B A ,,的值；(3) 根据AC B -2及A 的符号确定0P ),(00y x 是极大值点还是极小值点； (4) 求),(y x f z =在极值点的函数值．例3 求函数)(),(y x a xy y x f --=的极值，其中0≠a ．解 解方程组得驻点)3,3(,)0,(,),0(,)0,0(aa a a ．因为y x a y x f x y x f y y x f xy yy xx22),(,2),(,2),(--=''-=''-=''． 所以，在点)0,0(处，0,,0,02>-===AC B a B C A ，无极值； 在点),0(a 处，0,,0,22>--==-=AC B a B C a A ，无极值； 在点)0,(a 处，0,,2,02>--=-==AC B a B a C A ，无极值；在)3,3(aa 点处，0,3,32,322=<--=-=-=AC B a B a C a A ，故在该点取得极值27)3,3(2a a a f =，且当0>a 时，0<A ，)3,3(a a f 是极大值；当0<a 时，0>A ，)3,3(aa f 是极小值．根据定理1，极值点可能在驻点取得．然而，偏导数不存在的点，也可能是极值点．例如函数2222y x z +-=，它在点)0,0(的偏导数不存在，但在该点取得极大值．因此，在讨.0),(,0),(='='y x f y x f yx .0)(),(,0)(),(''=---==---=xy y x a x y x f xy y x a y y x f yx论函数的极值时，如果函数还有偏导数不存在的点，这些点也应当加以讨论．同一元函数一样，),(000y x P 是函数),(y x f z =在区域D 上的最大(小)值点，是指对于D 上的一切点),(y x P 都满足)),(),((,),(),(0000y x f y x f y x f y x f ≥≤．如果函数),(y x f z =在闭区域D 上连续，则在D 上一定能够取得最大值和最小值．使函数取得最大值和最小值的点可能在D 的内部，也可能在D 的边界上．求),(y x f z =的最大值、最小值的方法与一元函数相同，不再赘述．例4 造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计才能使所用材料最少？ 解 设盒子的长为x ，宽为y ，则高为xyV．故长方体盒子的表面积为 )(2yVx V xy S ++=． 这是关于y x ,的二元函数，定义域为{}0,0),(>>=y x y x D ． 由)(22xVy x S -=∂∂，)(22y V x y S -=∂∂，得驻点),(33V V ．根据问题的实际意义，盒子所用材料的最小值一定存在，又函数有唯一的驻点，所以该驻点就是S 取得最小值的点．即当===z y x 3V 时，函数S 取得最小值326V ，也即当盒子的长、宽、高相等时，所用材料最少．例5 21,D D 分别为商品21,X X 的需求量，21,X X 的需求函数分别为,5210,28212211p p D p p D -+=+-=总成本函数2123D D C T +=，若21,p p 分别为商品21,X X 的价格．试问价格21,p p 取何值时可使总利润最大？解 根据经济理论，总利润=总收入－总成本；由题意，总收入函数2211D p D p R T +=)5210()28(212211p p p p p p -+++-=，总利润函数T T T C R L -=)5210)(2()28)(3(212211p p p p p p -+-++--=．解方程组 得驻点)14,263(),(21=p p ．又因为 10,4,2222212212-=∂∂==∂∂∂=-=∂∂=p L C p p L B p L A T T T ． 故042<-=-AC B ，所以该问题唯一的驻点)14,263(),(21=p p 是极大值点，同时也是最大值点．最大利润为25.164)145263210)(214()1422638)(3263(=⨯-⨯+-+⨯+--=T L ．二、条件极值（拉格朗日乘数法）在上述极值问题中，除了给出函数的定义域外，对函数本身并无其它的限制．这一类极值问题称为无条件极值．然而在许多实际问题中，除了给出函数的定义域外，往往还需要对函数附加其它的限制条件．这一类极值问题则称为条件极值．例6 某工厂生产两种型号的精密机床，其产量分别为y x ,台，总成本函数为xy y x y x C -+=222),((单位：万元)．根据市场调查，这两种机床的需求量共8台．问应如何安排生产，才能使总成本最小?分析 因为总成本函数中的自变量（即两种机床的生产量y x ,）受到市场需求的限制，8=+y x ．故该问题在数学上可描述为：在约束条件8=+y x 的限制下求函数xy y x y x C -+=222),(的极小值．即求函数),(y x C 在条件8=+y x 约束下的条件极值．在本例中，由条件8=+y x 解出x y -=8，代入),(y x C ，则条件极值问题可化为关于一元函数.010414)2)(5()5210()3(2,0427)2(2)3)(1(2821221122121211=-+=--+-++-=∂∂=+-=-+--++-=∂∂p p p p p p p L p p p p p p p L TT128404)8()8(2),(222+-=---+=x x x x x x y x C的无条件极值．但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值是很困难的．下面介绍一种求条件极值的常用方法——拉格朗日乘数法.用拉格朗日乘数法求函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x ϕ下极值的步骤为:（1）构造函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+= 其中λ称为拉格朗日乘数．（2）求出方程组的解),,(000λy x ，则),(00y x 即为可能的极值点．例7 用拉格朗日乘数法求解例6，即求函数xy y x y x C -+=222),( 在条件8=+y x 下的极值．解 构造函数)8(2),(22-++-+=y x xy y x y x F λ．解方程组 得3,5,7==-=y x λ，故点)3,5(是函数),(y x C 的可能极值点．因为只有唯一的一个驻点，且问题的最小值是存在的，所以此驻点(5, 3)也是函数),(y x C 的最小值点．最小值为2835325)3,5(22=⨯-⨯+=C (万元)．例8 某厂生产甲乙两种产品，产量分别为y x ,(千只)，其利润函数为.0),(,0),(),(,0),(),(=='+'='='+'='y x y x y x f F y x y x f F y y y x x x ϕϕλϕλ.08,04,02=-+=+-='=+-='y x x y F y x F y x λλ15248422-++--=y x y x z ．如果现有原料15000kg (不要求用完)，生产两种产品每千只都要消耗原料2000kg ．求：(1) 使利润最大时的产量y x ,和最大利润；(2) 如果原料降至12000kg ，求利润最大时的产量和最大利润．解 首先考虑无条件极值问题．解方程组得驻点)3,4(，此时15000140002000320004<=⨯+⨯，即原料在使用限额内．又0,0,8,02<''''-''=''-=''<-=''yy xx xy xy yy xx z z z z z z ，所以)3,4(为极大值点，也是最大值点．故甲乙两种产品分别为4千只和3千只时利润最大，最大利润为37)3,4(=z 单位．)2(当原料为12000kg 时，若按)1(的方式生产，原料已不足，故应考虑在约束1222=+y x 下，求),(y x z 的最大值．应用拉格朗日乘数法，设)6(15248422y x y x y x F --+-++--=λ，解方程组得驻点8.2,2.3==y x ．此时15)6,0(,3)0,6(,2.36)8.2,2.3(-=-==z z z ．所以，在原料为12000kg 时，甲乙两种产品各生产2.3和8.2千只时利润最大，且最大值为2.36单位．小结1.多元函数的极大值与极小值；⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=+-='.0248,082y z x z y x .06,0248,082=--=-+-='=-+-='y x y F x F y x λλ2.最值问题；3.条件极值。
数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用
1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,原点是极大值并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则.2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00i x f P = (1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,i x f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =, ()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论. 现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a a a P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nnA a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时, ()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况.2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值与最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P 三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x y l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20u d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例.2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00fx <时,0x 是函数()f x 的极大值点.引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y =确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证 由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xxxx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-. 由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()00012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,i x n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nn H p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y n f x x x y h i j n f x x x y =-=证 由()12,,,0n f x x x y =,得0iix y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以 在i ix x yf y f =-中对j x求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y n p f x x x y xf x x x y iy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nn H p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解 令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫⎪⎝⎭处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值. 解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,与()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p = 处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果(),f x y 在有界闭区域D 上连续,则(),f x y 在D 上必定能取得最大值和最小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部,也可能在D 的边界上. 我们假定, 函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数(),f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得,而函数在D 内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数(),f x y 在D 上的最大值(最小值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?” 我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说 明 尺 寸上底厚 0.28mm下底厚 0.29mm 侧面厚 0.15mm 上盖半径 29mm正圆柱体部分半径 33.02mm 正圆柱部分的高102mm 圆台高 10mm整个易拉罐高 122.22mm 易拉罐的实际容积 365mm 可乐的净含量355mm说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2 分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b .3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()22,4g r h r V b ac π=-- (),0min ,r o h S r h >>()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解✧ 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为()31Vr a π=+因此()()()3321111a VVh a a V a πππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+⎢⎥ ⎪⎢⎥==+=+ ⎪+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).111nnni ii i a an ==≥∑∏, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r r a a a π====+ ,于是有()()32222161V ba b a V rr ππ++≥+当且仅当()21Va r rπ=+时等号成立,即()31Vr a π=+,结果相同.Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题) 求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数. b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法. 引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200Lb b r h r h r Lb rr r b r h L r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得 2V h r π=，2br λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()()()33,111VVr h a a a ππ==+++和前面的结果相同.3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,V V r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9][冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益与外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400fx y xf x y y ∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==.所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3]要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>，由题设知86(22)216xy xy yz ++= 即32()36xy z x Y ++= 解出z ，得 3633122()2xy xyz x y x y--==⋅++…………………………….①将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..②求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之， 得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)与电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略； （2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********Lx x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用与报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50Fx x x Fx x x Fx x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结 语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20x x y yx yf ff∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论与一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。
多元函数的极值及其应用
f x 24x 6x2 令f x( x) 0得 x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,(舍去 x 0) 于是 f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值
在解决实际问题时, 若 按问题的性质, 知道 由该问题 归结出来的函数 f ( x, y)在开区域D内 一定能取得最在值 (或最小值 ),而函数在D内只有 一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是 函数f ( x, y)在D上的最大(小)值.
（2）B2 AC 0时不是极值点； （3）B2 AC 0时可能是极值点,也可能不是极值
点，还需另作讨论．
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步
解方程组
fx( x, y) 0,
fy(x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
所以函数在 (1,1)点取得极小值 f (1,1) 1
对于驻点(0,0), A 0, B 3,C 0
所以 B2 AC 9 0,于是点(0,0)不是极值点.
二、二元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及 在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，
例3 用钢板制作一个容积V为一定的无盖长方体
容器,问如何选取长,宽,高, 才能使用料最省.
解 设容器的长为x,宽为y,则高为 V , 因此容器
xy
的表面积为S xy V (2x 2 y) xy 2V ( 1 1 )
xy
多元函数极值和最值知乎
多元函数极值和最值知乎（原创版）目录一、多元函数极值与最值的概念二、求解多元函数极值的方法1.驻点法2.海塞矩阵法3.泰勒展开式法三、多元函数极值应用实例四、总结正文一、多元函数极值与最值的概念多元函数极值与最值是数学中的一个重要概念，它涉及到多个变量的函数在某些点上的最大值或最小值。
在多元函数中，极值通常是指函数在某点上的局部最大值或最小值，而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
在求解多元函数的极值与最值时，我们需要找到函数的驻点，即函数在某点上的一阶导数为零的点。
二、求解多元函数极值的方法1.驻点法驻点法是求解多元函数极值的一种常用方法。
首先对函数进行求导，然后令导数等于零，求出所有可能的驻点。
接着，通过二阶导数检验法判断这些驻点是极值点还是鞍点。
最后，将函数在各个驻点上的函数值进行比较，得出函数的极值。
2.海塞矩阵法海塞矩阵法是一种基于梯度的求解多元函数极值的方法。
在求解过程中，首先需要计算函数的梯度，即函数对各个变量的偏导数。
然后，通过梯度求解方法，得到函数的驻点。
最后，根据驻点处的二阶导数判断极值情况。
3.泰勒展开式法泰勒展开式法是一种基于函数展开的求解多元函数极值的方法。
在求解过程中，首先需要对函数进行泰勒展开，然后通过比较展开式中各项的系数来判断函数在各个点上的极值情况。
三、多元函数极值应用实例假设有一个多元函数 f(x, y) = x^2 * y - y^2，我们需要求解该函数的极值。
首先，对函数进行求导，得到 f"(x, y) = 2x * y - 2y。
然后，令 f"(x, y) = 0，求得 x = y 或 x = -y。
将这两个方程代入原函数，得到四个可能的驻点：(0, 0)，(1, 1)，(-1, -1) 和 (0, -1)。
接着，通过二阶导数检验法判断这些驻点是极值点还是鞍点。
对于 (0, 0) 和 (1, 1)，二阶导数 f""(x, y) = 2 > 0，因此这两个点是极小值点；对于 (-1, -1)，二阶导数 f""(x, y) = -2 < 0，因此这个点是极大值点。
多元函数极值及应用
故
故有
极值点必满足
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.
则极值点满足:
利用拉格
在条件
01
02
03
04
05
06
07
要设计一个容量为
例6.
则问题为求x , y ,
令
解方程组
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小.
z 使在条件
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
则必有 B≠0 ,
此时
因此
不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .
例1 求函数
的极值。 解 求解方程组： 得驻点 因此，驻点
因此，驻点
因此，驻点
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，
偏导数不存在的点也可能是极值点。
例如，显然函数
不存在。
例2.讨论函数
及
是否取得极值.
作业 P216 2,3,4,9,11,13,14 P229 1(3),7,9,13,15
添加标题
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
它们所对应的三个三角形面积分别为
设拉氏函数
解方程组
, 得
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,
在(0,0)点邻域内的取值
, 因此 z(0,0) 不是极值.
因此
为极小值.
正
负
0
在点(0,0)
并且在 (0,0) 都有
可能为
3、多元函数的最值
多元函数的极值及最大值【精品-PPT】
高等数学
主讲人： 苏本堂
第八节多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定 义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
求函数 z = f ( x , y) 极值的一般步骤：
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
,
故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
山东农业大学
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主讲人： 苏本堂
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
oO4uUaB!hH)nO4uUaA#hH)nN3tUaA #gG(n N3tT9A #gG(mM3tT9 zZfG(mM2sS9 zZfF*mM2sS8y ZfF*lL1sS8y YeE*lL 1rR8y YeE&kL 1rR7x XeE&kK0qR7x XdD& kK0qQ 6
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A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
在(1,0)处 A=12>0,B=0,C=6 AC B2 12 6 0 在(1,0)处取得极小值-5
在(1,2)处 A=12>0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0 在(1,2)处没有极值
例1 P337 3
但在实际应用题中，若f(x,y)在D内只有一个驻点， 则函数值就是所求的最大（小）值。
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
例 1 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域
D上的最大值与最小值.
小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3x2 4 y2 在 (0,0) 处有极小值．
例２函数 z 1 x2 y2
在(0,0)处有极大值．
例３ 函数 z y2 x2 在 (0,0) 处无极值．
(1)
(2)
z
o
y
x
2.二元函数取得极值的条件
定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极值, 且在点 ( x0 , y0 )具有偏导数,则它在该点的偏导数必然为 零,即 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
在(-3,0)处 A=-12,B=0,C=6 在(-3,0)处没有极值
AC B2 12 6 0
在(-3,2)处 A=-12<0,B=0,C=-6 AC B2 12 6 0
在(-3,2)处取得极大值31
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值.
例2：某厂要用铁板做成一体积V = 2m3的有盖长方体水箱， 问当长，宽，高各取怎样的尺寸，才能使用料最省？
解 : 设长宽高分别为x, y, z, 则 V xyz 2
表面积S 2( xy xz yz) 2( xy x 2 y 2 ) xy xy
第五节 多元函数的极值
一.二元函数的极值 二.二元函数的最值 三.条件极值
一、二元函数的极值
1、二元函数极值的定义
定义1 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1）AC B2 0时具有极值，
当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值；
（2）AC B2 0时没有极值； （3）AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
例4：讨论f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值 解 : f x 3x2 6x 9 0 x 1,3 f y -3y2 6 y 0 y 0,2
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有二
阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ，
定义2 凡使一阶偏导数同时为零的点，均称为 函数的驻点.
注意： 驻点
极值点
例 : (0,0)是z y2 x2的驻点, 但不是极值点
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
2xy 4 4 yx
S
x
2y
4 x2
0
S
y
2x
4 y2
0
x y 3 2,z 3 2
由实际意义知
长、宽、高分别为3 2, 3 2, 3 2时用料最省
例3：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
Hale Waihona Puke 为p1,p2 ,销售量分别为q1,q2 ,需求函数分别为q1 = 24 - 0.2 p1, q2 = 10 - 0.05 p2,总成本函数C = 35 + 40(q1 + q2),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
解方程组
f x ( x, y) 2xy(4 x f y ( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
二、二元函数的最值
求连续函数在闭区域上的最值的一般方法：
1.求f (x,y)在D 内驻点和偏导数不存在的点;
2.将f (x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的 边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大 者即为最大值，最小者即为最小值.
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，即y 6 x 于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
由 f x 4x( x 6) 2x2 0
y
x y6
D
o
x
得 x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,
f (4,2) 64,