微积分在生活的应用

创作编号：BG7531400019813488897SX

创作者：别如克*

微积分在生活中的应用

摘要：微积分作为一种重要的数学工具，在解决实际问题时并不是一开始就得心应手的,在开始应用微积分解决间题时,常常会感到困惑,主要表现在：积分元的选取,积分限的确定及模型的建立等等.比如，利用微积分来确定一些简单的学习方法、投资决策、对实际问题进行数学建模等,这些问题都可以通过微积分的知识和方法来进行分析，并找出其中的规律,从而做出决策.本文将结合它在几何、物理与经济等方面的应用,利用理论知识付诸于实践中,有利于于人们更好的学习了解微积分的应用.

关键词：微积分物理经济应用

摘要字数偏多，再去掉两三行。摘要是反映你文章中的内容，前面两句介绍微积分，后面直接说文章通过哪些内容反映你的主题

引言

通过微积分可以描述运动的事物,描述一种变化的过程,可以说,微积分的创立极大地推动了生活的进步.由于微积分是研究变化规律的方法，因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系，都需要运用微积分的基本原理和方法.

随着现代科学的发展和各学科之间的相互交融，微积分仍会进一步丰富和发展人们的生活，进一步将微积分的理论应用于实践，从而为人类社会的进步作出更大的贡献.无论是在生活中还是学习中,微积分都能实现其最大化、最优化的作用.在学习数学中,利用微积分能很好的计算平面上那些不规则图形的面积、曲线的弧长、三维空间中旋转曲面的表面积、旋转体的体积及在我们生活中“切菜”的物体的体积等;在物理上,利用微积分可以研究物体做匀速直线运动的位移问题、研究匀速圆周向心加速度的方向问题及研究物体的变力做功等;在经济中,利用微积分能分析边际分析在经济中的应用、弹性在经济中的应用及学会用微积分解决实际中的最优问题与投资决策等.可见，微积分存在于生活中的方方面面，是解决实际问题最方便的工具.

如果没有微积分的出现,生活中遇到的问题就不能转化为数学语言来进行研究,生活中存在的大量的实际问题就不能够解决,因此,要想解决这些问题我们就必须学好微积分的有关知识，好好利用微积分这个工具.

本文将通过具体的实例分析微积分在数学、物理及经济中的具体的应用，进一步加强人们对于微积分的理解及其在实际的广泛的应用.

引言部分写的还可以，暂时不用动，最后在修改细节。

第一章微积分的概述

1.1 微积分的发展史

微元法微积分的概念可以追溯到古代,到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学,他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源,牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.

他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不牢固的.直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础,才使微积分进一步的发展开来.欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命.微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩.

随着社会的进步和生产力的发展,以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决,数学也开始研究变化着的量,数学进入了“变量数学”时代,即微积分不断完善成为一门学科.通过研究微积分在物理,经济等方面的具体应用,得到微积分在现实生活中的重要意义,从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题.

微积分的发展历史表明了人的认识已经达到了抽象思维,也就是从感性认识到理性认识的过程.人类对客观世界的规律性的认识具有相对性,受到时代的局限,随着人类认识的深入,认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展,人类对自然的探索永远不会有终点.

1.2 微积分的基本内容

微积分的产生的三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系,最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的.从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分.微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学.

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等.

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等.

总的来说微积分可以看作是一种无限分割的思想,即将复杂的问题拆解成很小的组成部分,通过研究小的内容来对整体进行估计的一种思想.

第二章微积分在几何学中的应用

微积分是数学中的重要内容,其思想方法和基本理论有着广泛的应用,可以当作工具去解决数学中的一些问题.通过求曲边梯形的面积等实例,从问题情境中了解微积分的实际背景；借助几何直观体会微积分的基本思想，（1）为今后进一步学好微积分打下基础；（2）通过实例,直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值．微积分在解决数学问题中有更广泛的用途，更全面地探索和研究更多的用法,既提供了一种新的方法,又提供了一种重要的思想,也为今后进一步学好微积分打下基础,能够好好的利用它的应用.

2.1 微分在几何学中的应用

在实际生活的求最值的某些实际应用问题中,根据问题的实际意义,能够判定它必能取得最小或最大值,而从实际问题抽象出来的数学含义为可导函数在区间内又只有一个稳定点,这时就可判断,实际问题中函数在此稳定点取得最小或最大值.

下面我们从二个例子来说明.

2.1.1 问题中的最大值

电灯A 可在桌面点O 的垂直线上移动,在桌面上有一点B 据点O 的距离

为a ，问电灯A 与点O 的距离多远,可使点B 处有最大的照度？

解：设,,,ϕ=∠==OBA r AB x AO 由光学知，点B 处的照度J 与ϕsin 成正比，与2r 成反比，即2sin r

c

j ϕ

=，其中c 是与灯光强度有关的常数。22,sin a x r r

x

+==

ϕ于是， 2

52222

'2

3223)

(2)(.

0,)

()(a x x

a c

x J x a x x c r

x c

x J +-=+∞≤≤+==

令0)('=x J ,解得稳定点2

2

-a a 与

,其中稳定点2

-

a 不在）

，（∞+0中,比较三数)(,0)(,0)0(332)2

(2

+∞→===

x x J J a

c a J ，，知J(2

a )就是函

数在),0[+∞的最大值,即当电灯A 与点O 的距离为2

a 时,点A 处有最大的照

度,最大的照度是

2

332)2

(

a

c a J =

.

2.1.2 问题中的最小值