代数精度插值求积及复化公式教材

第七章 数值积分与微分
7-6
例2 确定求积公式
h
I h f (x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
使其具有尽可能高的代数精度。
(7 3)
解：求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式（7-3）的代
数精度为m =2,则当f (x)=1，x，x2时，式（7-3）应准确成立，
确成立,即得：A0 A1 An b a
A0
x0
A1x1
An xn
b2
a2 2
(7 - 2)
A0
x0n
A1 x1n
An xnn
b n1 a n1 n 1
这是关于A0、A1、…、An的线性方程组,系数行列式为范德 蒙行列式,其值不等于零,故方程组存在唯一的一组解。
求解方程组(7-2)确定求积系数Ak,这样所得到的求积 公式(7-1)至少具有n次代数精度.
a
f ( x)dx lim
Max
0 k n
xk
0
k0
f ( xk )xk
其中xk是[a, b] 的每一个分割小区间的长度,它与f (x)无关,去掉
极限,由此得到近似计算公式：I 第七章 数值积分与微分
b
f (x)dx
a
n
f (xk )xk
n
Ak f (7x-3k )
k 0
k 0
因此，式（7-1）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问
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即有：
02hh(A1A1
A0
A1
A1 )
A1
2h3
3
h2 ( A1
A1 )
A1
h 3
,
A0
4h 3
代回去可得： b f (x)dx h f (h) 4h f (0) h f (h) (7 4)
a
3
3
3
检查（7-4）对 m = 3 是否成立,为此,令 f(x)=x3 代入（7-4）,
2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：
f (x) sin x , ex2 , sin x2 , 1 , 1 x3 等
x
ln x
3. f (x) 的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。
由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进
而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微 分方程和积分方程的数值解法的基础。
a
3
2
此时, 左端 右端,即公式对x2不精确成立.
故由定理1知, 梯形公式的代数精度为一次.
可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。
上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公式.
如,对于求积公式（7-1）,若事先选定一组求积节点xk (k=0,1,…,n,),
xk可以选为等距点,也可以选为非等距点,令公式对f(x)=1,x,…,xn 精
值求积公式。
如用两端点的函数值f (a)与f (b)取算术平均值作为平均高度f ()
的近似值,这样可导出求积公式：
b
ba
I a f (x)dx 2 ( f (a) f (b))
梯形公式
取 a b ,
2
I
b a
f
(x)dx
(b
a)
f
a
2
b
中矩形公式
更一般地在区间[a, b] 上适当选取某些点xk (k=0,1,…,n), 然后
题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需
要求原函数的困难,适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计
算法,便于上机计算。
求积公式（7-1）的截断误差为：
b
n
R( f ) Rn I In
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
Rn也称为积分余项.
k0
1.2 代数精度
数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数 准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分 公式的准确差别,引入代数精度的概念。
例1 试验证梯形公式具有一次代数精度。
解 对于梯形公式,当f (x) 1时,
左端
b
1dx
b
a, 右端
b
a
(1 1)
b
a, 此时公式精确成立.
a
2
当f (x) x时, 左端 b xdx 1 (b2 a2 ), 右端 b a (a b) b2 a2
a
2
2
2
公式也精确成立.
当f (x) x2时, 左端 b x2dx 1 (b3 a3 ), 右端 b a (a2 b2 ),
1.1 构造数值求积公式的基本思想
定积分I=∫ab f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x)所围成的曲 边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由
积分中值定理，对连续函数f (x)，在区间[a, b] 内至少存在一点，
使：
b
I f (x)dx (b a) f ( ) a
此时左边
h (h)3 h h3 右边,
3
3
再检查（7-4）对m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此时:
y f (x)
也就是说,曲边梯形的面积I 恰好等于
底为b-a, 高为f ()的规则图形—矩形的面
f ()
积(图7-1), f ()为曲边梯形的平均高度,然
而点的具体位置一般是不知道的,因此难 图7-1 a ξ
b
以准确地求出f ()的值。但是,由此可以得
到这样的启发,只要能对平均高度f ()提供
一种近似算法,便可以相应地得到一种数
用f (xk) 的加权平均值近似地表示f (),这样得到一般的求积公式：
b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) In
k 0
(7 -1)
其中,点xk 称为求积节点,系数Ak 称为求积系数，Ak 仅仅与节 点xk 的选取有关,而不依赖于被积函数f (x)的具体形式。
b
n
另一方面定积分的定义， I
定义1 如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成 立，而至少对一个m +1次多项式不精确成，则称该公式具 有m次代数精度。
一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用， 由定义1容易得到下面定理。
定理1
一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求 积公式对 1,x,x2,…,xm 精确成立，而对xm+1不精确成立。
数值积分
关于定积分的计算，我们知道，只要求出f (x)的一个原 函数F(x)，就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公 式出定积分值：
b
I f (x)dx F(b) F(a) a
但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往
往会遇到下面情况：
1. 函数f (x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试 数据形成的表格或 图形。