高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝⎛⎭⎫其中α≠k π＋π2(k ∈Z ). 【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】 (1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－45，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125. (2)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34. 【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m 2，sin α＝±m 1＋m 2的值． 【对点训练】已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，故cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 题型二、化切求值【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α； (2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α. [解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114； (2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223； (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.【类题通法】化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．【对点训练】已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2 α.解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α， 这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos 2α≠0，所以分子和分母同除以cos 2α，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. 题型三、化简三角函数式【例3】 化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α ＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简：(1)sin θ－cos θtan θ－1； (2) sin 2θ－sin 4θ，θ是第二象限角．解：(1)sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ. (2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0， 故sin 2θ－sin 4θ＝sin 2θ(1－sin 2θ)＝sin 2θcos 2θ＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.题型四、证明简单的三角恒等式【例4】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. [证明] 法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α， 右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．【对点训练】证明：1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝1＋tan θ1－tan θ证明：∵左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)2(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1＋tan θ1－tan θ＝右边，∴原等式成立．【练习反馈】1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( ) A.45B ．－45C ．－17 D.35解析：选B ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3. 3．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为________． 解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38. 答案：384．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________． 解析：原式＝2sin α－cos αcos αsin α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 答案：345．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°. 解：原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.。