4.4电磁感应中的双杆问题分类例析

电磁感应中的双杆问题分类例析

“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类问题进行分类例析

1、“双杆” 在等宽导轨上向相反方向做匀速运动

当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

2.“双杆” 在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速

当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。

【例5】如图所示，间距为l 、电阻不计的两根平行金属导轨MN 、PQ （足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m 、电阻均为R 的两根相同导体棒a 、b 垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a 棒连接，其下端悬挂一个质量为M 的物体C ，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。开始时使a 、b 、C 都处于静止状态，现释放C ，经过时间t ，C 的速度为1υ、b 的速度为2υ。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g ，求：

（1）t 时刻C 的加速度值；

（2）t 时刻a 、b 与导轨所组成的闭合回路消耗的

总电功率。

解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t 时刻回路的感应电动势12()E Bl t φυυ∆=

=-∆ ① 回路中感应电流 2E I R

= ② 以a 为研究对象，根据牛顿第二定律 T BIl ma -= ③

以C 为研究对象，根据牛顿第二定律 Mg T Ma -= ④ 联立以上各式解得 22122()2()

MgR B l a R M m υυ--=+ （2）解法一：单位时间内，通过a 棒克服安培力做功，把C 物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b 棒的动能，所以，t 时刻闭合回路的电功率等于a 棒克服安培力做功的功率，即

221211()2B l P BIl R

υυυυ-⋅== 解法二：a 棒可等效为发电机，b 棒可等效为电动机

a 棒的感应电动势为 1a E Blv = ⑤

闭合回路消耗的总电功率为 a P IE = ⑥

联立①②⑤⑥解得 221211()2B l P BIl R

υυυυ-⋅==

解法三：闭合回路消耗的热功率为 222

212()22B l v v E P R R

-==热 b 棒的机械功率为 221222()2B l v v v P BIl v R

-=⋅=机 故闭合回路消耗的总电功率为 P P P =+=热机22121()2B l R

υυυ-⋅ 说明：在单位时间t 内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：

【例1】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B ＝0.05T

的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计．导轨

间的距离l ＝0.20 m ．两根质量均为m ＝0.10 kg 的平行金属杆甲、乙可

在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电

阻为R ＝0.50Ω．在t ＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平

行、大小为0.20 N 的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑

动．经过t ＝5.0s ，金属杆甲的加速度为a ＝1.37 m ／s ，问此时两金属杆的速度各为多少?

本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力．

解析：设任一时刻t ，两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为v l 和v 2，经过很短的时间△t ，杆甲移动距离v 1△t ，杆乙移动距离v 2△t ，回路面积改变 C 物体重力做功 C 物体重力势能的减少量 C 物体克服细绳拉力做功 C 物体动能的增加量 细绳拉力对a 棒做功 a 棒克服安培力做功 a 棒动能的增加量 闭合回路消耗的总电能 安培力对b 棒做正功 闭合回路产生的焦耳热 b 棒动能的增加量 模型：a 棒可等效

为发电机，b 棒可等效为电动机

△S ＝[(x 一ν2△t )+ν1△t]l —l χ＝(ν1-ν2) △t

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E ＝B △S/△t ＝B ι(νl 一ν2)

回路中的电流 i ＝E ／2 R

杆甲的运动方程 F —B l i ＝ma

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量(t ＝0时为0)等于外力F 的冲量． Ft ＝m νl ＋m ν2

联立以上各式解得

ν1＝[Ft/m ＋2R(F 一ma)／B 2l 2]／2 ν2＝[Ft ／m 一2R(F 一ma)／B 2l 2]／2

代入数据得移νl ＝8.15 m ／s ，v 2＝1.85 m ／s

【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形

回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m ，电阻均为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始

时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动

中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少？

解析：ab 棒向cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动．在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20=

根据能量守恒，整个过程中产生的总热量202204

1)2(2121mv v m mv Q =-= （2）设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为v 1，则由动量守恒可知：

1004

3mv v m mv += 此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BL v v E )43(10-=，R

E I 2= 此时cd 棒所受的安培力： IBL

F = ，所以cd 棒的加速度为 m F a =

由以上各式，可得 mR

v L B a 4022= 。 【例3】两根相距d =0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面

内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B =0.2T ，

导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆

的电阻为r =0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属