2011高考数学知识点一本全

— 1 — 高中数学知识点精析

高中数学 知识点精析

（文理通用）

第一部分 集合

1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.

2. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.

[注] ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）

②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）

（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.

④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.

例：

⎩

⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.

②点集与数集的交集是φ.

（例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）

4. ①n 个元素的子集有2n 个.

②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.

5. ⑪ ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

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②

，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3

x = 1或y = 2.

2

1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是2

1≠≠y x 且的既不是充分，

又不是必要条件.

⑫小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若552x x x >⇒><，或.

6.De Morgan 公式 C u A ∩ C u B = C u （A ∪ B ） C u A ∪ C u B = C u （A ∩ B ）

第二部分 函数 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在）

，（），（2110⋃上为减函数. 3. 反函数定义：只有满足y

x −−→←唯一

，函数)(x f y =才有反函数. 例：2

x

y =

无反

函数.

函数)(x f y =的反函数记为)(1

y f x -=，习惯上记为)(1

x f

y -=. 在同一坐标

系，函数)(x f y =与它的反函数)(1

x f

y -=的图象关于x y =对称.

[注]：一般地，3)f(x 3)(x f

1

+≠+-的反函数. 3)(x f

1

+-是先)f(x 的反函数，在

左移三个单位.3)f(x +是先左移三个单位，在)f(x 的反函数.

4. ⑪单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.

⑫如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.

⑬设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数)(1x f y -=在

Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个

函数增减性相同.

⑭一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且b a f =)(，那么a b f

=-)(1

. 这就

是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1

x f y -=的

图象上.

5. 指数函数：x

a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）.

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⑪①当1a >，指数函数：x

a y =

②当01a <<，指数函数：x

a y =⑫当1a >时，x

a y =的a 值越大，越靠近y 轴；

当01a <<时，则相反.

6. 对数函数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N

a b =，数b 就

叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；

其中a 叫底数，N 叫真数. ⑪对数运算：

()n

a n a a a c

b

a

b b a

N

a

n

a

a n

a

a

a

a

a

a

a a a a a a c

b a N N N

a

M

n

M M

n M

N

M N M

N

M N M n a

1

1

2

1

log

log ...log

log

1

log

log log log

log log log

1log log log log

log

log log

log )(log 32log )

12)

1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅=

==±

=-=+=⋅-推论：换底公式：

（以上12n M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 01>>>≠>≠>≠>≠且） 注⑪：当,0a b <时，)log()log()log(b a b a -+-=⋅. ⑫：当0M

>时，

取“+”，当n 是偶数时且0M <时，0

n

M

>，而0M <，故取“—”.

例如：x x x a a a log 2(log 2log 2

≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.

⑫x a y =（0,1a a >≠）与x y a

log =互为反函数.

当1a >时，x

y a

log

=的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反.

7. 奇函数，偶函数： ⑪偶函数：

)()(x f x f =-