2020高考理科数学解析几何题型与方法

专题五：高考理科数学解析几何题型与方法（理科）

一、考点回顾 1．直线

(1).直线的倾斜角和斜率

直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度.当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a （a ∈R ）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑.

(2) .直线的方程

a.点斜式：)(11x x k y y -=-；

b.截距式：b kx y +=；

c.两点式：

121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b

y

a x ；

e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系

两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则

1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b ≠2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.

(4).简单的线性规划．

a.线性规划问题涉及如下概念：

①存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.

②都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.

③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ④满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑤所有可行解组成的集合，叫做可行域.

⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.

b.线性规划问题有以下基本定理：

①一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ② 凸多边形的顶点个数是有限的.

③ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. C.线性规划问题一般用图解法. 2. 圆

(1).圆的定义：平面内到定点等于定长的点的集合（或轨迹）。 (2).圆的方程 a.圆的标准方程

222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，

其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.

特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为2

2

2

r y x =+. b.圆的一般方程

022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（2D -

，2E -），半径为F E D r 42

122-+=. 当F E D 42

2-+=0时，方程表示一个点（2D -，2

E -）；

当F E D 42

2

-+＜0时，方程不表示任何图形.

c.圆的参数方程

圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

2

2

2

r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θ

θ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）

2

22)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θ

θ

=+⎧⎨

=+⎩ （θ为参数）

(3).直线与圆 3.圆锥曲线

(1).椭圆 a.定义

定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．

定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常

数＝

＜＜时，这个点的轨迹是椭圆．

e (0e 1)c

a

b.图形和标准方程

图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0)

821(a b 0)

x a y b x b y a 222

2222

2

c.几何性质

条件

{M|MF 1|+|MF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}

{M|

|MF |M l =

|MF |M l =e 0e 1}

1122点到的距离

点到的距离

，＜＜标准方程x a y b a b 222

2

10+=()＞＞x b y a a b 222

2

10+=()＞＞顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b)，B 2(0，b)

A 1(0，－a)，A 2(0，a)

B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)

轴对称轴：x 轴，y 轴．长轴长|A 1A 2|=2a ，短轴长|B 1B 2|=2b

焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c)，F 2(0，c)

焦距

|F 1F 2|=2c(c ＞0)，c 2=a 2－b 2

d.常用结论

①过椭圆

22

22

1

x y

a b

+=的焦点的弦AB长的最大值为2a, (长轴)；最小值为

2

2b

a

(过焦点垂

直长轴的弦)

②设椭圆

22

22

1

x y

a b

+=的两焦点分别为F1,F2, P为椭圆任意一点,当∠F1PF2最大时,

P为短轴端点;

③椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c;椭圆上的点到焦点的最长距离为a+c

(2)双曲线

a.定义

定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．

定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这