2018上海市初三数学二模-金山区2017学年第二学期初三期中质量检测及评分标准

金山区2017学年第二学期初三期中质量检测
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）（2018．4）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列各数中，相反数等于本身的数是（▲）
（A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2．
2．单项式32a b 的次数是（▲）
（A ）2； （B ）3 （C ）4； （D ）5．
3．如果将抛物线22y x =-向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（▲）
（A ）()221y x =-+； （B ）()2
21y x =--； （C ）221y x =--； （D ）221y x =-+． 4．如果一组数据1，2，x ，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（▲）
（A ）1； （B ）2 （C ）5； （D ）6．
5．如图1，□ABCD 中，E 是BC 的中点，设AB a =，AD b =，
那么向量AE 用向量a 、b 表示为（▲）
（A ）12a b + ；（B ）12a b - ；（C ）12a b -+；（D ）12
a b --． 6．如图2，∠AOB=45°，OC 是∠AOB 的角平分线，PM ⊥OB ，
垂足为点M ，PN ∥OB ，PN 与OA 相交于点N ，那么PM PN 的值等于（ ▲ ） （A ）12； （B
）2； （C
）2； （D
）3． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
D 图O
M
N
A
B C 图P
7．因式分解：2a a -= ▲ ．
8
．函数y =
的定义域是 ▲ ． 9．方程21
x x =-的解是 ▲ ． 10．一次函数2y x =-+的图像不经过第 ▲ 象限．
11．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的
标记，掷这枚骰子，向上一面出现的点数是素数的概率是 ▲ ．
12．如果关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，
那么k 的取值范围是 ▲ ．
13．如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于 ▲ ．
14．空气质量指数，简称AQI ，如果AQI 在0~50空 气质量类别为优，在51~100空气质量类别为良，
在101~150空气质量类别为轻度污染，按照某市最 近一段时间的AQI 画出的频数分布直方图如图3
所示，已知每天的AQI 都是整数，那么空气质量
类别为优和良的天数占总天数的百分比为 ▲ ％． 15．一辆汽车在坡度为1:2.4的斜坡上向上行驶 130米，那么这辆汽车的高度上升了 ▲ 米． 16．如果一个正多边形的中心角等于30°，那么这个正多边形的边数是 ▲ ．
17．如果两圆的半径之比为3:2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时， 圆心距d 的的取值范围是 ▲ ． 18．如图4，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 是
AB 的中点，P 是直线BC 上一点，把△BDP 沿PD 所
在的直线翻折后，点B 落在点Q 处，如果QD ⊥BC ，
那么点P 和点B 间的距离等于 ▲ .
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：21o o 21tan 452sin 60122-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．
20．（本题满分10分）
解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩
．
图3
A QI A
B 图
4
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图5，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE =BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ．
（1）求证：AF=BE ； （2）如果BE ∶EC=2∶1，求∠CDF 的余切值．
22．（本题满分10分，每小题5分）
九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一部分学生步行前往，20分钟后另 一部分学生骑自行车前往，设x （分钟）为步行前往的学生离开学校所走的时间，步行 学生走的路程为1y 千米，骑自行车学生骑行的路程为2y 千米，1y 、2y 关于x 的函数 图像如图6所示．
（1）求2y 关于x 的函数解析式； （2）步行的学生和骑自行车的学生谁先 到达百花公园，先到了几分钟？ 23．（本题满分12分，每小题6分） 如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延 长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ． （1）求证：四边形AEBD 是平行四边形； （2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形． A B C D
F E
图
5 E A F M B D
图
C
x （分图6
24．（本题满分12分，每小题4分）
平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0）， 与y 轴相交于点C ，顶点为P ．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；
（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，
求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为
直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线
上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）
如图9，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =5，3sin 5
B =，P 是线段B
C 上 一点，以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线A
D 的另一个交点为Q ，射线PQ 与射线 CD 相交于点
E ，设BP =x ．
（1）求证△ABP ∽△ECP ；
（2）如果点Q 在线段AD 上（与点A 、D 不重合），设△APQ 的面积为y ，
求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△QED 与△QAP 相似，求BP 的长．
A B P C D Q E
A B C D 图9
备用图 图8
金山区2017学年第二学期初三数学期中质量检测
参考答案及评分建议2018.4.19
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．C ； 5．A ； 6．B ．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．()1a a -； 8．2x ≥； 9．2x =； 10．三； 11．
12； 12．4k <； 13．4； 14．80； 15．50； 16．12； 17．3d 15<<； 18．52
或10． 三、（本大题共7题, 第19~22题每题10分, 第23、24题每题12分, 第25题14分, 满分78分） 19．解：原
式
=124-+…………………………………………………………（8分）
14+………………………………………………………………（1分）
=5．………………………………………………………………………（1分）
20．解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩
①②， 由①得：4y x =- ③，…………………………………………………………（2分）
把③代入②得：()2
48x x x --=．………………………………………………（2分）
解得：121,
1x x ==…………………………………………………（2分）
把121,1x x ==，代入③得：
121211,33x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩⎩，……………………………………………………（4分）
21．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∠B =90°，
∴∠DAF=∠AEB ，……………………………………………………………………（1分）
∵AE=BC ，DF ⊥AE ，∴AD=AE ，∠ A FD=∠EBA=90°，………………………（2分）
∴△ADF ≌△EAB ，∴AF =EB ，………………………………………………………（2分）
（2）设BE =2k ，EC =k ，则AD =BC =AE =3k ，AF =BE =2k ，…………………………（1分） ∵∠ADC =90°，∠AFD =90°，∴∠CDF +∠ADF =90°，∠DAF +∠ADF =90°，
∴∠CDF =∠DAF …………………………………………………………………（2分）
在Rt △ADF 中，∠AFD =90°，DF
∴cot ∠CDF =cot ∠DAF
=5AF DF ==．………………………………（2分） 22．解：（1）设2y 关于x 的函数关系式是222y k x b =+，
根据题意，得：2222200404k b k b +=⎧⎨
+=⎩，………………………………………………（2分） 解得：215
k =，24b =-，………………………………………………………（2分） ∴2y 关于x 的函数关系式是2145
y x =-．……………………………………（1分） （2）设1y 关于x 的函数关系式是11y k x =，
根据题意，得：1404k =，∴1110
k =， 1y 关于x 的函数关系式是1110
y x =，…………………………………………（1分） 当16y =时，60x =，当26y =时，50x =，………………………………（2分）
∴骑自行车的学生先到百花公园，先到了10分钟．…………………………（2分）
23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，…………………………（1分）
又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，………………………………（1分）
∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………………（1分）
∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………………（2分）
（2）∵AE //BC ，∴AF AE FB BC
=．………………………………………………………（1分）
∵AE=BD=CD ，∴12
AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分） ∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分）
又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分）
∴四边形AEBD 是矩形．…………………………………………………………（1分）
24．解：（1）∵二次函数2
y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0）， ∴10930
b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．………………………………………（2分）
∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+…………………………………………（1分）
顶点P 的坐标是（2，-1）．…………………………………………………………（1分）
（2）抛物线2
43y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．……（1分）
根据题意得： =m=2，……（2分） ∴点E 的坐标为（2，2）．……………………………………………………………（1分）
（3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．
作QD ⊥MN ，垂足为D ，
则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+…………………………………（1分）
∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………………（1分） ∴DQ DE BF EF
=，∴224112t t t --+=， 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………………………（1分）
∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………………（1分）
解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，
∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，
又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，…………………………………………（1分）
点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2
(,43)t t t -+，
作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1，
∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴EF AF QH AH
=，∴221431t t t =-+-，……………（1分） 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………………………（1分）
∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………………（1分）
25．解：（1）在⊙P 中，PA =PQ ，∴∠PAQ ＝∠PQA ，……………………………………（1分）
∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ，∠PQA ＝∠QPC ，∴∠APB ＝∠EPC ，……（1分）
∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B ＝∠C ，………………………………（1分）
∴△APB ∽△ECP ．…………………………………………………………………（1分）
（2）作AM ⊥BC ，PN ⊥AD ，
∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形，
∴AM =PN ，AN =MP ．…………………………………………………………………（1分）
在Rt △AMB 中，∠AMB =90°，AB =5，sinB =35
， ∴AM =3，BM =4，∴PN =3，PM =AN =x -4，…………………………………………（1分） ∵PN ⊥AQ ，∴AN =NQ ，∴AQ = 2x -8，……………………………………………（1分） ∴()1128322
y AQ PN x =
⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，……………………………（1分） 定义域是1342x <<．………………………………………………………………（1分） （3）解法一：由△QED 与△QAP 相似，∠AQP ＝∠EQD ，
①如果∠PAQ ＝∠DEQ ，∵△APB ∽△ECP ，∴∠PAB ＝∠DEQ ，
又∵∠PAQ ＝∠APB ，∴∠PAB ＝∠APB ，∴BP =BA =5．…………………………（2分）
②如果∠PAQ ＝∠EDQ ，∵∠PAQ ＝∠APB ，∠EDQ ＝∠C ，∠B ＝∠C ，
∴∠B ＝∠APB ，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴ BP =8．…………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………………（1分）
解法二：由△QAP 与△QED 相似，∠AQP ＝∠EQD ，
在Rt △APN 中，AP PQ === ∵QD ∥PC ，∴EQ EP QD PC
=，
∵△APB∽△ECP，∴AP EP
PB PC
=，∴
AP EQ
PB QD
=，
①如果AQ EQ
QP QD
=，∴
AQ AP
QP PB
=
x
=，
解得5
x=………………………………………………………………………………（2分）
②如果AQ DQ
QP QE
=，∴
AQ PB
QP AP
==
解得8
x=………………………………………………………………………………（2分）综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………………（1分）。