实变函数第四章习题解答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章习题参考解答
1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，
有0)(=⎰dx x f A
，试证：)(x f ，].[.E e a
证明：因为}1)(|{}0)(|
{1
k
x f x E x f x E k ≥
=≠∞
= ，而N k ∈∀，}1)(|
{k
x f x E ≥
}1
)(|{}1
)(|{k
x f x E k x f x E -≤≥
= .由已知，=
+
=
-
≤≥≥⎰
⎰
⎰
k
x f x E k
x f x E k
x f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(
000=+.
又因为0}1)(|{11
)(0}
1
)(|{}
1)(|{≥≥
=
≥
=
≥≥⎰⎰
k
x f x mE k
dx k
dx x f k
x f x E k
x f x E ，
0}1)(|{1)1()(0}
1
)(|{}
1
)(|{≤-
≤-
=-
≤
=
≥≥⎰⎰
k
x f x mE k
dx k
dx x f k
x f x E k
x f x E
所以，0}1)(|{}1)(|{=-
≤=≥k
x f x mE k
x f x mE .
故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-
≤+≥
=≥
k
x f x mE k
x f x mE k
x f x
mE ,从而
0}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{1
1
1
==
≥
≤
≥=≠∑
∑
∞
=∞
=∞
=k k k k
x f x mE k
x f x
E m x f x mE .即，
0)(=x f ，].[.E e a .
2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有
})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=⎰
dx x f E
)(
dx x g E
⎰
)(.
证明：我们证f ，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.
N
m ∈∀及12
,,1,0-=m
m k
，令}2
1)(2
|
{,m
m
k m k x f k x E E +≤
≤=，并且
})(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，
并且k m m k E E m
,2
1
== ，定义简单函数 ∑==
m
k
m m k E
m
m x k
x 2
)(2
)(,χψ.
下面证明：)()(lim x f x m m =∞
→ψ，E x ∈.
E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，
所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞
→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,
}2
1)(2
|
{})(0|{1
21
0m
m
m k k x f k x E m x f x E x m
+<
≤=
<≤∈-= .故，存在)12
0(-≤≤m
m k k ，
}2
1)(2
|
{0m
m
k x f k x E x +<
≤∈.即，
m
m
k x f k 2
1)(2
0+<
≤，m
m k E m
m k x k
x m
k
m 2
)(2
)(2
,=
=∑=χψ.
所以，02
12
2
12
)()()(|)()(|00000→=-
+<-=-=-m
m
m
m
m m k k k x f x x f x x f ψψ，
从而， )()(lim 00x f x m n =∞
→ψ.
同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==m
k
m m k E
m
m x k
x 2
)(2
)(*
,χψ，其中：
}2
1)(2
|
{*
,m
m
k m k x g k x E E +<
≤=，12
,,1,0-=m
m k .})(|{*
,m x g x E E k m ≥=.同上一样
可证明：)()(lim 0x g x m n =∞
→ψ，E x ∈.
因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀， })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀m
m k k ，有
k
m m
m
m
m
k m mE
k x g k x mE k x f k x mE mE ,*
,}2
1)(2
|
{}2
1)(2
|
{=+<
≤=+<
≤=
m
m
m m m m mE
m x g x mE m x f x mE mE
2
,*
2
,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ
)(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞
→∞
→ϕψ.
3.若⎪⎩
⎪
⎨⎧=为有理数
，当为无理数，当x x x x
x f 31)(，计算
⎰
1
,0[)(dx x f .
解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=
⎰
⎰
1
)()(]
1,0[E dx x f dx x f
⎰
]
1,0[)(dx x f ⎰
⎰
⎰
+
=
=
111E E
E dx x
dx x
dx x
=+
=
=
⎰
⎰
⎰
1
111E E E dx x
dx x
dx x