福建省永安市高中数学第一章算法初步1.3.2秦九韶算法课件新人教A版必修 (2)

理论迁移
例2：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2
当X=5时的值呢？
分析：将多项式变形为
f (x) ((((2x 5)x 4)x 3)x 6)x 这7个算
令 v0 2
法过程
v1 v0 x 5 2 5 5 5 就是秦
v2 v1x 4 5 5 4 21
九韶算 法过？
v3 v2 x 3 21 5 3 108
v4 v3 x 6 108 5 6 534
时的值呢？
程序 x=5
f=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
PRINT f
END
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 4
v1 4 5 2 22 v2 22 5 3.5 113.5 v3 113.5 5 2.6 564.9 v4 564.9 5 1.7 2826.2
v5 2826.2 5 0.8 14130.2
所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2
秦九韶算法的特点：
把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项 式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多 n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次 乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么 逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
果是什么？
(an xn1 an1xn2 a1)x a0
((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
((an x an1)x an2 )x a1)x a0
f (x) ((an x an1)x an2 )x a1)x a0
算法我3们：把多一项种式更高效的算法
ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
变形为：
f (x) ((((x 1)x 1)x 1)x 1)x 1
从因而为 得：
f (5) ((((5 1)5 1)5 1)5 1)5 1 3096
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
思考2：怎样求多项式 f (x) 2x5 5x4 4x3 3x2 6x 7
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
思考2:该算法的程序框图如何表示？
（2）程序框图： 开始
输入n,an,x
V=an
i=n-1
i=i-1
i>=0? N
输出v
结束
v=vx+ai
输入ai
Y
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
程序： INPUT “n=”；n
输入n,an,x V=an
INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a
i=n-1
i=n-1 WHILE i>=0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2
v3 v2x an3
最后的一 项是什么？
vn vn1x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
思考5 利用秦九韶算法算法n次多项式 求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算， 多少次加法运算？
i=i-1 v=vx+ai
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a
i>=0? N
输出v
输入ai
Y
i=i-1 WEND PRINT v END
结束
理论迁移
例1： 已知一个五次多项式为
f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形： f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
算法案例
第二课时
情境引入
案例2 秦九韶算法
这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种
▪ 问题是数学的心脏。——P.R.Halmos（波 利亚）
▪ 带着问题我们一起去看看古代中国人的智 慧吧！了解一下中国古代数学对现代世界 数学发展的贡献吧！
新课探究:
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1：怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5
v5 v4x Fra Baidu bibliotek 534 5 7 2677
f (5) 2677
思考3：如何用秦九韶算法 完成一般多项式的求值问题？
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式
这是怎样 的一种改
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 写方式？
对该多项式按下面的方式进行改写： 最后的结
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果.
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果.
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）多项式的系数
+
X5
4 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 20 110 567.5 2824.5 14131 4 22 113.5 564.9 2826.2 14130.2
多项式的值
练习1：已知多项式f(x)=x5-3x4+3x3-5x25x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的 值。,并统计需要多少次乘法计算和多少次加 法计算？