福建省永安市高中数学第一章算法初步1.3.2秦九韶算法课件新人教A版必修 (2)
高中数学1.3.2算法案例—秦九韶算法教案新人教A版必修
学 目
技能目标
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙；探究计算 机算法与数学算法的区别。
标
情感态度价值观
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡 献，充分认识到我国文化历史的悠久。
重点 理解秦九韶算法的思想。
难点 用循环结构表示算法的步骤。
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的
(((an x an1)x an2 )x a1) a0
1 河北武邑教师教案
问题与情境及教师活动
学生活动
思考 2：对于由内向外逐层计算一次多项式
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 （（ an x an1)x an2 )x a1)x a0
的值，其算法步骤如何？
程序框图如下图：
2 河北武邑教师教案 问题与情境及教师活动
学生活动
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
教
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
学
i=i-1
WEND
过
PRINT v
ENDห้องสมุดไป่ตู้
程 思考 3：该程序框图对应的程序如何表述？
第一步，输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n-1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v=vx+ai,i=i-1. 第五步，判断 i 是否大于或等于 0.若是，则返回第三步；
数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(2)(新人教A版必修3)
练习:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).
小结
• 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . • 各种进位制之间的相互转化.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余数 余数 2 89 从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.
＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
人教A版高中数学必修三课件1.3.2秦九韶
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
高中数学第一章算法初步1.3.2进位制课件3新人教A版必修3
解：(1)算法步骤:
第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否
则，返回第三步.
第五步,输出b的值.
开始
(2)程序框图
输入a，k，n b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki- 1 i=i+1 i>n? 是 输出b 结束 否
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1, 44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =… =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2)
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法， 研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
高中数学必修3公开课课件 1.3.2算法案例--秦九韶算法
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课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
再统计一下计算当时的值时需要的计算次数，可 以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显 然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
3
秦九韶算法
把一个多项式
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0
改写为：
f (x) an xn an1xn1 an2 xn2 a1x a0 (an xn1 an1xn2 an2 xn3 a1)x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
·2007·
11
案例2 秦九韶算法
2019年5月6日星期一
1
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数 的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序 后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学 与现代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中 也有一个优秀算法，即秦九韶算法，本节对这个算 法作些了解和探究.
=……
( ((an x an1)x an2 )x a1) a0
4
秦九韶算法
对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0， 由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤：
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
高中数学必修3课件全册(人教A版)
二、程序框图
1、顺序结构
2、条件结构
3、循环结构
步骤n
步骤n+1
满足条件？
步骤A
步骤B
是
否
满足条件？
步骤A
是
否
循环体
满足条件?
否
是
循环体
满足条件?
是
否
先做后判，否去循环
先判后做，是去循环
二、程序框图
1、顺序结构
设计一算法,求和1+2+3+ … +100， 并画出程序框图。
算法：
第一步：取n=100；
否
是
循环体
条件
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
直到型循环结构
一、辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
IF 条件 THEN 语句1 ELSE 语句2 END IF
满足条件？
语句1
语句2
是
否
IF 条件 THEN 语句 END IF
满足条件？
语句
是
否
（5）循环语句
①WHILE语句
②UNTIL语句
WHILE 条件 循环体 WEND
满足条件？
循环体
是
否
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
第二步：计算 ；
第三步：输出结果。
开始
结束
输入n=100
s=(n+1)n/2
输出s
二、程序框图
2、条件结构
1.3.2《算法案例---秦九韶算法》课件(1)(新人教A版必修3)
ks5u精品课件
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、
数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋
元山东曲阜）人，生于普州安岳
（今属四川）。精研星象、音律、算术、
诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、
司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作
《数书九章》，其中的大衍求一术、三
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
小结：
（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题； （2）解决同一类问题，可以有不同的算法，
但计算的效率是不同的，应选择高效的算法
（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效 的表达各种算法等。
傻瓜蛋很感慨地说：“人啊!你为什么那么喜欢管别人的闲事，说别人的坏话呢?” 狐狸落在井里，没法上来，只好呆在那里。农夫的庄稼地，因为失去了树木的保护，被滚滚的山洪，全部吞没了。 “这是怎么回事?芽怎么回事啊?芽”斑鸠困在里，莫名其妙地大喊。 西安代理记账公司 https:///xian/daizhang/ 你们只根据自己的食性而视别类食物为一文不值，这是偏见!如果人人都这样将他们的个人嗜好强加在你们身上，你们的感受又会如何呢?” 猫和兔子觉得公鸡言之有理，于是停止了争论。整个过程一气呵成，看得麻雀胆战心惊。， 农民家的所有人，还有村里的孩子们都很喜欢这只鹦鹉，因为她能像人一样说话
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多 项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘 法和n次加法即可。
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数ai. 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否小于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
高中数学人教A版必修三 1.3.2 秦九韶算法与进位制 课件(73张) (1)
2
4.已知函数 f(x)=x3-2x2-5x+6,试用秦九韶算法求 f(10)的值.
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形 式:f(x)=x3-2x2-5x+6=(x2-2x-5)x+6=((x-2)x-5)x+6.故把 x=10 代入函数式,得 f(10)=((10-2)×10-5)×10+6=756.
预学 1:秦九韶计算多项式的方法 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 …… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值, 即 v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0.这样,把 n 次多项式的求值 问题转化为求 n 个一次多项式的值的问题,上述方法称为秦九韶 算法.
练一练:已知一个 3 次多项式为 f(x)=x -2x +x-1,用秦九 韶算法求当 x=2 时这个多项式的值.
3
2
【解析】f(x)=x3-2x2+x-1=((x-2)x+1)x-1=1.
预学 2:秦九韶算法是多项式求值的算法,秦九韶算法的 特点 (1)化高次多项式求值为一次多项式求值; (2)减少了运算次数,提高了效率; (3)步骤重复执行,容易用计算机实现.利用秦九韶算法计算 多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外 逐次计算,由于后项计算用到前项的结果,故应认真、细心,确保 中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存在时,可将这些项 n 的系数看成 0,即把这些项看作 0·x . 想一想:秦九韶算法与直接计算相比较有何优点?
新人教A版必修三1.3《算法案例---秦九韶算法》ppt课件
《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的多项式
f ( x) an x an 1 x a1 x a0 对该多项式按下面的方式进行改写：
n
n 1
f ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
算 法 案 例
第二课时
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （
）
A、2709
B、2606
C、2703
D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 当x = 5的值的算法： 算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
v 0 a n v k v k 1 x a n k ( k 1,2, , n)
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
n=1
v=a5
n=n+1 n≤5?
Y
v=vx0+a5-n
N
输出v
结束
例： 已知一个五次多项式为
5 4 3
f ( x) 5 x 2 x 3.5 x 2.6 x 1.7 x 0.8
f ( x) ( (an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v1 an x an 1 v2 v1 x an 2
高中数学人教版必修三《1.3.2秦九韶算法》课件
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算 4次的乘法运算,5次的加法运算
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
• 四级所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
• 五级
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
2023/9/16
4
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算法二：先运算x2的值，然后顺次运算
• 单击此处编辑x2母·x、版（文本x2样·x）式·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
2023/9/16
2
单击此处编辑母版标题样式
案例2、秦九韶算法
• 单击此秦处九编韶辑算母法版是文求本一样元式多项式的值的一种方法。
• 二级
•怎三样•级四求级多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 算法一• 五：级把5代入，运算各项的值，然后把它们加起来。
算法二：先运算x2的值，然后顺次运算x2·x、
• 单击此处课编堂辑母小版结文本：样式
• 二•级三级1、秦九韶算法的方法和步骤 • 2四、级• 五秦级九韶算法的流程图及程序
2023/9/16
14
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• 二1级.3.2 • 三级 谢谢大家 • 四级 • 五级
人教版 高中数学
福建省永安市高中数学第一章算法初步1.3.2秦九韶算法课件新人教A版必
所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2
i=n-1
i=n-1 v=vx+ai
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a
i>=0? N
输出v
输入ai
Y
i=i-1 WEND PRINT v END
结束
理论迁移
例1： 已知一个五次多项式为
f( x ) 4 x 5 2 x 4 3 .5 x 3 2 .6 x 2 1 .7 x 0 .8
算法我3们：把多一项种式更高效的算法
ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
变形为：
f( x ) ( ( ( ( x 1 ) x 1 ) x 1 ) x 1 ) x 1
从因而为 得：
f ( 5 ) ( ( ( ( 5 1 ) 5 1 ) 5 1 ) 5 1 ) 5 1 3 0 9 6
算法案例
第二课时
情境引入
案例2 秦九韶算法
这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种
▪ 问题是数学的心脏。——P.R.Halmos（波 利亚）
▪ 带着问题我们一起去看看古代中国人的智 慧吧！了解一下中国古代数学对现代世界 数学发展的贡献吧！
新课探究:
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1：怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5
v v 2 3 v v 2 1 x x 4 3 5 2 1 5 5 4 3 2 1 0 1 8九 法韶 过算 ？
v 4 v 3 x 6 1 0 8 5 6 5 3 4
v 5 v 4 x 7 5 3 4 5 7 2 6 7 7
2020版数学人教A版必修3课件：第一章 1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制
第一章§1.3 算法案例第2课时 秦九韶算法与进位制学习目标XUEXIMUBIAO1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 秦九韶算法1.求n 次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法.2.秦九韶算法的一般步骤：把一个n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写成如下形式：(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0，求多项式的值时，首先计算________一次多项式的值，即v 1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v 2＝，v 3＝ ，…，v n ＝ ，这样，求n 次多项式f (x )的值就转化为求的值.最内层括n 个一次多项式号内a n x ＋a n －1v 1x ＋a n －2v 2x ＋a n －3v n －1x ＋a 0知识点二 进位制若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n，a n－1，…，a1，a0∈N，0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k).为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数.思考 59分59秒再过1秒是多少时间？答案 1小时.上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制.类比给出k进制的概念.“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.知识点三 进制间的转化1.一般地，将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2.把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数.把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法.1.二进制数中可以出现数字3.( )2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k 取余法.( )3.不同进制数之间可以相互转化.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×2题型探究PART TWO题型一 秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值.解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可.这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量.若用计算机计算，则可提高运算效率.(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值.解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时，多项式的值为0.题型二 k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟 将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数.解 1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数.解 314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以，化为十进制数是104 902.题型三 十进制化k 进制解 算式如图，例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.则458＝13 022(4)＝2 042(6).反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为跟踪训练3 把89化为二进制数.解 算式如图，则89＝1 011 001(2).典例 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04当x ＝0.3时的值.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 秦九韶算法求多项式的值解 将f (x )写为f (x )＝((((x ＋0)·x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v 0＝1，v 1＝1×0.3＋0＝0.3，v 2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v 3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v 4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v 5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x ＝0.3时，f (x )的值为－0.079 6.素养评析 (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项.这是本题的易错点.(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.3达标检测PART THREE1.已知175(r)＝125(10)，则r的值为A.1B.5√C.3 D.8解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为A.10B.9√C.12D.8解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4＋2x3＋3x2＋x＋1当x＝2时的值时，第一次运算的是A.1×2B.24√C.2＋1D.1×2＋2解析 因为f(x)＝(((x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2.4.下列各数中，最小的数是A.85(9)B.210(6)√C.1 000(4)D.111 111(2)解析 85(9)＝8×9＋5＝77，210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78，1 000(4)＝1×43＝64，111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.5.(1)将二进制数 (2)转化成十进制数；1611111⋅⋅⋅个解 (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.1611111⋅⋅⋅ 个(2)将53(8)转化为二进制数.解 先将八进制数53(8)转化为十进制数：53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图.所以53(8)＝101 011(2).课堂小结KETANGXIAOJIE1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和.2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：3.用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0时的值的思路为(1)改写；(2)计算(3)结论f(x0)＝v n.。
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程序 x=5
f=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
PRINT f
END
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 4
v1 4 5 2 22 v2 22 5 3.5 113.5 v3 113.5 5 2.6 564.9 v4 564.9 5 1.7 2826.2
v5 2826.2 5 0.8 14130.2
所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2
v5 v4x 7 534 5 7 2677
f (5) 2677
思考3：如何用秦九韶算法 完成一般多项式的求值问题？
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式
这是怎样 的一种改
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 写方式？
对该多项式按下面的方式进行改写： 最后的结
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
思考2:该算法的程序框图如何表示？
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）多项式的系数
+
X5
4 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 20 110 567.5 2824.5 14131 4 22 113.5 564.9 2826.2 14130.2
多项式的值
练习1：已知多项式f(x)=x5-3x4+3x3-5x25x+1当用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的 值。,并统计需要多少次乘法计算和多少次加 法计算？
（2）程序框图： 开始
输入n,an,x
V=an
i=n-1
i=i-1
i>=0? N
输出v
结束
v=vx+ai
输入ai
Y
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
程序： INPUT “n=”；n
输入n,an,x V=an
INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a
i=n-1
i=n-1 WHILE i>=0
当X=5时的值呢？
分析：将多项式变形为
f (x) ((((2x 5)x 4)x 3)x 6)x 这7个算
令 v0 2
法过程
v1 v0 x 5 2 5 5 5 就是秦
v2 v1x 4 5 5 4 21
九韶算 法过？
v3 v2 x 3 21 5 3 108
v4 v3 x 6 108 5 6 534
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
果是什么？
பைடு நூலகம்
(an xn1 an1xn2 a1)x a0
((an xn2 an1xn3 a2 )x a1)x a0
((an x an1)x an2 )x a1)x a0
f (x) ((an x an1)x an2 )x a1)x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2
v3 v2x an3
最后的一 项是什么？
vn vn1x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
思考5 利用秦九韶算法算法n次多项式 求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算， 多少次加法运算？
算法我3们：把多一项种式更高效的算法
ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
变形为：
f (x) ((((x 1)x 1)x 1)x 1)x 1
从因而为 得：
f (5) ((((5 1)5 1)5 1)5 1)5 1 3096
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
思考2：怎样求多项式 f (x) 2x5 5x4 4x3 3x2 6x 7
i=i-1 v=vx+ai
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a
i>=0? N
输出v
输入ai
Y
i=i-1 WEND PRINT v END
结束
理论迁移
例1： 已知一个五次多项式为
f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形： f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
算法案例
第二课时
情境引入
案例2 秦九韶算法
这节课我们主要研究的是秦九韶算法中的一种
▪ 问题是数学的心脏。——P.R.Halmos（波 利亚）
▪ 带着问题我们一起去看看古代中国人的智 慧吧！了解一下中国古代数学对现代世界 数学发展的贡献吧！
新课探究:
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1：怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5
理论迁移
例2：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2
秦九韶算法的特点：
把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项 式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多 n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次 乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么 逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果.
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果.