第三章 结构可靠性分析方法

D(AX+BY)=A2D(X)+B2D(Y)
3.1 一次可靠度分析法
3.1.1 均值一次二阶矩法
2 、可靠指标β 的几何意义 将Xl，X2，…，Xn作标准化变换：
Ui
X i Xi
X
i
Ui在Ω 空间的均值为零，标准差为1。有：
X i Xi Ui Xi
原结构极限状态方程：
在Ω 空间极限状态方程：
3.2.1 改进的一次二阶矩法
针对均值一次二阶矩法将功能函数线性化点取作基本随机 变量均值点带来的问题，改进的一次二阶矩法将功能函数线性 化点取在设计验算点，从而提高了计算β的精度，并保证了对 同一结构问题β的唯一性。改进的一次二阶矩法也称为验算点 法。 当极限状态方程中包含有多个相互独立的正态随机变量 X= (Xl, X2, …, Xn)，假设方程为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)=0，则 此超曲面Z=0上距离中心点M=(μX1，μX2，…，μXn)最近的点P ＊=(x ＊，x ＊ ，… ，x ＊)为设计验算点，简称验算点。显然， 1 2 n xi＊(I=1，2，…，n)满足极限状态方程：
( xi*

X i' 2
) /2
X i'
非正态 分布密 度函数
当量正态 分布密度 函数
第二个条件：分布密度函数相等。
3.3 一次可靠度分析法
3.3.1 JC法
1、当量正态化
非正态 分布密 度函数
当量正态 分布密度 函数
第二个条件：分布密度函数相等。
3.3 一次可靠度分析法
3.3.1 JC法
i
关键的两个公式： X
' i
{ 1[ FX ( xi* )]}
i
f Xi ( x )
* i
X xi* 1[ FX ( xi* )] X
' i i
' i
例题：当量正态化
设某随机变量服从对数正态分布， 其样本均值和方差分别为：
X X 26.75
2 S2 X 360.0
3.2 一次可靠度分析法
3.2.1 改进的一次二阶矩法
代入当 量均值。
改进的一次二阶矩法迭代步骤： 第6步：计算验算点xi*新值 (第1步：假定β=2.0)； 第2步：设验算点为xi*， i=1,2,…,n，第一步取基本变量 重复步骤3~6，直到灵敏系数 平均值xi*=μXi； α i收敛(前后两次的之差的绝对 第3步：计算非正态随机变量 值小于0.005)。一旦α i 收敛， 的当量正态分布均值和标准差； 就把β作为未知参数。如果不检 第4步：计算偏导数 g | * 在 验β的收敛性，则删除第1步。 X i xi 验算点xi*的值； 第7步：将β视为未知数，把xi* 第5步：计算灵敏系数αi在验算 值代入极限状态方程，解方程 点xi*的值； 得出β值，并计算设计验算点xi* 的新值。 第8步：重复步骤2~7，直至前 后两次算出的β值之差小于允许 代入当量 标准差。 误差(一般± 0.01)．
3.1 一次可靠度分析法
泰勒(Taylor)中值定理(一元): 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到 (n+1)阶导数，则当x在(a，b)时， f(x)可表示为(x- x0)的一 个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：
'' f ( x0 ) ' f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n! 一元函数 f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 (n 1)!
* * Z g ( x1 , x2 , * , xn )0
3.2 一次可靠度分析法
3.2.1 改进2 ,
* , xn )0
* * Z g ( x1 , , xn ) g ' ( xi* )( X xi* )
*
n
i 1
n
有x1＊，x2＊ ，… ，xn＊和β 的方程组(n+1)：
上式展开： 解方程组可得验算点P*=(x1＊， x2＊ ，… ，xn＊)和β值。但这 仅是理论上的结论，实际上 求解此方程组是相当困难的。 通常在给定Xi的统计参数μXi， ζ Xi后，进行迭代运算，求出 xi*和β的近似值。
g’(xi*) ≠0，必有：
3.1 一次可靠度分析法
一次可靠度分析法(First Order Reliability Method, FORM)计算结构构件可靠度的基本思路是：首先将结构构 件功能函数Z=g(Xl，X2，…，Xn)展开成Taylor级数，忽略 高阶项，仅保留线性项，再利用基本随机变量X= (Xl, X2, …, Xn)的一阶矩、二阶矩求取Z的均值μ z与标准差ζ z， 从而确定结构构件可靠指标。根据功能函数线性化点的取 法不同以及是否考虑基本随机变量的分布类型，一次可靠 度分析法分为：均值一次二阶矩法(中心点法)，改进的一 次二阶矩法(验算点法)和JC法。
3.3 一次可靠度分析法
3.3.1 JC法
1、当量正态化
非正态分 布函数
当量正态 分布函数
第一个条件：分布函数相等。
3.3 一次可靠度分析法
3.3.1 JC法
1、当量正态化
(
fX ' (x )
i
xi* X '
* i
X X
' i
i
)
' i
1 x2 / 2 标准正态分布:(x) e 2 正态分布密度函数: 1 f ( x) e 2
将随机 变量的 均值代 入
例题：可靠度分析
右图所示圆截面直杆，承受拉力P=100KN，已知 材料的强度设计值fy的均值μfy=290MPa，标准差 σfy=25MPa，杆直径d的均值μd=30mm，标准差 σd=3mm，求此杆的可靠指标。
解：结构基本变量为fy和d，荷载极限状态方程：
例题：可靠度分析
3.1 一次可靠度分析法
3.1.1 均值一次二阶矩法 1 、均值一次二阶矩法(中心点法) 计算步骤： 当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量 X= (Xl, X2, …, Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。 (1)用各随机变量的均值代入功能函数，得出功能函数的均 值μZ； (2)求功能函数 的标准差ζ Z； (3)求β 和Pf。
n
上式展开：
灵敏系数α i实际上是各基本变量 的不定性对可靠度影响的“权”， 有：
3.2 一次可靠度分析法
3.2.1 改进的一次二阶矩法
g(x ,
* 1

, x ) g ( x )( X i x )
* n ' i 1 * i * i ' * g ( x i ) X i i i 1 n
3.1 一次可靠度分析法
3.1.1 均值一次二阶矩法 2 、可靠指标β 的几何意义
在Ω 空间极限状态方程： 该方程表示U空间中的一个超平面。由解析几何知识 可知，在U空间中坐标原点(即中心点M)到此极限状态超平 面的距离为：
两维情况：Z=R-S
3.1 一次可靠度分析法
3.1.1 均值一次二阶矩法 2 、可靠指标β 的几何意义
是x与x0之间某个值
3.1 一次可靠度分析法
泰勒公式(二元): 设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到(n+1) 阶导数，有： f ( x, y) f ( x0 , y0 ) [( x x0 ) f ( x0 , y0 ) ( y y0 ) f ( x0 , y0 )] x y
i
f X i ( xi* )
f X i ( xi* )
由公式，当量均值为：
X xi* 1[ FX ( xi* )] X xi*
' i i ' i
正态与对数 正态分布转 换P29页。
ln xi* ln X i
ln X
( xi* ln X i ) xi* (1 ln xi* ln X i )
i
偏导数在验算点的值
3.2 一次可靠度分析法
3.2.1 改进的一次二阶矩法
结构可靠指标为：
* * Z g ( x1 , x2 ,
* , xn )0
于是有：
g(x ,
引入灵敏系数α

i
* 1
, x ) g ' ( xi* )( X i xi* )
* n i 1 ' * g ( x i ) X i i i 1 n
分布函数：( z ) (
t

)
分布密度函数：
3.3 一次可靠度分析法
3.3.1 JC法
1、当量正态化 由公式，当量标准差为：
{ 1[ FX ( xi* )]}
i
对于对数正态分布的分 布函数和分布密度函数：
(

ln xi* ln X i
X
' i
ln X
)
2 xi* ln X i xi* ln(1 X ) i
一次可靠度分析常取前面 两项。即线性项。 可以推广至有n元情况
2.2 一次可靠度分析法
2.2.1 均值一次二阶矩法
1 、均值一次二阶矩法(中心点法) 当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量 X= (Xl, X2, …, Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。
随机变量 标准差与 其函数标 准差的近 似表达。
3.1 一次可靠度分析法
3.1.1 均值一次二阶矩法 2 、可靠指标β 的几何意义 设Z=g(Xl，X2，…，Xn)是线性函数，极限状态方程为：