5-4三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题和课件(历史上最好的概率论与数理统计)

F分布的概率密度曲线如 图
根据定义可知,
若 F ~ F ( n1 , n 2 ), 则 1 F ~ F ( n 2 , n1 ).
例5 设 F ( n1 , n 2 )分布的 1 - 分位数满足
P{ F F1- ( n1 , n 2 )}

F1- ( n1 , n 2 )
-
( y )dy 1 - ,
三大抽样分布
统计量的分布称为抽样分布. 1. 分布
2
设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 N ( 0 , 1 ) 的样本 , 则称统计量
2 2 2 2＝ X 12 X 2 X n 服从自由度为 2 2
n 的 分布 , 记为 ~ ( n ). 自由度 :
可以通过查表求 得 1 - 分位数的值 .
由分布的对称性知
t ( n ) t1 ( n )
当 n 45 时 , t1 ( n ) u1 .
t1 ( n )
例3 已知 n 10 , 0 .05 , 求 t1-（10）t1-（15）t（15） , ,
.
求 1 ( n )的值 , 可通过查表完成
2
12 0 .025 (8 ) 02.975 (8 ) 17 . 535 ,
12 0 .975 (10 ) 02.025 (10 ) 3 . 247 ,
12 0 .1 ( 25 ) 02.9 ( 25 ) 34 . 382 .
P{ 1 ( n )}
2 2

12- ( n )

f ( y )dy 1
的点 1 ( n ) 为 ( n ) 分布的 1 分位数 .
对于不同的 , n , 可以通过查表求 得 1 的分位数的值 .
12 ( n )
例1
设 X 服从标准正态分布
指
2
X 1 X 2 X n 中右端包含独立
2 2 2
变量的个数 .
随机数演示
分布函数与密度函数演示
( n)分布的概率密度为
2
n y 1 1 y2 e 2, n 2 n f ( y) 2 ( ) 2 0
2
y0
其他 .
1 证明 因为 (1) 分布即为 Ga , 2 分布 , 2
又因为 X i ~ N ( 0 , 1 ),
由定义 X i ~ (1 ),
2 2
即X
2 i
1 ~ , 2 , 2
Hale Waihona Puke Baidu
i 1, 2 , , n .
因为 X 1 , X 2 , , X n 相互独立 ,
所以 X 1 , X 2 , , X n 也相互独立 ,
2
2
2
1 因为 ~ F ( n 2 , n1 ), 所以 P F1 ( n 2 , n1 ) 1 , F F 1 比较后得 F1 (n2 , n1 ) . F (n1 , n2 )
1
即 F ( n1 , n 2 )
1 F1 ( n 2 , n1 )
可以求得 n 45 时 , 1 分位数的近似值 .
例如

n 50 , 0 .05 , 求 1-（50）
2
2 0 . 95
( 50 )
1 2
( u 0 .95
99 )
2
1 2
(1 . 645
99 ) 67 . 221 .
2
而查详表可得
02.95 ( 50 ) 67 .505 .
分布函数与密度函数演示
t
t 分布的概率密度曲线如 图
显然图形是关于 t 0对称的.
当 n 充分大时, 其 图形类似于标准正 态变量概率密度的 图形.
因为 lim h ( t )
n
1

t
2
2π 所以当 n 足够大时 t 分布近似于
e
2
,
N ( 0 , 1 ) 分布 ,
F (n1 , n2 ) 1 F1- (n2 , n1 ) .
证明
因为 F ~ F ( n1 , n 2 ),
所以 P{ F F ( n1 , n 2 )}
1 1 1 1 P 1 P F ( n1 , n 2 ) F F ( n1 , n 2 ) F 1 1 故 P 1 , F ( n1 , n 2 ) F
求 F1- ( n1 , n 2 ) 的值 , 可通过查表完成
.
解：
F1- 0 .025 ( 7 ,8 )
4 . 53 ,
F1- 0 .05 (14 ,30 ) 2 . 04 .
F0 .9 5 (14 ,30 )
F0 .9 75 ( 7 ,8 )
F 分布的 - 分位数具有如下性质: 1
2
的分布（P277 T9）
解：由已知可知
U x1 x 2 ~ N ( 0 , 2 ), V x1 x 2 ~ N ( 0 , 2 )
2 2
又由P162例3.3.9知U与V是相互独立的，且
U 2 x1 x 2 2
(U /
2 2
~ N ( 0 ,1),
V 2

x1 x 2 2
2. t 分布
设 X ~ N ( 0 , 1 ), Y ~ ( n ), 且 X , Y 独立 ,
2
则称随机变量
t
X Y /n
服从自由度为
n的 t
分布 , 记为 t ~ t ( n ).
学生氏资料 随机数演示
t 分布又称学生氏(Student)分布.
t (n ) 分布的概率密度函数为 n 1 n1 2 t 2 2 h( t ) , 1 n n π n 2
16
2
从而
X1 X 2 X 9 Y1 Y Y
2 2 2 2 16
1 3 4
X 1 X 2 X 9
1 3 Yi i 1 16
16 2
~ t (16 )
3. F分布
设 U ~ ( n1 ), V ~ ( n 2 ), 且 U , V 独立 , 则称
附表3只详列到 n=40 为止.
02.025 (10 )
02.975 (8 )
02.9 ( 25 )
费舍尔(R.A.Fisher)证明:
当 n 充分大时,
2 1
费舍尔资料
( n)
1 2
(u1 2n 1) .
2
其中 u1 是标准正态分布的1 分位数.
利用上面公式,
.
用来求分布表中未列出的一些1 分位数.
例 F0 .0 5 (1 2 ,9 )

1 F0 .95 ( 9 , 12 )

1 2 .8
0 . 357 .
例6
x1 , x 2 是来自 N ( 0 , 2 ) 的样本，试求 Y x1 x 2 设 x x 2 1
~ N ( 0 ,1)
2
即有
2 ) ~ (1), (V /
2 ) ~ (1)
2
由F分布的定义得
U / 2 U / 2
2
/1 /1
2
~ F (1,1)
上式左边化简即得
x1 x 2 Y x x ~ F (1,1) 2 1
2
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
根据 伽玛分布的可加性知

2

i 1
n
n X i ~ Ga , 2 . 2
2
2 ( n)分布的概率密度曲线如图.
2 分布的性质
性质1 ( 分布的可加性)
2
设 1 ~ ( n1 ), 2 ~ ( n2 ), 并且 1 , 2 独
2 2 2 2 2 2
附表2-1
附表2-2
根据正态分布的对称性知
u u 1 .
u 0 .95 u 0 .975
例2
设 Z ~ ( n ), ( n ) 的1 分位数满足
2 2
P{ Z 1 ( n )}
2

12 ( n )

2 ( y; n )dy 1 ,
解：t1- 0.05 (10 ) t 0.95 (10 ) 1 . 8125 ,
t1- 0 .05 (15 ) t 0 .95 (15 ) 1 .7 531 t 0 .05 (15 ) -t1- 0 .05 (15 ) -t 0 .9 5 (15 )
-1 .7 531
t 0.05 (15 ) t 0.95 (15 ) t 0.95 (10 )
N ( 0 , 1), N ( 0 , 1) 的1 1 2π
分位数 u 1- 满足 P { X u 1 }
求 u1 的值 , 可通过查表完成 .

u 1

x
2

e
2
dx 1 ,
u1 0 .05 u 0 .95 1 . 645 ,
u1 0 .025 u 0 .975 1 . 96 ,
2 2
随机变量 F
U / n1 V / n2
服从自由度为
( n1 , n 2 ) 的 F 分
布 , 记为 F ~ F ( n1 , n 2 ).
F ( n1 , n 2 )分布的概率密度为
n1 n n1 n 2 n1 2 21 1 y 2 n2 , y 0, n1 n 2 ( y) n1 y 2 n1 n 2 1 2 2 n2 其他 . 0,
立, 则 1 2 ~ ( n1 n2 ).
2 2 2
( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. )
设 i ~ ( ni ), 并且 i ( i 1, 2,, m ) 相互
2 2 2
独立, 则 i ~ ( n1 n2 nm ).
2 2 i 1
m
性质2 ( 分布的数学期望和方差 )
2
若 ~ ( n), 则 E ( ) n,
2 2 2
D ( ) 2 n.
2
2
证明
2
因为 X i ~ N ( 0 , 1 ), 所以 E ( X i ) D ( X i ) 1 ,
4 2 2
D ( X i ) E ( X i ) [ E ( X i )] 3 2 1 , i 1 , 2 , , n .
正态总体 N ( , ) 的样本均值和样本方差
2
有以下两个重要定理
.
N ( , )
2
定理一
设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 的样本 , X 是样本均值 , 则有
例4
设r.v. X 与Y 相互独立，X ~ N(0,16), Y ~
N(0,9) , X1, X2 ,…, X9 与Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取
自 X 与 Y 的简单随机样本, 求
统计量
Z X1 X 2 X 9 Y1 Y2 Y16
2 2 2
所服从的分布。
解
X 1 X 2 X 9 ~ N ( 0 , 9 16 )
1 3 4
( X 1 X 2 X 9 ) ~ N ( 0, 1 )
1
1 2 Yi ~ N ( 0 ,1) , i 1, 2 , ,16 Yi ~ (16 ) 3 i 1 3
但对于较小的 n , t 分布与 N ( 0 ,1 )分布相差很大 .
t 分布的分位数
对于给定的 , 0 1, 称满足条件 P{t t1 ( n )}

t1 ( n )

h (t ) d t 1
的点 t1 ( n ) 为 t ( n ) 分布的 1 分位数 .
n 2 2 故 E( ) E X i i 1 n 2 2 D( ) D X i i 1

n
n
E ( X i ) n, D ( X i ) 2n .
2
2
i 1

i 1
2 分布的分位数
对于给定的正数
2 2
, 0 1, 称满足条件