电路报告

目录

一：一阶电路 (2)

1.1 电路的初始条件 (2)

1.1.1 几个概念 (2)

1.1.2 换路计算的规律 (2)

1.2 一阶电路的响应 (3)

1.2.1 一阶电路的零输入响应 (3)

1.2.2 一阶电路的零状态响应 (4)

1.2.3 一阶电路的全响应 (6)

1.3 三要素法 (7)

1.4 阶跃函数与阶跃响应 (8)

1.4.1 阶跃函数 (8)

1.4.2 单位阶跃响应 (8)

1.5 冲激函数与冲激响应 (9)

1.5.1 冲激函数 (9)

1.5.2 冲激响应 (10)

二：二阶电路 (11)

2.1 二阶电路的零输入响应 (11)

2.1.1 二阶电路的微分方程 (11)

2.1.2二阶电路微分方程的求解 (11)

2.1.3 二阶电路特征根的讨论 (12)

三：拉普拉斯变换 (17)

3.1 拉普拉斯的概念 (17)

3.1.1拉普拉斯变换的定义 (17)

3.1.2拉普拉斯变换的性质 (17)

3.1.3.拉普拉斯的反变换 (17)

3.2 运算电路 (19)

四：总结 (22)

一：一阶电路

1.1 电路的初始条件

1.1.1 几个概念

1． 换路——在电路分析中，我们把电路与电源的接通、切断，电路参数的突然改变，

电路联接方式的突然改变等等，统称为换路。

2． 过渡过程——电路在换路时将可能改变原来的工作状态，而这种转变需要一个过

程，工程上称为过渡过程（暂态过程）。 如果电路在0t t =时换路，则将换路前趋近于换路时的瞬间记为-=0t t ，而将换路后的初始瞬间记为

+

=0t t 。一般来说，为方便计算与分析，往往将电路换路的瞬间定为计时起点0=t ，

那么+=0t 和-=0t 表示换路前和换路后的瞬间。

1.1.2 换路计算的规律

根据电容电感元件的伏安关系可知，在有限电容电流（有限电感电压）的条件下，电容的电

压（电感的电流）不能跃变

⎩⎨

⎧==-+-+)

0()0()0()0(C C u u q q

⎩⎨

⎧=ψ=ψ-+-+)

0()0()0()0(L L i i

例题1：已知：电路如图7-1，开关闭合之前，电路已经工作了很长时间。其中V U S 12=，

Ω=k R 41，Ω=k R 22。

U 图7-1(a) 例题1

电路

求：开关闭合后的电容电压初始值即各个支路的电流初始值。 解：首先应该求出-=0t 时电容的电压)0(-C u 。 R 1 U 图7-1(b) 0-

时的电路

i 1(0+) R 1 i 2(0+ ) U 图7-1(c) 0+ 时的电路

开关闭合前电路已经处于稳态，因而换路前（-0时）的电路为直流电路，如图7-1(b)，直

流电路中电容相当于开路，这样电阻R 2上的电压为零。可以计算出V u C 12)0(=-。 而电容电压在有限电流情况下不会跃变，因此

V u u C C 12)0()0(==-+

画出电路换路后一瞬间（+0时）的电路如图7-1(c)所示。其中根据替代定理，已知电压的电容已经用大小相等，极性相同的电压源来代替，由此可以计算出：

412

12)0()0(11=-=-=

++R u U i C S )(6212

)0()0(22mA R u i C ===

++

)(6)0()0()0(21mA i i i C -=-=+++

1.2 一阶电路的响应

1.2.1 一阶电路的零输入响应

所谓“零输入响应”，即为电路在无激励的情况下，由储能元件本身释放能量的一个放电过程。

电路如图7-4所示。

R 图7-4 RC 电路零输入响应

已知其中电容元件的初始值为000U u u ==-+。由电路可得：

dt du

RC R dt du C

iR u u C C C R -=-=== 所以电路方程为：

0=+dt du RC

u C

C

一、 方程的求解

由高等数学中的知识可知，该一阶常系数线性微分方程的特征方程为 0)1(=+RCp 其特征根即为

RC p 1-

=

则电路方程的通解形式为：

pt C Ae u =

而由电路条件代入该通解式子中，就可得积分常数0)0(U u A C ==+。

所以满足初始条件的电路方程的解为

τ

-

-

==t t RC

C e U e

U u 0 10

其中，RC =τ， 为电路的时间常数，单位为秒。

实际上，零输入响应的暂态过程即为电路储能元件的放电过程，由该式可知，当时间∞→t 时，电容电压趋近于零，放电过程结束，电路处于另一个稳态。而在工程中，常常认为电路经过3τ~5τ时间后放电结束。

二、 一阶电路的零输入响应曲线

0.368 图7-5 一阶电路的零输入响应曲线

初始值、稳态值和时间常数便确定了一阶电路的零输入响应曲线。其中，初始值由换路前的

电路确定，稳态值由换路后的电路确定，而τ由电路中的电容和电容两端的戴维南等效电阻确定。

在曲线中，τ为过点（0，U 0）曲线的切线在时间轴上的截距（有关的证明请同学们自行完成）。

三、 时间常数τ

1．时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。

2．对于含电容的一阶电路，RC =τ；对于含电感的一阶电路，R L =

τ

3．τ越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。

0.368U 图7-6 时间常数的意义

4．一阶电路方程的特征根为时间常数的相反数，它具有频率的量纲，称为“固有频率” 1.2.2 一阶电路的零状态响应 所谓“零状态响应”，即为电路的储能元件的初始储能为零。由外部电源为储能元件输入能