大学物理下册考试计算题和证明题

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q 计算题和证明题
1、照相机镜头呈现蓝紫色——为了消除黄绿色的反射光而镀了膜。

在折射率1n =1.52的镜头表面镀一层折射率2n =1.38的Mg 2F 增透膜。

试证明：如果此膜适用于波长λ=5500 o
A 的光，则镀膜的最薄厚度应取996o
A .
证明：设光垂直入射增透膜，欲透射增强，则膜上、下两表面反射光应满足干涉相消条件，即
2、传输微波信号的无限长圆柱形同轴电缆，各通有电流I ，流向相反。

内、外
导体的截面半径分别为1R 和2R （1R <2R ），两导体之间磁介质的磁导率假设为μ，试求：（1）介质中的磁场强度和磁感应强度的大小；
（2）长为L 的一段同轴电缆中磁场的能量.
3、利用空气劈尖可以精确测量金属细丝的直径。

如图，波长为6800o
A 的平行光
垂直照射到L ＝0.12m 长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被直径为d 的细钢丝隔开．若两玻璃片间的夹角=θ44.010-⨯弧度，求： (1)细钢丝的直径是多少？(2)相邻两暗条纹的间距是多少?
4、在水(折射率n 1＝1.33)和一种玻璃(折射率n 2＝1.56的交界面上，自然光从水中射向玻璃，
求起偏角i 0．若自然光从玻璃中射向水，再求此时的起偏角0
i ' 4、解：tg i 0＝1.56 / 1.33 i 0＝49.6° 光自玻璃中入射到水表面上时，
tg 0
i '＝1.33 / 1.56 0
i '＝40.4° (或 0i '＝90°－i 0＝40.4°)
5、两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径为1R ，带电1q ，外球壳半径为2R ，带电2q ，试求两球壳之间任一点12()P R r R <<的场强与电势？ 5、解：由高斯定理：
C
i 内外球壳在P 点产生的场强2
014r q E P πε=
内外球壳在外球壳外产生的场强
2
0214r
q q E πε+=
P 点的电势
012210
1
2
0212
014114442
2
2
1
2
1
πεπε
πεπεq q R r q dr
r
q q dr r
q dr E dr E U
R R R r R r p p
-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∙+
∙=
∙+
∙=+⎰
⎰
⎰
⎰
6、一根很长的直导线载有交变电流0i I sin t ω=，它旁边有一长方形线圈ABCD ，长为l ，宽为b a -， 线圈和导线在同一平面内，求：(1) 穿过回路ABCD 的磁通量m Φ； (2 ) 回路ABCD 中的感应电动势。

6、解： a
b il
ldx x
i
S d B s
a
b a
ln
2200π
μπμφ=
=
∙=⎰⎰
-
a
b wt I lw
dt
d e ln
cos 200π
μφ-
==
7、双缝干涉实验装置如图所示，双缝与屏之间的距
离
D=120cm ，两缝之间的距离d=0.50mm ，用波长λ= 500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射双缝；
(1)求原点O(零级明条纹所在处)上方的第五级明条纹的坐标x ．
(2)如果用厚度l=1.0X10-2mm ， 折射率n=1.58的透明薄膜复盖在图中的S l 缝后面，求原点O 处的条纹的级数．
7． 解：⑴ λk D dx ≈ mm
mm d Dk x 0.6)50.010
50051200(6
=⨯⨯⨯=≈-λ
⑵ 有透明薄膜时，两相干光线的光程差)(12nl l r r +--=δl n r r )1(12---=
对原点O 处的明纹有 12r r =， λδk = 则k=11.6
8、如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面．且导线框的一个边与长直导线平行，他到两长直导线的距离分别为r 1、r 2,已知两导线中电流都为I=I 0sin ωt ，其中I o 和w 为常数，t 为时间．导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势．
9、螺绕环中心周长L =10cm ，环上线圈匝数N =200匝，
线圈中通有电流I =100 mA ．
(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H
和磁感应强度0B
；
(2)若环内充满相对磁导率r μ=4200的磁性物质，则管内的B
和H 各是多少?
10、求均匀带电孤立导体球的电场分布，已知球半径为R ，所带总电量为q(设q ＞0)。

11、在牛顿环实验中，所用光的波长为λ＝58900A ，观察到第k 个暗环的半径为4.00mm ，第k+5个暗环半径为6.00mm ，求透镜的曲率半径是多少？K 等于多少？
12、证明：在牛顿环实验中，相邻两亮环的直径的平方差为一常量。

证明：△=2e+
e （2R-e ）= r 2 e ＜＜R e =
∴△= +
亮环条件 △=K λ ∴ + = K λ
13、一根很长的圆柱形铜导线载有电流10A ，设电流在导线内均匀分布.在导
线内部作一平面S ，如图所示．试计算：
（1）平面内距圆导线轴为r 处的磁感应强度的大小； （2）通过S 平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m 的一段作计算)．铜的
磁导率0μμ=.
13、解：(1) 由安培环路定律,距圆导线轴为r 处的磁感应强度
⎰∑μ=⋅l I l B 0d , 22
02R Ir
r B μπ=, ∴ 2
02R
Ir B πμ= （2）磁通量 6
00
2
0)
(10
42-===
⋅=Φ⎰
⎰π
μπμI
dr R
Ir
S d B R
s m
（Wb ）
14、均匀带电球壳内半径1R ，外半径2R ，电荷体密度为ρ.试求球壳内外距球心为r （r ＜1R ，r ＞2R ）处各点的场强，以及球壳外（r ＞2R ）任一点的电势。

15、波长为λ＝6000Å的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30 ，
且第三级是缺级。

（1）光栅常数（a ＋b ）等于多少？（2）透光缝可能的最小宽度a 等
于多少？
15、解：（1）由光栅公式 ()sin a b k ϕλ+=，得 10
6
2600010
() 2.410()sin sin 30
k a b m λϕ
--⨯⨯+=
=
=⨯
（2）由缺级条件， ,
7
1()()810()3
k a a b a b m k
-=
+=
+=⨯
16、试证明：
一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为
ρ＝Ar （r ≦R ） ρ＝0 （r>R ）
A 为一常数。

试证明球体内外的场强分布分别为
2
10(4)E Ar
ε= （r ≦R ） ；
4
2
20(4)E A R
r ε= （r>R ） 。

17、试求一内外半径分别为R 1和R 2的均匀带电q 的非导体球壳的电场的场强分布和电势分布。

18、试证明：如图所示, 牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小缝e 0 .现用波长为λ的单色光垂直照射, 已知平凸透镜的曲率半径为R , 证明:
反射光形成的牛顿环的各暗环半径
r =
18、证明：
设反射光牛顿环暗环半径为r ,不包括e 0对应空气膜厚度为r 2
/(2R ),所以r 处对应空气膜的总厚度为
e=r 2/(2R )+ e 0
因光垂直照射，且相干减弱，所以有
δ=2e+λ/2=r 2/R +2e 0+λ/2=(2k+1)2/λ
得牛顿环的各暗环半径
r= [(k λ-2e 0)R ]1/2
(k 为大于等于2e 0/λ的整数)
19、 一无限长直导线通有电流I = I 0e –3t ,一矩形线圈与长直导线共面放置,其长边与导线平行,位置如图所示,求：
(1) 矩形线圈所围面积上的磁通量；
(2) 矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向. 19、解：()[]⎰⎰=
⋅=b
a
m r l r I
Φd πμ
2d 0
S
S B
=μ0Il ln(b/a )/(2π)=μ0I 0e -3t l ln(b/a )/(2π)
ε =-d Φ/d t =3μ0I 0e -3t l ln(b/a )/(2π)
20、 求均匀带电球体 (3
43
R
Q πρ=) 外
任一点(r>R) 的电场和电势.
21、 如图5-3所示,一根同轴线由半径为R 1
的长导线和套在它外面的内半径为R 2，外半径为R 3的同轴导体圆筒组成。

中间充满磁导率为μ的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图5-3。

传导电流I 沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的。

求:
(1)区域R 1<r< R 2和的磁感应强度大小B. (2)
区域r> R 3的磁感应强度大小B.。