最新人教版九年级上册数学《与旋转有关的计算和证明》专题提升练习
九年级数学上册第二十三章旋转能力提升单元测试卷含解析新版新人教版
九年级数学上册第二十三章旋转（能力提升）考试时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A．B．C．D．【答案】C【解析】A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．2．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C．【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．3.如图，直角三角板ABC的斜边AB＝12 cm，∠A＝30°，将三角板ABC绕点C顺时针旋转90°至三角板A′B′C′的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A′B′C′平移的距离为( )A. 6 cmB. 4 cmC. (6－3cm36)cm【答案】C【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，然后求出AB′，过点B′作B′D⊥AC交AB于D，然后解直角三角形求出B′D即可．【解析】∵AB=12cm，∠A=30°，∴BC=12AB=12×12=6cm，由勾股定理得，AC=22AB BC-=22126-=63cm，∵三角板ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角板A′B′C′，∴B′C′=BC=6cm，∴AB′=AC-B′C′=63-6，过点B′作B′D⊥AC交AB于D，则B′D=33AB′=33×（63-6）=（6-23）cm．故选C．【点睛】本题考查了平移的性质，旋转变换的性质，解直角三角形，熟练掌握各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q【答案】B【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．【解析】如图，连接N 和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N 的距离相等，因此格点N 就是所求的旋转中心；故选B ．【点睛】熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( ) A ．2222⎛- ⎝⎭B ．(1,0)C ．2222⎛-- ⎝⎭ D ．(0,1)- 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出点A 1、A 2、A 3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.【解析】四边形OABC 是正方形，且OA 1=，()A 0,1∴，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，∴由勾股定理得：点A 12A 12，122A ∴⎝⎭， 继续旋转则()2A 1,0，322A ⎝⎭，A 4(0，-1)，A 522⎛ ⎝⎭，A 6(-1，0)，A 722⎛ ⎝⎭，A 8(0，1)，A 922⎝⎭，......，发现是8次一循环，所以20198252÷= (3)∴点2019A 的坐标为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.6．将一副三角板顶点重合，三角板ABC 绕点A 顺时针转动的过程中，∠EAB 度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边AB ＝AE ）（ ）A ．∠EAB ＝30° B ．∠EAB ＝45°C ．∠EAB ＝60°D ．∠EAB ＝75°【答案】C【分析】由旋转的性质和平行线的判定依次判断，可求解．【解析】当∠EAB =30°时．∵∠CAB =90°，∴∠CAE =60°=∠E ，∴AC ∥DE ，故A 不合题意；当∠EAB =45°，∴∠BAD =45°=∠B ，∴BC ∥AD ，故B 不合题意；当∠EAB =60°时，三角尺不存在一组边平行．当∠EAB =75°时，如图，延长AB 交DE 于点M ，∴∠BAD =15°，∴∠EMA =∠D +∠MAB =45°=∠ABC ，∴BC ∥DE ．故选C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．7．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大【答案】A【分析】根据正方形性质得出∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，求出∠BOM=∠CON，根据ASA证△BOM≌△CON，推出两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积等于S△BOC=14S正方形ABCD，即可得出选项．【解析】∵四边形ABCD、四边形OEFG是两个边长相等正方形，∴∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，∴∠BOC-∠COM=∠EOG-∠COM，即∠BOM=∠CON，∵在△BOM和△CON中BOM CONOB OCOBM OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOM≌△CON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是S△COM+S△CNO=S△COM+S△BOM=S△BOC=14S正方形ABCD，即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于14S正方形ABCD，故选A．【点睛】本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△BOM≌△CON，即△BOM得面积等于△CON的面积．8．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2 019的坐标为( )A．(1010，0) B．(1310．5，3．(1345，3D．(1346，0)【答案】D【分析】连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019=336×6+3，因此点3B 向右平移1344（即3364 ）即可到达点2019B ，根据点3B 的坐标就可求出点2019B 的坐标．【解析】连接AC ，如图所示．∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1，∴AC =1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B 3向右平移1344(即336×4)到点B 2019．∵B 3的坐标为(2，0)，∴B 2019的坐标为(1346，0)，故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．9．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别为3、4、5，则PAB △的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．3【答案】D【分析】将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP 中，AE=5，延长BP ，作AF ⊥BP 于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB 的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF的长，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，∴△PAB的面积=12PB•AF=12×4×32=3，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于（）A．22B．3 C．4 D．42【答案】C【分析】根据正方形的性质得AB=BC，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，根据旋转的性质得BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠EBG=∠ABC=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF，得到EF=CF+AE，然后利用三角形周长的定义得到答案．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠C＝90°，∴把△ABE 绕点B 顺时针旋转90°可得到△BCG ，如图，∴BG ＝BE ，CG ＝AE ，∠GBE ＝90°，∠BAE ＝∠C ＝90°，∴点G 在DC 的延长线上，∵∠EBF ＝45°，∴∠FBG ＝∠EBG ﹣∠EBF ＝45°，∴∠FBG ＝∠FBE ，在△FBG 和△EBF 中，BF ＝BF ，∠FBG ＝∠FBE ，BG ＝BE∴△FBG ≌△FBE （SAS ），∴FG ＝EF ，而FG ＝FC +CG ＝CF +AE ，∴EF ＝CF +AE ，∴△DEF 的周长＝DF +DE +CF +AE ＝CD +AD ＝2+2＝4，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．11．如图，将一个三角板ABC ∆，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ∆，连接BE ，且2AC BC ==，90ACB ∠=︒，则线段BE =（ ）A ．62-B ．6C ．2D ．1【答案】A【分析】连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，根据旋转性质可知AB=AD ，∠DAB=60°，∠AED=90°，AE=DE=AC=BC=2，由此得出△ABD 为等边三角形，然后进一步通过证明△BAE ≅△BDE 得出∠ABE=∠DBE ，根据等腰三角形“三线合一”可知BF ⊥AD ，且AF=DF ，由此利用勾股定理分别计算出AB 、BF 的长，最后通过BE=BF −EF 进一步计算即可得出答案.【解析】如图，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，由旋转可知，AB=AD ，∠DAB=60°，∠AED=90°，AE=DE=AC=BC=2，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，在△BAE与△BDE中，∵AE=DE，BA=BD，BE=BE，∴△BAE≅△BDE（SSS），∴∠ABE=∠DBE，根据等腰三角形“三线合一”可得BF⊥AD，且AF=DF，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴AB=222222+=，∴AB=BD=AD=22，∴AF=2，∴BF=226AB AF-=，∵∠AED=90°，AE=DE，∴∠FAE=45°，∵BF⊥AD，∴∠FEA=45°，∴EF=AF=2，∴BE=BF−EF=62-，故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形性质及判定和勾股定理与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（）A．3-1 B．32C．3D．2【答案】A【分析】过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE交AB的延长线于点J；通过证明△CKD≌△CHE (ASA)，进而证明所构建的四边形CKJH是正方形，所以当点E与点J重合时，BE的值最小，再通过在Rt△CBK中已知的边角条件，即可求出答案.【解析】如图,过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE 交AB 的延长线于点J ；∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90° ,得到线段CE ∴∠DCE=∠KCH = 90°∵∠ECH=∠KCH - ∠KCE ，∠DCK =∠DCE-∠KCE ∴∠ECH =∠DCK又∵CD= CE ，CK = CH ∴在△CKD 和△CHE 中90ECH DCK CK CHDKC EHC ∠=∠=⎧∠=∠=︒⎪⎨⎪⎩∴△CKD ≌△CHE (ASA) ∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK ∴∠CKJ =∠KCH =∠H=90°∴四边形CKJH 是正方形 ∴CH=HJ=KJ=C'K∴点E 在直线HJ 上运动，当点E 与点J 重合时，BE 的值最小∵∠A= 30° ∴∠ABC=60°在Rt △CBK 中， BC= 2, ∴勾股定理得：CK =3，BK= = 1∴KJ = CK =3，所以BJ = KJ-BK=31-；BE 的最小值为31-.故选A.【点睛】本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键.二、填空题（每小题3分，共18分）13．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为__________．【答案】15°或45°．【解析】分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD=75°，∴α=90°﹣∠BAD=15°；②当AD⊥BC时，∠BAD=45°，即α=45°．故答案为：15°或45°．【点睛】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．14.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）【答案】2﹣1．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFDE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．故答案为﹣1．【考点】本题主要考查了以正方形旋转为载体的求线段长度.15.如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．【答案】（﹣2，﹣2）．【解析】作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．【考点】本题主要考查了以等边三角形和坐标系旋转为载体的求点的坐标.16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是．【答案】y＝x﹣1．【解析】∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，∴A（，0），B（0，﹣1），∴OA＝，OB＝1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO+∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△AFE（AAS），∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝，∴F（，﹣），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1．【考点】本题主要考查了以线段旋转和一次函数为载体的求解析式.17．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为___________s【答案】3秒或12秒或15秒【解析】①如图（2），当AC∥DE时，∵AC∥DE，∴∠ACB=∠CHD=90°．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∴∠HFD=90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3．②如图3，当BC∥DE时，∵BC∥ED，∴∠BFE=∠E=30°，∴∠BFD=30°+90°=120°，∴t=120°÷10=12．③如图4，当BA ∥ED 时，延长DF 交DA 于G ．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∵BA ∥ED ，∴∠BGD=180°-∠D=120°，∴∠BFD=∠B+∠BGF=30°+120°=150°，∴t=150°÷10°=15．故答案为3秒或12秒或15秒【点睛】本题主要考查平行线的性质．分三种不同的情况讨论，解题的关键是画出三种情况的图形．18.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，正方形EFGH 绕点E 旋转，直线FB 与直线CH 相交于点P ，若2,75AB DBP ︒=∠=，则2DP 的值是____．【答案】523+【分析】如图，设EF 交AB 于M ，EH 交BC 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥AD 于T 交BC 于R ．首先证明∠CPB ＝90°，求出DT ，PT 即可解决问题．【解析】如图，设EF 交AB 于M ，EH 交BC 于N ，PF 交EH 于O ，作PT ⊥AD 于T 交BC 于R ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，AE ＝EB ，∠EAM ＝∠EBN ＝45°，∵四边形EFGH 是正方形，∴∠MEN ＝∠AEB ＝90°，∴∠AEM ＝∠BEN ，∴△AEM ≌△BEN （ASA ），∴AM ＝BN ，EM ＝EN ，∠AME ＝∠BNE ，∵AB ＝BC ，EF ＝EH ，∴FM ＝NH ，BM ＝CN ，∵∠FMB ＝∠AME ，∠CNH ＝∠BNE ，∴∠FMB ＝∠CNH ，∴△FMB ≌△HNC （SAS ），∴∠MFB ＝∠NHC ，∵∠EFO ＋∠EOF ＝90°，∠EOF ＝∠POH ，∴∠POH ＋∠PHO ＝90°，∴∠OPH ＝∠BPC ＝90°， ∵∠DBP ＝75°，∠DBC ＝45°，∴∠CBP ＝30°，∵BC ＝AB ＝2，∴由勾股定理：PB ＝3，PR ＝12PB ＝32，RC ＝12， ∵∠RTD ＝∠TDC ＝∠DCR ＝90°，∴四边形TDCR 是矩形，∴TD ＝CR ＝12，TR ＝CD ＝AB ＝2， 在Rt △PDT 中，PD 2＝DT 2＋PT 2＝2213()(2)52322++=+， 故答案为523+. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转变换，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于常考题型．三、解答题（共46分）19．（6分）△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 1B 1C 1．（2）将△ABC 向右平移3个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）若点M 是平面直角坐标系中直线AB 上的一个动点，点N 是x 轴上的一个动点，且以O 、A 2、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）、（2）答案见解析；（3）当OA2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1．（2）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．（3）讨论：当OA2为平行四边形的边时，利用平行四边形的判定和点平移的坐标特征确定N点坐标；当OA2为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质和点平移的坐标特征确定N点坐标．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）当OA2为平行四边形的边时，N点坐标为（﹣3，0）或（2，0），当OA2为平行四边形的对角线时，N点坐标为（3，0）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质和平行四边形的判定．20．（8分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析【分析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．【解析】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，故选：B．（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；即命题中①③正确，故选：C．（4）图形如图所示：【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21、（8分）如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）如图a ，求证：△BCP ≌△DCQ ；（2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图b ，求证：BE ⊥DQ ；②如图c ，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）①证明见试题解析；②△DEP 为等腰直角三角形．【分析】：（1）由旋转的性质得到∠BCP =∠DCQ ，即可证明△BCP ≌△DCQ ；（2）①由全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②由等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD =45°，∠EDP =45°，即可判断△DEP 的形状．【解析】（1）∵∠BCD =90°，∠PCQ =90°，∴∠BCP =∠DCQ ，在△BCP 和△DCQ 中，∵BC =CD ，∠BCP =∠DCQ ，PC =QC ，∴△BCP ≌△DCQ ；(2)①如图b , ∵△BCF ≌DCQ , ∴∠CBF=∠EDF, 又∠BFC =∠DFE ,∴∠DEF =∠ BCF =90°，∴BE ⊥DQ②∵△BCP 为等边三角形，∠BCP =60°，∴∠PCD =30°，又CP =CD ,∠CPD =∠CDP =75° , 又∠BPC =-60° ,∠CDQ =60°，∴∠EPD =45°，∠EDP =45°，∴△DEP 为等腰直角三角形.【考点】1．四边形综合题；2．正方形的性质；3．旋转的性质；4．全等三角形的判定与性质；5．综合题．22．（8分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【答案】（1）1；（2）12π；（3）23OF = 【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF =∠ECF =30°，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH=x ，则CO 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【解析】（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB =60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF =∠BAC =30°，EF =BC =1，∴∠ACF =30°，∴∠ACF =∠ECF =30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF =30°，EF =1，∴CF =2，CE =3，由旋转的性质可得：CF=CA =2，CE=CG =3，∠ACG =∠ECF =30°，∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π； ②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F =60°，EF =1，∴13,22FH EH ==，∴CH =13222-=， 设OH=x ，则32OC x =-，222222334OE EH OH x x =+=+=+⎝⎭， ∵OB=OE ，∴2234OB x =+， 在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 解得：16x =，∴112263OF =+=． 【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．23.（8分）如图，正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿AD 边向点D 运动，到达点D 停止.作射线CP ，将CP 绕着点C 逆时针旋转45°，与AB 边交于点Q ，连接PQ（1）画图，完善图形.（2）三条线段DP ，PQ ，BQ 之间有无确定的数量关系？请说明理由.（3）过点C 作CH PQ ⊥于H .若线段CP 的最大值为4，求点H 运动的路径长.【解析】（1）画图，如图1.（2）DP ，PQ ，BQ 之间有确定的数量关系，PQ DP BQ =+.理由如下：如图1，∵ABCD 是正方形，∴可将DCP ∆绕点C 逆时针旋转90°到BCM ∆. ∴DCP BCM ∆∆≌，90PCM ∠=︒.∴DP BM =，CP CM =，190D ∠=∠=︒.∴Q ，B ，M 在同一条直线上.∵45PCQ ∠=︒，∴45MCQ ∠=︒.∴PCQ MCQ ∠=∠.∵CQ CQ =，∴()SAS PCQ MCQ ∆∆≌.∴PQ MQ =. ∴PQ DP BQ =+.（3）如图2，由（2），2M ∠=∠.∵3190∠=∠=︒，∴(AAS)PCH MCB ∆∆≌.∴CH CB =.当点P 还在点A 处时，CP 是正方形的对角线，此时最长.即正方形的对角线为4.∴正方形的边长22CB =∴22CH =当点P 从A 到点D 时，点H 从点B 沿圆弧到点D ，圆心角90BCD ∠=︒.∴点H 运动的路径长为1224CB ππ⨯⋅=.24．（8分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）点D 的坐标为()633,3；（2）点D 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点E 的坐标为()12,8． 【分析】(1) 过点D 作DG x ⊥轴于,G 根据已知条件可得出AD=6，再直角三角形ADG 中可求出DG ，AG 的长，即可确定点D 的坐标.(2) 过点D 作DG x ⊥轴于,G DH AE ⊥于H 可得出,GADH HA DG ＝＝，根据勾股定理得出AE 的长为10，再利用面积公式求出DH ，从而求出OG,DG 的长，得出答案(3) 连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转性质得到,DAE AOC AD AO ∠∠＝＝，从而可证AEG AED AAS ≌（），继而可得出结论.【解析】(1)过点D 作DG x ⊥轴于,G ，如图①所示：点6,0A （），点0,8B （）．6,8OAOB ∴＝＝， 以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，6,30,8AD AO OAD DE OB α∴∠︒＝＝＝＝＝＝，在Rt ADG 中，13,3332DG AD AG DG ＝＝＝＝ 633OG OA AG ∴--＝＝∴点D 的坐标为()633,3； (2)过点D 作DG x ⊥轴于,G DH AE ⊥于H ，如图②所示：则,GADH HA DG ＝＝， 8,90DE OB ADE AOB ∠∠︒＝＝＝＝，22226810AE AD DE ∴++＝＝＝， 1122AE DH AD DE ⨯⨯＝，6824105AD DE DH AE ⨯⨯∴＝＝＝， 246655OG OA GA OA DH ∴---=＝＝＝，22222418655DG AD AG ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭＝， ∴点D 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，如图③所示：由旋转的性质得：,DAE AOC AD AO ∠∠＝＝，OAC ADO ∴∠∠＝，DAE ADO ∴∠∠＝，//AE OC ∴，GAE AOD ∴∠∠＝，DAE GAE ∴∠∠＝，在AEG △和AED 中，90AGE ADE GAE DAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEG AED AAS ∴≌（）， 6,8AG AD EG ED ∴＝＝＝＝，12OG OA AG ∴+＝＝，∴点E 的坐标为()12,8．【点睛】本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个问题做出不同的辅助线是解题的关键.。
最新人教版九年级初三数学上册小专题(七)《旋转中的计算与证明》提升练习题
小专题(七)旋转中的计算与证明类型1基于“半角”的旋转在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．【例1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并证明．【思路点拨】将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，利用条件可证△EOH≌△EOF，从而得EH ＝EF.然后在Rt△AEH中，利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，进而得出结论．1．已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E.(1)如图1，当∠BAC＝120°时，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D′E；(2)如图2，当DE＝D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)如图3，在(2)的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由)类型2基于“等边三角形”的旋转方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．【例2】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．【思路点拨】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得AD＝AP，DB＝PC＝3，∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.2．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝150°，求PA的长．3．如图所示，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一角等于60°.角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，构成一个△AMN ，求△AMN 的周长．参考答案【例1】 AE 2＋BF 2＝EF 2.证明：将△OFB 绕点O 顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE ，∴OH ＝OF ，AH ＝BF ，∠BOF ＝∠AOH ，∠HOF ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝90°，∠AOB ＝90°.∵∠EOF ＝45°，∴∠AOE ＋∠BOF ＝∠AOB －∠EOF ＝90°－45°＝45°.∴∠AOE ＋∠AOH ＝∠EOH ＝45°.∴∠EOH ＝∠EOF.在△EOH 和△EOF 中，OH ＝OF ，∠EOH ＝∠EOF ，OE ＝OE ，∴△EOH ≌△EOF(SAS)．∴EF ＝EH.∵在Rt △AEH 中，由勾股定理得EH 2＝AH 2＋AE 2，AH ＝BF ，∴AE 2＋BF 2＝EF 2.1.(1)证明：∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′，∴AD ＝AD′，∠CAD ′＝∠BAD.∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠D ′AE ＝∠CAD ′＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠BAC －∠DAE ＝120°－60°＝60°.∴∠DAE ＝∠D′AE.在△ADE 和△AD′E 中，AD ＝AD′，∠DAE ＝∠D′AE ，AE ＝AE ，∴△ADE ≌△AD ′E(SAS)．∴DE ＝D′E.(2)∠DAE ＝12∠BAC.理由如下：在△ADE 和△AD′E 中，AD ＝AD′，AE ＝AE ，DE ＝D′E ，∴△ADE ≌△AD ′E(SSS)．∴∠DAE ＝∠D′AE.∴∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAD′＋∠CAE ＝∠D′AE ＝∠DAE.∴∠DAE ＝12∠BAC. (3)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠ACD′＝45°.∴∠D ′CE ＝45°＋45°＝90°.∵△D ′EC 是等腰直角三角形，∴D ′E ＝2CD ′.由(2)可得DE ＝D′E ，∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′，∴BD ＝CD′.∴DE ＝2BD.【例2】 ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA ，DP ，DB ，得AD ＝AP ＝2，DB ＝PC ＝3，∠DAP ＝60°.∴△ADP 为等边三角形，所以DP ＝AP ＝2，∠DPA ＝60°.在△DPB 中，DB ＝3，BP ＝1，DP ＝2，∴DP 2＋BP 2＝DB 2.∴∠DBP ＝90°，∠DPB ＝60°.∴∠APB ＝∠DPB ＋∠DPA ＝60°＋60°＝120°.2.将△APC 绕点C 按逆时针旋转60°，使CA 移至CB 处，PC 移到P ′C ，PA 移到P′B.∵∠PCP′＝60°，∴△PCP ′是等边三角形．∴∠P′PC ＝60°，PP ′＝PC ＝1.∵∠BPC ＝150°，∴∠BPP ′＝90°.在Rt △BP ′P 中，BP ＝2，PP ′＝PC ＝1，由勾股定理得P′B ＝22＋1＝5＝PA.∴PA ＝ 5.3.因为△ABC 为等边三角形，△DBC 为等腰三角形，∠BDC ＝120°，所以以D 为旋转中心，按顺时针方向将△DBM 旋转120°如图，且N 、C 、E 三点在同一条直线上．所以DM ＝DE ，CE ＝BM ，∠BDM ＝∠CDE.因为∠MDN ＝60°，所以∠BDM ＋∠NDC ＝60°.所以∠NDE ＝60°.在△DMN 和△DEN 中，DM ＝DE ，∠MDN ＝∠EDN ，DN ＝DN ，所以△DMN ≌△DEN.所以NE ＝MN.所以△AMN 的周长＝AM ＋MN ＋AN ＝AM ＋NE ＋AN ＝AM ＋NC ＋CE ＋AN ＝AM ＋NC ＋MB ＋AN.即△AMN 的周长＝AB ＋AC.因为AB ＝AC ＝1，故△AMN 的周长为2.良好的学习态度能够更好的提高学习能力。
第二十三章旋转几何证明题提高篇(2)2021-2022学年人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册第二十三章旋转几何证明题提高篇21.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=1BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，3记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．（1）如图1，当α=180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．2.如图①，在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC=4，DE=DC=√2．现将△DEC绕着点C旋转一定角度后，再平移线段BA得到线段EF（点B与点E对应），连接DA，DF．（1）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，求线段CF的长；（2）当点E与点A在直线BC的同侧时，探究DA与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）连接BF，求线段BF长的最大值．3.如图,在△ABC中,点D在边AC上,∠ABD=90∘.将△BCD沿BD对折得到△BED, BE交AC于点F.(1)如图,若∠A=40∘,∠C=30∘,求∠AFB的度数;(2)如图,若∠1=∠2,请说明∠4=4∠3;(3)若∠A=40∘,将△BED绕点B逆时针方向旋转一个角度α(0∘<α<180∘),记旋转中的△BED为△BD1E1.在旋转过程中,直线D1E1分别与直线AB、直线AC交于点M、点N,是否存在这样的点M、点N,使∠AMN与∠ANM 相等若存在,请直接写出旋转角α的度数;若不存在,请说明理由.4.在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上（不与B、C重合），点E在直线AC上（不与A、C重合），且∠ADE=∠AED．=______．（1）如图1，若∠ABC=50°，∠AED=80°，则∠CDE=______°，此时，∠BAD∠CDE（2）若点D在BC边上（点B、C除外）运动（如图1），试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）若点D在线段BC的延长线上，点E在线段AC的延长线上（如图2），其余条件不变，请直接写出∠BAD与∠CDE的数量关系：______．（4）若点D在线段CB的延长线上（如图3），点E在直线AC上，∠BAD=26°，其余条件不变，则∠CDE=______（友情提醒：可利用图3画图分析）．5.在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α=∠ABC，得到PE，连接CE．（1）【观察发现】如图1，当BA=BC，且∠ABC=60°时，BP与CE的数量关系是______，BC与CE的位置关系是______．（2）【猜想证明】如图2，当BA=BC，且∠ABC=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB=8，AP=5√2，请直接写出CE的长．6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上运动，将线段DE绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF.（1）如图1，若D为AB中点，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：OE=OD；（2）如图2，若点E不与C，B重合，点D为AB中点，点G为AF的中点，连接DG，连接BF，判断线段BF，CE，AD的数量关系并说明理由；（3）如图3，若AB=4√2，AD=3BD，点G为AF的中点，连接CG，∠GDE=90°，请直接写出CE的长.7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC、BE，点P为DC的中点．（1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是______，位置关系是______；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=6，BC=10，请直接写出线段AP长的取值范围．8.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．，AE=4，求AB的长；（1）连接ED，若CD=5√52（2）如图2，若点F为AD的中点，连接EB、CF，求证：CF⊥EB．9.观察发现如图1、图2，已知在△ABC和△CDE中，AC=6，CD=9，将△CDE固定，△ABC绕点C旋转．（1）如图1，若△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=∠ACB=90，AC=BC，CE=CD，直接判断AD与BE之间的数量关系是______；其中BE的最大值为______．应用推广（2）如图2，若△ABC和△CDE是直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°，∠CDE=∠CAB=30°，判断AD与BE 之间的数量关系，说明理由，并求出BE的最大值．拓展提升（3）如图3，已知在Rt△DBC中，∠DBC=90°，CD=9，以BC为直角边向外作等腰Rt△ABC，连接AD，求出AD的最大值．10. 如图①，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =13√22，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE =7√22，连接DE ，把△ADE 绕点A 顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°）．（1）如图②，当0°＜α＜180°时，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）如图③，若180°＜α＜360°，当C 、D 、E 三点在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，请说明理由，并求出此时线段BE 的长；（3）在旋转过程中，求△BCD 的面积的最大值，并写出此时的旋转角α的度数．11.如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．（1）求∠AFB的度数；（2）求证：BF＝EF；（3）连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．12.在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α=______°，此时直线CE与AB的位置关系是______．（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是______．（4）如图3，当点B、D、E三点不在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．13.（操作发现）（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数是______．（类比探究）（2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB=135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'．请猜想BP与CP'有怎样的位置关系，并说明理由．（解决问题）（3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC．求证：PC+√2PA＞PB．14.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC、BE，点P为DC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段AP与BE的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想(1)中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP的取值范围________．15.如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC、AD在同一条直线上，点G、H分别是斜边DE、BC的中点，点F为BE的中点，连接GF、GH．（1）猜想GF与GH的数量关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若AD＝2，AC＝4，将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转一周，直接写出GH的最大值和最小值，并写出取得最值时旋转角的度数．16.在△ABC中，AB=AC，△CDE中，CE=CD（CE≥CA），BC=CD，∠D=α，∠ACB+∠ECD=180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB=PD．（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD=______，∠ABP=______（用含α的代数式表示）；（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；（3）若∠ABC=60°，BC=√3+1，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC 交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．17.如图①，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，AB=10，点E是BC边上（不与底B，C重合）的一个动点，连接AE．（1）当线段AE把△ABC分成两个周长相等的三角形时，CE的长是多少？（2）将△ACE沿直线AE折叠，当点C恰好落在AB边上的C'处时，CE的长是多少？动手折一折并在图②中画出符合题意的图形．（3）当CE=3时，将△ACE绕点A顺时针旋转∠BAC的度数至△ADF的位置，连接EF，如图③，试判断线段AB和EF的位置关系并说明理由．18.某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF=90°，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为______；②CF，DC，BC之间的数量关系为______（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD=BC，AC=2√2，请求出线段CE的长．。
人教版九年级数学上册第二十三章旋转压轴题专题训练【含答案】
人教版九年级数学上册第二十三章旋转压轴题专题训练1．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD 与MN相交于点E，则∠CEN＝ °．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC 旋转 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）2．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等边三角形ABC的边长为 ．（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m≥0，四边形ABCD是菱形．（1）如图，当四边形ADCD为正方形时，求m，n的值．（2）探究：当m为何值时，菱形ABCD的对角线AC的长度最短，并求出AC的最小值．4．问题的提出：如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？问题的转化：把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′．问题的解决：当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置 ．问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．5．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．6．如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，点M 为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为 ；（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．7．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC．（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB 与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝ 度；②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB 与A1C交于点D，试说明A1D＝CD．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．9．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按逆时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，BD，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）当α等于多少度时，四边形AFDE是平行四边形？并说明理由．11．如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．12．已知如图，△ADC和△BDE均为等腰三角形，∠CAD＝∠DBE，AC＝AD，BD＝BE，连接CE，点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F．（1）当A，D，B三点在同一直线上时（如图1），求证：G为AF的中点；（2）将图1中△BDE绕点D旋转到图2位置时，点A，D，G，F在同一直线上，点H在线段AF的延长线上，且EF＝EH，连接AB，BH，试判断△ABH的形状，并说明理由．13．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P．（1）求证：∠CBE＝∠BAE；（2）求证：BG＝2PB；（3）若AB＝，BC＝3，直接写出BG的长．14.如图①，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上且∠ADC＝45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．15．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE＝DG；（2）如图3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝4，求点G到BE的距离．16．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上．（1）求证：BF＝NF；（2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长；（3）已知∠MEF＝30°，求的值．参考答案1．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD 与MN相交于点E，则∠CEN＝ 105 °．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC 旋转 75或255 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，∴∠CEN＝105°．故答案为：105°．（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON＝∠MPN＝×90°＝45°，∴∠DON＝∠D＝45°，∴CD∥AB，∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；．（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFD＝∠M＝60°，在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，＝180°﹣45°﹣60°，＝75°，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO＝∠M＝60°，在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋转角为75°+180°＝255°，综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．故答案为：75或255．2．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝ 150 °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ 150 °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ 150 °，∠BPC＝∠AP′B＝ 150 °，等边三角形ABC的边长为 ．（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．解：（1）根据旋转可知：∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，等边三角形ABC的边长为．故答案为150°、150°、．（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝．连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，∵PB＝BP′＝，∠PBP′＝90°，∴PP′＝2，∠BP′P＝45°．在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝，∵12+22＝（）2，即AP′2+PP′2＝PA2，∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°．∴∠AP′B＝135°，∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B＝45°．又∵BP′＝，∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵BE＝1，AE＝2，∴由勾股定理，得AB＝．综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为．答：∠BPC的度数为135°，正方形ABCD的边长为．3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m≥0，四边形ABCD是菱形．（1）如图，当四边形ADCD为正方形时，求m，n的值．（2）探究：当m为何值时，菱形ABCD的对角线AC的长度最短，并求出AC的最小值．解：（1）如图1中，作DF⊥y轴于F．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠DFA＝∠AOB＝90°，∴∠DAF+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAF＝∠ABO，∴△DFA≌△AOB（AAS），∴DF＝AB，AF＝OB，∵A（0，3），D（n，4），∴OA＝3，OF＝4，AF＝1，∴DF＝3，OB＝1，∴m＝1，n＝3．（2）如图2中，作DF⊥y轴于F，CE⊥x轴于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，∵AD∥BC，DF∥BE，∴∠ADF＝∠CBE，∵∠AFD＝∠CEB＝90°，∴△DFA≌△BEC（AAS），∴EC＝AF＝1，∴点C的运动轨迹是直线y＝1，由题意m＞0，观察图形可知当点B与原点重合时，AC的值最小，此时菱形的边长＝3，作CH⊥OA于H．则CH＝＝2，AC＝＝＝2，∴AC的最小值为2．4．问题的提出：如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？问题的转化：把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′．问题的解决：当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置 ∠APB＝∠APC＝120° ．问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．解：问题的转化：如图1，由旋转得：∠PAP'＝60°，PA＝P'A，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝PA，∵PC＝P'C，∴PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′．问题的解决：满足：∠APB＝∠APC＝120°时，PA+PB+PC的值为最小；理由是：如图2，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，∵∠APB＝120°，∠APP'＝60°，∴∠APB+∠APP'＝180°，∴B、P、P'在同一直线上，由旋转得：∠AP'C'＝∠APC＝120°，∵∠AP'P＝60°，∴∠AP'C'+∠AP'P＝180°，∴P、P'、C'在同一直线上，∴B、P、P'、C'在同一直线上，∴此时PA+PB+PC的值为最小，故答案为：∠APB＝∠APC＝120°；问题的延伸：如图3，Rt△ACB中，∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴AC＝1，BC＝，把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，由旋转得：BP＝BP'，∠PBP'＝60°，PC＝P'C'，BC＝BC'，∴△BPP′是等边三角形，∴PP'＝PB，∵∠ABC＝∠APB+∠CBP＝∠APB+∠C'BP'＝30°，∴∠ABC'＝90°，由勾股定理得：AC'＝＝＝，∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'＝AC'＝，则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．5．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，，∴Rt△ADG≌Rt△ABE，∴∠AGD＝∠AEB，∵∠HBG＝∠EBA，∴∠HGB+∠HBG＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图2，过点A作AP⊥BD交BD于点P，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴DG＝BE，∵∠APD＝90°，∴AP＝DP＝，∵AG＝2，∴PG＝＝，∴DG＝DP+PG＝+，∵DG＝BE，∴BE＝+．6．如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，点M 为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为 AC＝CN ；（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．解：（1）AC与CN数量关系为：AC＝CN．理由如下：∵△BAD≌△BCE，∴BC＝AD，EC＝AB．∵EN∥AD，∴∠MEN＝∠MDA．在△MEN与△MDA中，，∴△MEN≌△MDA（ASA），∴EN＝AD，∴EN＝BC．在△ABC与△CEN中，，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC＝CN．（2）结论仍然成立．理由如下：与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，∴EN＝BC．设旋转角为α，则∠ABC＝120°+α，∠DBE＝360°﹣∠DBA﹣∠ABC﹣∠CBE＝360°﹣30°﹣（120°+α）﹣60°＝150°﹣α．∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣∠DBE）＝15°+α．∵EN∥AD，∴∠MEN＝∠MDA＝∠ADB+∠BDE＝60°+（15°+α）＝75°+α．∴∠CEN＝∠CEB+∠BED+∠MEN＝30°+（15°+α）+（75°+α）＝120°+α，∴∠ABC＝∠CEN．在△ABC与△CEN中，，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC＝CN．（3）△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°．如下图所示：此时旋转角为60°或240°，点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．7．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC．（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB 与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝ 160 度；②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB 与A1C交于点D，试说明A1D＝CD．解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA1＝20°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACA1＝90°﹣20°＝70°，∴∠BCB1＝∠BCD+∠A1CB1，＝70°+90°，＝160°；②∵AB⊥A1B1，∴∠A1DE＝90°﹣∠B1A1C＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACA1＝∠A1DE﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴旋转角为30°；（2）∵AB∥CB1，∴∠ADC＝180°﹣∠A1CB1＝180°﹣90°＝90°，∵∠BAC＝30°，∴CD＝AC，又∵由旋转的性质得，A1C＝AC，∴A1D＝CD．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠AC D+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CD+CE＝AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，而AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）如图3，∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；DE、AD、BE之间的关系为DE＝BE﹣AD．9．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．（1）解：如图1，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，设BD＝x，则AB＝2x，由勾股定理得：，x＝3或﹣3（舍），∴AB＝2x＝6，∵AC＝AB＝6，∵点E、F分别为AB、BC边的中点，∴EF＝AC＝3；（2）证明：如图2，由旋转得：△ADB≌△AGC，∴AG＝AD，∠AGC＝∠ADB＝90°，CG＝BD，∴∠AGD＝∠ADG，∵∠ADB＝90°，∴∠ADG+∠BDH＝90°，∵∠AGD+∠MGC＝90°，∴∠MGC＝∠BDH，在GH上取一点M，使GM＝DH，∴△CGM≌△BDH，∴CM＝BH，∠GCM＝∠DBH，∵∠CMH＝∠MGC+∠MCG，∠CHM＝∠BDH+∠DBH，∴∠CMH＝∠CHM，∴CM＝CH＝BH，∵AC＝AB，∴AH⊥BC，即∠AHB＝90°＝∠ADB，∵∠AOD＝∠BOH，∴∠DAH＝∠DBH．10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按逆时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，BD，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）当α等于多少度时，四边形AFDE是平行四边形？并说明理由．（1）证明：∵△ADE是由△ABC旋转得到的，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE；（2）当∠BAD＝108°时，四边形AFDE是平行四边形，理由如下：∵∠BAD＝108°，AB＝AD，∴，∴∠DAE＝∠ADB，∴AE∥FD，又∵∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝72°，∴，∴∠CAD＝∠ADE，∴AF∥ED，11．如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．（1）①证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等边△BCD中，DB＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA，∵∠CBE＝60°+∠FBA，∴∠DBA＝∠CBE，∴△BAD≌△BEC，∴DA＝CE；②∠DEC+∠EDC＝90°，∵DB＝DC，DA⊥BC，∴，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，在等边△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC＝90°；（2）分三种情况考虑：①当点A在线段DF的延长线上时，由（1）可得，△DCE为直角三角形，∴∠DCE＝90°，当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，由（1）得DA＝CE，∴CD＝DA，在等边△DBC中，BD＝CD，∴BD＝DA＝CD，∴∠BDC＝60°，∵DA⊥BC，∴，在△BDA中，DB＝DA，∴，在△DAC中，DA＝DC，∴，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°+75°＝150°．；②当点A在线段DF上时，∵以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等边△BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC﹣∠ABC＝∠ABE﹣∠ABC，即∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC，∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC，由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°．③当点A在线段FD的延长线上时，同第②种情况可得△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，∠ADB＝∠ECB，在等边△BDC中，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DA⊥BC，∴，∴∠ADB＝180°﹣∠BDF＝150°，∴∠ECB＝∠ADB＝150°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝90°，当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴CD＝CE，∴AD＝CD＝BD，∵∠ADB＝∠ADC＝150°，∴，，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°，综上所述，∠BAC的度数为150°或30°．12．已知如图，△ADC和△BDE均为等腰三角形，∠CAD＝∠DBE，AC＝AD，BD＝BE，连接CE，点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F．（1）当A，D，B三点在同一直线上时（如图1），求证：G为AF的中点；（2）将图1中△BDE绕点D旋转到图2位置时，点A，D，G，F在同一直线上，点H在线段AF的延长线上，且EF＝EH，连接AB，BH，试判断△ABH的形状，并说明理由．解：（1）∵AC∥EF，∴∠ACG＝∠FEG，∵点G为CE的中点，∴CG＝EG，∴△ACG≌△FEG，∴AG＝FG，∴G为AF的中点；（2）△ABH为等腰三角形．理由：同（1）可证△ACG≌△FEG，∴AC＝FE，又∵AC＝AD，FE＝HE，∴AD＝HE，①∵AC∥EF，∴∠GFE＝∠CAD＝∠DBE，∵EF＝EH，∴∠EFH＝∠EHF，∵∠EFH+∠GFE＝180°，∴∠FHE+∠DBE＝180°，∴四边形BDHE中，∠BEH+∠BDF＝180°，又∵∠BDA+∠BDF＝180°，∴∠BEH＝∠BDA，②又∵BD＝BE，③∴由①②③，可得△ADB≌△HEB，∴AB＝HB，即△ABH是等腰三角形．13．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD 上，连接BE，BG，且BG交AE于P．（1）求证：∠CBE＝∠BAE；（2）求证：BG＝2PB；（3）若AB＝，BC＝3，直接写出BG的长．解：（1）∵矩形ABCD中，∠CBA＝90°，∴∠CBE+∠ABE＝90°，即2∠CBE+2∠ABE＝180°，①由旋转可得，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠BAE+2∠ABE＝180°，②由①②可得，∠BAE＝2∠CBE，∴∠CBE＝∠BAE；（2）如图，过B作BH⊥AE于H，则∠C＝∠BH E＝90°，由（1）可得，∠ABE＝∠AEB，∵AB∥CE，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠BEC＝∠BEH，即BE平分∠CEH，∴BH＝BC，由旋转可得，AG＝AD＝BC，∠GAP＝∠BAD＝90°，∴AG＝HB，∠GAP＝∠BHP，又∵∠APG＝∠HPB，∴△APG≌△HPB，∴GP＝BP＝BG，即BG＝2PB；（3）∵AB＝，BC＝3＝BH，∴Rt△ABH中，AH＝＝4，∵△APG≌△HPB，∴PH＝AP＝AH＝2，∴Rt△BHP中，BP＝＝，∴BG＝2BP＝2．14．如图①，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上且∠ADC＝45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．解：（1）∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠CBA＝∠CAB＝30°，∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC﹣∠CBA＝15°＝∠BC'D'；（2）①由旋转可得CB＝C'B＝AC，∠C'BD'＝∠CBD＝∠A＝30°，∴∠CC'B＝∠C'CB＝75°；②证明：∵AC＝C'B，∠C'BD'＝∠A，∴∠CEB＝∠C'CB﹣∠CBA＝45°，∴∠ACE＝∠CEB﹣∠A＝15°，∴∠BC'D'＝∠BCD＝∠ACE，在△C'BD'和△CAE中，，∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．15．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE＝DG；（2）如图3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝4，求点G到BE的距离．解：（1）由旋转的性质可知：∠BAE＝∠DAG，由正方形的性质可知：AB＝AD，AE＝AG．∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG．∴BE＝DG．（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．当α＝45°时，则∠BAE＝45°．∵∠BAD＝∠EAG＝90°．∴∠EAH＝∠GAH＝45°．又∵AE＝AG，∴AH⊥GE．又∵AH⊥AB，∠EAH＝45°，∴△AHE为等腰直角三角形．∴EH＝AH＝AE＝4．∴EG＝2EH＝8．∴S△BEG＝EG•AH＝×8×4＝16．设点G到BE的距离为h．BE＝＝2S△BEG＝EB•h＝16，即×2•h＝16，解得h＝．∴点G到BE的距离为．16．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上．（1）求证：BF＝NF；（2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长；（3）已知∠MEF＝30°，求的值．解：（1）连结BE，EN，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BFE＝90°，由旋转得BE＝EN，∴BF＝NF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BF＝AE，EF＝AB，由旋转得EH＝EA，∵BF＝NF，∴EH＝NF，∵∠BFE＝∠GHE＝90°，∠NGF＝∠HGE，∴△N GF≌△HGE，∴FG＝GH，设EG＝x，则GF＝GH＝2﹣x，由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2＝1，解得x＝，∴EG＝；（3）∵EF∥DC，∴∠DME＝∠MEF＝30°，设DE＝x，∵∠D＝90°，∴ME＝DC＝AB＝2x，DM＝x，∴MC＝（2﹣）x，∵∠NME＝90°，∠DME＝30°，∴∠NMC＝60°，∴∠MNC＝30°，∴MN＝2MC＝2（2﹣）x，∴BC＝AD＝DM+MN＝2（2﹣）x+x＝（5﹣2）x，∴＝．。
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转经典大题例题单选题1、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．2、如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤答案：C分析：根据旋转变换及全等图形的定义对应边相等，对应角相等的图形是全等图形对个图进行一一分析判断即可解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．故选择C．小提示：本题考查多边形全等的判定，掌握全等图形的定义，关键是会通过图形的旋转使它们全等．3、在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4B．4C．12D．﹣12答案：D分析：首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2+4=0,2−b=0，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴a+2+4=0,2−b=0，解得：a=−6,b=2,∴ab=−12,故选D小提示：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．4、如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，3√3）B．（7，5）C．（5√3，5）D．（5√3，3√3）答案：A分析：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB=6，由旋转的性质可知AO=AC=4，OB=CD=6，∠ACD=∠AOB=60°，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=OA=4，∠ACO=60°，∴∠DCE=60°，∴CE=1CD=3，DE=√CD2−CE2=3√3，2∴OE=OC+CE=4+3=7，∴D（7，3√3），故选：A．小提示：本题考查了旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．5、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．6、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∠DOE＝22.5°∴∠OEH＝∠OHE＝12∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝1（180°－∠CHE）＝67.5°2∴△CEH不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(−5,1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B 的坐标为（）A．(−5,1)B．(−1,−5)C．(−5,−1)D．(−1,5)答案：B分析：根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．解：如图，根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△AOC≌△OBD，∴BD=OC，OD=AC，∵点A的坐标为(−5,1)，∴BD=OC=1，OD=AC=5，∴B(−1,−5)．故选：B．小提示：本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．8、如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．(−√2,0)B．(−√2,0)C．(0,√2)D．(0,2)答案：D分析：连接OB，由正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，推出∠A1OB1=45°，得到△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，利用勾股定理求出O B1即可．解：连接OB，∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，∴∠AOA1=45°，∠AOB=45°，∴∠A1OB1=45°，∴△A1OB1为等腰直角三角形，点B1在y轴上，∵∠B1A1O=90°,A1B1=OA1=√2，∴OB1=√A1B12+OA12=√2+2=2，∴B1（0，2），故选：D．小提示：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质．关键是根据旋转角证明点B1在y轴上．9、在平面直角坐标系中，点(3,2)关于原点对称的点的坐标是（）A．(2,3)B．(−3,2)C．(−3,−2)D．(−2,−3)答案：C分析：根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),故选C．小提示：本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．10、已知两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对答案：C分析：首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2,然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．∵x1+x2=0,y1+y2=0，∴x1=−x2,y1=−y2,∵两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)，∴点M1与M2关于原点对称，故选：C．小提示：本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．填空题11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB=5，BC=9，则BD=______．答案：√106分析：连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=9，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=9，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，AE=√52+92=√106．所以答案是：√106．小提示：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．12、以原点为中心，把M(3,4)逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为______．答案：(−4,3)分析：建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出N点坐标，由此即可得出答案．解：如图：由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，又∵M（3，4），∴N（-4，3），所以答案是：（-4，3）．小提示：此题考查有关点的坐标旋转的性质，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．答案：2分析：点F 运动所形成的图象是一条直线，当OF ⊥F 1F 2时，垂线段OF 最短，当点F 1在x 轴上时，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33，进而得P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33，求得点F 1的坐标为(4√33,0)，当点F 2在y 轴上时，求得点F 2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，再由线段中垂线性质得出F 1F 2=AF 1=8√33，在Rt △OF 1F 2中，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则根据面积法得12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，即12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，根据垂线段最短，即可得到线段OF 的最小值为2．解：∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，∴∠APF =60°，PF =PA ，∴△APF 是等边三角形，∴AP =AF ，如图，当点F 1在x 轴上时，△P 1AF 1为等边三角形，则P 1A =P 1F 1=AF 1，∠AP 1F 1=60°，∵AO ⊥P 1F 1，∴P 1O =F 1O ，∠AOP 1=90°，∴∠P 1AO =30°，且AO =4，由勾股定理得：P 1O =F 1O =4√33， ∴P 1A =P 1F 1=AF 1=8√33， ∴点F 1的坐标为(4√33,0)， 如图，当点F 2在y 轴上时，∵△P 2AF 2为等边三角形，AO ⊥P 2O ，∴AO =F 2O =4，∴点F 2的坐标为（0，-4），∵tan∠OF 1F 2=OF 2OF 1=4√33=√3，∴∠OF 1F 2=60°，∴点F 运动所形成的图象是一条直线，∴当OF ⊥F 1F 2时，线段OF 最短，设直线F 1F 2的解析式为y =kx +b ， 则{4√33k +b =0b =−4，解得{k =√3b =−4， ∴直线F 1F 2的解析式为y =√3x -4，∵AO =F 2O =4，AO ⊥P 1F 1，∴F 1F 2=AF 1=8√33， 在Rt △OF 1F 2中，OF ⊥F 1F 2，设点O 到F 1F 2的距离为h ，则12×OF 1×OF 2=12×F 1F 2×ℎ，∴12×4√33×4=12×8√33×ℎ，解得h =2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．小提示：本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．14、已知点P(m−2,m)关于原点对称的点在第三象限，则m的取值范围是_______．答案：m>2分析：根据关于原点对称的点的性质可得点P在第一象限，进而得出不等式组，再解不等式组即可．解：∵点P（m−2，m）关于原点对称的点在第三象限，∴点P（m−2，m）在第一象限，∴{m−2>0，m>0解得：m＞2，所以答案是：m＞2．小提示：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号．15、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△AB，则线段B1D的长度为______．A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，OD=12答案：1.5cm##3cm2分析：先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ODAB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，则问题得解．＝12∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，∴AB＝√OA2+OB2＝5cm，∴OD＝1AB＝2.5cm，2∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1＝OB＝4cm，∴B1D＝OB1-OD＝1.5cm．所以答案是：1.5cm．小提示：本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．答案：（1）画图见解析，（2）画图见解析分析：（1）分别确定A,B向右平移4个单位后的对应点A1,B1，再连接A1B1即可；（2）分别确定A,B绕原点O旋转180°后的对应点A2,B2，再连接A2B2即可.解：（1）如图，线段A1B1即为所求作的线段，（2）如图，线段A2B2即为所求作的线段，小提示：本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 17、如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．(1)写出△OAB各顶点的坐标；(2)以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．答案：(1)A（-2，0），B（-1，√3），C（0，0）(2)A′（−1,√3），B′（1,√3）分析：（1）作高线BC，根据等边三角形的性质和勾股定理求OC和BC的长，写出三点的坐标，注意象限的符号问题；（2）如图2，由旋转可知：A′与B重合，B与B′关于y轴对称，可得：A′，B′的坐标．（1）解：如图1，过B作BC⊥OA于C，∵△AOB是等边三角形，且OA=2，OA=1，∴OC=12由勾股定理得：BC=√22−12=√3，∴A(−2，0)，B(−1，√3)，O(0，0)；（2）解：如图2，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴A′与B重合，∴A′(−1，√3)，由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，∵∠AOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠DOB′=30°，∴BB′⊥OD，DB=DB′，∴B′(1，√3)．小提示：本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．18、如图，一伞状图形，已知∠AOB=120°，点P是∠AOB角平分线上一点，且OP=2，∠MPN=60°，PM与OB交于点F，PN与OA交于点E．(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系(2)如图二，将∠MPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转α度(0<α<60°)，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积．答案：（1）PE＝PF，证明详见解析；（2）PE＝PF，√3分析：（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，∴∠POF＝60°，∵∠MPN＝60°，∴∠MPN＝∠FOP＝60°，∴ΔPEF是等边三角形，∴PE＝PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，∵OP平分∠AOB，∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，∴∠QPE+∠FPH+∠EPH，∴∠QPE＝∠EPF，在ΔQPE与ΔHPF中{∠EQP=∠FHP ∠QPE=∠HPFPQ=PH，∴ΔQPE≌ΔHPF（AAS），∴PE＝PF，S四边形OEPF ＝S四边形OQPH，∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，∴OQ＝1，QP＝√22−12＝√3，∴SΔOPQ＝12×1×√3＝√32，∴四边形OEPF的面积＝2SΔOPQ＝√3小提示：本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．。
图形的旋转(中考专题提升)2022—2023学年人教版数九年级学上册
图形的旋转（中考专题提升）一、单选题1．有一个正n边形旋转90后与自身重合，则n为（）A．6 B．9 C．12 D．152.如图所示的运动员只经过旋转不能得到的是( )3．如图，OAB绕点O逆时针旋转80到OCD的位置，已知45∠等于（）AOB∠=，则AODA．55B．45C．40D．35△，点B'恰好落在CA的延长线上，4．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到AB C''B C，则BAC'∠为（），∠=︒∠=︒3090A．90︒B．60︒C．45︒D．305.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转55°,得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为( )A.65°B.70°C.75°D.80°6．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°7．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0360αα︒<<︒，得到矩形AEFG ．当GC GB =时，下列针对α值的说法正确的是（ ）A ．60︒或300︒B ．60︒或330︒C ．30D ．60︒8.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=3,将一个无限大的直角尺MON 的直角顶点O 与BC 边上的中点D 重合并绕点D 旋转,分别交AB 、AC 所在的直线于点E 、F,连接EF,若BE=1,则EF 的长度为( )A.B. C.或 D.无法确定9．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．1.510．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE 绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°二、填空题11.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(4,0),连接AB,若将△ABO绕点B顺时针旋转90°,得到△A'BO',则点A'的坐标为.12．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转到正方形AB ' C ' D ' ，旋转角为α（ 0︒＜α＜ 180︒），连接B ' D 、C ' D ，若B ' D =C ' D ，则∠α =____．13．如图，AB=BC=CD，AB⊥BC，∠BCD=30°，则∠BAD=________°．14.如图,点E 在正方形ABCD 的边CB 上,将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°到△DAF 的位置,连接EF,过点D 作EF 的垂线,垂足为点H,与AB 交于点G,若AG=4,BG=3,则BE 的长为 .15．如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN 的取值范围是______．16．如图，在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC 内一点，则PA PB PC ++的最小值为__________．三、解答题17.如图,以点O 为旋转中心,将△ABC 按顺时针方向旋转60°,作出旋转后的图形(不用写作法).18．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求∠APB 的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造AP C '△，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．(1)请你计算图1中∠APB 的度数．(2)如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且2PA =，1PB =，3PD =，求∠APB 的度数．19．已知ABC 是等边三角形，点B ，D 关于直线AC 对称，连接AD ，CD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)在线段AC 上任取一点Р（端点除外），连接PD ．将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处．请探究：当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ 与CP 之间的数量关系，并加以证明．20.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(4,1),C(4,3).(1)画出将△ABC 向左平移5个单位长度得到的△A 1B 1C 1;(2)画出将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到的△A 2B 2C 2.21．已知：如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，以BC 为边向形外作等边三角形BCD ∆，把ABD ∆绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到ECD ∆，若3AB =，2AC =，求BAD ∠的度数与AD 的长.22．已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF．(1)如图1，求证：ADE≌CDF；(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM AGBN CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；⊥于点M，⊥②如图3，连接BG，若4DE=，直接写出在DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．AB=，2参考答案1--10CCBBD AACCA11.812．60°13.15 14.15．22≤MN ≤5216．1917.解析 如图所示,△A'B'C'即为所求.18．(1)150APB ∠=︒(2)135APB ∠=︒19．（1）连接BD ，ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，点B ，D 关于直线AC 对称，∴AC 垂直平分BD ，,DC BC AD AB ∴==，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形；（2）当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下： 将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处，PQ PD ∴=， ABC 是等边三角形，,60AB BC AC BAC ABC ACB ∴==∠=∠=∠=︒，连接PB ，过点P 作PE CB ∥交AB 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，则60,60APE ACB AEP ABC ∠=∠=︒∠=∠=︒，60APE BAC AEP ∴∠=∠=︒=∠，APE ∴是等边三角形，AP EP AE ∴==，PF AB ⊥，APF EPF ∴∠=∠，点B ，D 关于直线AC 对称，点P 在线段AC 上，∴PB = PD ，∠DPA =∠BPA ，∴PQ = PD ，PF AB ⊥，QPF BPF ∴∠=∠，∴∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF ，即∠QPA = ∠BPE ，∴∠DPQ =∠DPA - ∠QPA =∠BPA -∠BPE = ∠APE = 60°；（3）AQ = CP ，证明如下：AC = AB ，AP = AE ，∴AC - AP = AB – AE ，即CP = BE ，AP = EP ，PF ⊥AB ，∴AF = FE ，PQ = PD ，PF ⊥AB ，∴QF = BF ，∴ QF - AF = BF – EF ，即AQ = BE ，∴AQ = CP ．20. (1)如图所示,△A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示,△A 2B 2C 2即为所求.21．60BAD ∠=︒，AD=5【解析】只要证明A 、B 、D 、C 四点共圆，即可推出∠BAD=∠BCD =60°，然后证明A 、C 、E 三点共线，根据旋转的性质，推出AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5．解：∵ABC ∆的120BAC ∠=︒，以BC 为边向形外作等边BCD ∆，∴12060180BAC BDC ∠+∠=︒+︒=︒.∴A ，B ，D ，C 四点共圆，∴60BAD BCD ∠=∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒，又∵ABD ECD ∠=∠，∴180ACD ECD ∠+∠=︒，∴180ACE ∠=︒，即A ，C ，E 共线.∵把ABD ∆绕D 点按顺时针方向旋转60︒到ECD ∆位置且3AB =，∴3AB CE ==，∴235AD AE AC AB ==+=+=.本题考查旋转变换、等边三角形的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是充分利用旋转不变性解决问题，本题的突破点是证明A 、C 、E 共线，△AED 是等边三角形即可． 22（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒．DE DF =，90EDF ∠=︒．ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF ，在ADE 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE ∴≌()SAS CDF △；（2）①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ．90ADP ∠=︒，90DAP DPA ∴∠+∠=︒． ADE ≌CDF ，DAE DCF ∴∠=∠．DPA GPC ∠∠=，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒．90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒．四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒．ABM CBN ∴∠=∠．又90AMB BNC ∠∠==︒，AMB ∴≌CNB △．MB NB ∴=．∴矩形BMGN 是正方形；②解：作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，∵90,90,DHA AMB ADH DAH BAM AD AB ∠=∠=︒∠=︒-∠=∠= ∴AMB ≌DHA ．BM AH ∴=．222AH AD DH =-，4=AD ，DH ∴最大时，AH 最小，2DH DE ==最大值．23BM AH ∴==最小值最小值由()2①可知，BGM 是等腰直角三角形，226BG BM ∴=最小值。
专题23.1图形的旋转-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)[含答案]
![专题23.1图形的旋转-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/f2380d69effdc8d376eeaeaad1f34693daef1028.png)
专题23.1图形的旋转【十大题型】【人教版】【题型1判断生活中的旋转现象】【题型2由旋转的性质判断结论正误】【题型3由旋转的性质进行求解】【题型4由旋转的性质证明线段相等或角相等】【题型5画旋转图形】【题型6旋转对称图形】【题型7旋转求坐标】【题型8旋转中的规律性问题】【题型9由旋转的性质求最值】【题型10 图形的动态旋转】知识点1：旋转在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素．【题型1判断生活中的旋转现象】【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）2．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．其中能得到图（2）的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）3．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（）可以使得接收光能最多．A．46°B．44°C．36°D．54°【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）4．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定知识点2：旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置．【题型2 由旋转的性质判断结论正误】【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）5．如图所示，O 是锐角三角形ABC 内一点，120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=o ，P 是ABC V 内不同于O 的另一点，A BO ¢¢△、A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60o ，则下列结论：①O BO ¢V 为等边三角形；②+=¢¢+¢A O O O AO BO ；③+=¢¢+¢A P P P PA PB ；④++³++PA PB PC AO BO CO ．其中正确的有（提示：有一个角是60o 的等腰三角形是等边三角形）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）6．如图，Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，M 为直线BC 上的一个动点，将线段AM 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AN ，连接CN ，则当CN 取得最小值时，下列结论正确的是（ ）A ．直线CN AB ^B ．直线CN 平分ABC ．直线CN 与直线BC 重合D ．直线CN 与直线AC 重合【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）7．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝EC ；④∠A ＝∠EBC ；其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）8．如图所示，在等边ABC V 中，点D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕着点B 逆时针旋转60°，得到BAE V ，连接ED ，则下列结论中：①AE BC ∥；②60DEB Ð=°；③ADE BDC Ð=Ð；④AED ABD Ð=Ð，其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型3 由旋转的性质进行求解】【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）9．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，若90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，则线段BC ¢的长度为（ ）A ．4B ．C ．6D ．【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）10．将直角边长为6cm 的等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到AB C ¢¢△，则图中阴影部分的面积是 2cm ．【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）11．如图，菱形纸片ABCD 的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到A B C D ¢¢¢¢的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )A ．8B ．)41C ．)81D ．)41【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）12．如图，等腰直角ABC V 中，AC BC =，将线段CA 绕点C 逆时针旋转a °（090a <<）得到线段CA ¢，作点A 关于线段CA ¢所在直线的对称点E ，连接AE 和BE ，分别交线段CA ¢所在直线于点M 和点F ，若1CF =，3FM =，则BF 的长为 ．【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）13．【猜测探究】在ABC V 中，ACB a Ð=．点D 是直线AB 上的一个动点，线段CD 绕点C 逆时针旋转α，得到线段CE ，连接DE ，BE ．（1）如图1，当CA CB =，点D 在AB 边上运动时，线段BD ，AB 和BE 之间的数量关系是______；（2）如图2，当CA CB =，点D 运动到AB 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，将ABC V 绕点C 逆时针旋转60°得到DEC V ，DE 交AB 于点F ，连接CF ．若4CF =，1BF =，3DF =，求线段DE 的长．【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）14．在等边三角形ABC 的内部有一点D ，连接BD ，CD ，以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，连接AD ¢，DD ¢．以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，连接AD ¢¢，DD ¢¢．(1)判断D BA ¢Ð和DBC Ð的大小关系，并说明理由；(2)求证：D A DC ¢=；(3)求证：四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）15．如图，在四边形ABCD 中，AC BD ，是对角线，ABC V 是等边三角形，将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE DE ，．(1)求证：BCD ACE Ð=Ð；(2)若30610ADC AD BD Ð=°==，，，求DE 的长．【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）16．在ABC V 中，CA CB =，ACB a Ð=，D 为ABC V 内一点，将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，点A D ，的对应点分别为点B E ，．(1)如图1，若A D E ，，三点在同一直线上，则CDE Ð=_________（用含a 的代数式表示）；(2)如图2，若A D E ，，三点在同一直线上，90a =°，过点C 作CF AE ^于点F ，探究线段CF AE BE ，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，连接AE ，若60a =°，CA =2CD =，将DCE △绕点C 旋转一周，当60AEC Ð=°时，BE =____________．知识点2：旋转作图旋转有两条重要性质：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键．步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点．【题型5 画旋转图形】【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出将ABC V 向下平移5个单位长度后的111A B C △；(2)画出ABC V 关于点B 成中心对称的22A BC V ；(3)画出ABC V 绕点B 逆时针旋转90o 的33A BC △；(4)在直线l 上找一点P ，使ABP V 的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）18．如图，在平面直角坐标系中xOy ，已知ABC V 三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()1,1B -，()2,2C -．(1)画出ABC V 绕原点O 顺时针旋转90°得到的111A B C △；(2)在y 轴上取点P ，使ABP V 的面积是ABC V 面积的32倍，求点P 的坐标．【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）19．如图，在边长为1的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，将ABC V 绕点O 逆时针旋转一定角度后，点C 落在格点C ¢处．(1)旋转角为______ °；(2)在图中画出旋转后的A B C ¢¢¢V ，其中A ¢、B ¢分别是A 、B 的对应点；(3)点O 到直线BB ¢的距离是______ ．【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点3,4,()(0,1)A B ---．(1)平移线段AB 得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标为(3,2)--，点B 的对应点为点D ，在网格中请画出线段CD ，并直接写出点D 的坐标为_______；(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段CD 绕点D 按逆时针旋转90°后的线段DE ，点C 的对应点为点E ，并直接写出点E 的坐标为_______；(3)在（2）的条件下，线段AB 与线段DE 存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．【题型6 旋转对称图形】【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）21．在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）22．如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）23．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度()0180a a °<°…后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度a 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O 旋转90°或180°后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；A .矩形；B .正五边形；C .菱形；D .正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有 个；【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）24．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型7 旋转求坐标】【例7】（2024·天津东丽·二模）25．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，那么点1B 的坐标是（ ）A ．()1,1B ．C ．(D ．【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）26．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A B ¢¢，那么()1,4A -的对应点A ¢的坐标是 ．【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）27．如图，正比例函数的图象经过(),2A m -，()2,B n 两点，其中m ，n 为整数，且0,0m n <>.现将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则点C 的坐标为 ．【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）28．在平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），把△AOB 绕点O 旋转，使点A ，B 分别落在点A ′，B ′处，若A ′B ′∥x 轴，点B ′在第一象限，则点A 的对应点A ′的坐标为（ ）A ．（912,55-）B ．（129,55-）C ．（1612,55-）D ．（1216,55-）【题型8 旋转中的规律性问题】【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）29．如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形OABC 绕着原点O 顺时针旋转45°得到正方形111OA B C ，按照这样的方式，绕着原点O 连续旋转2024次，得到正方形202420242024OA B C 则点2024A 的坐标是（ ）A ．(0,1)B ．()0,1-C ．(1,0)D ．【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）30．将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）A ．6B ．5C ．3D ．1【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）31．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x 轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为()5,5A ，在一段时间内，叶片每秒绕原点O 顺时针转动90°，则第2024秒时，点A 的对应点2024A 的坐标为（ ）A ．()5,5B ．()5,5-C ．()5,5--D ．()5,5-【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）32．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，顶点C ，D 在第一象限，已知1OA OB ==，BC =将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C 的坐标是（ ）A ．()3,2B ．(−2,3)C ．()3,2--D ．(−3,2)【题型9 由旋转的性质求最值】【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）33．如图，正方形ABCD 的边长为4，30BCM Ð=°，点E 是直线CM 上一个动点，连接BE ，线段BE 绕点B 顺时针旋转45°得到BF ，则线段DF 长度的最小值等于（ ）A ．4-B ．2-C ．D ．【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）34．如图，线段4AC =，点B 为平面上一动点，且90ABC Ð=°，将线段AB 的中点M 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AN ，连接CN ，则线段CN 的最大值为 ．【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）35．如图，直角ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，4BC =，点E 是边AC 上一点，将BE 绕点B 顺时针旋转60°到点F ，则CF 长的最小值是 ．【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）36．已知在矩形ABCD 中，9AD =，12AB =，O 为矩形的中心，在等腰Rt V AEF 中，90EAF Ð=°，AE AF 6==．则EF 边上的高为 ；将AEF △绕点A 按顺时针方向旋转一周，连接CE ，取CE 中点M ，连接FM ，则FM 的最大值为 ．【题型10 图形的动态旋转】【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）37．将一个三角板如图所示摆放，直线MN 与直线GH 相交于点P ，45MPH Ð=°，现将三角板ABC 绕点A 以每秒3°的速度顺时针旋转，设时间为t 秒，且0150t ££，当t = 时，MN 与三角板的直角边平行．【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）38．新定义：已知射线OP 、OQ 为AOB Ð内部的两条射线，如果12POQ AOB Ð=Ð，那么把POQ Ð叫作AOB Ð的幸运角．已知40AOB Ð=°，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒5°的速度顺时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC 旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时，t = 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）39．如图，点 D 是等边ABC V 边BC 上一点，且 20BAD Ð=°．将ABD △绕点A 顺时针旋转α（0a ¹）得到AB D ¢¢V ，其中点B ，D 的对应点分别为B D ¢¢，．当直线B D ¢¢经过ABC V 的顶点时，CDD ¢Ð的度数为 ．【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）40．如图，在平行四边形ABCD 中，5cm,2cm,120AB BC BCD ==Ð=°，点P 从A 点出发，沿射线AB 以1cm /s 的速度运动，连接CP ，将CP 绕点C 逆时针旋转60°，得到CQ ，连接BQ ．当t = 时，BPQ V 是直角三角形．1．C【分析】根据旋转的定义进行判断即可．【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：②传送带的移动，是平移，故不符合要求；③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；④风车的转动，是旋转，故符合要求；⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．B【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．【详解】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意；图（1）先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意；图（1）绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2），故④符合题意；图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．3．B【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．【详解】解：由题意可得：若要太阳光板于太阳光垂直，则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，故选：B．【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．4．B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮B 以顺时针方向旋转，齿轮C 以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E 以逆时针方向旋转，故选B ．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．5．A【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．由于A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，得到BO BO ¢=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，则BOO ¢V 和BPP ¢V 都是等边三角形，得到60BOO BO O ¢¢Ð=Ð=°，OO OB ¢=，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，再进行判断即可．【详解】解：连PP ¢，如图，Q A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，BO BO ¢\=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，BOO ¢\V 和BPP ¢V 都是等边三角形，所以①正确；,OO OB O B BP BP PP ¢¢¢¢\====，A O O O AO BO ¢¢¢\+=+，所以②正确；+=¢¢+¢A P P P PA PB ，所以③正确；60BOO BO O ¢¢\Ð=Ð=°，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，180A O O O OC ¢¢¢\Ð=Ð=°，\A ¢，O ¢，O ，C 在一条直线上，又CP PP P A CA CO OO O A ¢¢¢¢¢¢¢++>=++Q ，\++>++PA PB PC AO BO CO ，所以④错误．故选：A6．B【分析】延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，先求出60BAC Ð=°，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，则BAM EAN Ð=Ð，证明()SAS BAM EAN △≌△，得到30AEN ABM ==°∠∠，则点N 在直线EN 运动，故当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，证明ACF △是等边三角形，得到AF AC =，则2AB AF =，即直线CN 平分AB ．【详解】解：如图所示，延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，∵Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，∴18060BAC ACB ABC =°--=°∠∠∠，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，∴BAC MAN Ð=Ð，∴BAM EAN Ð=Ð，∴()SAS BAM EAN △≌△，∴30AEN ABM ==°∠∠，∴点N 在直线EN 运动，∵垂线段最短，∴当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN ^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，∴903060ACF HCE ==°-°=°∠∠，∴ACF △是等边三角形，∴AF AC =，∵2AB AC =，∴2AB AF =，∴此时直线CN 平分AB ，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N 的运动轨迹是解题的关键．7．C【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．【详解】解：∵旋转，∴AC DC =，但是旋转角不一定是60°，∴ACD V 不一定是等边三角形，∴AC AD =不一定成立，即①不一定正确；∵旋转，∴BC EC =，故③正确；∵旋转，∴ACD BCE Ð=Ð，∵等腰三角形ACD 和等腰三角形BCE 的顶角相等，∴它们的底角也相等，即A EBC Ð=Ð，故④正确；∵90A ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴90EBC ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴AB EB ^不一定成立，即②不一定正确．故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．8．C【分析】由题意可得∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°，BD ＝BE ，∠DBE ＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠AEB ＝∠BDC∵将△BCD 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°，∠EAB ＝∠ACB ＝60°∴∠EAB ＝∠ABC ＝60°，△BED 是等边三角形∵△BED 是等边三角形∴∠DEB ＝60°故①②正确∵∠AEB ＝∠BDC ，∠AEB ＝∠AED ＋∠BED ，∠BDC ＝∠BAC ＋∠ABD∴∠AED ＝∠ABD故④正确∵∠BDC ＞60°，∠ADE ＜60°∴∠BDC≠∠ADE故③错误．故答案选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED 是等边三角形是本题的关键．9．D【分析】过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示，由旋转性质得到BC BC ¢=，从而得到BCC ¢V 是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定BE 是线段CC ¢的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到()AAS CC D BEC ¢V V ≌，进而由全等性质得到2CE C D ¢==，在Rt CC D ¢△中，由勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示：Q 将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，BC BC ¢\=，由等腰三角形三线合一性质可得BE 是线段CC ¢的垂直平分线，则190,2BC E C E CE CC ¢¢¢Ð=°==，在正方形ABCD 中，BC CD =，90BCD BCE DCE Ð=°=Ð+Ð，CD BC ¢\=，Q 90CC D ¢Ð=°，90CDC DCE ¢\Ð+Ð=°，BCE CDC ¢\Ð=Ð，在CC D ¢△和BEC V 中，90BCE CDC BEC CC D BC CD ¢¢Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î()AAS CC D BEC \¢V V ≌，\2CE C D ¢==，则24CC CE ¢==，在Rt CC D ¢△中，90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，4CC ¢=，则由勾股定理可得CD ==，BC CD ¢\==，故选：D ．【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．10．【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转角15CAC ¢Ð=°，等腰直角ABC V 的一锐角45CAB Ð=°，可求C AD ¢Ð，旋转前后对应边相等，对应角相等，6AC AC cm ==¢，90C C ¢Ð=Ð=°，根据勾股定理求得C D ¢，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转性质得15CAC ¢Ð=°，而45CAB Ð=°，∴30C AD CAB CAC ¢¢Ð=Ð-Ð=°，又∵690AC AC cm C C ¢¢==Ð=Ð=°，，∴2AD C D ¢=，由勾股定理得，222AD C D AC ¢¢-=，即22246C D C D ¢¢-=，∴C D ¢=，∴阴影部分的面积2162=´´=．故答案为：11．C【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．【详解】解：2,60,AD A B DAB ==Ð=¢¢°Q 30,DAO B A O \Ð=Ð=¢°¢1,OD OB AO A O ==¢\=¢=1,AB AO B O ¢¢\=-=30,60DAC A B C Ð=°Ð¢=¢°Q 30,DAC AFB \¢Ð=Ð=°,AB B F FD A D \==¢=¢¢1,B F FD \=-¢根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，\旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是1)．故选：C ．12．【分析】过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，根据题意得到,AF EF AC CE ==，易证CAF CEF Ð=Ð，由等腰三角形的性质推出CBE CEB Ð=Ð，推出CAF CBE Ð=Ð，证明()AAS AFC BHC V V ≌，得到,CF CH AF BH ==，进而证明CHF V 是等腰直角三角形，即可证明AMF V 是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出FH AF ====BF 的长．【详解】解：如图，过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，Q 点E 与点A 关于线段CA ¢所在直线对称，\,AF EF AC CE ==，,CAE CEA FAE FEA \Ð=ÐÐ=Ð，\CAF CEF Ð=Ð，,BC AC AC CE ==Q ，CE BC \=，\CBE CEB Ð=Ð，\CAF CBE Ð=Ð，90ACF ACH BCH ACH Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，ACF BCH \Ð=Ð，\()AAS AFC BHC V V ≌，\,CF CH AF BH ==，\CHF V 是等腰直角三角形，45CFH CHF \Ð=Ð=°，180135BHC AFC CHF \Ð=Ð=°-Ð=°，45AFM \Ð=°\AMF V 是等腰直角三角形，MF AM\=Q 1CF =，3FM =，\FH AF ======\BF BH FH AF FH =+=+=故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．13．（1）AB BE DB =+，（2）不成立，见解析；（3）8【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可得证；（2）由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可证明；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由旋转的性质得CB CE =，B E Ð=Ð，证得()CFB CPE SAS V V ≌，可得CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，从而可证FCP V 是等边三角形，可得CF FP =，即可求解．【详解】解：（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，∵=ACD DCB a Ð+Ð，=DCB BCE a Ð+Ð，∴ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AB AD DB =+，∴AB BE DB =+，故答案为：AB BE DB =+；（2）不成立，理由如下：由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，∴ACB BCD BCD DCE Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AD AB BD =+，∴=BE AB DB +；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由题意得，CB CE =，CBF CEP Ð=Ð，∴()CFB CPE SAS V V ≌，∴CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，由题意得，60BCE Ð=°，∴60FCP FCB BCP PCE BCP BCE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴FCP V 是等边三角形，∴CF FP =，∴3418DE DF FP PE DF CF FB =++=++=++=，即线段DE 的长为8．14．(1)D BA DBC ¢Ð=Ð，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得60DBD ¢Ð=°，BD BD ¢=，则可判断BDD ¢△为等边三角形，再利用ABC V 为等边三角形得到60ABC Ð=°，则可得到D BA DBC ¢Ð=Ð；（2）通过证明ABD CBD ¢≌V V 得到D A DC ¢=；（3）根据旋转的性质得60DCD ¢¢Ð=°，DC D C ¢¢=，则可判断DCD ¢¢△为等边三角形，于是得到DD DC ¢¢=，再与（2）的证明方法一样证明ACD BCD ¢¢≌V V 得到AD BD ¢¢=，于是AD DD ¢¢¢=，加上D A DC DD ¢¢¢==，从而可判断四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【详解】（1）解：D BA DBC ¢Ð=Ð，理由如下：Q 以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，60DBD ¢\Ð=°，BD BD ¢=，BDD ¢\△为等边三角形，BD DD ¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC =，60DBD ABD D BA ¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ABC ABD DBC Ð=Ð+Ð=°，D BA DBC ¢\Ð=Ð；（2）证明：在ABD ¢△和CBD △中，BA BC D BA DBC BD BD =ìïÐ=¢¢=Ðíïî，()SAS ABD CBD ¢\≌V V ，D A DC ¢\=；（3）证明：Q 以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，60DCD ¢¢\Ð=°，DC D C ¢¢=，DCD ¢¢\△为等边三角形，DD DC ¢¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ACB Ð=°∴，CA CB =，60DCD ACD D CA ¢¢¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ACB ACD DCB Ð=Ð+Ð=°，D CA DCB ¢¢\Ð=Ð，在ACD ¢¢△和BCD △中，CA CB D CA DCB D C DC =ìïÐ=Ðíï=¢¢¢î¢，()SAS ACD BCD ¢¢\≌V V ，AD BD ¢¢\=，由（1）可知：BD DD ¢=AD DD ¢¢¢\=，由（2）可知：D A DC ¢=，又DD DC ¢¢=Q ，D A DD ¢¢¢\=，\四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．(1)见解析(2)8【分析】（1）根据旋转的性质得到60DCE CE CD Ð=°=，，利用等边三角形的性质得到60ACB AC BC Ð=°=，．则ACB DCE Ð=Ð，即可得到结论；（2）证明()SAS ACE BCD ≌△△．则AE BD =．证明CDE V 是等边三角形．进一步得到90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V 中，由勾股定理即可得到DE 的长．【详解】（1）证明：由旋转的性质，知60DCE CE CD Ð=°=，．∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB AC BC Ð=°=，．∴ACB DCE Ð=Ð．∴ACB ACD DCE ACD Ð+Ð=Ð+Ð，即BCD ACE Ð=Ð．（2）解：在ACE △和BCD △中，AC BC ACE BCD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，，，∴()SAS ACE BCD ≌△△．∴10AE BD ==．∵60DCE CD CE Ð=°=，，∴CDE V 是等边三角形．∴60CDE Ð=°．∵30ADC Ð=°，∴90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V中，8DE ==【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．16．(1)1802a°-(2)2AE BE CF =+，理由见解析(3)2【分析】（1）根据旋转的性质及三角形的内角和定理即可解答；（2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可解答；（3）根据旋转的性质及等边三角形的性质得到1DH EH ==，再利用勾股定理及全等三角形的性质即可解答．【详解】（1）解：如图1中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，DCE a Ð=，∴CD CE =，∴1802CDE a °-Ð=．故答案为：1802a °-．（2）解：2AE BE CF =+．理由如下：如图2中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角90°得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，∴AD BE =，CD CE =，90DCE Ð=°，∴CDE V 是等腰直角三角形，∵CF DE ^，∴2DF EF CF ==，∵AE AD DF EF =++，∴2AE BE CF =+．（3）解：如图3中，过点C 作CH DE ^于点H ．∵60a =°，∴ACB △，DCE △都是等边三角形，∴60CED Ð=°，∵60AEC Ð=°，∴60AEC CED Ð=Ð=°，∴A ，D ，E 共线，∵CH DE ^，2CD =，CD DE CE ==，∴1DH EH ==，∴CH ===∵CA =∴3AH ===，∴312AD AH DH =-=-=，∵ACD BCE △△≌，∴2BE AD ==．故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．17．(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)图见解析【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．（1）根据平移的方向和距离，即可得到ABC V 向下平移5个单位后的图形111A B C △；（2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像；（3）分别找出A C 、对应点，连接即可；（4）找出A 关于直线l 的对称点，连接A B ¢，交直线l 于点P ，此时PA PA ¢=，则PA PB A B ¢+=，使ABP V 的周长最小．【详解】（1）解：111A B C V 即为所求（2）解：222A B C V 即为所求。
人教版数学九年级上册 第23章旋转 巩固练习题含答案)
23.1图形的旋转一．选择题1．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30o后得到△A1BC1，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．122．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转30°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OF A 的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的D′处，那么AD′为（）A．6B．3C．18D．34．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上的一点，连接BD，把△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接DE，若BC＝7，BD＝5，则△ADE的周长是（）A．16B．15C．13D．126．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S＝6+3．其四边形AOBO′中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD 上，连接BE，BG交CE于点H．连接FH．若FH平分∠EFG，则下列结论：①AE+CH＝EH：②∠DEC＝2∠ABE：③BH＝HG；④CH＝2AB．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，若点C的对应点D落在AB边上，则旋转角为（）A．140°B．80°C．70°D．40°9．如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB＝21°，则∠AOB′的度数是（）A．21°B．24°C．45°D．66°10．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为9，BF＝1，则AE的长为（）A．3B．4C．D．二．填空题11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则线段BD的长为．12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AC＝4，则CD＝．13．如图，正方形ABCD的边长为1，把这个正方形绕点A旋转，得到正方形AB'C′D'；且点C′在直线AD上，那么△C′D′D的面积是．14．小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转的度数不超过180°）．若二块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是．15．将菱形ABCD以点E为中心，按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成如图所示的图形，若∠BCD＝120°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为．三．解答题16．如图，△ABC中，∠B＝16°，∠ACB＝24°，AB＝6cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．17．如图所示，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：△AFC≌△AEB．（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD．（Ⅰ）∠ABD+∠ACD＝；（Ⅱ）∠BAD＝；（Ⅲ）若AB＝3，AC＝2，求AD的长．19．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ADE绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜100°），得到△AD′E′（如图2），连接D′B，E′C．（1）探究D′B与E′C的数量关系，并给予证明；（2）在旋转过程中，设D′E′与AC交于点P，当△AD′P是等腰三角形时，请直接出旋转角α的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B ＝AB ＝6，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA ＝30°，∴S △A 1BA ＝×6×3＝9，又∵S 阴影＝S △A 1BA +S △A 1BC 1﹣S △ABC ，S △A 1BC 1＝S △ABC ，∴S 阴影＝S △A 1BA ＝9．故选：C ．2．【解答】解：根据旋转的定义可知∠AOD ＝30°，OA ＝OF ，所以∠AOF ＝30°+90°＝120°．所以∠OF A ＝（180°﹣120°）÷2＝30°．故选：C ．3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝3，∠C＝90°，∴BD＝＝＝3，在Rt△ABD′中，BD′＝BD＝3，AB＝3，∠ABD′＝90°，∴AD′＝＝＝3，故选：B．4．【解答】解：如图，∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝70°，∵将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴AD＝AC，∠DAC＝∠EAB，∴∠ADC＝∠DCA＝70°∴∠DAC＝∠EAB＝40°故选：B．5．【解答】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝5，而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴AE＝CD，∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+5＝5+7＝12．故选：D．6．【解答】解：如图，由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图，连接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；S 四边形AOBO ′＝S △AOO ′+S △OBO ′═×3×4+×42＝6+4，故选：C ．7．【解答】解：如图，作BM ⊥EC 于M ．∵CB ＝CE ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠MEB ，∵∠A ＝∠BME ＝90°，BE ＝BE ，∴△BEA ≌△BEM （AAS ），∴AE＝EM，AB＝BM．∵∠BMH＝∠GCH＝90°，∠BHM＝∠GHC，BM＝AB＝CG，∴△BMH≌△GCH（AAS），∴MH＝CH，BH＝HG，∴EH＝EM+MH＝AE+CH，故①③正确，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴2∠AEB+2∠ABE＝180°，∵∠DEC+∠AEC＝180°，∠AEC＝2∠AEB，∴∠DEC+2∠AEB＝180°，∴∠DEC＝2∠ABE，故②正确，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH＝45°，∵∠FEH＝90°，∴AB＝EF＝EH，∵EH＞HM＝CH，∴CH＜AB，故④错误．故选：C．8．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，点C的对应点D落在AB边上，∴旋转角＝∠ABC＝70°，故选：C ．9．【解答】解：∵将三角形AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到三角形A 'OB '， ∴∠AOB ＝∠A 'OB '＝21°，∠A 'OA ＝45°∴∠AOB '＝∠A 'OA ﹣∠A 'OB '＝24°故选：B ．10．【解答】解：∵把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置∴BF ＝DE ＝1，S △AFB ＝S △ADE ，∴S 正方形ABCD ＝S 四边形AECF ＝9∴AD ＝3∴AE ＝＝故选：D ．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：由旋转的性质可知：BC ＝DE ＝1，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°， 在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，∠ACB ＝90°，由勾股定理得：AB ＝AD ＝＝＝，在Rt △ADB 中，BD ＝＝＝2，即：BD 的长为2，故答案为：2． 12．【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，∴AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝CD＝4，故答案为：4．13．【解答】解：如图，过点D'作D'E⊥AD，∵把这个正方形绕点A旋转，得到正方形AB'C′D'；∴AD'＝AD＝CD＝C'D'＝1∴AC'＝＝∴D'E＝＝×（﹣1）×＝当点C'在AD延长线上时，S△C'D'D＝×（+1）×＝当点C'在DA延长线上时，S△C'D'D故答案为：或14．【解答】解：设旋转的度数为α，若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，∴α＝90°，当点C，点B，点E共线时，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴AC∥DE，∴α＝180°﹣45°＝135°，故答案为：15°或45°或90°或135°．15．【解答】解：连接BD ，AC 交于点O ，BE ，DE∵四边形ABCD 是菱形，∠BCD ＝120°∴BO ＝DO ，AO ＝CO ，AC ⊥BD ，∠CAD ＝∠BCD ＝60°，且AB ＝AD ＝2 ∴AO ＝CO ＝1，DO ＝BO ＝AO ＝∴BD ＝2 ∵将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形 ∴∠BED ＝90°，BE ＝DE∴BE ＝DE ＝∵S 四边形DABE ＝S △DBE ﹣S △ABD∴S 四边形DABE ＝﹣×1＝3﹣ ∴S 阴影部分＝4（3﹣）＝12﹣4故答案为：12﹣4三．解答题（共4小题）16．【解答】①∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，∴旋转中心是点A，根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°，∴旋转角度是140°；②由旋转可知：△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，∴∠BAE＝360°﹣140°×2＝80°，∵C为AD中点，∴AC＝AE＝AB＝×6＝3（cm）．17．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝1，∠EAF＝∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠F AB＝∠EAF+∠F AB，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝＝＝，∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．18．【解答】解：（Ⅰ）因为四边形内角和360°，所以∠BAD+∠BDC+∠ABD+∠ACD＝360°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°．故答案为180°；（Ⅱ）将△ACD绕点D逆时针旋转60°，得到△BED（如图所示），∵DC＝BD，∠BDC＝60°，∴旋转后的三角形DC与BD重合．又∠ABD+∠ACD＝180°，所以∠ABD+∠EBD＝180°，∴A、B、E三点共线．所以△ADE是等边三角形，∴∠BAD＝60°．故答案为60°；（Ⅲ）根据（Ⅱ）可知BE＝AC＝2，则AE＝AB+BE＝3+2＝5．所以AD＝5．故答案为180°，60°．19．【解答】解：（1）D′B＝E′C，证明：如图2，∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝AE，∵∠BAC＝∠D′AE′＝100°，∴∠BAD′＝∠CAE′＝100°﹣∠D′AC，在△BAD′和△CAE′中，，∴△BAD′≌△CAE′（SAS），∴D′B＝E′C；（2）解：①当AP＝D′P时，∵∠AD′P＝40°，∴∠D′AP＝∠AD′P＝40°，∴α＝100°﹣40°＝60°；②当AD′＝AP时，此时P和E重合，即α＝0°；③当AD′＝D′P时，∵∠AD′P＝40°，∴∠D′AP＝∠D′P A＝（180°﹣∠AD′P）＝×（180°﹣40°）＝70°，∴α＝100°﹣70°＝30°；综上所述，旋转角α的度数为60°或30°人教版九年级数学23.2 中心对称一、选择题1. 如图，如果甲、乙两图关于点O对称，那么乙图中不符合题意的一块是()2. 2018·达州下列图形中是中心对称图形的是()3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C对称，连接AE，BF，当∠ACB＝______时，四边形ABFE为矩形()A．90°B．60°C．45°D．30°4. 在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．55. 2019·长春德惠期末如图，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，下列结论中不一定成立的是()A．∠ABC＝∠A′C′B′ B．OA＝OA′C．BC＝B′C′ D．OC＝OC′6. 2019·襄阳期末如图，在正方形网格中，格点三角形ABC绕某点顺时针旋转α度(0＜α＜180)，得到格点三角形A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α的值为()A．50 B．60 C．90 D．1207. 把△ABC各点的横坐标都乘－1，纵坐标都乘－1，符合上述要求的图是()8. 2020·河北模拟如图所示，A1(1，3)，A2(32，32)，A3(2，3)，A4(3，0)．作折线OA1A2A3A4关于点A4中心对称的图形，得折线A8A7A6A5A4，再作折线A8A7A6A5A4关于点A8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．当t＝2020时，点P的坐标为()A．(1010，3) B．(2020，3 2)C．(2016，0) D．(1010，3 2)二、填空题9. 王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称．如果王老师家距学校2千米，那么他们两家相距________千米．10. 点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为__________．11. 如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E对称，则对称中心点E的坐标是__________.12. 如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝2.若以AC的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，则BB′＝________．13. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A 的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．14. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为________．15. 2019·呼和浩特已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若点A的坐标为(2，3)，则点B与点D的坐标分别为()A．(－2，3)，(2，－3)B．(－3，2)，(3，－2)C．(－3，2)，(2，－3)D．(－72，212)，(72，－212)16. 如图，在平面直角坐标系中，对点P(1，0)作如下变换：先向上平移(后一次平移比前一次多1个单位长度)，再作关于原点的对称点，即向上平移1个单位长度得到点P1，作点P1关于原点的对称点P2，向上平移2个单位长度得到点P3，作点P3关于原点的对称点P4……那么点P2020的坐标为____________．三、作图题17. 如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出△ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：(1)图①中所画的三角形与△ABC组成的图形是轴对称图形；(2)图②中所画的三角形与△ABC组成的图形是中心对称图形；(3)图③中所画的三角形与△ABC的面积相等，但不全等．四、解答题18. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.(1)试判断△BEC是不是等腰三角形，并说明理由；(2)在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形？请说明理由．19. 2018·眉山在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(－4，－2)，请直接写出直线l 的函数解析式．人教版九年级数学23.2 中心对称课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] .2. 【答案】B3. 【答案】B[解析] ∵△ABC与△FEC关于点C对称，∴AC＝FC，BC＝EC，∴四边形ABFE是平行四边形．当AC＝BC时，四边形ABFE是矩形，∴BC＝AC＝AB，∴∠ACB＝60°.故选B.4. 【答案】B[解析] 线段、矩形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B.5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】4[解析] ∵王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称，∴王老师、杨老师两家到学校的距离相等．∵王老师家距学校2千米，∴他们两家相距4千米．故答案为4.10. 【答案】(－1，－2)11. 【答案】(3，－1)[解析] 连接各组对应点，其交点坐标即为对称中心点E的坐标．12. 【答案】2 5[解析] ∵△ABC绕AC的中点O旋转了180°，∴OB＝OB′，∴BB′＝2OB.又∵OC＝OA＝12AC＝1，BC＝2，∴在Rt△OBC中，OB＝OC2＋BC2＝12＋22＝5，∴BB′＝2OB＝2 5.13. 【答案】6[解析] 如图，过点A′作A′B′⊥a，垂足为B′，由题意可知，①与②关于点O中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A′B′OD的面积．又A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.14. 【答案】(0，1)15. 【答案】B16. 【答案】(1，－505)[解析] 根据题意可列出下面的表格：观察表格可知：这些点平均分布在四个象限中，序号除以4余1的点在第一象限，横坐标都是1，纵坐标为序号减1除以4的商加1；序号除以4余2的点是序号除以4余1的点关于原点的对称点；序号能被4整除的点在第四象限，横坐标为1，纵坐标为序号除以4的商的相反数；序号除以4余3的点在第二象限，是序号能被4整除的点关于原点的对称点．因为2020÷4＝505，所以点P2020在第四象限，坐标为(1，－505)．三、作图题17. 【答案】解：(1)答案不唯一，如图①～②.(2)如图③.(3)答案不唯一，如图④～⑥.四、解答题18. 【答案】解：(1)△BEC是等腰三角形．理由：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE.∵EC平分∠BED，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴△BEC是等腰三角形．(2)连接BO并延长至点F，使OF＝OB，连接FE，FC，△FCE即为所求．四边形BCFE是菱形．理由：∵OB＝OF，OE＝OC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BC＝BE，∴▱BCFE是菱形．19. 【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，C1(－1，2)．(2)如图，△A2B2C2为所作，C2(－3，－2)．(3)因为点A的坐标为(2，4)，点A3的坐标为(－4，－2)，所以直线l的函数解析式为y＝－x.23.3课时学习图案设计一．选择题1．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列是国内几所知名大学的图标，若不考虑图标上的文字、字母和数字，其中既可以通过翻折变换，又可以通过旋转变换得到的图形是（）A．清华大学B．浙江大学C．北京大学D．中南大学3．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法：a．对应线段平行，b．对应线段相等，c．图形的形状和大小都没有发生变化，d．对应角相等，其中正确的是（）A．a．b．c．B．b．c．d．C．a．b．d．D．a．c．d．4．如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个5．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7 个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（）A．4 种B．3 种C．2 种D．1 种6．“飞流直下三千尺”、“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是（）A．平移、对称B．对称、旋转C．平移、旋转D．旋转、对称7．将如图所示“你最棒”的微信图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．8．如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A．1B．2C．3D．49．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13B．14C．15D．16二．填空题11．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有种．12．图中能通过基本图形旋转得到的有（请填写序号）13．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要在其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色的小方格图案成轴对称图形，这样的白色小方格有个，请在图中设计出一种方案．14．如图，这个图形是由“基本图案”ABCDE绕着点顺时针依次旋转次得到的，则每次旋转的角度为．15．如图，在网格图中，平移图A，使它与图B拼合成一个长方形，应将图A向（填“左”或“右”）平移格；再向（填“上”或“下”）平移格．三．解答题16．如图，△ABC的三个顶点在网格上（1）画出三角形关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）直接写出点A1的坐标为．17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点AB的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并直接写出这时点A2的坐标．18．如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC在方格纸中的位置如图所示．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣4），并写出C点坐标；（2）在图中作出△ABC绕坐标原点旋转180°后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：（3）在图中作出△ABC绕坐标原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．19．阅读下列材料，完成相应学习任务旋转对称把正n边形绕着它的中心旋转°的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有°的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形．任务：（1）如图2，正六边形关于其中心O有的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有的旋转对称；（2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转与原图形重合；（3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图所示：，共3个，故选：C．2．【解答】解：A、是既可以通过翻折变换，又可以通过旋转变换得到的图形，正确；B、可以通过翻折变换，但不可以通过旋转变换得到的图形，错误；C、可以通过翻折变换，但不可以通过旋转变换得到的图形，错误；D、不可以通过翻折变换，但可以通过旋转变换得到的图形，错误；故选：A．3．【解答】解：a、经过旋转变换对应线段不一定平行，b、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，对应线段相等，c、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，图形的形状和大小都没有发生变化，d、无论经过平移变换，还是经过旋转变换，对应角相等，综上所述，说法正确的是b、c、d．故选：B．4．【解答】解：如图所示，这样的格点C在图中共有10个，故选：D．5．【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形．故选：B．6．【解答】解：根据平移和旋转定义可知：“飞流直下三千尺”是平移；“坐地日行八万里”是旋转．故选：C．7．【解答】解：将如图所示“你最棒”的微信图案通过平移后可以得到的图案是，故选：C．8．【解答】解：图形①可以分别旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形②可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形③可以旋转180°得到，不可以经过轴对称得到，故此选项错误；图形④可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有3个．故选：C．9．【解答】解：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选：B．10．【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF＝3，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN＝20，∴20÷3＝，（不是整数）∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3＝15格，向上移动了10÷2×3＝15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是10+4＝14次，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，有三种方案，故答案为3．12．【解答】解：四幅图中，能通过基本图形旋转得到的有：（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．13．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故答案为：4．14．【解答】解：根据旋转的性质，可知：在点D处有6个角，故360°÷6＝60°，所以它的旋转角为60°．即这个图形是由“基本图案”ABCDE绕着点D顺时针依次旋转5次得到的，则每次旋转的角度为60°．故答案为：D、5、60°．15．【解答】解：∵A图形在B图形的左边可知应先向右平移图形A，点C距点D4个格，∴应先向右平移4个格，此时点C与点D重合，∵点D距点E2个格，∴向上平移2格．故答案为：右，4，上，2．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点A1的坐标为（1，﹣3）．故答案为（1，﹣3）．17．【解答】解：如图所示：A2（﹣2，3）；．18．【解答】解：（1）坐标系如图所示，C（3，﹣3）；（2）△A1B1C1如图所示，A1（﹣2，1），B1（﹣1，4），C1（﹣3，3）；（3）△A2B2C2如图所示，A（﹣1，﹣2），B（﹣4，﹣1），C2（﹣3，﹣3）．19．【解答】解：（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称；故答案为：60°；180°；（2）∵360°÷5＝72°。
九年级数学上册第二十三章旋转必练题总结(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转必练题总结单选题1、如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（）A．AD//EF,AB//GF B．BO=GOC．CD=HE,BC=GH D．DO=HO答案：D分析：中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．A．∵AD与EF关于点O成中心对称，∴AD//EF，同理可得AB//GF，正确；B．∵点B与点G关于点O成中心对称，∴BO=GO，正确；C．∵CD与HE关于点O成中心对称，∴CD=HE，同理可得BC=GH，正确；D．∵点D与点E关于点O成中心对称，∴DO=EO，∴DO=HO错误，故选：D．小提示：本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2、一元二次方程x2−2x−1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案：B分析：根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等实数根；当Δ= b2−4ac>0时，方程有两个不相等实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程无实数根；该一元二次方程Δ=4+ 4=8>0，即有两个不相等实数根，可得答案B．解：∵一元二次方程x2−2x−1=0，∴判别式Δ=b2−4ac=4+4=8>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B小提示：此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．3、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴A中的图象不是中心对称图形，∴选项A不正确；∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴选项B正确；∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，∴选项C不正确；∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴D中的图形不是中心对称图形，∴选项D不正确；故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．4、把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°答案：C分析：根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．解：∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C．小提示：本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5、在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A．(−1.6,−1)B．(−1,−1.6)C．(1.6,1)D．(1,−1.6)答案：C分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．小提示：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．6、如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C= 90°，则∠BAC′为（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B分析：根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC的度数，由旋转可知∠BAC=∠B′AC′，在根据平角的定义求出∠BAC′的度数即可．∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°，∵由旋转可知∠BAC=∠B′AC′=60°，∴∠BAC′=180°−∠BAC−∠B′AC′=180°−60°−60°=60°，故答案选：B．小提示：本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．7、如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，连接CC '，DC '，若∠CC 'D = 90°，BC '=2√5，则线段C 'D 的长度为（ ）A ．√5B ．2C ．4D ．2√153 答案：B分析：过点B 作BE ⊥CC '于点E ，根据正方形的性质可得△BCE ≌△CDC '，从而得到CE =C 'D ，BE =C C '，再由将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，可得CE =C 'E =C 'D =12CC '=12BE ，然后根据勾股定理，即可求解．解：如图，过点B 作BE ⊥CC '于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠BCE +∠C 'CD =90°，∵∠BCE +∠CBE =90°，∴∠C 'CD =∠CBE ，又∵∠BEC =∠CC 'D =90°，∴△BCE ≌△CDC '（AAS ），∴CE =C 'D ，BE =C C '，∵将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，∴BC =BC '，又∵BE ⊥CC '，∴CE =C 'E =C 'D =12CC '=12BE ，∵BC '=2√5，∴CE 2+BE 2=CE 2+(2CE )2=BC 2=(2√5)2，解得：CE =2，∴线段C 'D 的长度为2．故选：B小提示：本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8、如图，在正方形ABCD 中，AB =4，E 为AB 边上一点，点F 在BC 边上，且BF =1，将点E 绕着点F 顺时针旋转90°得到点G ，连接DG ，则DG 的长的最小值为（ ）A ．2B ．2√2C ．3D ．√10答案：C分析：过点G 作GP ⊥BC 于点P ，延长PG 交AD 于点H ，设BE =PF =x ，只要证得ΔBEF ≌ΔPFG (AAS )，利用全等三角形的性质可得BE =PF ，PG =BF =1，进而得到PC =DH =4−1−x =3−x ，在RtΔDGH 中，利用勾股定理即可求解．解：过点G 作GP ⊥BC 于点P ，延长PG 交AD 于点H ，则∠GPF =90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠C=∠B=90°，∴四边形CDHP是矩形，∴CD=PH=AB=4，PC=DH，∵∠EFG=90°，∴∠BFE+∠PFG=90°，又∠BFE+∠BEF=90°，∴∠PFG=∠BEF，∵FE=FG，∠B=∠GPF=90°，∴ΔBEF≌ΔPFG(AAS)，∴BE=PF，PG=BF=1，∴GH=PH−PG=4−1=3，设BE=PF=x，则PC=DH=4−1−x=3−x，在RtΔDGH中，由勾股定理得，DG2=DH2+GH2=(3−x)2+32=(3−x)2+9，当x=3时，DG2有最小值为9，∴DG的最小值为3，故选：C小提示：本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键．9、如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（）A．75°B．60°C．45°D．15°答案：B分析：根据题意可知旋转角为∠BAC，根据等边三角形的性质即可求解．解：∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，△ABC是等边三角形，∴旋转角为∠BAC=60°，故选B小提示：本题考查了等边三角形的性质，找旋转角，找到旋转前后对应的线段所产生的夹角即为旋转是解题的关键．10、如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（）A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG答案：A分析：根据四边形ABCD为正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根据四边形CEFG为正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再证∠BCG=∠DCE，△BCG与△DCE具有可旋转的特征即可解：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∵四边形CEFG为正方形，∴GC=EC，∠GCE=90°，∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCE，∴BG=DE，故选项A．小提示：本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键．填空题11、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB=10，AB=12，则AC的长为______．答案：6√10分析：根据垂径定理求出AE=BE=6，根据勾股定理求出OE，求出CE，再根据勾股定理求出AC即可．解：设AB和CD交于E，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=12，∴AE=BE=6，∠OEB=∠CEA=90°，由勾股定理得：OE=√OB2−BE2=√102−62=8，∴CE=OC+OE=10+8=18，由勾股定理得：AC=√CE2+AE2=√182+62=6√10，所以答案是：6√10．小提示：本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．12、如图，△ABC中，AB=√5，AC=2，∠BAC=30°．将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE=______．答案：3分析：根据旋转的性质得出∠CAE=60°，AC=AE=2，求出∠BAE=90°，根据勾股定理求出即可．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，AB=√5，AC=2，∴∠CAE=60°,AC=AE=2，∵∠BAC=30°，∴∠BAE=30°+60°=90°，在Rt△BAE中，由勾股定理得：BE=√AB2+AE2=√(√5)2+22=3,所以答案是：3．小提示：本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AE的长度和求出∠BAE的度数是解此题的关键．13、一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．答案：72分析：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．所以答案是：72小提示：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．14、以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、⋯、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，则点C的坐标表示为_______．答案：(3,240°)分析：根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，根据点的特征，所以点C的坐标表示为(3,240°)；所以答案是：(3,240°)．小提示：本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C的坐标分别为(2,0)，(0,−4)，将矩形ABCO绕点B 顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为A′,C′,O′．当点O′落在x轴的正半轴上时，点O′的坐标为________．答案：(4,0)分析：连接OB，O′B，证明Rt△AOB≌Rt△AO′B，可得OA=O′A=2，即可求解．解：如图，连接OB，O′B，由题意得OA=BC=2，OC=AB=4，由旋转可知OB=O′B，在Rt△AOB和Rt△AO′B中，{OB=O ′BAB=AB∴Rt△AOB≌Rt△AO′B（HL），∴OA=O′A=2，∴O′坐标为（4,0），所以答案是：（4,0）．小提示：本题考查了矩形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关是证明Rt△AOB≌Rt△AO′B．解答题16、在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．答案：(1)①见解析；②CD2+AD2=ED2，证明见解析(2)位置关系：CE⊥BF，数量关系：CE=2BF，证明见解析分析：（1）①根据题意作图即可；②连接AE，证明△ABE≌△CBD，可得∠EAB=∠DCB，AE=DC，进而证明△AED是直角三角形，从而得到AE2+AD2=ED2，根据AE=DC，即可证明CD2+AD2=ED2；（2）如图，连接AE，过点B作BG⊥AC分别交AC,EC于点G,H，设BF与EC交于点M，连接AH，设∠HCG=α，则∠HAC=∠HCA=α，证明△BFG≌△AHG，可得∠FBG=∠HAG=α，∠MHB=90°−α，∠BMH=90°，EC，BF=AH即可得EC=2BF．即可证明BF⊥EC，根据全等的性质以及直角三角形斜边上的中线可得H=12（1）①如图，②CD2+AD2=ED2，证明如下，如图，连接AE，依题意，∠DBE=90°,BD=BE，∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ABE，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠EAB=∠DCB，AE=CD，∵AB=BC,∠ABC=90°，∴∠ACB=∠BAC=45°，∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=∠BCD+∠BAC=90°，∴△AED是直角三角形，∴AE2+AD2=ED2，∴CD2+AD2=ED2，（2）位置关系：CE⊥BF，数量关系：CE=2BF，理由如下，如图，连接AE，过点B作BG⊥AC分别交AC,EC于点G,H，设BF与EC交于点M，连接AH，FH，∵AB=BC，BG⊥AC，∴BG是AC的垂直平分线，∴HA=HC，EH=HC，∴HA=HE，∵∠ABC=90°,BG⊥AC，∴BG=AG，∴∠HAE=∠HEA，设∠HCG=α，则∠HAC=∠HCA=α，∵△AEC是直角三角形，∠EAC=90°，∴∠HEA=∠HAE=90°−α，∵BG⊥AC，∴BG∥AE，∴∠HAE=∠AHG=90°−α,∠HEA=∠EHB=∠MHB=90°−α，∵F是AD的中点，G是AC的中点，∴FG=AG−AF=12AC−12AD=12(AC−AD)=12DC，由（1）可知DC=AE，∴FG=12AE，∵点H是EC的中点，点G是AC的中点，∴HG=12AE，∴FG=HG，∵∠HAG=α,∠AGH=90°，∴∠AHG=90°−α，在△BFG和△AHG中，{BG=AG∠BGF=∠AGH=90°FG=HG∴△BFG≌△AHG，∴∠FBG=∠HAG=α，∵∠MHB=90°−α，∴∠BMH=90°，∵∠AHG+∠HAG=90°，即BF⊥EC，∵△BFG≌△AHG，∴BF=AH，∵AH=12EC，∴EC=2BF．小提示：本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，垂直平分线的性质，证明△BFG≌△AHG是解题的关键．17、如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．(1)求证：EF=BC；(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．答案：(1)见解析(2)78°分析：（1）只需要证明△ABC∥△AEF即可得到答案；（2）先求出∠FAG=∠BAE=50°，然后根据全等三角形的性质得到∠F=∠C=28°，再利用三角形外角的性质求解即可．（1）解：∵∠CAF=∠BAE，∴∠BAC=∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC=AF．在△ABC与△AEF中，{AB=AE∠BAC=∠EAF AC=AF∴△ABC∥△AEF(SAS)，∴EF=BC；（2）∵AB=AE，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠AEB=65°∴∠BAE=180°−65°×2=50°，∴∠FAG=∠BAE=50°．∵△ABC∥△AEF，∴∠F=∠C=28°，∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．小提示：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．(1)求证：AE平分∠CED；(2)连接BD，求证：∠DBC=90°．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．（1）证明：由旋转性质可知：AE=AC，∠AED=∠C，∴∠AEC=∠C∴∠AED=∠AEC∴AE平分∠CED．（2）证明：如图所示：由旋转性质可知：AD=AB，∠DAE=∠BAC=90°，∴∠ADB=∠ABD，∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，即∠DAB=∠EAC，∵∠DAB=180°−2∠ABD，∠EAC=180°−2∠C，∴∠ABD=∠C，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠ABD=90°，即∠DBC=90°．小提示：本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．。
2022-2023学年人教版九年级数学上册第二十三章旋转专项训练试题(含解析)
人教版九年级数学上册第二十三章旋转专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB AN = B ．AB NC ∥ C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥2、图，在ABCD 中，70A ∠=︒，将ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到111A BC D ，当11C D 首次经过顶点C 时，旋转角1ABA ∠=（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°3、有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质：②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是（ ）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④ 4、如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（ ）A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M5、观察下列图案，能通过左图顺时针旋转90°得到的（ ）A ．B ．C ．D ．6、下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，O 是矩形的对称中心，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，连接OE 、OF ，若2AE BF ==，则OE OF +的值为（ ）A ．B ．CD ．8、如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(1,2-+B ．()C ．(2D ．(- 9、如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，连接CC '，DC '，若90CC D '∠=︒，2C D '=，则线段BC 的长度为（ ）．A ．4B ．5C ．D ．10、如图，在ABC ∆中，2AB =，=3.6BC ，=60B ∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转度得到ADE ∆，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，菱形OABC ，60AOC ∠=︒，边OC 在y 轴上，若将菱形OABC 绕点O 逆时针旋转75°，得到菱形OA B C '''，则点B 的对应点B '的坐标为______．2、将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝_________.（结果保留根号）3、如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45︒，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________．4、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1， A 2，…，An 分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ________5、如图，已知点A 的坐标是(-2)，点B 的坐标是(1-，，菱形ABCD 的对角线交于坐标原点O ，则点D 的坐标是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、问题情境：数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC 和△DEC 是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB ＝DE ＝4．解决问题：（1）如图1，智慧小组将△DEC 绕点C 顺时针旋转，发现当点D 恰好落在AB 边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当△DEC 绕点C 继续旋转到如图2所示的位置时，连接AE 、AD 、BD ，他们提出S △BDC ＝S △AEC ，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由．2、如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；②若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？3、如图，已知△ABC 是等边三角形，在△ABC 外有一点D ，连接AD ，BD ，CD ，将△ACD 绕点A 按顺时针方向60旋转得到△ABE ，AD 与BE 交于点F ，∠BFD ＝97°．（1）求∠ADC 的大小；（2）若∠BDC ＝7°，BD ＝2，BE ＝4，求AD 的长．4、图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC 向右平移5个单位得到111A B C △，画出111A B C △；（2）将（1）中的111A B C △绕点C 1逆时针旋转90︒得到221A B C △，画出221A B C △．5、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点分别为()1,3A -，()4,3B -，()0,0O ．（1）画出ABO 关于原点对称的11A B O ，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABO 绕O 点顺时针旋转90 后得到的22A B O ，并写出点2B 的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，∴△ABM ≌△ACN ，∴AB =AC ，AM =AN ，∴AB 不一定等于AN ，故选项A 不符合题意；∵△ABM ≌△ACN ，∴∠ACN =∠B ，而∠CAB 不一定等于∠B ，∴∠ACN 不一定等于∠CAB ，∴AB 与CN 不一定平行，故选项B 不符合题意；∵△ABM ≌△ACN ，∴∠BAM =∠CAN ，∠ACN =∠B ，∴∠BAC =∠MAN ，∵AM =AN ，AB =AC ，∴△ABC 和△AMN 都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B =∠AMN ，∴∠AMN =∠ACN ，故选项C 符合题意；∵AM =AN ，而AC 不一定平分∠MAN ，∴AC 与MN 不一定垂直，故选项D 不符合题意；故选：C ．【考点】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据平行四边形的性质及旋转的性质可知1170,A C C BC BC ∠=∠=∠=︒=，然后可得1170BCC C ∠=∠=︒，则有140CBC ∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，70A ∠=︒，∴70A C ∠=∠=︒，由旋转的性质可得111170,,C C BC BC ABA CBC ∠=∠=︒=∠=∠，∴1170BCC C ∠=∠=︒，∴1140ABA CBC ∠=∠=︒；故选B ．【考点】本题主要考查平行四边形的性质与旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质与旋转的性质是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可．【详解】解：∵平行四边形是四边形的一种，∴平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确：∵平行四边形绕其对角线的交点旋转180度能够与自身重合，∴平行四边形是中心对称图形，故②正确：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，CD =AB ，∠ADC =∠CBA∴△ADC ≌△CBA （SAS ）同理可以证明△ABD ≌△CDB∴平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OD =OB ，∴ADO ABO S S =△△，ADO DOC S S =△△，DOC BOC S S =△△，∴=ADO ABO DOC BOC S S S S ==△△△△，∴平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确．故选D ．【考点】本题主要考查了中心对称图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形中线把面积分成相同的两部分等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4、B【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B （2，，利用待定系数法可得直线PB 的解析式，依次将M 1，M 2，M 3，M 4四个点的一个坐标代入y +2中可解答．【详解】解：∵点A （4，2），点P （0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，，设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y +2，当y =0+2=0，x∴点M 1（0）不在直线PB 上，当x y=-3+2=1，∴M2（-1）在直线PB上，当x=1时，y，∴M3（1，4）不在直线PB上，当x=2时，y，∴M4（2，112）不在直线PB上．故选：B．【考点】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．5、A【解析】【分析】根据旋转的定义,观察图形即可解答.【详解】根据旋转的定义，图片按顺时针方向旋转90度，大拇指指向右边，其余4个手指指向下边，从而可确定为A图．故选A．【考点】本题主要考查了旋转的性质，熟知性质是解题的关键.6、C【解析】【分析】中心对称图形是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，根据定义结合图形判断即可．【详解】根据对中心对称图形的定义结合图像判断，A、B属于轴对称图形，C选项满足中心对称图形的定义，故选：C．【考点】本题考查中心对称图形的定义，根据定义结合图形分析并选出适合的选项是解决本题的关键．7、D【解析】【分析】⊥于点M，交BC于点N，利用勾股定理求得OE的长即可解题．连接AC，BD，过点O作OM AD【详解】⊥于点M，交BC于点N，解：如图，连接AC，BD，过点O作OM AD四边形ABCD是矩形，∴==OA OD OBOM AD⊥∴==3AM DM122OM AB ∴== 2AE =1EM AM AE ∴=-=OE ∴同理可得OFOE OF ∴+=故选：D ．【考点】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．8、B【解析】【分析】如图，作B H y '⊥轴于H ．解直角三角形求出B H '，OH 即可．【详解】解：如图，作B H y '⊥轴于H ．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒，∴30A B H ''∠=︒，∴112AH A B'''==，B H'=∴3OH=，∴()B'，故选：B．【考点】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9、D【解析】【分析】根据旋转的性质，可知BC＝BC＇．取点O为线段CC＇的中点，并连接BO．根据等腰三角形三线合一的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，可证得Rt△OBC≌ Rt△C＇CD，从而证得OC＝C＇D，BO ＝C C＇,再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，取点O为线段CC＇的中点，并连接BO．依题意得，BC＝BC＇∴BO⊥C C＇∴∠BOC＝90°在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°∴∠OCB＋∠C＇CD＝90°又∵∠C C＇D＝90°∴∠C＇DC＋∠C＇CD＝90°∴∠OCB ＝∠C ＇DC在Rt △OBC 和Rt △C ＇CD 中OCB C DC BOC CC D BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩＇＇ ∴Rt △OBC ≌ Rt △C ＇CD （AAS ）∴OC ＝C ＇D ＝2∴C C ＇＝2 OC ＝2×2＝4∴BO ＝C C ＇＝4在Rt △BOC 中BC故选：D ．【考点】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理的运用等知识，解题的关键是辅助线的添加．10、A【解析】【分析】由将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，可得AD=AB ，又由∠B=60°，可证得△ABD 是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．【详解】由旋转的性质可知，AD AB =，∵60B ∠=，AD AB =，∴ADB ∆为等边三角形，∴2BD AB ==，∴ 1.6CD CB BD =-=，故选A ．【考点】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB二、填空题1、()3,3-【解析】【分析】根据菱形的性质可得出∠AOC =60°，则三角形OAC 为等边三角形，即AC ，根据菱形对角线的性质可得出∠AOE =30°，根据勾股定理可得OE ， OB ，再根据旋转的性质可得OB =OB 1，∠B 1OF =45°，根据勾股定理即可得出OF 与B 1F 的长度，即可得出答案．【详解】解：如图，连接AC 与OB 相交于点E ，过点B 1作B 1F ⊥x 轴，垂足为F ，∵四边形OABC 为菱形，60AOC ∠=︒，OA =OC ，∴△AOC 是等边三角形，OC =OA =AC ，∵AC ⊥OB ，在Rt△OAE 中，OA AE =12AC∴OE=2，∴OB =∵∠COB =12∠AOC =30°，∠BOB 1=75°，∴∠B 1OF =180°-60°-∠BOB 1=180°-60°-75°=45°，在Rt △B 1OF 中，OB 1=OB =OF =B 1F ，∴OF 2+B 1F 2=OB 12，可得OF =B 1F =3，∵点B 1在第二象限，∴点B 1的坐标为()3,3-．故答案为：()3,3-．【考点】本题主要考查了菱形及旋转的性质，熟练应用相关性质进行计算是解决本题的关键．21【解析】【分析】先根据正方形的性质得到CD=1，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH 为等腰直角三角形，从而计算CF-CD 即可．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，∴△DFH 为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF -1．．【考点】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．3、113y x =- 【解析】【分析】先根据一次函数21y x =-求得A 、B 坐标，再过A 作BC 的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得OC 的长度，得到C 点坐标，从而得到直线BC 的函数表达式.【详解】因为一次函数21y x =-的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1B -，则AB =．过A作AD BC ⊥于点D ，因为45ABC ∠=︒，所以由勾股定理得AD =，设BC x =，则12AC OC OA =-=，根据等面积可得：AC OB BC AD ⨯=⨯12x =，解得x =．则3OC =，即()3,0C ，所以直线BC 的函数表达式是113y x =-．【考点】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.4、14n - 【解析】【分析】 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为n -1阴影部分的和．【详解】 由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×4， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×（n -1）=14n -cm 2． 【考点】本题考查了正方形的性质，熟悉正方形的性质是解题关键．5、(1【解析】【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则B ，D 关于原点对称， 因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，对角线相交于坐标原点O∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，A 和C ； B 和D 均关于原点O 对称根据直角坐标系上一点(),x y 关于原点对称的点为()--x,y 可得已知点B 的坐标是(-1, ，则点D 的坐标是( .故答案为：(.【考点】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.三、解答题1、（1）证明见解析；（2）正确，理由见解析【解析】【分析】（1）如图1中，根据旋转的性质可得AC ＝CD ，然后求出△ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答；（2）如图2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．【详解】解：（1）如图1中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）结论正确，理由如下：如图2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN 和△DCM 中，ACN DCM CMD N 90AC CD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△ACN≌△DCM（AAS ），∴AN＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S △BDC ＝S △AEC ．【考点】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2、（1）见详解；（2）①见详解；②当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形【解析】【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∠HAG =90°，从而得∠BAH =∠CAG ，进而即可得到结论；（2）①由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；②AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG =∠QGA =45°时，（b ）当∠GAQ =∠GQA =67.5°时，（c ）当∠AQG =∠AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）∵线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，∴AH =AG ，∠HAG =90°，∵在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ，∴∠BAH =90°-∠CAH =∠CAG ，∴AHB AGC ≌；（2）①∵在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形，∵AH =AG ，∠BAH =∠CAG ，∴AEH AFG ≌，∴∠AEH =∠AFG =45°，∴∠HFG =∠AFG +∠AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒；②∵4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =AF =2，∵∠AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG =∠QGA =45°时，如图，则∠HAF =90°-45°=45°，∴AH 平分∠EAF ，∴点H 是EF 的中点，∴EH 12=（b ）当∠GAQ =∠GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH =∠GAQ =67.5°，∴∠EHA =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA =∠EAH ，∴EH=EA=2；（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH的长度为2时，AQG为等腰三角形．【考点】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．3、（1）23°；（2）【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，∵∠BFD＝97°＝∠AFE，∴∠E＝180°−97°−60°＝23°，∴∠ADC＝∠E＝23°；（2）如图，连接DE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，∴△ACD≌△ABE，∴CD＝BE＝4，∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，∴∠BDE ＝90°，∴DE∴AD ＝DE ＝【考点】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．4、（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】【分析】（1）利用点平移的规律找出1A 、1B 、1C ，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点2A ，2B 即可．【详解】解：（1）如下图所示，111A B C △为所求；（2）如下图所示，221A B C △为所求；【考点】本题考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题的关键．5、（1）图见解析；1(4,3)B -；（2）图见解析；2(3,4)B【解析】【分析】（1）画出ABO 关于原点对称的11A B O ，写出1B 的坐标即可；（2）画出ABO 绕O 点顺时针旋转90︒后得到的22A B O ，写出点2B 的坐标即可．【详解】解：（1）如图11A B O 即为所作，1(4,3)B -；（2）如图：22A B O 即为所作，2(3,4)B ．【考点】本题考查了旋转作图，根据题意画出图形是解本题的关键．。
人教版九年级数学上册 旋转几何综合(提升篇)(Word版 含解析)
人教版九年级数学上册 旋转几何综合（提升篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【解析】【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．2．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与OAB ∆的边分别交于M ，N 两点，将AMN ∆以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '∆． 设点P 的纵坐标为m ．①当A MN '∆在OAB ∆内部时，求m 的取值范围；②是否存在点P ，使'56A MN OAB S S ∆'∆=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】()21y x 22x =-++；（2）①433m <<；②存在，满足m 的值为619-或639-． 【解析】【分析】（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值．【详解】解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，∴∠ADO=∠BEO=90°，∵将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后得到OB ，∴OA=OB ，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠BOE ，∴△AOD ≌△BOE ，∴AD=BE ，OD=OE ，∵顶点A 为（1，3），∴AD=BE=1，OD=OE=3，∴点B 的坐标为（3，1-），设抛物线的解析式为2(1)3=-+y a x ，把点B 代入，得 2(31)31a -+=-，∴1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)3y x =--+，即222y x x =-++；（2）①∵P 是线段AC 上一动点，∴3m <，∵当A MN '∆在OAB ∆内部时，当点'A 恰好与点C 重合时，如图：∵点B 为（3，1-）， ∴直线OB 的解析式为13y x =-， 令1x =，则13y =-， ∴点C 的坐标为（1，13-），∴AC=1103()33--=， ∵P 为AC 的中点，∴AP=1105233⨯=， ∴54333m =-=， ∴m 的取值范围是433m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3）， ∴'3A P m =-，18'(23)233A C m m =-+=-， 设直接OA 为y ax =，直线AB 为y kx b =+，分别把点A ，点B 代入计算，得直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+，令y m =，则点M 的横坐标为3m ，点N 的横坐标为52m --， ∴5552326m m MN m -=-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224A MN S MN A P m m m m ∆=•=•-•-=-+；'138'3(2)34223OA B S A C m m ∆=••=•-=-； 又∵'56A MN OA B S S ∆'∆=， ∴255155(34)12246m m m -+=⨯-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）；当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：把y m =代入13y x =-，则3x m ， ∴5553222m MN m m -=+=+-，18'(23)233A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424A MN S MN A P m m m m ∆=•=•+•-=-++， '138'3(2)43223OA B S A C m m ∆=••=•-=-， ∵'56A MN OA B S S ∆'∆=， ∴255155(43)4246m m m -++=⨯-， 解得：639m -=或639m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-6393m -=． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．3．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；【详解】解：（1）证明：如图：∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴△FCB和△BEF都为直角三角形．∵点P是BF的中点，∴CP＝12BF，EP＝12BF，∴PC＝PE．（2）PC＝PE理由如下：如图2，延长CP，EF交于点H，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴EH//CB，∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，∵点P是BF的中点，∴PF＝PB，∴△CBP≌△HFP(AAS)，∴PC＝PH，∵∠AEF＝90°，∴在Rt△CEH中，EP＝12CH，∴PC＝PE．（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，在△DAF和△EAF中，DAF,,,EAFFDA FEAAF AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAF≌△EAF(AAS)，∴AD＝AE，在△DAP≌△EAP中，,,,AD AEDAP EAPAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAP≌△EAP (SAS)，∴PD＝PF，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FD//BC//PM，∴DM FPMC PB=，∵点P是BF的中点，∴DM＝MC，又∵PM⊥AC，∴PC＝PD，又∵PD＝PE，∴PC＝PE．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．4．如图，在矩形ABCD中，6AB cm=，8AD cm=，连接BD，将ABD△绕B点作顺时针方向旋转得到A B D'''△（B′与B重合），且点D'刚好落在BC的延长上，A D''与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与A B D'''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE''）的面积；（2）将A B D'''△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D'''△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）2452cm；（2）22331624(0)22588020016(4)3335x x xyx x x⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（3）存在，使得AA B''△成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、695．【解析】【分析】（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10B D BD cm''==，2CD B D BC cm'=''-=，利用B D A∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；（2）分类讨论，当165x≤<时和当1645x≤≤时，分别列出函数表达式；（3）分类讨论，当AB A B'=''时；当AA A B'=''时；当AB AA'='时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）6AB cm =，8AD cm =，10BD cm ∴=，根据旋转的性质可知10B D BD cm ''==，2CD B D BC cm '=''-=，tan A B CE B D A A D CD '''''∠=='''， 682CE ∴=， 32CE cm ∴=， ()28634522222A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==-⨯÷=-； （2）①当1605x ≤<时，22CD x '=+，32CE x =， 233+22CD E S x x '∴=△， 22133368242222y x x x ∴=⨯⨯-=--+； ②当1645x ≤≤时，102BC x =-，()41023CE x =- ()221488020010223333y x x x ∴=⨯-=-+． （3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2236AN A N +'=，222418623655x ⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：x =秒，（x =舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2222AB BB AN A N +'=+'22224183646255x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：32x =秒．综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．5．我们定义：如图1，在△ABC 看，把AB 点绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD= BC ；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 长为 ．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC ，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12AB′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=12BM=7，∴DE=EM ﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE ，∵BE ⊥AD ，∴PA=PD ，PB=PC ，在Rt △CDF 中，∵CF=6，∴tan ∠∴∠CDF=60°=∠CPF ，易证△FCP ≌△CFD ，∴CD=PF ，∵CD ∥PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC ﹣∠CDP=60°，∴△ADP 是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，在Rt △PDN 中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，，∴．【点睛】本题考查四边形综合题．6．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展教学活动老师给每个小组发了两个等模直角三角形ABC 和DEC ，其中90,2,ACB DCE AC CD ︒∠=∠===观案发现（1）将两个等腰直角三角形如图①摆放，设DE 的中点是,F AE 的中点是,H BD 的中点是G ，则HFG ∠=______度；操作证明（2）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，使点A C E 、、三点在一条直线上，如图②，其余条件不变，小明通过测量发现，此时FH FG =，请你帮助小明证明这个结论.探究发现（3）将图①中的DEC 绕点C 顺时针（逆时针）旋转，旋转角为()0180αα︒︒<<，DEC 在旋转的过程中，当直线FH 经过点C 时，如图③，请求出线段FG 的长.（4）在旋转过程中，在Rt ABC 和Rt CDE △中，始终有由,AC BC CE CD ⊥⊥，你在图③中还能发现哪两条线段在旋转过程中始终互相垂直？请找出并直接写出这两条线段.【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）31BD =-；（4）AD BE ⊥ 【解析】【分析】（1）根据题意，运用中点的性质找到线段之间的位置关系即可求解；（2）根据旋转的性质及等腰三角形ABC 可知()ACD BCE SAS ∆≅∆，进而通过中位线定理即可得到FH FG =；（3）根据旋转的性质及勾股定理，先求出BF 的长，再由BD BF DF =-即可求出BD 的长；（4）根据旋转的性质及垂直的判定可知AD BE ⊥.【详解】（1）,,90CE CD AC BC ECA DCB ==∠=∠=︒，BE AD ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，//,//HF AD FG BE ∴，AD BE ⊥，HF GF ∴⊥，90HFG ∴∠=︒；（2）证明：如下图，连接AD BE ，，由旋转可知CE CD =，90ECD ACD ∠=∠=︒，又∵AC=BC ，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点，11,22FH AD FG BE ∴==，FH FG ∴=；（3）解：由题意可得CF DE CFD CFE ⊥∆∆，，都是等腰直角三角形， 2CD =1CF DF ∴==，2BC AC ==，BF ∴==1BD BF DF ∴=-=，G 是BD 的中点，DG ∴=1BD BF DF ∴=-=；（4）AD BE ⊥. 连接AD ，由（3）知，CF DE ⊥，∵ECD ∆是等腰直角三角形，∴F 是ED 中点，又∵H 是AE 中点，∴AD ∥HF ，∵HF ⊥ED ，∴AD BE ⊥.【点睛】本题主要考查了中的的性质，中位线定理，三角形全等，勾股定理等三角形综合证明，熟练掌握三角形的相关知识点是解决本题的关键.错因分析：（1）不能熟练运用重点的性质找到线段之间的关系；（2）未掌握旋转的性质；（3）不能将题目探究中的发现进行推广.7．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB 、CD 上，连接AF ．取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD 、MN ．（1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM 、MN 的数量关系是 ；结论2：DM 、MN 的位置关系是 ；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=12AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=12AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=12AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=12AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．8．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE ，连接DE ．(1).如图，猜想ADE ∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC ∠=；（直接写出结果）②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC ∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明见解析；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE =∠=，根据等边三角形的判定定理解答； （2）证明ABD ACE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE =，结合图形计算即可； （3）①分点D 在线段BC 上和点D 在线段BC 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE ∆≅∆得到CE BD =，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE =∠=，ADE ∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==，ABC ∆是等边三角形60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）BD CE ∴=，CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝， 当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为4+理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=， AD的最小值为DEC ∴∆的周长的最小值为4+【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为(6，6)，将正方形ABCO 绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连接CH、CG．(1)求证：△CBG≌△CDG；(2)求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；(3)连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45°；HG= HO+BG；（3）（2，0）．【解析】试题分析：（1）求证全等，观察两个三角形，发现都有直角，而CG为公共边，进而再锁定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证．（2）根据（1）中三角形全等可以得到对应边、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一问的思路容易发现△CDH≌△COH，也有对应边、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH为四角的和，四角恰好组成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．（3）四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．由上几问知DG=BG，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG，即四边形AEBD为矩形．求H点的坐标，可以设其为（x，0），则OH=x，AH=6﹣x．而BG为AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三边都可以用含x的表达式表达，那么根据勾股定理可列方程，进而求出x，推得H坐标．（1）证明：∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（HL）；（2）解：∵△CDG≌△CBG，∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵，∴△CHO≌△CHD（HL），∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=∠OCD+∠DCB=∠OCB=45°，∴HG=HD+DG=HO+BG；（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．∵DG=BG，∴DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∴当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∵四边形DAEB为矩形，∴AG=EG=BG=DG．∵AB=6，∴AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∵OH=DH，BG=DG，∴HD=x，DG=3．在Rt△HGA中，∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∴H点的坐标为（2，0）．考点：几何变换综合题．10．（问题提出）如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∴△DEB≌△EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可．【详解】（1）证明：DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∵∠DBE=120°，∴∠EAF=∠DBE，又∵A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=DC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，∴△EDB≌FEA，∴BD=AF，AB=AE+BF，∴AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∴∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°∴△DEB≌△EFA，∴BD=AE， EB=AF，∴BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵AB=AC，BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠DBE=∠EAF ；∵ED=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ， 又∵∠EDC=∠EBC+∠BED ，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ， ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠BDE=∠AEF ，在△EDB 和△FEA 中，DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△EDB ≌△FEA （AAS ），∴BD=AE ，EB=AF ，∵BE=AB+AE ，∴AF=AB+BD ，即AB ，DB ，AF 之间的数量关系是： AF=AB+BD ．考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，。