排列组合的意义

一、排列组合定义

1、什么是C

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。即C（3，2）＝3

2、什么是P或A

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。

例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P（2，2），就构成了C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）

3、A和C的关系

事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。

4、计算方式以及技巧要求

组合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）条件：N<=M

排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！条件：N<=M

为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C（M，[M－N]），因为C（M，N）＝C（M，[M－N]）

二、排列组合常见的恒等公式

1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n

2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）

针对这2组公式我来举例运用

(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？

解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512

(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？

C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。

三、排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）

(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零，

例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看，

第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A（5，5）

第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A（5，5）

我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。这就是分类原则。这样就是A（5，5）＋A（5，5）＝240

(2)、乘法原理（实质上就是一种分步原则）：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．

例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则，

第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，A（5，5）

第二步：我们再排甲乙，A（2，2）

这样就是A（5，5）×A（2，2）＝240

如何区分两个原理：

我们知道分类原则也就是加法原则，每一个分类之间没有联系，都是可以单独运算，单独成题的，也就是说，这一类情况的方法是独立的，所以我们采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；

我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．说明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。

这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来

（3）特殊优先，一般次要的原则

例题：

（1）从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有___个。

第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。

（2）在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有一种选择，

同理A、B位置互换，共12种。

（3）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

(A)240 (B)180 (C)120 (D)60

分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有C（6，1）种方法；

（二）从剩下的5双手套中任选2双，有C（5，2）种方法。

（三）这2双可以任意取出其中每双中的1只，保证各不成双；

即C（6，1）*C（5，2）*2^2=240

（4）身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）=90种。

四、解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把这个集合看成数学上的单位1，那么1＝a＋b 就是我们构建逆向思维的数学模型了，当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a＝1－b。

例题：7个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？

例题：一个正方体有8个顶点我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。

例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．40个D．60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：

（1）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集