0627-上海中学高二期末(2019.06)

上海中学高二期末数学试卷

2019.06

一. 填空题

1. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，以BC 边所在直线为轴，把△ABC 旋转一周，得到的几何体的侧面积为

2. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调 查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25 的样本，应抽取超 过45岁的职工 人

3. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为

4. 袋中有6个黄色、4个白色的兵乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，则第二次才取到黄色球的概率为

5. 已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则0126,,,,a a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数的和等于

6. 1232201920

2020201222C C C C ++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被10除得的余数是 7. 设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则

2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+的值为

8. 长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一球面上，且2AB =，

3AD =，11AA =，则顶点A 、B 的球面距离是

9. 如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A 沿圆锥体的表面爬

行一周，又绕回到点A ，已知该圆锥体的底面半径为r ，侧面母线

长为3r ，则小蚂蚁爬行的最短路径长为

10. 已知四面体ABCD （非正四面体），过四面体ABCD 内切球球心的任意截面，若将该 四面体分成体积相等的两个小多面体，假设这两个小多面体的表面积分别是1S 、2S ，则 12

S S = 11. 对有n （4n ≥）个元素的总体{1,2,}n ⋅⋅⋅进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅ 和{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅（m 是给定的正整数，且22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机 抽取2个不同元素，组成样本（样本中共4个元素），用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本 中的概率，则所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于

12. 今有6个人组成的旅游团，包括4个大人2个孩子，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，孩子乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有 种

13. 晚会上共有8个演唱节目和3个舞蹈节目，要求任何2个舞蹈节目之间至少要有2个演唱节目，则一共有 种不同的节目顺序表

14. 设1210,,x x x ⋅⋅⋅为1、2、⋅⋅⋅、

10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为

二. 选择题

15. 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件A 表示“甲分得红牌”，事件B 表示“乙分得红牌”，则A 与B 是（ ）

A. 对立事件

B. 互相独立的事件

C. 互斥但不对立事件

D. 以上均不对

16. 某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最小面

的六个出口中的某一个出口出来，规定猜中出口者为胜，如果你在该

游戏中猜测珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（ ）

A. 516

B. 532

C. 16

D. 以上都不对 17. 若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ）

A. 48对

B. 24对

C. 12对

D. 66对

18. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几 何体的体积是283

π，则它的表面积是（ ） A. 17π B. 18π

C. 20π

D. 28π

三. 解答题

19. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a 、b 、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5，求该总体方差的最小值.

20. 甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生，两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平时成绩分析，甲、乙、丙三名学生笔试合格的概率分别是0.6、0.5、0.4，面试合格的概率分别是0.6、0.6、0.75，求

（1）甲、乙、丙三名学生中恰有一人笔试合格的概率；

（2）经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.

21. 在一次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，组委会决定将裁判由原来的9名增至14名，任取其中7名裁判的评分作为有效分，若全部14名裁判中有2名受贿，7个有效评分中有受贿裁判评分的概率称为“不公正率”，求

（1）“不公正率”为多大？

（2）若从n （9n >）个裁判中任取其中7名裁判的评分作为有效分，受贿人数仍为2人，要使“不公正率”降至40%以下，请问裁判团人数n 至少为多少人？从本题计算所得数值中你有何感想？

22. 所有含数字5的三位正整数（例如：105,551等等）构成集合A ，求

（1）集合A 中的元素个数；（2）集合A 中所有元素的和.

23. 有一张形状为矩形11ABB A 的纸，边长1A A 为16cm π，边AB 长为16cm ，其内有两点P 、 Q ，点P 到1A A 、11A B 的距离分别为4cm 、4cm π，点Q 到AB 、1BB 的距离分别为43

cm π 和6cm ，现将矩形卷成一圆柱的侧面，使AB 和11A B 重合，求：

（1）P 、Q 两点间的距离；（2）四面体ABPQ 的外接球的表面积.

24. 已知祖暅原理的两个推论如下： 推论1：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果所截得的两个截面的面积之比恒等于:a b ，那么这两个几何体的体积之比也等于:a b . 推论2: 夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任何直线所截，如果截得的两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等：如果截得的两条线段的长度之比恒等于:a b ，那么这两个平面图形的面积之比也等于:a b .

对于椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>），利用以上两个推论求解下列问题： （1）求圆D ：222x y b +=与椭圆C 的面积之比；

（2）将椭圆C 绕y 轴旋转一周得到一个椭球体，求该椭球体的体积.