上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题

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上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)

建平中学2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷 2020.06.30说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写．一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．半径为1的球的表面积为______________．【答案】4π2．二项式()101x +的展开式中5x 的系数为_____________．【答案】2523．圆锥的底面半径为1，一条母线长为3，则此圆锥的高为_______________．【答案】4．若2666n nC -=，则正整数n 的值为_______________．【答案】375．已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最小值为_____________．【答案】1-6．数据110,119,120,121的方差为_____________．【答案】19.257．已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解415x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，设111222333d b c A d b c d b c =，111222333a d c B a d c a d c =，111222333a b d C a b d a b d =，则A B C ++=_____________．【答案】08．已知{}*,2020,N a b x x x ∈≤∈，满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________．【答案】20391909．已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -⎛⎫=⎪⎝⎭，小明同学为了求解此方程组，将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -⎛⎫=⎪⎝⎭，则a b +=_____．【答案】210．111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0!++++++++++=_______．【答案】41417511．已知等边ABC △的边长为2，设BC 边上的高为AD ，将ADC △沿AD 翻折使得点B 与点CA BCD -的外接球的体积为_____________．【答案】612．()()()()23465432654321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立，则3a =______________．【答案】6二、选择题（每题5分，满分20分）13．三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 中23a 的代数余子式为（）（A ）11123132a a a a （B ）11123132a a a a -（C ）1112233132a a a a a （D ）1112233132a a a a a -【答案】B14．已知球O 的半径为1，A B 、为球O 上的任意两点，则A B 、两点的球面距离的最大值为（）（A ）2 （B ）π （C ）2π （D ）2π+ 【答案】B15．从老杨、老王及其他100名市民中随机抽取5名进行新冠病毒的核酸检测，则“老杨被抽中进行检测，但老王未被抽中进行检测”的概率为（）（A ）1920 （B ）97102 （C ）19396（D ）48510302【答案】D16．已知空间向量()111,,a x y z =和()222,,b x y z =，设12112x x D y y =和12212x x D z z =，则“a b ∥”是“120D D ==”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件【答案】A三、解答题（本题共有5大题，满分76分） 17.（14分）已知34z i =+，其中i 为虚数单位．（1）求Re Im z z z +-的值；（2）若实数,x y 满足6z x z y ⋅+⋅=，其中z 为z 的共轭复数，求x 的值．【答案】（1）Re Im 342z z z +-=+=．（2）336164401x y x z x z y x y y ⎧+==⎧⋅+⋅=⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩，故1x =．18.（14分）已知圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为4和9，设圆柱Γ的高为1h ，体积为1V ，圆柱Λ的高为2h ，体积为2V ，其中12h h >．（1）求12h h 的值；（2）求12V V 的值．【答案】（1）由题意得129,4h h ==，故1294h h =．（2）设圆柱Γ的底面半径为1r ，圆柱Λ的底面半径为2r由题意得2221111112222222444942999492r V r h r h r V r h r h ππππ⎛⎫⎛⎫==⇒==⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1249=V V ．19.（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．（1）若1h =，求异面直线BM 与1A C 所成角的大小；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小；（3）若3h =，求点M 到平面1A BC 的距离．【答案】（1）以A 为坐标原点，射线1,,AB AC AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系()()()()12,0,0,0,2,1,0,0,4,0,2,0B M A C ()()12,2,1,0,2,4BM AC =-=- ()112022140BM AC BM AC ⋅=-⨯+⨯+⨯-=⇒⊥故异面直线BM 与1A C 所成角的大小为2π．（2）()()()()12,0,0,0,0,4,0,0,0,0,2,2B A A M()()()12,0,4,2,0,0,0,2,2BA AB AM =-==设平面ABM 的一个法向量为n ，直线1BA 与平面ABM 所成角为θ则()1110100,1,1sin arcsin 252BA n n BA nθθ⋅=-⇒===⇒=⨯⋅故直线1BA 与平面ABM 所成角为10arcsin．（3）()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,0,2,1B C A M()()()1112,0,4,0,2,4,0,2,1A B AC A M =-=-=- 设平面1A BC 的一个法向量为n ，点M 到平面1A BC 的距离为d则()130,2,113A M n n d n⋅=-⇒=== 故点M 到平面1A BC 的距离为1．20.（16分）三棱锥P ABC -中，已知APB BPC CPA ∠=∠=∠，设,,PA a PB b PC c ===，其中0,0,0a b c >>>．（1）若2APB π∠=，证明：PA BC ⊥；（2）若2APB π∠=，判断ABC △是否为锐角三角形，并求出此时ABC △的面积S （用,,a b c 表示）；（3）若3APB π∠=，1abc =，判断三棱锥P ABC -的体积是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）2APB BPC CPA π∠=∠=∠=，即,PA PB PA PC ⊥⊥,,PA PB PA PC PB PC P ⊥⊥=，故PA ⊥平面PBCPA ⊥平面PBC ，BC 平面PBC ，故PA BC ⊥．（2）在Rt APB △中，AB ==在Rt BPC △中，BC == 在Rt CPA △中，AC =在ABC △中，2222cos 00,22AB AC BC A A AB AC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中，2222cos 00,22AB BC AC B B AB BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中，2222cos 00,22AC BC AB A C AC BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭S == 综上所述，ABC △为锐角三角形，此时ABC △的面积S =（3）在射线PB 和PC 上分别取点D 和E 使得PD PE a ==，联结,AD AE 和DE在三棱锥P ADE -中，PA PD PE a ===，3APB BPC CPA π∠=∠=∠=故AD AE DE a ===，即三棱锥P ADE -为正四面体，易知3P ADE V -=333P ABC P ADE abc abc V V a a --==== 故三棱锥P ABC -．21.（18分）已知抛物线()2:20C x py p =>，过定点()()0,0M m m >作直线AB 交抛物线C 于,A B 两点，设()()1122,,,A x y B x y ，其中120,0x x <>．（1）若2212x x =，求直线AB 的斜率；（2）若1240x x m +=，求p 的值；（3）若点P 是直线:0l y m +=上任意一点，设直线,,PA PB PM 的倾斜角分别为,,αβγ，是否存在实数λ使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立，若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设直线AB 的斜率为k ，则()22122212121212122202x x y y x x p p k x x x x p x x ---====--- 故直线AB 的斜率为0．（2）设直线AB 的方程为y kx m =+22122220242x pyx pkx pm x x pm m p y kx m⎧=⇒--=⇒=-=-⇒=⎨=+⎩故p 的值为2．（3）设点P 的坐标为()0,x m -，故101cot x x y m α-=+，202cot x x y m β-=+，0cot 2x mγ-= 1020102001212cot cot cot 222x x x x x x x x xy m y m kx m kx m mλαβλγ----++=+=+-++++ ()()()1201200221212224cot cot cot 242kx x m kx x x mx x k x x km x x m mλαβλγ+-+-⇒++=-+++ 212212222202x x pk x py x pkx pm x x pm y kx m ⎧+==⎧⎪⇒--=⇒⎨⎨=-=+⎪⎩⎩()()()0002222224cot cot cot 22242k pm m kx pk mx x k pm km pk m m λαβλγ-+--⇒++=--+⋅+ ()()2000222cot cot cot 12222x pk m x x m mm pk m λλαβλγ-+⎛⎫⇒++=-=-- ⎪+⎝⎭ cot cot cot 0αβλγ++=对0R x ∀∈恒成立，则1022λλ--=⇒=-综上所述，存在实数2λ=-使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立．。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______；【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析

交大附中高二期中数学卷一. 填空题1.若(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan 2 【解析】【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。

【详解】由(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==，所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。

故答案为：tan 2arc 。

【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。

2.直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程是________【答案】24x y += 【解析】【分析】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r ，由(1,2)A ，所以(1,2)OA =u u u r ，代入4OP OA ⋅=u u u r u u u r，即可求解。

【详解】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r，可得(1,2)OA =u u u r ，因为4OP OA ⋅=u u u r u u u r，所以(,)(1,2)24x y OP OA x y ⋅=⋅=+=u u u r u u u r ，即24x y +=，所以点的轨迹方程为24x y +=。

故答案为：24x y +=。

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3.已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是．【答案】2【解析】试题分析：圆的标准方程为：()2228x y -+=，圆心P 点的坐标为：()2,0，所以点P 到直线10x y --=的距离d === 考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离公式.4.若向量a r 、b r 满足a r ＝1，b r ＝2，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +r r＝_________.【解析】【分析】由1,2,,a b a b ==v v v v 夹角为3π，利用平面向量数量积公式，求得a b +r r 平方的值，从而可得结果.【详解】1,2,,a b a b ==v Q v v v 夹角为3π，所以2222a b a b a b +=++⋅v v v v v v142cos 3a b π=++vv152125272=+⨯⨯⨯=+=所以a b +=r r..5.三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =________.【答案】14- 【解析】根据余子式的概念，在行列式中划去第2行第1列后，所余下的2阶行列式带上符号21(1)+-，即为所需代数余子式，由题意列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为212(1)22141012+-=⨯+⨯=+=--kk k ，解得14=-k . 故答案为：14-【点睛】本题主要考查已知行列式的代数余子式求参数的问题，熟记概念即可求解，属于常考题型.6.点(3,4)P 关于直线1x y -=的对称点的坐标是_____．【答案】(5,2) 【解析】【分析】设对称点坐标，利用两点连线与直线垂直、两点的中点在直线上可构造方程求得结果. 【详解】设()3,4P 关于直线1x y -=的对称点坐标为(),P m n '411334122n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-∴⎨++⎪-=⎪⎩，解得：52m n =⎧⎨=⎩ ()5,2P '∴本题正确结果：()5,2【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求解问题，常用方法是采用待定系数法，利用两点连线与对称轴垂直且中点在对称轴上可构造方程组求得结果.7.己知两点(3,2)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围________ 【答案】[,arctan 6]4ππ-【分析】由直线l 恒经过定点(0,1)P -，由直线的斜率公式，求得1,6PA PB k k ==-，再由倾斜角和斜率的关系，即可求解。

上海市光明中学2019-2020学年度高一数学第一学期期末考试(详解版)

光明中学2019学年第一学期期末考试高一数学试题命题人向宪贵审题人蔡晓荣 2020.01考生注意： l ．本试卷共有19道试题，满分100分．考试时间90分钟．2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、学号、准考证号等填写清楚．友情提示：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强！一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、函数12()f x x =的定义域是；2、不等式111x <-的解集为； 3、函数2()1(0)f x x x =-≥的反函数1()f x -= ；4、函数()ln(2)f x x =-的递增区间为；5、方程96370x x -⋅-=的解是；6、已知函数()f x 为偶函数，且当0x >时2()1f x =x x -+，则当0x <时()f x = ； 7、已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为____________；8、函数2()f x x bx c =++与函数21()x x g x x ++=在区间1[,2]2上的同一点处取相同的最小值，则()f x 在区间1[,2]2上的最大值是；9、直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是；10、设函数定义域为R ，对于给定的正数K ，定义函数取函数．当=时，函数的单调递增区间为 .二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（）.A 1a b >+ .B 1a b >- .C 22a b > .D 33a b >()y f x =(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩()2x f x -=K 12()K f x12、定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且在[0,5]x ∈上是增函数，在[5,)+∞上是减函数，又(5)2f =，则()f x （）.A 在[5,0]x ∈-上增函数且有最大值-2 .B 在[5,0]x ∈-上增函数且有最小值-2.C 在[5,0]x ∈-上减函数且有最大值-2 .D 在[5,0]x ∈-上减函数且有最小值-213、若函数()f x 为R 上的偶函数，且()f x 在[)0+∞，上单调递减，则不等式(21)()f x f x -≥的解集为（）A. 113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. [)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C. (][),11,-∞+∞U D. (],1-∞ 14、有下面四个命题：①奇函数一定是单调函数；②函数3(0)xy k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到；③若幂函数a y x =是奇函数，则a y x =是定义域上的增函数；④既是奇函数又是偶函数的函数是0()y x R =∈．其中正确的有（）.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分）已知1{|39}3x A x =<<， {}2|log 0B x x =>．（1）求A B ⋂和A B ⋃；（2）定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，求A B -和B A -．16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）函数()2x f x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，两函数的图像在第一象限只有两个交点()()111212,,,,A x y B x y x x <（1）请指出示意图中曲线12C C 、分别对应哪一个函数；（2）设函数()()()h x f x g x =-,则函数()h x 的两个零点为12x x 、，如果12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，其中,a b 为整数，指出,a b 的值，并说明理由．17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）已知函数3()log 0,13m x f x m m x -=>≠+（）．（1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若12m =，试用定义法判断()f x 在3,+∞（）的单调性．18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122x x y m -=⋅+（04x ≤≤，0m >）.（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）已知函数1()22x xf x =-，()(4lg )lg ()g x x x b b R =-⋅+∈. （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；（2）若存在12,[1,)x x ∈+∞，使得12()()f x g x =，求实数b 的取值范围；（3）若()0<g x 对于(0,)x ∈+∞恒成立，试问是否存在实数x ，使得[()]f g x b =-成立？若存在，求出实数x 的值；若不存在，说明理由.上海市光明中学2019学年第一学期期终考试高一数学试题参考答案一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、[)0,+∞2、(,0)(2,)-∞+∞U 3、1(1)f x x -≥-4、()2,+∞5、3log 7x =6、2()1f x =x +x +7、88、49、5(1,)4 10、二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、A 12、B 13、A 14、C三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分）解：（1）()1{|39}1,23x A x =<<=-； --------1分 {}()2|log 01,B x x =>=+∞ --------2分()1,2A B ⋂=, --------3分()1,A B ⋃=-+∞--------4分（2） (]1,1A B -=-, --------2分[)2,B A -=+∞--------4分16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）C 1对应的函数为3()g x x =，--------2分C 2对应的函数为()2x f x =. --------4分（2）计算得1,9a b == --------1分理由如下：令3()()()2x x f x g x x ϕ=-=-， --------2分 (,1)-∞-由于93103(1)10,(2)40,(0,(10)210909)2h h h h =>=-<=<=->-，--------4分则函数()x ϕ的两个零点2(1,2),(9,10)i x x ∈∈--------5分因此整数1,9a b == --------6分17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）()f x 是奇函数；证明如下：由303x x -+＞解得3,3x x <->或；所以()f x 的定义域为(,3)(3,)-∞-+∞U 关于原点对称． --------1分∵()3333m m x x f x log log x x --+-==-+-=()13()3m x log f x x -+=--， --------3分故()f x 为奇函数．--------4分（2）任取1212,3,x x x x ∈+∞<（）,且 - ()()1212123333m m x x f x f x log log x x ---=-++=()()()()12123333m x x log x x -++-， --------2分 ∵()()()()()112221333036x x x x x x -+-+-=<-，∴()()()()121203333x x x x <-+<+-，即()()()()1212330133x x x x -+<+-＜， -------4分当12m =时，()()()()12112233033x x log x x -+>+-，即()12()f x f x >．--------5分故()f x 在3,+∞（）上单调递减．--------6分18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）【解】（1）由题意，当2m =，令122222252x x x xy -=⋅+=⋅+=， 04x ≤≤Q 时，解得1x =， -------2分因此，经过1分钟时间，该物质的温度为5摄氏度；--------3分（2）由题意得1222x x m -⋅+≥对一切04x ≤≤恒成立，则由1222x x m -⋅+≥，得出22222x x m ≥-，--------2分令2x t -=，则1116t ≤≤，且222m t t ≥-，--------4分构造函数()221122222f t t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当12t =时，函数()y f t =取得最大值12，则12m ≥.--------6分因此，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.--------7分19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）【解】（1）()0f x >即22x x ->，∴x x >-，∴0x >.--------3分（2）设函数()f x ，()g x 在区间[)1,+∞上的值域分别为A ，B ，因为存在[)12,1,x x ∈+∞，使得()()12f x g x =，所以A B ⋂≠∅，--------1分∵()122x x f x =-在[)1,+∞上为增函数，∴3,2A ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭，--------2分 ∵()()2lg 24g x x b =--++，[)1,x ∈+∞，∴()(],4g x b ∈-∞+，∴(],4B b =-∞+.--------3分 ∴342b +≥即52b ≥-.--------4分（3）∵()()2lg 240g x x b =--++<对于()0,x ∈+∞恒成立，∴40b +<，4b <-，--------1分且()g x 的值域为(],4b -∞+.--------2分∵()122x x f x =-为增函数，--------3分且0x <时，()0f x <，∴()0f g x ⎡⎤<⎣⎦.--------5分∴()0f g x b ⎡⎤+<⎣⎦，-------6分∴不存在实数x ，使得()f g x b ⎡⎤=-⎣⎦成立. --------7分。

上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)

此时z最大，
由
由于B在直线上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图，的边长为，分别是中点，记，，则（）
A. B.
C. D. ，但的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为分别是中点，所以根据平面向量的线性运算可得 ,所以由可得 ,故选C.
（1）求向量与的夹角；
（2）若，且，求实数t的值及 .
【答案】（1）；（2）， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设分别是直线l和圆C上的动点，求的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1）所在的直线方程为，圆C的方程为（2）
【解析】
【详解】（1）直线设 .
的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组.

2022上海高二数学满分攻略(沪教版2020第一册)第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)练习

第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)一、平均变化率【例1】（2018·上海市吴淞中学高三期中）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图像是（）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·北京延庆·高二期末）函数2()f x x 在区间[2,4]上的平均变化率等于（） A ．2B ．4C ．6D ．8【例3】（2021·广西河池·高二阶段练习（理））在导数定义中“当0x ∆→时，()0yf x x∆→'∆”，x ∆（） A ．恒取正值 B ．恒取正值或恒去取负值 C ．有时可取0D ．可取正值可取负值，但不能取零【例4】（2021·江苏·高二专题练习）“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 二、瞬时变化率【例1】（2021·广西·高三阶段练习（文））已知某物体位移S （米）与时间t （秒）的关系是323S t t =-，则速度为9米/秒的时刻是（） A ．1秒末 B ．0秒末 C ．3秒末D ．1秒末或3秒末【例2】（2021·全国·高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s (t )＝4t 2＋2t －3，且s ′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（）A ．物体5 s 内共走过42 mB ．物体每5 s 运动42 mC ．物体从开始运动到第5 s 运动的平均速度是42 m/sD ．物体以t ＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过1 s ，物体运动的路程为42 m 【例3】（2021·山东·高三阶段练习）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为36V d π=，估计当1d dm =时，气球体积的瞬时变化率为（）A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 【例4】（2021·北京海淀·高二期中）一个小球作简谐振动，其运动方程为()10sin 3x t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中()x t (单位：)cm 是小球相对于平衡点的位移，t (单位：s )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，t =（） A ．1B ．56C ．12D ．13【例5】（2021·重庆·高二期末）1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M （单位：太贝克）随时间t （单位：年）的衰变规律满足函数关系：()573002t M t M -=，其中0M 为0=t 时碳14的含量，已知5730t =时，碳14的含量的瞬时变化率是ln 220-（太贝克/年），则()2865M =（）太贝克.A ．573BC ．D ．1146【例6】（2021·全国·高二课时练习）枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，其路程（单位：m ）与时间（单位：s ）的关系为()212s t at =，如果枪弹的加速度52510/a m s =⨯，且当31.610t s -=⨯时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．三、导数的概念【例1】（2021·全国·高二课时练习）已知物体做直线运动的方程为()s s t =，则()410s '=表示的意义是（）A ．经过4s 后物体向前走了10mB ．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC ．物体在第4秒内向前走了10mD ．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s【例2】（2021·北京育才学校高三阶段练习）某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.【例3】（2021·江苏·高二课时练习）已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值.【例5】（2021·全国·高二课时练习）一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t ＝2时的瞬时速度；（3）求t ＝0到t ＝2之间的平均速度．四、导数的几何意义【例1】（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线430x y +-=平行，则l 的方程为（）A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．x －4y ＋3＝0D ．4x ＋y ＋4＝0【例2】（2022·浙江·温州中学高三期末）如图，函数()3f x x =的图象Γ上任取一点()3,,0A m m m ≠，过点A 作其切线1l ，交Γ于点B ，过点B 作其切线2l ，交Γ于点C ，过点C 作其切线3l ，交1l 于点D ，则AD AB的取值（）A ．与m 有关，且存在最大值B ．与m 有关，且存在最小值C ．与m 有关，但无最值D ．与m 无关，为定值【例3】（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（）A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【例4】（2022·上海·高三专题练习）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【例5】（江西省抚州市2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题）已知曲线()1e ln 1e=-+x f x x x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率为1e ，则00ln x x +=______．【例6】（2022·山西吕梁·高二期末）若直线y kx b =+是曲线2e x y -=的切线，也是曲线1e 1x y +=-的切线，则b =__________．【例7】（2022·山东滨州·高二期末）曲线cos x y x =在点π,02M ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______．【例8】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））设曲线212y x =在点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线ln y x x =在点P 处的切线互相平行，则点P 的坐标为___________. 【例9】（2022·辽宁·东北育才学校高三期末）若函数()()320,0f x mx nx px q m n =+++≠≠上相异的点()()(),1,2,3,4,5,6i i x f x i =，满足如下条件：①()()()1230f x f x f x ===；②函数()f x 关于点()()44,x f x 对称；③函数()f x 在点()()55,x f x 处的切线与其相交于点()()66,x f x ；则()12356412x xx x x x ++++=___________.【例10】（2022·山西·康杰中学高二期末）若实数a ，b ，c ，d 满足ln 11a c b d+==，则()()22a cb d -+-的最小值为______.【例11】．（2021·上海·高二专题练习）已知直线()()()11410a x a y a -++-+= （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x=+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________．【例12】（2022·陕西·高三期末（理））若曲线ln y x =在点()e,1P 处的切线与曲线e ax y =相切，则=a ______．【例13】（2022·湖南·高二期末）已知函数()()21e ,e 1x xf xg x -+==-.(1)O 是坐标原点，()f x 的图象在2x =处的切线与,x y 轴分别交于,A B 两点，求OAB 的面积；(2)若直线y kx b =+是曲线()y f x =与()y g x =的公切线，求,k b 的值.【例14】（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)e (1)=-+-x f x x a x ，a R ∈． (1)求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程； (2)若0a ≥，求()f x 的零点个数；(3)若()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：122x x +<．【例15】（2021·全国全国·模拟预测）已知函数()sin cos f x ax x b x =-，()ln 3g x x x =++．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题．①0a b +=，②1a b -=，③1a b +=-．(1)（ⅰ）______，曲线()f x 在点()()π,πf 处的切线经过点()0,π1-，求实数a 的值；（ⅱ）求证：22y x =+是曲线()g x 的一条切线．(2)π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当2a =，0b =时，求证：()()πf x g x +>．一、单选题1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·山西临汾·一模（文））已知函数22()2ln f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为（）A ．240ex y e -+=B ．240ex y e --=C ．240ex y e ++≡D ．240ex y e +-=3．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（河南省驻马店市2021-2022学年高三上学期期末数学（理科）试题）已知函数()222e x f x x -=，则曲线()y f x =在x =1处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．23B ．98C ．43D ．945．（2022·江西赣州·高三期末（理））曲线222e -=+x y x 在1x =处的切线与坐标轴围成的面积为（） A ．13B ．12C ．23D ．16．（2022·江苏镇江·高二期末）若点A 是函数4x y x e =-图象上的动点（其中e 的自然对数的底数），则A 到直线33y x =-的距离最小值为（）A B ．4910C D ．177．（2022·浙江·镇海中学高二期末）点A 是曲线23ln 2y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（）A B C D 8．（2019·上海交大附中高一期末）函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知反双曲正切函数11()ln 21xf x x+=-，则（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的定义域是[1,1]-C ．曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =D ．函数()()sin g x f x x =-有且仅有3个零点三、填空题10．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））曲线()e cos 1xf x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.11．（2022·重庆南开中学高二期末）曲线()1e xf x +=在点()()0,0f 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________.12．（2022·福建福清·高二期末）若()()0002lim1t f x t f x t→+-=，则()0f x '=___．13．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））已知曲线()y f x =在点()()2,2M f 处的切线方程是25y x =+，则()()22f f '+的值为______．14．（2022·河南南乐·高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，直线y x b =-与曲线()ln y x a =+相切，则125221b a b +++的最小值是______． 15．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．16．（2015·上海·高三阶段练习）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+(k ，b 为常数)，对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102xf x -=+，()23x g x x-=； ③21()x f x x+=,ln 1()ln x x g x x +=；④22()1x f x x =+,()()21xg x x e -=--其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是________．四、解答题17．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）设点P 是曲线()32f x x =-+上的任意一点，k 是该曲线在点P 处的切线的斜率． (1)求k 的取值范围；(2)求当k 取最大值时，该曲线在点P 处的切线方程．18．（2022·江苏·高二）设函数()2ln f x x a x =-，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线2710x y ++=垂直．(1)求()f x 的解析式；(2)设曲线()y f x =在1x =处的切线为l ，求l 与两直线0x =和1y x =-+所围成的三角形的面积．19．（2022·河北衡水·高二期末）设()sin cos f x x x x =-，证明：曲线()f x 在点ππ,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1．20．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． (1)当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；(2)若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =； (3)证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．21．（2022·江西吉安·高二期末（理））（1）求与直线112y x =-+垂直，且与曲线ln y x =相切的直线方程；（2）求过原点，且与曲线x y e =相切的直线方程.22．（2022·全国·高三专题练习）已知222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使04()5f x ≤，求a 的值．23．（江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考数学（理）试题）已知函数2()e sin ,()31x f x x x g x ax x =++=++．(1)求()f x 在x ＝0处的切线方程；(2)当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求a 取值范围．24．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()ln f x x =，()bg x a x=+(1)若函数()f x 在e x =处的切线与函数()·y x g x =的图象平行，求a ，b 满足的条件； (2)若()10g =，且()()(1)f x g x x >>恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当1b =-时，讨论方程()()af x g x =的根的个数.25．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知函数()()ln 2f x x x =+. (1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若12,x x 为方程()f x k =的两个不相等的实根，证明：（i ）()1f x x --；（ii ）12111ln2x x k ⎛⎫-≤++ ⎪⎝⎭.。

上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题

上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程是______.3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9.1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10.已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11.已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12.已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B.C.2D.215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A.1个B.2个C. 3个D.4个16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.10. 5052 11. 5 12. ①③二、选择题 13-16：BCBB 三、解答题17.32z i =+或12z i =-+. 18.()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=.21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111kk k k k kk --+=--++，即2210k k --=，解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22.椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩，∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④，由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎫⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ；（3）由（2）知，2222212i m x x k-=+，而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k --⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT ∆∆⇒⋅==:.。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题【答案】C3．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷【答案】B20．-300° 化为弧度是（） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为（） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________．【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______．【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），则该容器盛满水时的体积是．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________．【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求：（1）扇形的弧长；（2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料专题十五任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。

2019-2020学年闵行区高二上数学期末试卷及参考答案

2019-2020学年闵行区高二上数学期末试卷及参考答案一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）1、椭圆192522=+y x 的短轴长为 . 2、已知向量()2,1=a ，()4,-=x b ，若∥，则=x .3、若直线l 过点()3,2-A 且平行于向量()5,6=。

则直线l 的点方向式方程是 .4、已知平面向量a ，b 的夹角为6π，1||=，2||=，则=⋅b a . 5、若线性方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-341312，则=+y x . 6、若直线l 的倾斜角的范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,4ππ，则l 的斜率的取值范围是 . 7、参数方程()R y x ∈⎩⎨⎧-==θθθ2sin 4cos 所表示的曲线与y 轴的交点坐标是 . 8、已知双曲线191622=-y x 上的点P 到点()0,5的距离为15，则点P 到点()0,5-的距离为 . 9、以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点； ②设A 、B 是两个定点，k 为非零常数，若k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线的一支； ③设点A 、P 分别是定圆C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若()OP OA OQ +=21，则动点Q 的轨迹为圆.其中真命题是 .（写出所有真命题的序号）10、已知数列{}n a 的通项公式为()()*20192020.3120191,1N n n n a n n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=-，前n 项和为n S，则=∞→n n S lim .11、若关于x 的方程212-=-kx x 有解，则实数k 的取值范围是 .12、如图，已知直角MON △的斜边MN 的长为12，点P 是斜边上的中线OD 与椭圆192522=+y x 的交点，O 为坐标原点，当MON △绕着点O 旋转时，PN PM ⋅取值范围为 .二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、若过点()a M ,2-和()4,a N 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（）A 、1；B 、2；C 、1或4；D 、1或2.14、已知圆1C ：()()12222=-++y x ，圆2C ：()()165222=-+-y x ，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A 、相离；B 、相交；C 、内切；D 、外切.15、若x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+011x y x y x ，则y x z +=2的最小值是（）A 、0；B 、1；C 、2；D 、1-.16、若实数x 、y 满足方程822=+y x ，则|6||6||2|y x y x y x --++++-+的最大值为（）A 、12；B 、14；C 、18；D 、24.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）已知直线1l ：022=-+y x 和2l ：01=+-y mx . （1）当21l l ∥时，求m 的值；（2）当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 值.18、（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）已知向量j i a -=3，j i b +=2，其中，j 是互相垂直的单位向量. （1）求向量a 在向量b 的方向上的投影；（2）设向量-=，+=λ，若⊥，求实数λ的值. 19、（本题满分14分，第1题满分6分，第2题满分8分）已知三点()1,3M 、()2,0-N 、()5,3-T 都在圆C 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）若经过()0,2P 的直线l 被圆C 所截得的弦长为24，求直线l 的方程.20、（本题满分16分，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分）已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a b y a x 与双曲线12622=-x y 的渐近线相同，且经过点()3,2. （1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线()00>=+-m m y x 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆1022=+y x 上，求实数m 的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线C 的右顶点2A ，求AB A 2△的面积.21、（本题满分18分，第1题满分4分，第2题满分6，第3题满分8分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：()3192222>=-+a a y a x . （1）过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若9||=MN ，求实数a 的值；（2）已知点()0,1T ，6=a ，A 、B 是椭圆C 上的动点，0=⋅，求⋅的取值范围；（3）若直线l ：13=-+a ya x 与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.2019-2020学年闵行区高二上期末试卷参考答案三、解答题17、（1）2；（2）31-或3.18、（1）5；（2）0.19、（1）()()92322=++-y x ；（2）2=x 或0643=-+y x .20、（1）1322=-y x ；（2）2；（3）229.21、（1）6；（2）[]49,24；（3）()0,3-.。

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部，所以直线与椭圆必相交，所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点，由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________；【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ，所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________；【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ，解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ，所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-，得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________；【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________；【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-，因为 2l 也通过定点()2,3-，将()2,3-代入220++=m x y n ，得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】设(),P x y ，1x =+，两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =，当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________；【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切，所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=，故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时：（1）在复平面上z 对应的点在第二象限？（2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上，所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-；（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-，代入22y px =，得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，代入22y px =，得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-，所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点，有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ，因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ，由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ，又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程，所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。

上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷

上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷一、填空题1)0x >写成指数幂形式为．2．已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B =I ．3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()()2lg f x x a =+，则()3f =.4．若不等式组(1)(3)0x x x a --<⎧⎨>⎩的解集为空集，则实数a 的取值范围为．5．已知圆1C ：()()22341x y ++-=与圆2C ：()2216x y k +-=外切，则实数k =．6．若函数()sin f x a x x =的一个零点是π3，则函数()y f x =的最大值为7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，91336,104S S =-=-，则5a 与7a 的等比中项为. 8．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道1T 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道2T 绕月飞行，则椭圆轨道2T 的短轴长为万公里．（近似到0.1）9．菱形ABCD 的对角线AC =沿BD 把平面ABD 折起与平面BCD 成120︒的二面角后，点A 到平面BCD 的距离为．10．已知πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且R x ∀∈，都有()()2f x f x =-，当10x -≤<时，()()2log f x x =-，则函数()()2g x f x =+在区间()1,8-内所有零点之和为．12．已知函数()y f x =，()y g x =，且()3e xf x -=，()1lng x x =+，若()()f m g n =，则n m-的最小值为.二、单选题13．下图是某地区2010年至2019年污染天数y （单位：天）与年份x 的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型11ˆˆy a x b =+，22ˆˆy a x b =+，33ˆˆy a x b =+，则（）A ．123ˆˆˆa a a <<，123ˆˆˆb b b <<B ．132ˆˆˆa a a <<，132ˆˆˆb b b << C ．231ˆˆˆa a a <<，132ˆˆˆb b b << D ．231ˆˆˆa a a <<，321ˆˆˆb b b << 14．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；B ．若//m n ，n ⊂α，则//m α；C ．若m 、n 是异面直线，m α⊂，//m β，n β⊂，//n α，则//αβ；D ．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ．15．已知ABC V 的三边长分别为4、5、7，记ABC V 的三个内角的正切值所组成的集合为M ，则集合M 中的最大元素为（）A ．BC ．-D ．16．已知函数()y f x =的表达式为()e x f x x=，若函数()()()222e e g x f x af x a ⎡⎤=+--⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2e -∞-B ．(),e -∞-C ．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数()y f x =的表达式为()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>(1)设1ω=，求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调增区间；(2)设实数πa >，()f x 的最小正周期为π，若在[]π,x a ∈上恰有3个零点，求a 的取值范围． 18．如图，PA 、PB 、PC 为圆锥三条母线，AB AC =.(1)证明:PA BC ⊥；(2),BC 为底面直径，2BC =，求二面角B PA C --的大小19．某市YC 中学体育节开展趣味运动比赛，其中A 、B 两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，或者5局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中A 班获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立．(1)求趣味比赛A 班以3比1赢得最终胜利的概率；(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为X ，求X 的分布及数学期望．20．已知双曲线22:13y C x -=，点1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，A x 1,y 1 、B x 2,y 2 为双曲线上的点.(1)求右焦点2F 到双曲线的渐近线的距离；(2)若223AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 的方程；(3)若12//AF BF ，其中A 、B 两点均在x 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形12AF F B 的面积的取值范围.21．如图，在区间[],a b 上，曲线y =f x 与,,x a x b x ==轴围成的阴影部分面积记为面积S ，若()()F x f x '=（()F x '为函数()y F x =的导函数），则()()S F b F a =-.设函数()1(0)f x x x=>(1)若1,2a b ==，求S 的值；(2)已知0b a >>，点()(),0,,0,(,()22a b a bA a D b M f ++，过点M 的直线分别交,x a x b ==于,B C 两点（,B C 在第一象限），设四边形ABCD 的面积为1S ，写出1S 的表达式（用,a b 表示）并证明：1S S >：(3)函数()()ln g x f x x m =-有两个不同的零点12,x x ，比较21x x 与2e 的大小，并说明理由.。

2020-2021学年上海市静安区市西中学高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知扇形的圆心角为 π4 ，半径为2 √2 ，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，0分）已知lga+lgb=1，则2a+b 的最小值为 ___ ．3.（填空题，0分）集合A={x|y= x 12 }，集合B={y|y=lg （x 2-1）}，则A∩B=___ ．4.（填空题，0分）已知集合A={x|x 2-px+6=0}，若3∈A ，则方程5x-1=p 的解为___ ．5.（填空题，0分）若函数y= x m 2−4m−5 （m∈Z ）在区间（0，+∞）上是严格减函数，且图像关于y 轴对称，则实数m 的值是 ___ ．6.（填空题，0分）已知log 32=a ，则log 296=___ .（用含a 的代数式表示）7.（填空题，0分）已知f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x+2020，则f （2019）=___ ．8.（填空题，0分）若方程f （x ）=ax 2+bx+c 是定义域为（2a-3，1）的偶函数，则a+b=___ ．9.（填空题，0分）已知函数f （x ）=a x -4a+3的反函数的图象经过点（-1，2），那么a 的值等于___ ．10.（填空题，0分）函数y=3x -x 5-1有___ 个零点．11.（填空题，0分）已知集合{x|（x-1）（x 2-x+a ）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为___ ．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {|x +a |，x ≤0x +4x+a ，x ＞0 ，若f （0）是该函数的最小值，则实数a 的取值范围是___ ．13.（单选题，0分）终边在直线 y =√3x 上的角的集合为（）A. {α|α=2kπ+π3，k ∈z}B. {α|α=kπ+π3，k ∈z}C. {α|α=2kπ±π3，k ∈z}D. {α|α=kπ±π3，k ∈z}14.（单选题，0分）如图为函数f （x ）=t+log a x 的图象（a ，t 均为实常数），则下列结论正确的是（）A.0＜a ＜1，t ＜0B.0＜a＜1，t＞0C.a＞1，t＜0D.a＞1，t＞015.（单选题，0分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A.y=x 13B.y= √x2−2x−3C.y=3|x|-1D.y=x-216.（单选题，0分）已知不等式ax2+2y2≥xy，若对于任意x∈[1，2]，y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a≥-3B.a≥-1C. a≥18D. −1≤a≤1817.（问答题，0分）已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，求tanα的值．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= √1−x2．求：|x|（1）函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明．（a是常数）．19.（问答题，0分）已知函数f（x）= 1−22x+a（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值，并证明f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方．20.（问答题，0分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R （元）与年产量x （台）的关系是R （x ）= {500x −12x 2(0≤x ≤500)125000(x ＞500)，x∈N ．（1）把该产品的年利润y （元）表示为年产量x （台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入-总成本）21.（问答题，0分）设集合M={f （x ）|存在正实数a 使得定义域内任意x 都有f （x+a ）-f （x ）＞0}．（1）若g （x ）=x 3- 14 x+3，且g （x ）∈M a ，求a 的取值范围；（2）若h （x ）=log 3（x+ k x ），x∈[1，+∞）（k∈R ），且h （x ）∈M 2，求h （x ）的最小值．2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）已知扇形的圆心角为π4，半径为2 √2，则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：利用S扇形= 12α•R2即可得出．【解答】：解：S扇形= 12α•R2 = 12×π4×(2√2)2=π．故答案为：π．【点评】：本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．2.（填空题，0分）已知lga+lgb=1，则2a+b的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：利用对数的运算法则得到ab=10，且a＞0，b＞0，再利用基本不等式的性质即可求解．【解答】：解：∵lga+lgb=1，∴ab=10，且a＞0，b＞0，∴2a+b≥2 √2ab =2 √20 =4 √5，∴当且仅当2a=b，即a= √5，b=2 √5时取等号，∴2a+b的最小值为 4 √5．故答案为：4 √5．【点评】：本题考查了基本不等式的性质，对数的运算法则，属于基础题．3.（填空题，0分）集合A={x|y= x12 }，集合B={y|y=lg（x2-1）}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1][0，+∞）【解析】：求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】：解：集合A={x|y= x 12}={x|x≥0}，集合B={y|y=lg（x2-1）}={y|y∈R}，则A∩B=[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】：本题考查了交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（填空题，0分）已知集合A={x|x2-px+6=0}，若3∈A，则方程5x-1=p的解为___ ．【正确答案】：[1]x=2【解析】：根据题意，由元素与集合的关系可得9-3p+6=0，解可得p=5，进而可得5x-1=5，解可得x的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，集合A={x|x2-px+6=0}，若3∈A，则有9-3p+6=0，解可得p=5，若5x-1=p，即5x-1=5，解可得x=2，故答案为：x=2【点评】：本题考查集合的表示方法，涉及函数的零点，属于基础题．5.（填空题，0分）若函数y= x m2−4m−5（m∈Z）在区间（0，+∞）上是严格减函数，且图像关于y轴对称，则实数m的值是 ___ ．【正确答案】：[1]1或3【解析】：根据幂函数在区间（0，+∞）上为减函数求得m的取值范围，再由m∈Z，结合函数图象关于y轴对称，求出m的值．【解答】：解：幂函数y= x m2−4m−5（m∈Z）在区间（0，+∞）上为减函数，∴m2-4m-5＜0，解得：-1＜m＜4，又m∈Z，∴m=0或m=1或m=2或m=3；当m=0时，y=x-5，图象不关于y轴对称；当m=1时，y=x-8，图象关于y轴对称；当m=2时，f（x）=x-9，图象不关于y轴对称；当m=3时，f（x）=x-8，图象关于y轴对称；综上，m的值为1或3．故答案为：1或3．【点评】：本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6.（填空题，0分）已知log32=a，则log296=___ .（用含a的代数式表示）【正确答案】：[1]5+ 1a【解析】：直接根据对数的运算性质求解即可．，【解答】：解：由log32=a，则log296=log2（32×3）=log232+log23=5+ 1a．故答案为：5+ 1a【点评】：本题考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，属于基础题．7.（填空题，0分）已知f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x+2020，则f（2019）=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：根据题意，由函数的解析式求出f（-2019）的值，进而结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】：解：根据题意，x＜0时，f（x）=x+2020，则f（-2019）=-2019+2020=1，又由f（x）为奇函数，则f（2019）=-f（-2019）=-1；故答案为：-1．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．8.（填空题，0分）若方程f（x）=ax2+bx+c是定义域为（2a-3，1）的偶函数，则a+b=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据题意，由偶函数的性质可得（2a-3）+1=0，且b=0，解可得a的值，相加即可得答案．【解答】：解：根据题意，若f（x）=ax2+bx+c是定义域为（2a-3，1）的偶函数，则有（2a-3）+1=0，且b=0，解可得：a=1，则a+b=1；故答案为：1．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．9.（填空题，0分）已知函数f（x）=a x-4a+3的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，利用函数f（x）=a x-4a+3的反函数的图象经过点（-1，2）可知点（2，-1）在函数f（x）=a x-4a+3的图象上，由此代入数值即可求得．【解答】：解：依题意，点（-1，2）在函数f（x）=a x-4a+3的反函数的图象上，则点（2，-1）在函数f（x）=a x-4a+3的图象上将x=2，y=-1，代入y=a x-4a+3中，解得a=2故答案为：2【点评】：本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷！这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便的多，不妨一试进行比较．10.（填空题，0分）函数y=3x-x5-1有___ 个零点．【正确答案】：[1]4【解析】：函数y=3x-x5-1的零点个数即函数f（x）=3x-1与g（x）=x5的交点个数，在同一坐标系内画出两函数的图象，结合图象得答案．【解答】：解：函数y=3x-x5-1的零点个数即为方程3x-x5-1=0的根的个数，也就是函数f（x）=3x-1与g（x）=x5的交点个数．作出函数f（x）=3x-1与g（x）=x5的图象如图：由图可知已有3个交点，当x→+∞时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，故还有一交点，∴函数y=3x -x 5-1有4个零点．故答案为：4．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.（填空题，0分）已知集合{x|（x-1）（x 2-x+a ）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{0}∪（ 14 ，+∞）【解析】：利用分类讨论的思想 ① 当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1． ② 当f （x ）=x 2-x+a 没有零点，即）x 2-x+a=0没有实根，故△＜0，进一步求出结果．【解答】：解：集合{x|（x-1）（x 2-x+a ）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则： ① 当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．② 当f （x ）=x 2-x+a 没有零点，即）x 2-x+a=0没有实根．故△＜0，即1-4a ＜0解得：a ＞14 ．综合 ① ② 得： a ∈{0}∪(14，+∞) ，故答案为：{0}∪（ 14 ，+∞）【点评】：本题考查的知识要点：集合的性质的应用，函数和方程的关系．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）= {|x +a |，x ≤0x +4x +a ，x ＞0，若f （0）是该函数的最小值，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-2，0]【解析】：由题意知当x≤0时，|x+a|≥|a|，且x+ 4x +a≥2 √4 +a=4+a ，从而解出实数a 的取值范围．【解答】：解：∵f （0）是该函数的最小值，∴当x≤0时，|x+a|≥|a|，∴a≤0；又∵x+ 4x+a≥2 √4 +a=4+a，（当且仅当x=2时，等号成立）；∴|a|≤4+a，即-a≤4+a，故a≥-2；故实数a的取值范围是[-2，0]；故答案为：[-2，0]．【点评】：本题考查了分段函数的应用及绝对值函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．13.（单选题，0分）终边在直线y=√3x上的角的集合为（）A. {α|α=2kπ+π3，k∈z}B. {α|α=kπ+π3，k∈z}C. {α|α=2kπ±π3，k∈z}D. {α|α=kπ±π3，k∈z}【正确答案】：B【解析】：由直线方程求出直线的倾斜角，分别写出终边落在直线向上和向下方向上角的集合，求并集即可．【解答】：解：由直线y= √3 x的斜率为√3，则倾斜角为60°，∴终边落在射线y= √3 x（x≥0）上的角的集合是S1={α|α= π3+2kπ，k∈Z}，终边落在射线y= √3 x（x≤0）上的角的集合是S2={α|α= 4π3+2kπ，k∈Z}，∴终边落在直线y= √3 x上的角的集合是：S={α|α= π3+2kπ，k∈Z}∪{α|α= 4π3+2kπ，k∈Z}={α|α= π3+2kπ，k∈Z}∪{α|α= π3+（2k+1）•π，k∈Z}={α|α= π3+kπ，k∈Z}．故选：B．【点评】：本题考查了终边相同角的集合求法与并集的运算问题，是基础题．14.（单选题，0分）如图为函数f（x）=t+log a x的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是（）A.0＜a＜1，t＜0B.0＜a＜1，t＞0C.a＞1，t＜0D.a＞1，t＞0【正确答案】：C【解析】：根据对数函数的图象和性质即可得到答案【解答】：解：因为对数函数y=t+log a x的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，由图象可知当x=1时，y=t＜0，故选：C．【点评】：本题考查了对数函数的图象与性质，是基础的概念题．15.（单选题，0分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A.y=x 13B.y= √x2−2x−3C.y=3|x|-1D.y=x-2【正确答案】：D【解析】：分别求出四个函数的值域得答案．【解答】：解：函数y=x 13的值域为R；由x2-2x-3≥0，得x≤-1或x≥3，则函数y= √x2−2x−3的值域为[0，+∞）；∵|x|≥0，∴3|x|≥1，则函数y=3|x|-1的值域为[0，+∞）；y= x−2=1x2＞0，则函数y=x-2的值域为（0，+∞）．∴值域是（0，+∞）的是y=x-2．故选：D．【点评】：本题考查函数的值域及其求法，是基础的计算题．16.（单选题，0分）已知不等式ax2+2y2≥xy，若对于任意x∈[1，2]，y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a≥-3B.a≥-1C. a≥18D. −1≤a≤18【正确答案】：B【解析】：由已知不等式分离参数a，得到a≥-2（yx - 14）²+ 18，在坐标平面内画出不等式组{1＜x＜2 2≤y≤3表示的平面区域，求出yx的取值范围，则答案可求．【解答】：解：依题意得，当x∈（1，2）时，且y∈[2，3]时，不等式ax2+2y2≥xy，即a≥ xy−2y 2x2 = yx-2 (yx)2=-2（yx- 14）²+ 18．在坐标平面内画出不等式组{1＜x＜22≤y≤3表示的平面区域，注意到yx 可视为该区域内的点（x，y）与原点连线的斜率，结合图形可知，yx的取值范围是（1，3），此时-2（yx - 14）²+ 18＜-1，因此满足题意的实数a的取值范围是a≥-1．故选：B．【点评】：本题考查函数恒成立问题，简单的线性规划，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，属于中档题．17.（问答题，0分）已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，求tanα的值．【正确答案】：【解析】：将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式化简可得tan 2α+2tanα+1=0，解方程可得tanα的值．【解答】：解：因为 sinα−cosα=√2，α∈(0，π) ，所以两边平方，可得1-2sinαcosα=2，可得sinαcosα= sinαcosαsin 2α+cos 2α = tanαtan 2α+1 =- 12，整理可得tan 2α+2tanα+1=0，所以解方程可得tanα=-1．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．18.（问答题，0分）已知函数f （x ）= √1−x 2|x|．求：（1）函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得， {1−x 2≥0x ≠0，解不等式即可求解；（2）只要检验f （-x ）与f （x ）的关系即可判断．【解答】：解：（1）由题意可得， {1−x 2≥0x ≠0，解可得，-1≤x≤1且x≠0，故函数的定义域[-1，0）∪（0，1]；（2）因为f （x ）= √1−x 2|x|，所以f （-x ）= √1−(−x)2|−x| = √1−x 2|x| =f （x ），故f （x ）为偶函数．【点评】：本题主要考查了函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属于基础试题．19.（问答题，0分）已知函数f（x）= 1−22x+a（a是常数）．（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值，并证明f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方．【正确答案】：【解析】：（1）求f（x）=1- 22x+1的值域转化为先求2x+1的范围，即可解得；（2）由函数f（x）= 1−22x+a 是奇函数知1−22x+a=-（1- 22−x+a）恒成立，化简求解得a=1，f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方转化为g（x）-f（x）＞0，化简，结合基本不等式求解．【解答】：解：（1）f（x）=1- 22x+1，∵2x+1＞1，∴0＜22x+1＜2，∴-1＜1- 22x+1＜1，故函数f（x）的值域为（-1，1）；（2）∵函数f（x）= 1−22x+a是奇函数，∴ 1−22x+a =-（1- 22−x+a），即2x+a−22x+a= −(2−x+a−2)2−x+a，即（2x+2-x）（a-1）+a（a-2）+1=0，故a-1=0且（a-1）2=0，解得，a=1，f（x）=1- 22x+1，g（x）=2x+1-1，g（x）-f（x）=2x+1-1-（1- 22x+1）=2x+1+ 22x+1-2=2（2x+1）+ 22x+1-4，∵2（2x+1）= 22x+1时，x不存在，∴2（2x+1）+ 22x+1-4＞2• √4 -4=0，即g（x）-f（x）＞0，故f（x）的图像始终在g（x）=2x+1-1的图像的下方．【点评】：本题考查了函数的性质的应用及转化思想方法的应用，同时考查了作差法及基本不等式，属于中档题．20.（问答题，0分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R （元）与年产量x （台）的关系是R （x ）= {500x −12x 2(0≤x ≤500)125000(x ＞500) ，x∈N ．（1）把该产品的年利润y （元）表示为年产量x （台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入-总成本）【正确答案】：【解析】：（1）利用y=R （x ）-100x-20000分0≤x≤400、x ＞500两种情况讨论即可把该产品的年利润y （元）表示为年产量x （台）的函数；（2）分段求最大值，即可得出结论．【解答】：解：（1）由题意y=R （x ）-100x-20000元，当0≤x≤500时，y=500x- 12 x 2-100x-20000=- 12 （x-400）2+60000，当x ＞500时，y=125000-100x-20000=105000-100x ， ∴y= {−12(x −400)2+60000(0≤x ≤500)105000−100x(x ＞500) ；（2）当0≤x≤500时，y=- 12 （x-400）2+60000 显然当x=400时，y 取最大值60000元；当x ＞500时，y=105000-100x ，显然y 随着x 的增大而减小，y ＜105000-100•500=55000∴每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．【点评】：本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21.（问答题，0分）设集合M={f （x ）|存在正实数a 使得定义域内任意x 都有f （x+a ）-f （x ）＞0}．（1）若g （x ）=x 3- 14x+3，且g （x ）∈M a ，求a 的取值范围；（2）若h （x ）=log 3（x+ k x），x∈[1，+∞）（k∈R ），且h （x ）∈M 2，求h （x ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义，求得g （x+a ）-g （x ）＞0，转化成关系x 的一元二次不等式，利用判别式求得a 的取值范围；（2）同理根据定义，求得h （x+2）-h （x ）＞0，根据对数的运算，求得k 的取值范围，再根据k 的范围求得h （x ）的最小值．【解答】：解：（1）由g （x+a ）-g （x ）=（x+a ）3-x 3- 14（x+a ）+ 14x=3ax 2+3a 2x+a 3- 14a ＞0，所以Δ=9a 4-12a （a 3- 14 a ）＜0，故 a ＞1．所以a 的取值范围为（1，+∞）（3）由h （x+2）-h （x ）=log 3[（x+2）+ k x+2 -log 3（x+ kx）＞0，即：log 3[（x+2）+k x+2 ]＞log 3（x+ k x ）所以x+2+ kx+2 ＞x+ kx ＞0对任意x∈[1，+∞）都成立所以 {k ＜x (x +2)k ＞−x 2，则 {k ＜3k ＞−1 ，所以-1＜k ＜3，当-1＜k≤0时，h （x ）min =h （1）=log 3（1+k ）；当0＜k ＜1时，h （x ）min =h （1）=log 3（1+k ）；当1≤k ＜3时，h （x ）min =h （ √k ）=log 3（2 √k ）综上： ℎ(x )min ={log 3(1+k )，−1＜k ＜1log 3(2√k)，1≤k ＜3 ．【点评】：本题考查分段函数的应用，函数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

上海市普陀区教育学院附属中学2019年高二数学文联考试题含解析

上海市普陀区教育学院附属中学2019年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．1参考答案：A略2. 数列的一个通项公式是( )A. B. C. D.参考答案：BD略4. 如右图所示的程序框图,输出的结果的值为( )A.0B.1C.D.参考答案：A5. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）．A．B．C．D．参考答案：D设圆心，∴，，∴，∴，整理得．故选．6. 集合，则M∩N等于（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：集合，,，，故选B.考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.7. 设是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=(x＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．1+ln2参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】阴影部分E由两部分组成，矩形部分用长乘以宽计算，曲边梯形的面积，利用定积分计算．【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成因为函数，当y=2时，x=，所以阴影部分E的面积为+=1+=1+ln2故选D．9. 数列满足，且，则= （）A.10 B．11 C．12 D．13参考答案：B10. 设函数，记则（）A. B.C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三角形ABC中，若A=60°，AB=4，AC=1，D是BC的中点，则AD的长为 .参考答案：12. 已知的展开式中的常数项是＿＿＿＿（用数字作答）；参考答案：1513. 已知双曲线=1（a＞b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出①及=2c②，求出a=b，即可得双曲线的离心率．【解答】解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，∴F（0，），∵|FA|=c，∴①抛物线的准线方程为y=﹣，代入双曲线的方程得x=±，∴=2c②，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．14. 已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则.参考答案：－2－3i由题意得复数对应的点为（2，-3），它关于原点的对称点为（-2,3），故，所以．15. 如图的程序，当输入A=2,B=10，程序运行后输出的结果为。

2019-2020学年上海市浦东新区陆行中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2019-2020学年上海市浦东新区陆行中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为()A．29 B．31 C．32 D．33参考答案：C2. 已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，?的值为( )A．2 B．C．D．3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，?==．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．3. 在中,分别为内角的对边，且则等于A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：D结合余弦定理，得，可求出。

解：由得：，，则=120°。

故选D。

考点：余弦定理．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础试题4. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由题意可得直线AB的方程 y﹣0=k （x+1），k＞0，代入抛物线y2=4x化简求得x1+x2和x1?x2，进而得到y1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y﹣0=k （x+1），k＞0．代入抛物线y2=4x化简可得 k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1?x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，∴k=，故选：B．5. 已知数列的前项积为，且满足，若，则为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意，求出前5项，确定数列是以4为周期的数列，求出前4项的乘积，即可求出结果.【详解】因为，，所以，所以，所以，所以，所以数列以为周期，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查周期数列的应用，会根据递推公式推出数列的周期即可，属于常考题型.6. “”是“” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B7. 已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则函数f（x）的极值点的个数（）A．0个B．1个C．两个D．三个参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知函数的导函数为（x0﹣2）（x0+1）2 ，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数即可．【解答】解：由题意可知函数的导函数为f′（x）=（x0﹣2）（x0+1）2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（2），故函数f（x）的极值点的个数是1个，故选：B．【点评】此题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查函数的极值点，是一道基础题．8. 设实数x，y满足，则的取值范围为( ) A．B．C．D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】画出可行域，将目标函数变形，赋予几何意义，是可行域中的点与点（0，0）连线的斜率，由图求出取值范围，从而求出所求即可．【解答】解：画出可行域：设k=表示可行域中的点与点（0，0）连线的斜率，由图知k∈[，2]∴∈[，2]∴=k﹣取值范围为故选：D【点评】本题考查画出可行域、关键将目标函数通过分离参数变形，赋予其几何意义、考查数形结合的数学思想方法，属于基础题．9. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．10. 设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA 的距离分别为d1、d2、d3，则有d1＋d2＋d3为定值a；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1、d2、d3、d4，则有d1＋d2＋d3＋d4为定值 ( )．A． B． C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）；参考答案：14012. 一物体沿着直线以v = 2 t + 3 ( t的单位：s, v的单位：m/s)的速度运动，那么该物体在3~5s间行进的路程是米。

专题02 集合间的基本关系(解析版)

【答案】A
【解析】若 B＝∅，即2 − 1＜a﹣1，即 a＜0 时，满足 B⊆A，
≥0
若 B≠∅，即 − 1≤2a﹣1，即 a≥0 时，要使 B⊆A，则满足{
，解得0 ≤ ≤ 1
2 − 1 ≤ 1
综上： ⩽ 1，故选：A．
【题型强化】1.已知集合 = {|1 < < 2}， = {|−1 < < 1}，求满足 ⊆ 的实数的取值范围.
2
【解析】集合 A＝{－1，3，2m－1}，集合 B＝{3，m }.
若 B⊆A，则2 ∈ ，且2 ≠ 3，又∵2 ≥ 0,∴2 = −1无解，
若−1 < ≤ 0,要使 ⊆ ,则2 − 1 ≥ 1,即 ≥ 1,矛盾.
同理当0 < < 1时,也不存在 a 的值.而 ≥ 1时,要使 ⊆ ,则有2 ≤ 2 − 1,即( − 1)2 ≤ 0,∴ = 1.
故存在 a 1 ,使得 ⊆ .
【名师点睛】(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
A． ∈
B． =
C． ⊆
）
D． ⊆
【答案】D
【解析】
∵合 A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选 D．
1
4
1
2.已知集合A={|x= 9 (2 + 1), ∈ }，B={|x= 9 ± 9 , ∈ }，则集合 A，B 之间的关系为________．
2
≥ −1,
解得 ≤ −2.综上所述，所求实数的取值范围为−∞, −2 ∪ {0} ∪ 2, +∞).
≤
1,

Hale Waihona Puke 2.已知集合 = {|1 < < 2}, = {||| < 1}，是否存在实数 a，使得 ⊆ .若存在，求出实数 a 的取值范

2021届高二新题数学人教A版2019专题01空间向量与立体几何(选择题、填

2021届高二新题数学人教A版2019专题01,空间向量与立体几何（选择题、填空题）（9月解析版）题专题01空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为A．63B．102C．155D．105【答案】D【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解析】以D点为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BCACA C为平面11BBDD的一个法向量．1410cos,558BCAC．直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为105.故选D．【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC 与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是A．172263ABADAA B．151263ABADAA C．112263ABADAA D．111263ABADAA【答案】C【分析】在平行六面体ABCDABCD中，根据空间向量加法合成法则，对向量OM进行线性表示即可【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，OMOBBM"23OBBC"12()23DBADAA"12()()23ABADADAA 112263ABADAA，故选C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.3．（河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）若两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，则1l和2l的位置关系是A．平行B．相交C．垂直D．不确定【答案】A【分析】由212v，可知两直线的位置关系是平行的【解析】因为两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，所以212v，即2与1v共线，所以两条不重合直线1l和2l的位置关系是平行，故选A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.4．（河南省商丘市回民中学2019-2020学年高二期末考试数学（理）试题）已知向量1,1,01,0,2ab，且2kabab与互相垂直，则k的值是A．75B．2C．53D．1【答案】A【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.【解析】因为1,1,01,0,2ab，，所以1ab，25ab，，又2kabab与互相垂直，所以20kabab，即22220kakababb，即4250kk，所以75k;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.5．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）,,abc为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是A．,,aabab B．,,bababC．,,cabab D．,,2ababab【答案】C【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面【解析】对于A，因为()()2ababa，所以,,aabab共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为)()2ababb(，所以,,babab共面，不能构成基底，排除B，对于D，312()()22ababab，所以,,2ababab共面，不能构成基底，排除D，对于C，若,,cabab共面，则()()()()cababab，则,,abc共面，与,,abc为空间向量的一组基底相矛盾，故,,cabab可以构成空间向量的一组基底，故选C【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy平面对称的点的,xy坐标不变，只有z坐标相反．【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为(1,2,)3．故选D．【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．7．（河南省开封市第二十五中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB A．5B．10C．13D．14【答案】B【分析】求出B点坐标，然后计算OB．【解析】点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点(1,0,3)B，则2210310OB．故选B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．8．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）在正方体1111ABCDABCD 中，异面直线AC与1BD所成的角为A．6B．4C．3D．2【答案】D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与1BD所成的角.【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），AC＝（﹣1，1，0），1BD＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC与B1D所成的角为，则cos ＝11||||||ACBDACBD＝0，＝2.异面直线AC与B1D所成的角为2.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．（浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，长方体1111ABCDABCD中，14AAAB，2AD，E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角的余弦值是A．0B．105C．22D．155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示1,AEGF，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【解析】如图12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2AEFG，所以12,0,2,2,2,2AEGF所以异面直线1AE与GF所成角的余弦值110AEGFAEGF故选A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.10．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是A．(－3,4，－10)B．(－3,2，－4)C．311(,,)222D．(6，－5,11)【答案】A【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(023,122,324)(3,4,10)，选A.11．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）若向量,ab的坐标满足2,1,2ab，4,3,2ab，则ab等于A．5B．5C．7D．1【答案】B【分析】直接利用向量的关系式，求出向量a、b的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.【解析】因为2,1,2ab，4,3,2ab，两式相加得22,4,0a，解得1,2,0a，3,1,2b，所以1321025ab，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本运算，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.12．（上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若,ABaADb,1AAc，则与BM相等的向量是A．1122abc B．1122abc C．1122abc D．1122abc 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，用,,abc作基底表示BM即可得解.【解析】根据空间向量的线性运算可知11BMBBBM11112AABD1111112AABAAD112AAAB AD因为,ABaADb,1AAc，则112AAABAD1122abc即1122BMabc，故选D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.13．（黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P关于xOy面对称的点的坐标是（）A．(1,3,5)B．(1,3,5)C．(1,3,5)D．(1,3,5)【答案】C 【解析】1,3,5P关于xOy面对称的点为1,3,514．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，且2OMMA，BNNC，则MN A．221332abc B．111222abc C．211322abc D．12 1232abc【答案】C【分析】根据MNONOM，再由2OMMA，BNNC，得到2211,3322aOMOAONOBOCcb，求解.【解析】因为MNONOM，又因为2211,3322aOMOAONOBOCcb，所以211322MNabc.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）设,xyR，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)axy，,cacb P，则||ab A．22B．10C．3D．4【答案】C【分析】根据,cacb P，结合向量的坐标运算可求得参数,xy的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【解析】,241,2,(1,2,1)bcyyb P，,ac214+ 20,acx1x，(1,1,1),(2,1,2)aab，222||2(1)23ab，故选C.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题16．（河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在正方体1111ABCDABCD中，MN，分别为AD，11CD的中点，O为侧面11BCCB的中心，则异面直线MN与1OD所成角的余弦值为()A．16B．14C．16D．14【答案】A【分析】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MNOD，的坐标，由数量积求夹角公式求解．【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD 所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则1100,012,121,002MNOD，，，，，，，，，11,1,2,1,2,1MNOD．则11111cos,666MNODMNODMNOD．异面直线MN与1OD所成角的余弦值为16,故选A．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．17．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）长方体1111ABCDABCD中12,1ABAAAD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE所成角的余弦值为A．1010B．3010C．21510D．31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，1BC＝(－1,0,2)，AE＝(－1，2,1)．cos〈1BC，AE〉＝＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.18．（湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C （－1，3，1），则A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是1,1,0C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是1,2.5【答案】D【分析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.【解析】由题意，对于A中，2,1,0,1,2,1ABAC，所以ABAC，则AB与AC不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为2,1,0AB，所以AB的单位向量为255,,055或255,,055，所以是错误的；对于C中，向量2,1,0,3,1,1ABAC，所以55cos,11ABBCABBCABBC，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是,,nxyz，因为2,1,0,1,2,1ABAC，所以200200xynABxyznAC，令1x，所以平面ABC的一个法向量为125n，，，所以是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，平行六面体中1111ABCDABCD中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，则对角线1BD的长为A．1B．2C．3D．2【答案】B【分析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，利用空间向量的加法运算得到11BDBABBBC，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，由2211BDBABBBC222111222BABBBCBABBBCBABBBC求解.【解析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，所以111111cos120,11cos6022BABBBABCBCBB，所以11BDBABBBC，所以2211BDBABBBC，222111222BABBBCBABBBCBABBBC，113+22+2222，所以12BD，故选B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD 的距离为A．32B．233C．55D．255【答案】D【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面ACD所成角的正切值为12得到2t，再求B到平面ACD 的距离即可.【解析】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，0,0,0B，2,0,0C，0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=-.设平面ACD的法向量,,nxyz，则20220nCAxtznCDxy，令1x，得1y，2zt，故21,1,nt.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为55.即2255211ABnABntt，解得2t.所以平面ACD的法向量21,1,2n，故B到平面ACD 的距离为22551112ABndn.故选D【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.21．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M为棱1CC 的中点，则直线1BM与平面11ADM所成角的正弦值是A．215B．25C．35D．45【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2ADMB11(1,0,0)AD，11(0,1,)2DM，11(1,0,)2MB设平面11ADM的法向量为(,,)mxyz则1110=01002xADmyzDMm令1y可得2z，所以(0,1,2)m设直线1BM与平面11ADM所成角为，1112sin5552mMBmMB故选B【点睛】本题考查了空间中的角线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.22．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是0,0,0，1,2,0，0,2,2，3,0,1，则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为A．3B．52C．2D．72【答案】A【解析】根据平行投影的知识可知:该四面体中以yOz平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.23．（四川省内江市2020届高三高考数学（理科）三模试题）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，BAC＝90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A．16+8B．32+16C．32+8D．16+16【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111ADBCO.依题意半圆柱体底面直径4,,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点，所以1111,ADBCADBC且1,OO分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OOOBOOOAOAOB，以1,,OBOAOO为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为0hh，则12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,BDhABh，所以12,2,,2,2,BDhABh，由于异面直线BD和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BDABhBDABhh，即2222,16,483hhhh.所以几何体的体积为2112442416822.故选A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.24．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷（文科））在正方体1111ABCDABCD中，点E，F，G分别为棱11AD，1DD，11AB的中点，给出下列命题：①1ACEG；②//GCED；③1BF平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【解析】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，12,0,0,0,2,2,2,1,2ACG，10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.①，112,2,2,1,1,0,2200ACEGACEG，所以1ACEG，故①正确.②，2,1,2,1,0,2GCED，不存在实数使GCED，故//GCED不成立，故②错误.③，112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC，1110,20BFBGBFBC，故1BF平面1BGC不成立，故③错误.④，11,0,1,0,0,2EFBB，设EF和1BB成角为，则1122cos222EFBBEFBB，由于0,2，所以4，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.25．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则cos的最大值是A．33B．23C．53D．63【答案】D【分析】连接BE，以E为原点，EB 为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC的一个法向量m，平面VEF的一个法向量n，利用cosmnmn即可求解.【解析】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，则RtABCRtVAC，所以VAVCBABC设2VAVCBABCVB，由E为线段AC的中点，则2VEBV，由222VEBEVB，所以VEEB，以E为原点，EB为x轴，EC为y 轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则0,2,0C，2,0,0B，0,0,2V，设,2,0Fxx，0,2,2VC，2,0,2VB，0,0,2EV，,2,2VFxx，设平面VBC的一个法向量111,,mxyz，则00mVCmVB，即1111220220yzxz，令11x，则11y，11z，所以1,1,1m.设平面VEF的一个法向量222,,nxyz，则00nEVnVF，即222220220zxxxyz，解得20z，令21y，则221xx，所以21,1,0nx，平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则22cos22232mnxmnxx，将分子、分母同除以1x，可得2222322226626xxxx令2226626632fxxxx，当22x时，min3fx，则cos的最大值为：2633.故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.26．（陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为A．0,4B．0,2C．1,4D．1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO，根据正方体的特点可确定PO的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON，2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON，MN为球O的直径，0OMON，1OMON，21PMPNPO，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为1，210,2PO，即PMPN的取值范围为0,2.故选B.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.27．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为A．427B．7216C．1172D．16【答案】B【分析】根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案.【解析】点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3，则2223xyz，即2229xyz连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有666216个其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)满足条件则点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为7216P故选B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于中档题.28．（浙江省2020届高三下学期强基联考数学试题）已知非负实数x，y，z满足01xyz，则有序实数对,,xyz围成几何体的体积为A．12B．13C．16D．以上都不对【答案】C【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.【解析】若01x，01y，01z，则有序实数对,,xyz围成几何体是棱长为1的正方体1111ABCDABCD,若非负实数x，y，z满足01xyz，有序实数对,,xyz围成几何体为三棱锥111BDCD,则111111=111=326BDCDV，故选C【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.29．（浙江省舟山中学2020届高三下学期6月高考仿真模拟数学试题）在正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB上，满足2AEEB，点F为线段AC上的动点.设直线DE与平面DBF所成的角为，则A．存在某个位置，使得DEBF B．存在某个位置，使得4FDB C．存在某个位置，使得平面DEF平面DACD．存在某个位置，使得6【答案】C【分析】设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.【解析】如下图所示，设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，则3,1,03A、23,0,03B、3,1,03C、260,0,3D、31,,033E，设3,,03F，其中11，对于A选项，若存在某个位置使得DEBF，3126,,333DE，3,,0BF，1103DEBF，解得3，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得4FDB，326,,33DF，2326,0,33DB，22212cos,2323DFDBDFDBDFDB，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面DAC的一个法向量为111,,mxyz，326,1,33DA，326,1,33DC，由111111326033326033mDAxyzmDCxyz，取11z，得22,0,1m，设平面DEF的一个法向量为222,,nxyz，3126,,333DE，326,,33DF，由22222231260333326033nDExyznDFxyz，取46y，则2262,46,31n，若存在某个位置，使得平面DEF平面DAC，则2190mn，解得31,17，合乎题意，C选项正确；对于D选项，设平面DBF的一个法向量为333,,uxyz，2326,0,33DB，326,,33DF，由333332326033326033uDBxzuDFxyz，令z，则2,6,u，若存在某个位置，使得6，即22612131sincos,6227272363uDEuDEuDE，整理得254120，162400，该方程无解，D选项错误.故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.30．（浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱11BC 上靠近1C点的三分点，M是棱1CC上的动点，则二面角AFME的正切值不可．．能．是A．3155B．2155C．6D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角AFME的余弦值，进而求得二面角AFME的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O，连接OA，根据等边三角形的性质可知OABC，根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则0,33,0,1,0,2AF，设3,0,02Mtt.则1,33,2,2,0,2AFFMt.设平面AMF的一个法向量为,,mxyz，则3320220mAFxyzmFMxtz，令1y，得633363,1,66tmtt.平面FME的一个法向量是0,1,0n，所以22216cos,28120252633363166mntmnmnttttt，所以2sin,1cos,mnmn222710821628120252tttt，所以二面角AFME的正切值为22sin,271082166cos,mnttfttmn211540216 2766tt.因为02t，所以111466t，216125405结合二次函数的性质可知当1165t时，ft有最小值为11315540216272555；当1166t时，ft有最大值为11540216276366，所以315,65ft，所以二面角AFME的正切值不可能是2155.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、多选题31．（辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）若1,,2a，2,1,1b，a与b的夹角为120，则的值为（A．17B．－17C．－1D．1【答案】AC【分析】求出ab，以及,ab，代入夹角公式cos,ababab即可求出.【解析】由已知224ab，22145,4116ab，241cos120256abab，解得17或1，故选AC.【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.32．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末数学试题）对于任意非零向量111,,axyz，222,,bxyz，以下说法错误的有()A．若ab，则1212120xxyyzz B．若//abrr，则111222xyzxyz C．121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxyD．若1111xyz，则a为单位向量【答案】BD【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解析】对于A选项，因为ab，则1212120abxxyyzz，A选项正确；对于B选项，若20x，且20y，20z，若//abrr，但分式12xx无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxy，C 选项正确；对于D选项，若1111xyz，则2221113a，此时，a不是单位向量，D选项错误.故选BD.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.33．（江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量abbcac，3,0,1b，1,5,3c，下列等式中正确的是A．abcbc B．abcabc C．2222abc abc D．abcabc【答案】BCD【分析】根据坐标求出3030abacbc，根据向量的运算法则即可判定.【解析】由题3030bc，所以0abbcac0,0abcbc不相等，所以A选项错误；0abcabcabbcabac，所以abcabc，所以B选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，所以C选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，即22abcabc，abcabc，所以D选项正确.故选BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.34．（江苏省连云港市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知点P是△A BC所在的平面外一点，若AB＝(﹣2，1，4)，AP＝(1，﹣2，1)，AC＝(4，2，0)，则A．APABB．APBPC．BC＝53D．AP//BC【答案】AC【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。