上海市上海中学2020-2021学年上学期高二期末数学试卷【含答案】
2020_2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题）1.【答案】【解析】【踩分点】与的等比中项为 ．与的等比中项 ．2.【答案】【解析】【踩分点】．根据题意，，故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若与平行，则实数 ．∵与平行，∴，解得实数．故答案为：．4.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为 ．【答案】【解析】【踩分点】三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】直线：的倾斜角是 ．设直线的倾斜角为，由直线化为，∴，∵，∴．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】向量在向量方向上的投影为 ．∵，，∴在方向上的投影为：．故答案为：．7.【答案】【解析】已知数列为等差数列且，则其前项和 ．等差数列满足，则其前项和．【踩分点】故答案为：．8.【答案】【解析】【踩分点】直线：与直线：夹角的大小为 ．直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率为，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是 ．根据题意，若方程表示的曲线是圆，则有，即，解得，即的取值范围为，故答案为：．10.【答案】【解析】若是无穷等比数列，且，则的取值范围为 ．是无穷等比数列，且，所以，所以，所以．故答案为：．【踩分点】11.【答案】【解析】【踩分点】已知动点在曲线上，则动点到直线的距离的最大值与最小值的和为 ．圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，又动点在曲线上，∴动点到直线的距离的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．故答案为：．12.【答案】方法一：方法二：【解析】在矩形中，边的长分别为，．若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ．设，则，，则，又，，，，即的取值范围是．以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，【踩分点】因为，，所以，，，．设，，因为,所以，所以,所以，所以，即．二、选择题（本大题共4小题）13.A.B.C.D.【答案】【解析】直线的一个方向向量可以是（ ）．A 直线可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线的一个方向向量可以是．故选：．14.二元一次方程的系数行列式的值是（ ）．A.B. C. D.【答案】【解析】C二元一次方程的系数行列式为．故选．15.A.B.C.D.【答案】【解析】若等比数列的前项和，则的值为（ ）．C ∵，，，∴，又，由通项得：，公比为，∴，∴．故选：．16.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】已知点，曲线，曲线，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）．B 已知点，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的圆，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的上半圆，①若点在曲线上，则点满足曲线的方程，即成立，但不一定有成立，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上；②若点在曲线上，则点满足曲线的方程，有， 因为曲线为圆与轴交点的上方部分图形，，所以点在曲线上能推出点在曲线上，即能推出成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点在曲线上”是“点在曲线上”的必要非充分条件．故选．三、解答题（本大题共5小题）17.【答案】【解析】【踩分点】已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程．或．根据题意设直线的方程为，令，得，令，得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或．18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知，，．求与的夹角的余弦值．若，求实数的值和向量．．；．∵，，∴与的夹角的余弦值为：（2）【踩分点】．∵，，．∴．∵，∴，解得，∴．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知定点，和曲线上的动点．求线段的垂直平分线的方程．若点是的重心，求动点的轨迹方程．．．∵，，∴中点，又∵，∴线段的垂直平分线的方程为．设，，∵点是的重心，∴，即，又因点在曲线上，∴即，∴动点的轨迹方程．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知数列中，，点，在直线上．求数列的通项公式．设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．．存在，，证明见解析．数列中，，点在直线上，所以（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以．存在，由（）得，所以，即，故，，，，所有的式子相加得：，所以，所以．故存在关于的整式，使得恒成立．21.已知圆：（，）与轴、轴分别相切于、两点．（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】求圆的方程．若直线：与线段没有公共点，求实数的取值范围．试讨论直线：与圆：（，）的位置关系．．．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．由圆：(，）与轴、轴分别相切于、两点，且，，可得，则圆的方程为：．由（）可得，，，直线：过定点，如图，yO x∵，∴若直线：与线段没有公共点，则实数的取值范围是．由到直线的距离，解得，由图可知，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．yO x【踩分点】。
上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.椭圆2212x y +=的左焦点的坐标为________.【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】由椭圆标准方程求得椭圆的c ，可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】根据椭圆2212x y +=的标准方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=，所以左焦点的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-.【点睛】本题考查椭圆基本几何性质，属于基础题. 2.若12z i =+，则||z =________. 【解析】 【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】∵12z i =+，∴||z == 【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.3.若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan 2 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。
【详解】由(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==， 所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。
故答案为：tan 2arc 。
【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。
4.双曲线221x y a+=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =________.【答案】4- 【解析】 【分析】利用虚轴长和实轴长的定义，建立方程可求得参数的值。
【详解】双曲线221x y a +=的标准方程为 221x y a-=-，虚轴的长是，实轴长 2，由题意知 ，∴4a =-， 故答案为：4-．【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单的几何性质，关键在于分清双曲线标准方程中的,a b ，属于基础题.5.圆心为(1,2)C -且经过点(5,1)P 的圆的方程为________. 【答案】22(1)(2)25x y -++= 【解析】 【分析】求出圆的半径,即可写出圆的标准方程.【详解】圆心为(1,2)C -,则圆的半径为5=，所以所求的圆的方程为: 22(1)(2)25x y -++=， 故答案为: 22(1)(2)25x y -++=.【点睛】本题考查圆的标准方程的求得，关键在于根据已知条件：圆过点，求得圆的半径，属于基础题. 6.倾斜角为4π的直线过抛物线22y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则||AB =______. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，再求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系123x x +=，再由抛物线的定义可求得线段的长.【详解】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴倾斜角为4π的直线过焦点F 的方程为：12y x =-，与抛物线22y x =联立得21304x x -+=，令()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x +=，由抛物线的定义得1211||,||22AF x BF x =+=+， ∴22111141||22AB x x x x =+++++==， 故答案为：4.【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,关键在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________． 【答案】43【解析】【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d =≤即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，则AB AC ⋅的最大值为_______.2+ 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和余弦定理得2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc+-=+，再由正弦定理和三角函数的恒等变换得,33a Ab B ==，()222216sin sin 3b a B A -=-23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求得最值.【详解】在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，由正弦定理得2sin AB R C ==, R ∴=, ∴2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc +-=⋅222222242222b ac b a b a -+-+-===+,2sin sin sin a b c R AB C ===， ,a A b B ∴==，()222216sin sin 3b a B A ∴-=-161cos 21cos 2322B A --⎛⎫=- ⎪⎝⎭8(cos 2cos 2)3A B =-82cos 2cos 233A A π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦81cos 2cos 2232A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ sin 233A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()22maxb a ∴-=， 22max222b a ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭， 所以AB AC⋅最大值为23+， 2+. 【点睛】此题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式，以及向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理进行三角形的边角互化，运用三角函数求最值是解本题的关键，属于中档题．9.已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点，则11||||AF BF +的取值范围为________. 【答案】4[1,]3【解析】 【分析】利用椭圆的定义设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，构造函数()[]11134f x x x x=+∈-，，，利用导数求其范围即可．【详解】取椭圆左焦点F ′，连接AF ，BF ，AF ′，BF ′，易知四边形AFBF ′为平行四边形，即有|AF |+|BF |＝|AF |+|AF ′|＝2a ＝4，设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，故11114AF BF x x+=+-， 令()[]11134f x x x x=+∈-，，，则()()222222228211(4)'(4)(4)(4)x x x f x x x x x x x ---=-==---，易知函数f （x ）在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增， ∴()()()4()13()213max min f x f f f x f =====，， 即11AF BF +的取值范围为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 故答案为：413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于由中心对称的转化，考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题．10.已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.【答案】257【解析】 【分析】设OA 为直角坐标系的x 轴，建立平面直角坐标系.记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到()25723x y θϕ+=+(其中3tan ϕ=),结合三角函数的图象和性质,可得答案. 【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭, 则(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==，13,22OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入OC OA OB x y =+,有3(cos ,sin )(,0)2y y x θθ⎛=+- ⎝⎭,∴3 cos,sin2y yxθθ-==，∴323sin cos,sinx yθθθ=+=，故()25723sin3x yθϕ+=+(其中3tan4ϕ=),23πθ≤≤,23πϕθϕϕ∴≤+≤+，而57sin19ϕ=，235757sin33819πϕ⎛⎫+=>⎪⎝⎭,当2πθϕ+=时，23x y+取最大值257，当θϕϕ+=,即0θ=时,23x y+取最小值2，∴23x y+的取值范围为257[2,]3，故答案为:257[2,].【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.二、选择题11.若12i是关于x的实系数方程20x bx c++=的一个复数根，则（）A. 2,3b c== B. 2,1b c==- C. 2,1b c=-=- D.2,3b c=-=【答案】D【解析】分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b 的方程组102220b cb-++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【详解】由题意12+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0∴1+22i﹣2+b2+bi+c＝0，即()12220b c b i-++++=∴102220b cb-++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得b＝﹣2，c＝3故选：D．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题12.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.13.若直线10x y-+=与圆22()2x a y-+=有公共点，则实数a的取值范围是（）A. [3,1]-- B. [1,3]- C. [3,1]- D.(,3][1,)∞-+∞【答案】C 【解析】由题意得圆心为(,0)a ． 圆心到直线的距离为d =， 由直线与圆有公共点可得≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ．14.已知直线:1l x y +=与双曲线2221x y a -=（0a >）交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若512DA DB =，则a 的值为( ) A. 1713B. 1913C.2113D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系，再由512DA DB =找到A 、B 两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a 的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=，设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ，∵512DA DB =，∴()()11225,1,112x y x y -=-，∴12512x x =，212221a x x a -+=-，212221a x x a -⋅=-，∴1212x x x x +=⋅，2222551212x x x +=，211731717,512512x x ∴==⨯=，∴2122171725121a x x a -⋅=⨯=-，解得1713a =， 故选：A.【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a 的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题. 三、解答题15.设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根的绝对值的和为2，求实数m 的值. 【答案】0m = 【解析】 【分析】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，根据根与系数的关系得212m 103x x +⋅=>,12,x x 同号,分两根全为正,和两根全为负分别求解可得值.【详解】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，则212m 103x x +⋅=>,12,x x ∴同号,要么全为正,要么全为负.若全为正，则122(1)2x x m +=-=,解得2m =,此时方程为23650x x -+=,方程无解,所以舍去;若全为负，则122(1)2x x m +=-=-,解得0m =,此时方程为23610x x ++=方程有两个负根,且绝对值的和为2, 综上所述,m 的值为0.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，求解时，注意带回验证是否有根，是否满足题意，属于基础题.16.已知点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上.(1)求双曲线的两条渐近线方程； (2)求点(1,)P a 到两条渐近线距离的乘积.【答案】(1)2y x =±；(2)45. 【解析】 【分析】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，可求得双曲线的渐近线的方程；(2)由点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，求得0a =，再根据点到直线的距离公式可求得点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积.【详解】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为：2y x =±，(2)∵点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，∴2114a -=，0a ∴=，∴(1,0)P ， (1,0)P 到2y x =的距离为1d =，(1,0)P 到2y x =-的距离为2d =，1245d d ∴⋅==， 所以点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积为45. 【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，和双曲线上的点到两渐近线的距离之积，属于基础题.17.已知椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，直线l 与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，11(,)p ax y =，22(,)q ax y =. (1)求椭圆的方程；(2)若p q ⊥，直线l 经过点F ，求直线l 的方程.【答案】(1)2214y x +=；(2)y =.【解析】 【分析】(1) 根据椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，代入可求得 a 得椭圆的方程；(2)显然直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =()22410k x++-=，可得出根与系数的关系，再根据向量的垂直关系可得到关于k的方程，可求得k ，从而得到直线l 的方程.【详解】(1) ∵椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，21314a ∴+=， 24a ∴=， 0,2a a >∴=，∴椭圆的方程为： 2214y x +=；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：0x =，(0,2),(0,2),(0,2),(0,2)A B p q -==-，显然不满足p q ⊥，∴直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =+，由2214y x y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410k x ++-=，∵11(,)A x y 、22(,)B x y，则1212221416160x x x x k k ⎧+=⎪⎪⎪⋅=-⎨+⎪∆=+>⎪⎪⎩，又()()11222,,2,,p x y q x y p q ==⊥，121240p q x x y y ∴⋅=+=，即(121240x x kx kx +=，()()21212430,k x x x x ∴+++=()()224(1)()340k k ∴+⨯-⋅-++=，解得22,k k =∴=，所以直线l的方程为y =.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，以及向量的垂直关系的数量积表示，关键在于将目标条件转化为直线与椭圆的交点的坐标的韦达定理上，属于常考题，难度题.18.已知抛物线2:2y px Γ=（0p >）经过点(1,2)P ，直线l 与抛物线Γ有两个不同的交点A 、B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)若直线l 过点(0,1)Q ，求直线l 的斜率的取值范围；(2)若直线l 过点(0,1)Q ，设(0,0)O ，QM QO λ=，QN QO μ=，求11λμ+的值；(3)若直线l 过抛物线Γ的焦点F ，交y 轴于点D ，DA AF λ=，DB BF μ=，求λμ+的值. 【答案】(1)(,1)-∞且3k ≠-且0k ≠；(2)112λμ+=；(3)1-.【解析】 【分析】(1)由题意易得直线斜率存在且不为0，且直线PA 、PB 斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出>0∆，解不等式即可得直线斜率的范围.(2)根据QM QO λ=，QN QO μ=，得出λ、μ与点,M N 坐标之间的关系，再根据,,M A P 在同一直线上，,,N B P 在同一直线上，得出λ,μ与点,A B 坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点,A B 横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得11λμ+的值.(3) 设直线l 的方程为：()10,x my m =+≠联立直线与抛物线的方程得出点,A B 纵坐标之间的关系，再由DA AF λ=，DB BF μ=，得出λ、μ与点,A B 坐标之间的关系，对λμ+化简可求得λμ+的值.【详解】（1）因为抛物线2:2y px Γ=经过点(1,2)P ，所以42p =，所以2p =，所以抛物线Γ的解析式为24y x =。
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件. 故选：A.2．设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>【答案】C【详解】ln p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．3．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（ ）A ．a b a b -<-B ．a b a b -<+C ．a b a b +>-D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=， 则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 4．关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； （2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数； （4）()y f x =是偶函数且有最小值． 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误； （2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确； （3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误； （4） 由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确； 故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.二、填空题5．设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B =___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B x x =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞，{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 6．幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值. 【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a = 解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.7．不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞. 故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞.8．已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--9．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =， ∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-， ∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-. 故答案为：2-. 10．若a()2log 21a a +的值是________．【答案】1- 【分析】(1,2)=，即可得a =数运算的性质求值即可. 【详解】(1,2)=，知：1a =-=，即2a =，1212a +==∴()2log 211a a +==-=-. 故答案为：1-.11．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x +=-15，变形为()21212815x x x x +=-，根据方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，得到212121+1,14x x k x x k =+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ， 所以212121+1,14x x k x x k =+⋅=+， 因为2212126x x x x +=-15， 所以()21212815x x x x +=-，()221181154k k ⎛⎫+=⨯+- ⎪⎝⎭，即()()240k k +-=， 解得4k =或2k =-（舍去） 故答案为：412．若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________． 【答案】[]1,0-【分析】讨论0m =、0m ≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m 取值即可.【详解】当0m =时，()1f x x =--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m ≠时，()221(1)()24m m f x m x m m-+=+-， ∴112m m -≤-，即102mm+≤，可得10m -≤<， 综上，有10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-.13．若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，[)0,4a ∈. 故答案为：[)0,4.14．已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥ 若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<. 故答案为：[0,1).15．设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________． 【答案】(,1)(5,)-∞+∞【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >. 故答案为：(,1)(5,)-∞+∞.16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________． 【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+， ∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.三、解答题17．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【详解】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【解析】不等式选讲.18．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =. (1)由基本不等式及1ab =,有22a b ab +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 19．已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =； （2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性. 【详解】（1）因为()07f = 代入可得17a -=,解得6a =- 所以()363xxf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅= 化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330xx--= 解得3log 2x =或1x = （2）()33xxf x a -=-⋅则()33xxf x a --=-⋅当1a =时,()33xxf x -=-,()33xx f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知, 当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时, 函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-． （1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）， ∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． （2）设售价x （元）时总利润为z （元），∴2000200010200702z x x=---（） ，1002000?25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（ 元， 当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 1=2x 时，max ()=2g x . (3) 1(0,)16【详解】试题分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围. 试题解析：(1) 由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=. 当1x >时，()11=1x f x x x-=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=- ()()1221221211=x x x x x x --- 1212=x x x x -， 因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<， 所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩， 当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ； 当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭， 因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x时，()max =2g x ； 综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x . （3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈. 同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞. 方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=， 即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<， 所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
上海市2021-2021年高二上期末数学试卷含答案解析
高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a ，b ）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（ ）A ．（1﹣b ，1﹣a ）B ．（1﹣a ，1﹣b ）C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ） 14．若位于x 轴上方、且到点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C ，点P 的坐标为（a ，b ），则“”是“点P 在曲线C 上”的（ ） A ．.充分不必要条件 B ．.必要不充分条件C ．.充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=15内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则|AC |•|BD |的值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式中﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a ＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a）B．（1﹣a，1﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．.充分不必要条件B．.必要不充分条件C．.充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．【考点】数列的极限．【分析】对于A ，运用数列的极限，即可判断；对于B ，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C ，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D ，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A ，（b n ﹣a n ）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套；对于C ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套对于D ，由1﹣（）n ＜1﹣（）n +1＜1+（）n +1＜1+（）n ，满足[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]；又（b n ﹣a n ） =[1﹣（）n ]﹣[1+（）n ]=1﹣1=0，故构成区间套． 故选：D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A 1A 2+B 1B 2=0，可得 1×m +（1+m ）•2=0，由此求得解得m 的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m 的值．【解答】解：（1）∵两条直线l 1：x +（1+m ）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A 1A 2+B 1B 2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{a n}的通项公式，a n=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得b n=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b n}的各项之和T n．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{a n}的通项公式，a n=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N*时，a k=．===，则n=k+1时，a k+1因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N*，a n=成立．（2），∴b n=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{b n}的各项之和T n=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N*）时，T n=+﹣，T n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=×﹣﹣，T n单调递增，且T n＜0．综上可得：T n的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得线l的距离d．可得S△QMN出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．∴S△QMN令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．。
上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题专题练习汇编一、第一部分 集合1．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）设集合S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：()i {}(),T y y f x x S ==∈， ()ii 对任意1x ，2x S ∈，当12xx <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（ ） ①A N *=，B N =②{}{}13,8010A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 ③{}05,A x x B R =<<= ④,A N B Q == A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A2．（2022·上海·闵行中学高一阶段练习）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”． 其中正确的命题有（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①②④【答案】D3．（2021·上海交大附中高一期中）已知x ∈R ，则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C4．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合10.,A n ab n n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N *，其中a 和b 是不同的数字，则A 中所有元素的和为（ ）. A ．44 B ．110C ．132D ．143【答案】D5．（2022·上海·高三专题练习）已知命题P ：“存在正整数N ，使得当正整数n N >时，有111112020234n+++++>成立”，命题Q ：“对任意的R λ∈，关于x 的不等式10011.0010x x λ->都有解”，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A ．P Q ∧为真命题 B ．()P Q ⌝∨为真命题 C ．()P Q ∨⌝为真命题 D ．()()P Q ⌝∨⌝为真命题【答案】D6．（2020·上海市建平中学高三期中）设定义在R 上的函数()f x 的值域为A ，若集合A 为有限集，且对任意12x x R ∈、，存在3x R ∈使得()()()123f x f x f x =，则满足条件的集合A 的个数为（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．无穷个【答案】B7．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期中）若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ） A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B8．（2022·上海市控江中学高一期末）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D9．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.10．（2020·上海市行知中学高一阶段练习）设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________； 【答案】1011．（2021·上海交大附中高一期中）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___． 【答案】2±12．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是_________． 51+或3. 13．（2021·上海交大附中高二期末）对任意集合M ，定义1,()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++=（其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）【答案】（1）（2）（3）（4）14．（2022·上海交大附中高一期末）设函数3()22,||1x x f x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ） A ．12p p ､中仅1p 是q 的充分条件 B ．12p p ､中仅2p 是q 的充分条件 C ．12p p ､都不是q 的充分条件 D ．12p p ､都是q 的充分条件15．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知平面上两个点集(){},112,,M x y x y x y x R y R =++++->∈∈，(){},11,,N x y x a y x R y R =-+-≤∈∈，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合是___________． 【答案】{}1-16．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合,,,,,S T S N T N S T ⊆⊆中，至少有两个元素，且,S T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈.若S 有4个元素，则S T 有___________个元素.【答案】717．（2020·上海中学高一期中）若集合{}2(2)20,x x a x a x N -++-<∈中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦18．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集{}(,)1D P d P C =≤所表示的图形的面积为________________． 【答案】5433π+-19．（2020·上海·高一专题练习）{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q +=_____． 【答案】-1或520．（2021·上海·复旦附中高二期中）设{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，若A C U ⊆⊆，B C U ⊆⊆，则不同的有序集合组(,,)A B C 的总数是___________.【答案】10521．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是集合{0s t e e t s -<<，且},s t N ∈(其中e 为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若2lg 10m a <，则m 的最大值为___________.二、函数22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____. 【答案】152- 23．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A24．（2021·上海市建平中学高三期中）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=.下列说法正确的是（ ）①函数3y x =是圆O 的一个“太极函数”； ②函数1sin 2y x π=是圆O 的一个“太极函数”；③函数()f x 的图像关于原点中心对称是()f x 为圆O 的“太极函数”的充要条件； ④圆O 的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数. A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②④【答案】A25．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设04,0b a b m <<<>，若三个数22,2a ba b ab m ab ++-m 的取值范围为（ ） A ．135,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．(1,3)C ．135,224⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．(3,2)【答案】C26．（2022·上海·高三专题练习）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A27．（2021·上海市向明中学高三阶段练习）已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论： ①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A28．（2021·上海金山·二模）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足21(1)()()2f x f x f x +=+-，则(0)(2021)f f +的最大值为（ ）A ．12B ．32C ．212-D ．2 【答案】D29．（2022·上海·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++存在实数0x ，且有0||3x ≥，使得0()0f x =，则224a b +的最小值是________.【答案】3243730．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）已知22,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，方程22()21|()21240f x x f x x ax +-+----=有三个实根123x x x <<，若32212()x x x x -=-，则实数=aA ．173a +=B ．173a -=C ．1a =-D ．1a =【答案】B31．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________． 【答案】()6,1032．（2021·上海南汇中学高三期中）对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①()21f x x x =++；②()f x x =③()()2sin f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C33．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数()2f x x ax b =++在[]2,2-上存在零点，且 022b a ≤-≤， 则 b 的取值范围是_____.【答案】(,426-∞-34．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=； ③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C35．（2022·上海静安·二模）已知函数()2log ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若对任意1a ≤-，当1b m -<≤时，总有()()1a f b b -≥成立，则实数m 的最大值为__________. 【答案】136．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）函数f （x ）=3|x +4|﹣2|x +2|，数列a 1，a 2，…，an …，满足an +1=f （an ），n ∈N *，若要使a 1，a 2，…an ，…成等差数列．则a 1的取值范围______．【答案】{8}[2,)--+∞37．（2022·上海虹口·二模）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且图像关于直线1x =对称，当[]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，对于闭区间I ，用I M 表示()y f x =在I 上的最大值.若正数k 满足[][]0,,22k k k M M =，则k 的值可以是_________.（写出一个即可）. 22+102-38．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________． 【答案】3(,)32-∞ 39．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知函数()()2,log xa f x g x x ==，若对于()f x 图像上的任意一点P ，在()g x 的图像上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且OP OQ =，则实数=a ___________.【答案】12##0.540．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知椭圆2212x y +=，过左焦点F 任作一条斜率为k 的直线交椭圆于不同的两点M ，N ，点M '为点M 关于x 轴的对称点，若1[,1]3k ∈，则FM N '△面积的取值范围是_____．【答案】3[112 41．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知0x >，0y >，a x y =+，22b x xy y ++c m xy =若a ，b ，c 构成三角形的三边，则m 的取值范围是_______.【答案】(233，42．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a cbc ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t ++的最小值是_______.【答案】2243．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数()()10,0f x mx m n nx=+>>的定义域为()0,+∞，若1x =时，()f x 取得最小值，则22221122m n n m +++++的取值范围是___________． 【答案】4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭44．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(4]7,-∞45．（2022·上海·高三专题练习）对于定义域为D 的函数f (x )，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得()()()2212122f x f x f x x ==+，则称函数f (x )具有性质M ，若函数()2log 1g x x =-，(]0,x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为__．22+246．（2022·上海·高三专题练习）设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.【答案】54π47．（2022·上海市进才中学高三期中）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________ 【答案】15548．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 、Q 分别为函数2()1f x x =+(x ≥0)和()1g x x =-图像上的点，则点P 和Q 两点距离的最小值为____________． 3249．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C50．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B51．（2021·上海交大附中高三期末）已知函数22()6131029f x x x x x =-+-+，给出下列四个判断：①函数()f x 的值域是[0,2]；②函数()f x 的图像时轴对称图形；③函数()f x 的图像时中心对称图形；④方程3[()]2f f x =有实数解.其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B52．（2021·上海市延安中学高三期中）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D53．（2021·上海黄浦·一模）已知R k ∈，函数22()|4|f x x x kx =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A ．72k -<<- B ．7k <-或2k >- C ．70k -<< D ．20k -<<【答案】A54．（2021·上海普陀·模拟预测）已知x ∈R ，符号表示不超过x 的最大整数，若函数[]()x f x a x=-(x ≠0)有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．45(,56] B ． 4554(,,)564][3⋃C ．34(,45] D ． 3443(,,)453][2⋃【答案】B55．（2022·上海·高三阶段练习）已知定义域为[5,5]-的函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x ．若(]12,0,5,x x ∀∈当12x x <时，总有2112()()f x f x x x >，则满足(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]1,5- C ．[]2,3- D ．[]2,1-【答案】A56．（2021·上海普陀·一模）设函数()()2,10.5log 2,1a x x a x f x x x ⎧-+<-⎪=⎨++≥-⎪⎩（0a >且1a ≠）在区间(),-∞+∞上是单调函数，若函数()()12g x f x ax =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,84⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D57．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）1a 、2a 与1b 、2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程1212x a x a x b x b -+-=-+-的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}2 D ．{}1,2【答案】B58．（2022·上海徐汇·三模）已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+，对于不相等的实数1x 、2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =； ②对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =-，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题【答案】D59．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，若前2022项和小于零，则122022()()()+++f a f a f a 的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负【答案】B60．（2021·上海普陀·模拟预测）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足44sin(1)250a a -+-=，88sin(1)210a a -++=，则下列结论正确的是( )A ．1111S =，48a a <B ．1122S =，48a a <C ．1122S =，48a a >D ．1111S =，48a a > 【答案】D三、三角函数61．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值为_____________． 【答案】262．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ）A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π 【答案】A63．（2021·上海奉贤·一模）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C64．（2022·上海·高三开学考试）ABC 中，()sin sin sin A B A B ++的最大值为（ ）A 323+ B 43+C 15+ D ．32【答案】C65．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy（ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D66．（2021·上海·位育中学高三开学考试）在ABC 中，若2sin A =则cos 2B C 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对【答案】B67．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ； ③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D68．（2021·上海·模拟预测）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 【答案】25π 69．（2021·上海青浦·一模）若数列：cos cos2,cos4,,cos2n αααα､､中的每一项都为负数，则实数α的所有取值组成的集合为__________.【答案】22,3k k Z πααπ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭70．（2021·上海·高三专题练习）已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a x -=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a x -=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210f x a x -=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C71．（2021·上海虹口·一模）已知函数()cos f x x =，若对任意实数1x ，2x ，方程()()()()()12f x f x f x f x m m R -+-=∈有解，方程()()()()()12f x f x f x f x n n R ---=∈也有解，则m n +的值的集合为______.【答案】{}272．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 73．（2021·上海市进才中学高三期中）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________. 【答案】53⎫⎪⎪⎝⎭74．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0>ω的图像在区间[]1,1-上恰有三个最低点，则ω的取值范围为________． 【答案】11π13π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 75．（2021·上海奉贤·二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是_________. 【答案】10±，11±76．（2021·上海闵行·二模）已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x x πππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 【答案】47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭77．（2021·上海市实验学校高三开学考试）对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭78．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________． 【答案】1312π 79．（2021·上海市建平中学模拟预测）设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________． 【答案】(1)2n n π- 80．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]81．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>中a 、b 、c 成等比数列，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线P A 、PB 倾斜角分别为α、β，则()()cos cos αβαβ-=+________．5282．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）设0≤α≤π，不等式8x 2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 _________ ． 【答案】[0，6π]∪[56π，π] 83．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知函数sin 1,0()2log ,0ax x f x x x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰有9对,则实数a 的取值范围_________.【答案】2117⎝⎭， 84．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________【答案】14-##0.25-85．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________. 【答案】9π 86．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或87．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n k παϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________． 【答案】1939π##1939π 88．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立，则不等式2sin 222x x x a b π--≥的解集为___________. 【答案】{}189．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3490．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】211⎡⎤⎣⎦，. 91．（2022·上海·高三专题练习）设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于________【答案】4π 92．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C93．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF →→⋅的取值范围为（ ）A．3⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．4323⎛⎝⎭C．43⎛⎫⎪⎪⎝⎭D．8,03⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D。
上海市市北中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 答案和解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算 ．
2．已知向量 与 ，则 在 方向上的投影为_______
3．过点 ,且以 为法向量的直线的点法向式方程为_______
4．直线 被圆 所截得的弦长等于 ，则 ________
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问 轴上是否存在异于点 ,的定点 ,使得以 为直径的圆恒过直线 , 的交点,若存在,求出点 的坐标；若不存在,说明理由．
参考答案
1．
【详解】
2．3
【分析】
（1）由向量数量积运算的几何意义知，向量 在 方向上的投影为 ，代入坐标计算即可.
【详解】
,
设向量 与 的夹角为 ，
则向量 在 方向上的投影为
4．
【分析】
根据弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可求解.
【详解】
设圆心到直线的距离为d,
则 ，
由平面几何知识知，弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，
所以 ，
解得 ，
故答案为
【点睛】
本题主要考查了圆的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题.
5．3
【分析】
根据直线平行的条件可知， ，注意排除直线重合的情况，即可求解.
考点：轨迹方程的求解
点评：主要是考查了轨迹方程的秋季，属于基础题．
9．②③
【分析】
由直线倾斜角的范围判断①错误；求出直线 恒过的定点M，再求出MA和MB所在直线的斜率判断②正确；由 的几何意义可知 是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，求出过原点的圆的切线的斜率判断③正确；由直线 恒过的定点在椭圆内部求解m的取值范围，结合圆的条件判断④错误.
上海青浦区第一中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析
上海青浦区第一中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列语句中：①②③④⑤⑥其中是赋值语句的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：C2. 如图所示的程序框图中，当x=1时，输出的y的值是A. 2 B． 1 C．-2 D．参考答案：A3. 某成品的组装工序图如右，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是（）A．11 B．13 C．15 D．17参考答案：B4. 如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（）．A．B．C．D．参考答案：A由三视图知几何体是一个三棱柱，．故选．5. 不等式的解集为（）A. B. C.D.参考答案：解析：原不等式等价于设解得。
即。
故选C。
6. 下列命题中，假命题的是（）A．如果平面内有两条相交线与平面内的两条相交线对应平行，则//；B．空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，对空间任一定点有；C．如果平面内有无数条直线都与平面平行，则//；D．若点是线段的中点，则满足向量表示式；参考答案：C7. 不等式|2x﹣1|＞3的解集是（）C8. 设a，b是实数，则的充要条件是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先证明必要性，再证明充分性.【详解】，所以是的必要条件；，所以是的充分条件. 故选：C【点睛】本题主要考查充要条件的判断证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9. 设R，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：B10. 已知三次函数的图象如图所示，则（）A. -1B. 2C. -5D. -3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若，则．参考答案：612. 从区间内任取两个数，则这两个数的和小于的概率为________________.参考答案：13. 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物只．参考答案：12000略14. 卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）是平面内两个定点，|PF1|?|PF2|=a2（a是定长），得出卡西尼卵形线的相关结论：①当a=0，c=1时，次轨迹为两个点F1（﹣1，0），F2（1，0）；②若a=c，则曲线过原点；③若0＜a＜c，则曲线不存在；④既是轴对称也是中心对称图形．其中正确命题的序号是．参考答案：①②③④【考点】类比推理．【分析】由题意设P（x，y），则=a2，即[（x+c）2+y2]?[（x﹣c）2+y2]=a4，对4个选项加以验证，即可得出结论．【解答】解：由题意设P（x，y），则=a2，即[（x+c）2+y2]?[（x﹣c）2+y2]=a4，①当a=0，c=1时，轨迹为两个点F1（﹣1，0），F2（1，0），正确；②a=c，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，即故②正确；③∵（|PF1|+|PF2|）min=2c，（当且仅当，|PF1|=|PF2|=c时取等号），∴（|PF1||PF2|）min=c2，∴若0＜a＜c，则曲线不存在，故③正确；④把方程中的x被﹣x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称；把方程中的y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称；把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称；故④正确；故答案为：①②③④．15. 袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．参考答案：【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】方法一：第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球，由此可求概率，方法二：事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率．根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率【解答】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，根据条件概率公式，得：P2==，故答案为：【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．16. 已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是：参考答案：正四面体内任意一点到各面的距离之和等于此正四面体的高。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
上海中学高二期末数学试卷2021.01一. 填空题 1. 若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为3. 已知方程223212x y λλ+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是4. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒， 则12||||PF PF ⋅=11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为二. 选择题1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A.B. 12C. D.2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 （ ）A. 3B. 4C. 32D. 423. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变化时P 的轨迹是（ ）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为4a的圆 在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线， 其方程为222333x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）（1）星形线的参数方程为：33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4S a a π∈；A. （1）（3）（4）B.（1）（2）（3）（4）C. （2）（3）D.（1）（2）（3）三. 解答题1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）求方程的实根的取值范围.5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||||PB BQ 的值.6. 已知椭圆22:142x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满 足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.参考答案一. 填空题1. 6-2. {1}3. 21λ-<<-4. 221927x y -=5. 26. 222x y +=7.548. 49. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10二. 选择题1. D2. C3. B4. D三. 解答题1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.2. min ||z =3. k =k =4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.5.（1）28y x =，4；（2）1.6.（1）11[,]1612-；（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。
上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．与圆()2253x y ++=相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是( )A ．2B ．4C ．6D ．以上说法都不对 2．直线1l ：2310x y -+=与直线2l ：3x =的夹角为( )A ．π-B ．C ．D ．以上说法都不对3．下列说法正确的是（ ）A ．平面中两个定点A ，B ，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线B ．定圆C 上有一定点A 和一动点(B 不与A 重合)，O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+，则动点P 的轨迹是椭圆C ．斜率为定值的动直线与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，()12OP OA OB =+，则动点P 的轨迹是直线 D ．以上说法都不对4．点A 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点(不与A 重合)，若0PO PA ⋅=(O 是坐标原点)，则c a （c 为半焦距）的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．以上说法都不对二、填空题5．抛物线24y x =的准线方程为______.6．直线的倾斜角范围是______．7．直线1l ：210x y --=，直线2l ：20ax y ++=，若12l l ⊥，则a =______． 8．直线50x y -+=被圆222440x y x y +---=所截得的弦长等于______．9．P 是双曲线221916x y -=上的一点，1F ，2F 为焦点，若17PF =，则2PF =______． 10．过点()2,3且与原点距离为2的直线方程是______．11．已知p ：曲线C 上的点的坐标都是方程(),0F x y =的解，q ：曲线C 是方程(),0F x y =的曲线，则p 成立是q 成立的______条件．12．已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 为焦点，若120PF PF ⋅=，121tan 2PF F ∠=，则椭圆的焦距与长轴的比值为______． 13．直线2y kx =-与双曲线221x y -=有且仅有一个公共点，则k =______．14．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是______．15．已知曲线Γ的参数方程为32221{1t x t t y t =-+=+（t 为参数），则以下曲线Γ的说法中： ①关于原点对称；②在直线1y =下方；③关于y 轴对称；④是封闭图形，正确的有______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支分别交于A ，B 两点，12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为______．三、解答题17．已知两点()1,2A ，()5,1B -．（1）求直线AB 的方程；（2）若A ，B 到直线l 的距离都是2，求直线l 的方程．18．双曲线M ：22221x y a b -=过点P ⎛ ⎝⎭，且它的渐近线方程是20x y ±=． （1）求双曲线M 的方程；（2）设椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，且椭圆N 中斜率为3-的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在椭圆N 内的部分，试求椭圆N 的方程．19．已知椭圆的两个焦点为()11,0F -，21,0F ，且椭圆过点1,.2⎛ ⎝⎭（1）求椭圆的方程． （2）已知斜率为()0k k ≠的直线1l 过2F ，与椭圆分别交于P ，Q ；直线2l 过2F ，与直线1l 垂直，与椭圆分别交于M ，N ，求四边形PMQN 面积的函数解析式()f k ． 20．在平面直坐标系xOy 中有曲线Γ：221(0)x y y +=>．（1）如图1，点B 为曲线Γ上的动点，点()2,0A ，求线段AB 的中点的轨迹方程； （2）如图2，点B 为曲线Γ上的动点，点()2,0A ，将OAB 绕点A 顺时针旋转90得到DAC △，求线段OC 长度的最大值．（3）如图3，点C 为曲线Γ上的动点，点()1,0A -，()1,0B ，延长AC 到P ，使CP CB =，求动点P 的轨迹长度．参考答案1．B【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，①直线过原点，设直线的方程为y kx =，②直线不过原点，设其方程为x y a +=，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案。
2020-2021学年上海市黄浦区高二上学期期末考试数学试题 word版
上海市黄浦区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题2021.01.13考生注意：1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2. 答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；3.本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在符题卷的相应编号的空格内直接填 果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1.直线1x =-倾斜角的大小为2.椭圆22195x y +=的焦距为 3.计算：121lim 21n n n +→∞+-4.已知向量(1,2),(1,),a m b m =+=若a b ⊥, 则实数m 的值为5.若2与a 的等差中项与等比中项相等，则实数a 的值为6.平行直线210x y +-=与210x y ++=之间的距离为7.若ΔABC 的三个顶点坐标分别为(2,1),(3,4),(1,1)---,则ΔABC 的重心坐标为 8.两条直线的夹角的取值范围为9.若圆C 与x 轴和y 轴均相切．且过点(1,2), 则圆C 的半径长为 10.若向量,a b 的夹角为,2,3,3a b m π==为非零实数，则1ma b m+的最小值为 11. 若将直线*10,0,0(,2)x y nx y n x ny n n N n +-=+-=+-=∈≥围成的三角形面积记为S ，则 lim n n S →∞=12. 过直线;2()l y x b b R =+∈上一点P 作圆221x y +=的切线，,A B 为两切点，若直线l 上不存在 满足0PA PB <的点P ，则的b 取值范围为二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13.已知,a b 为两个非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==,则“1122x y x y =”是“//a b ”的（ ） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14. 用数学归纳法证明：*(1)(2)()2123(21)()n n n n n n n N ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∈.从*(N ）k k ∈到+1k 若设()(1)(2)()f k k k k k =++⋅⋅⋅+.则(1)f k +等于（ ).A. ()[2(2+1)]f k k+ B. ()[2(2+1)]f k k⋅ C.2+1()1kf kk++D.2+1()1kf kk⋅+15.方程2210y x x-+=的图形是下图中的（）A. B. C. D.16.已知111(,)P a b与222(,)P a b是直线y kx=(k为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于x和y的方程组112211a xb ya xb y+=⎧⎨+=⎩的解的情况是（).A无论12,,k P P如何，总是无解； B.无论12,,k P P如何，总有唯一解；C.存在12,,k P P,使之恰有两解； D.存在12,,k P P，使之有无穷多解；三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域，写出必要的步骤.17.(本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分已知平行四边形ABCD的对角线相交于点,O设向量,,OA a OB b==（1)用向量,,a b分别表示向,DC BC(2) 若P为直线AB上一点，k是实数，且AP k AB=,用向量,a b表示OP.18.(本题满分8分）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.求该热气球在前*()n n N∈分钟里上升的总高度nS，并判断这个热气球上升的高度是否能超过125m,请说明理由．19.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 设a R ∈.圆22:(1)()4C x y a -+-=.（1)若0,a =,点P 的坐标为(3,2),P Q -为圆C 上的动点，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程; （2)若圆C 上有且仅有一个点到直线0x y -=的距离等于1,求a 的值.20.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 在数列{}*()n a n N ∈中，34,2m m a a +==-,其中m 为给定的正整数． （1)若{}n a 为等比数列，1m =,求10a :（2)若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S , 是否存在正整数m .使得0m S =?若存在，求出m 的值, 若不存在，请说明理由.21.(本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分已知椭圆22:162x y Γ+=,F 为左焦点,P 为直线3x =上一动点,Q 为线段PF 与Γ的交点,定义：()FP d P FQ=（1) 若点P 的纵坐标为55, 求:()d P （2) 证明：存在常数,m n ,使得()md P PF n =+黄浦区2020-2021学年度第一学期高二年级期终调研测试数学试卷 （参考答案）2021.01.13 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在符题卷的相应编号的空格内直接填 果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1.直线1x =-倾斜角的大小为 【答案】2π 2.椭圆22195x y +=的焦距为 【答案】4 3.计算：121lim 21n n n +→∞+-【答案】124.已知向量(1,2),(1,),a m b m =+=若a b ⊥, 则实数m 的值为 【答案】1-35.若2与a 的等差中项与等比中项相等，则实数a 的值为 【答案】26.平行直线210x y +-=与210x y ++=之间的距离为7.若ΔABC 的三个顶点坐标分别为(2,1),(3,4),(1,1)---,则ΔABC 的重心坐标为 【答案】24-33（，）8.两条直线的夹角的取值范围为 【答案】]2[0，π9.若圆C 与x 轴和y 轴均相切．且过点(1,2), 则圆C 的半径长为 【答案】15或 10.若向量,a b 的夹角为,2,3,3a b m π==为非零实数，则1ma b m+的最小值为【答案】11. 若将直线*10,0,0(,2)x y nx y n x ny n n N n +-=+-=+-=∈≥围成的三角形面积记为S ，则 lim n n S →∞=【答案】1212.过直线;2()l y x b b R=+∈上一点P作圆221x y+=的切线，,A B为两切点，若直线l上不存在满足0PA PB <的点P，则的b取值范围为【答案】--10][10,)（，∞+∞二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.已知,a b为两个非零向量，若1122(,),(,)a x yb x y==,则“1122x yx y=”是“//a b”的（）A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A14. 用数学归纳法证明：*(1)(2)()2123(21)()nn n n n n n N++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∈.从*(N）k k∈到+1k若设()(1)(2)()f k k k k k=++⋅⋅⋅+.则(1)f k+等于（).A. ()[2(2+1)]f k k+ B. ()[2(2+1)]f k k⋅ C.2+1()1kf kk++D.2+1()1kf kk⋅+【答案】B15.方程2210y x x-+=的图形是下图中的（）A. B. C. D.【答案】D16.已知111(,)P a b与222(,)P a b是直线y kx=(k为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于x和y的方程组112211a xb ya xb y+=⎧⎨+=⎩的解的情况是（).【答案】AA无论12,,k P P如何，总是无解； B.无论12,,k P P如何，总有唯一解；C.存在12,,k P P,使之恰有两解； D.存在12,,k P P，使之有无穷多解；三、解答题（本大题满分48分）17.(本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分已知平行四边形ABCD的对角线相交于点,O设向量,,OA a OB b==（1)用向量,,a b分别表示向,DC BC(2) 若P为直线AB上一点，k是实数，且AP k AB=,用向量,a b表示OP.【答案】(1) ,DC b a BC b a =-=-- ; (2)(1)OP k a kb =-+18.(本题满分8分）一个热气球在第一分钟上升了25m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分 钟上升高度的80%.求该热气球在前*()n n N ∈分钟里上升的总高度n S ，并判断这个热气球上升的高度是否能超过125m ,请说明理由．【答案】(1)145n n a a += ; (2)4125[1()]125,1255所以不会超过米n n S =-<19.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 设a R ∈.圆22:(1)()4C x y a -+-=.（1)若0,a =,点P 的坐标为(3,2),P Q -为圆C 上的动点，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程; （2)若圆C 上有且仅有一个点到直线0x y -=的距离等于1,求a 的值.【答案】(1) 22:(2)(1)1M x y -++= ; (2)11a =+-20.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 在数列{}*()n a n N ∈中，34,2m m a a +==-,其中m 为给定的正整数． （1)若{}n a 为等比数列，1m =,求10a :（2)若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S , 是否存在正整数m .使得0m S =?若存在，求出m 的值, 若不存在，请说明理由.【答案】(1)1012a =- ; (2)不存在21.(本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分已知椭圆22:162x y Γ+=,F 为左焦点,P 为直线3x =上一动点,Q 为线段PF 与Γ的交点,定义：()FP d P FQ=(1) 点P 的纵坐标为求:()d P(2)证明：存在常数,m n ,使得()md P PF n =+【答案】(1)()10d P = ; (2)m n ==。
上海市2021年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
上海市控江中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____. 【答案】5250x y --= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题.2.过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上， 则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案：43250x y +-=.【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.3.焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【分析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a 的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a-=>，==2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y -=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题.4.平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____. 【答案】()044y x =-≤≤ 【解析】 【分析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程.【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P，则PA PB AB +=， 则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 5.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为arccos 5，则实数k 的值为_____. 【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos5β=，则tan 2α=，cos β=，sin β=1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.已知t 是实数，设向量()3,4a =，向量()2,1b =，若()a a tb ⊥-，则t 的值为_____.【答案】52【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a 和ab ⋅的值，由()a a tb ⊥-得()0a a tb ⋅-=，由此可计算出实数t 的值. 【详解】()3,4a =，()2,1b =，则2223425a =+=，324110a b ⋅=⨯+⨯=，()a a tb ⊥-，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=，解得52t =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.7.直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB .【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6.【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.8.设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =- 【解析】 【分析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程.【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-.【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.9.椭圆()22210416x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】 【分析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c == 由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =，即()7a c a c +=-，可得334c a ==3=，解得b =..【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=，则1F P =_____.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P 和2F P 的方程组，即可解出1F P 的值. 【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=，则120F P F P ->，由双曲线的定义可得1223F P F P -= 又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=，则1212F P F P +=，所以，12122312F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩173F P =.故答案为：73.【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____.【答案】23【解析】 【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值.【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-= 【解析】 【分析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程. 【详解】点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=.【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题. 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20-∞B. (),5-∞C. ()5,+∞D.()20,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ） A.35B.35C.95D.95【答案】C 【解析】 【分析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离. 【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为22312951024d -+==+. 故选：C.【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.15.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A. A 点处B. B 点处C. C 点处D. D 点处【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处.【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分，所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.16.设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A. 甲和乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲和乙都是假命题【答案】A 【解析】 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：()222221111111324414544x x AP x y x x x =-+=-++-=-+同理可得2223454x AQ x =-+AP AQ =，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5题，共46分）17.已知向量()11,2e =与()24,2e =是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-，试用向量1e 与2e 表示v ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =，设b 与1e 的夹角为α，b 与2e 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-；（2）6t =. 【解析】 【分析】（1）设12v e e λμ=+，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值.【详解】（1）设12v e e λμ=+，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩， 因此，123v e e =-； （2）根据题意，11cos 5b e b e α⋅==⋅⋅22cos 25b e b e β⋅==⋅αβ=，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上. 【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析.【解析】 【分析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值； （2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19.设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由. 【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论.【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦，直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140kk k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点， 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=； （2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+，点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=， 上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程；（3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立.【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =， 由0FA FB FC ++=，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =， 由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+， 将①代入可得()1123x x <-，解得12x <， 所以点A 的横坐标小于2.【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S .（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.【答案】（1）圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =±；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+， 联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得AB ===可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得3t =±，因此，直线l 的方程为y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O ，圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎫⎛⎫--=--+=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()222294131203333m m OS m --=+-=--≤⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
2020-2021学年上海浦西中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2020-2021学年上海浦西中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线与曲线的（）A . 长轴长相等B . 短轴长相等 C.离心率相等 D. 焦距相等参考答案：D2. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面是边长为1的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为 ( )参考答案：A略3. 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断．【详解】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，∵a，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．【点睛】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．4. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（=1，2，…，8），其回归直线方程是且，，则实数（）A. B. C. D.参考答案：A5. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．6. 如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）A. 平行B. 相交C. AB⎧αD. 平行或相交参考答案：D7. 下列命题正确的是（）A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”C．函数的零点在区间内D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由充分必要条件的判定方法判断A；写出特称命题的否定判断B；由函数零点判定定理判断C；利用空间中的线面关系判断D．【解答】解：已知实数a，b，由a＞b，不一定有a2＞b2，反之由a2＞b2，不一定有a＞b，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故A错误；“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1≥0”，故B错误；∵函数与y=均为实数集上的增函数，∴函数为实数集上的真数，又，，∴函数的零点在区间内，故C正确；设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m?α，n?β，m⊥n，则α与β相交或α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了函数零点判定定理，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．8. 已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：C设如图所示，取的中点，的中点，的中点，连结，由于，且，故四边形是平行四边形，，由三角形中位线的性质可得，据此可得或其补角即为所求，且，，，由余弦定理可得：.据此可得AE,SD所成的角的余弦值为.本题选择C选项.9. 函数,,则A.B.C.D.参考答案：C 略10. 过点P （4，8）且被圆x 2+y 2=25截得的弦长为6的直线方程是（ ） A ．3x ﹣4y+20=0B ．3x ﹣4y+20=0或x=4C ．4x ﹣3y+8=0D ．4x ﹣3y+8=0或x=4参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，可知圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=4，成立；若斜率存在，由圆心到直线距离d==4，即可求得直线斜率，求得直线方程．【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4， 若直线斜率不存在，则垂直x 轴 x=4，圆心到直线距离=|0﹣4|=4，成立； 若斜率存在y ﹣8=k （x ﹣4）即：kx ﹣y ﹣4k+8=0则圆心到直线距离d==4，解得k=，综上：x=4和3x ﹣4y+20=0， 故选B ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把名使用血清的人与另外名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知．对此，四名同学做出了以下的判断： ：有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”：若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒：这种血清预防感冒的有效率为：这种血清预防感冒的有效率为则下列结论中，正确结论的序号是 ①； ②； ③； ④参考答案： ①④ 略12. 若函数 在上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是___ __.参考答案：13. 在△ABC中，，，，则△ABC 的面积为________．参考答案：14. 已知有下面程序，如果程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为参考答案：（或）15. 设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则．参考答案：-216. 已知F 双曲线的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若E 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是 ．参考答案：（1，2）考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 由右顶点在以AB 为直径的圆的外部，得|EF|＞|AF|，将其转化为关于a 、b 、c 的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e 2﹣e ﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e 的取值范围．解答： 解：由题意，直线AB 方程为：x=﹣c ，其中c=，因此，设A （﹣c ，y 0）（y 0＞0），B （﹣c ，﹣y 0），∴﹣=1，解得y 0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外部，∴|EF|＞|AF|，即a+c ＞，将b 2=c 2﹣a 2，并化简整理，得2a 2+ac ﹣c 2＞0，两边都除以a 2，整理得e 2﹣e ﹣2＜0，解之得﹣1＜e ＜2， 由于e ＞1，则有1＜e ＜2． 故答案为：（1，2）．点评： 本题给出以双曲线通径为直径的圆，当右顶点在此圆外时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题 17. 若是递增数列，对于任意自然数n ，恒成立，则实数λ的取值范围是_______．参考答案：λ>－3 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若复数312a i i++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为_____________． 2．函数()n n f x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为______．3．已知方程223212+=---+x y λλ表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围为________.4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程___________________.5．若点()3,1是抛物线22(0)y px p =>的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =______． 6．把参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是______． 7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________.8．已知复数z 满足条件1z =，那么z i +的最大值为______．9．若曲线21y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是______．10．已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，01260F PF ∠=，则12PF PF ⋅=________. 11．已知双曲线C ：22221x y a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为__________．12．直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，()6,0M ，则22MP MQ +的最小值为______．二、单选题13．已知椭圆()22221022x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12 C ．6D ．3 14．已知抛物线23y x=-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于（ ）A ．3B ．4C ．D ． 15．已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为4a 的圆在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为222333x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）（1）星形线的参数方程为：33cos sin x a t y a t ⎧=⎨=⎩（t 为参数） （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点） （3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）；（4）设星形线围成的面积为S ，则22π,4S a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；A ．（1）（3）（4）B ．（1）（2）（3）（4）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）三、解答题 17．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.18．已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.19．已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？20．已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R .(1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹;(2)求方程实根的取值范围.21．已知抛物线C ：()220y px p =>过点()2,4T -． （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点()4,0A ，过点()4,0B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ．求PB BQ 的值．22．已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点． （1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．参考答案1．6-【解析】 解：因为复数312a i i++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，故3(3)(12)6(32)6012556a i a i i a a i a i a ++-++-==∴+=+∴=- 2．{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域.【详解】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==， 故答案为：{}1.3．21-<<-λ【分析】根据焦点在y 轴上的椭圆方程的特点得到不等式组，解不等式组即可.【详解】2222312123(12)3(2)x y y x λλλλ+=-⇒+=--+-++ 因为方程223212+=---+x y λλ表示焦点在y 轴上的椭圆， 所以有3(12)03(2)0213(12)3(2)λλλλλ-+>⎧⎪+>⇒-<<-⎨⎪-+>+⎩. 故答案为：21-<<-λ【点睛】本题考查了已知椭圆焦点的位置求参数取值范围，考查了数学运算能力.4．221927x y -= 【解析】由题意得63,b c a b a ==∴==,所以双曲线的方程为221927x y -= 5．2【分析】设弦的两个端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，由点差法可得答案.【详解】设弦的两个端点为()11,A x y ，()22,B x y ，由条件点()3,1为AB 的中点， 所以12122AB y y k x x -==-且122y y +=，显然12x x ≠，则 21122222y px y px ⎧=⎨=⎩， 两式相减，得()2212122y y p x x -=-，所以1212122y y p x x y y -=-+， 所以1212122222y y p p x x y y -===-+，则2p =． 故答案为：2【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点弦的应用，解答本题的关键是由条件得出12122AB y y k x x -==-且122y y +=，由点差法得到答案，属于中档题. 6．222x y +=，x ⎡∈⎣【分析】利用三角函数恒等变形，消参得到普通方程.【详解】()22222sin cos 2x y θθ+=+=，π4x θ⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以222x y +=，x ⎡∈⎣．故答案为：222x y +=，x ⎡∈⎣7．54【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离.【详解】 由题意得，1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：14x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，1211||||344AF BF x x +=+++=， 因此1215322x x +=-=， 线段AB 的中点到y 轴的距离为12524x x +=. 故答案为：54. 【点睛】 本题考查抛物线的简单性质，将,A B 到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，考查分析运算能力，属于基础题.8．4【分析】由1z =，所以复数z 对应的点在单位圆上，由z i +表示复数z 对应的点与复数i -对应的点()1M --之间的距离，根据圆的性质可得答案. 【详解】 因为1z =，所以复数z 对应的点在单位圆上，z i +表示复数z 对应的点与复数i -对应的点()1M --之间的距离，而3OM ==．所以z i +的最大值为14OM r OM +=+=.故答案为：49．0k =，()1,1b ∈-【分析】 由条件作出曲线21y x =+的图象，根据图象分析出当直线y kx b =+与y 轴垂直且夹在直线1,1y y ==-之间.【详解】 曲线21,011,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩,作出其图像，如图所示，曲线21y x =+的图象关于,x y 轴对称若0k >，当x →+∞时，一次函数y kx b =+的增加的速度比函数y =快. 所以当0k ≠时，若11b -≤≤，则y kx b =+的图象与曲线21y x =+的图象一定有交点.所以当0k ≠时，若1b >时，根据y kx b =+的图象与曲线21y x =+的图象变化情况 可得y kx b =+的图象与曲线21y x =+的图象一定有交点，所以当0k ≠时，不满足条件.所以0k =，根据图象可得()1,1b ∈-．故答案为：0k =，()1,1b ∈-10．4【解析】 试题分析：因为22221212121212+2cos60()F F PF PF PF PF PF PF PF PF =-⋅=-+⋅，所以2212444PF PF c a ⋅=-=考点：双曲线定义11．y x =±【解析】 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为b y x a =，则另一渐近线ON 的方程为b y x a =-．设(,),(,)bm bn M m N n a a-， ∵73FM FN =， ∴7(,)3(,)bm bn m c n c a a-=--， ∴7()3()73m c n c bm bn a a -=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得2723c m c n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴点M 的坐标为22(,)77c bc a ， 又OM FM ⊥， ∴27127OM FM bcb a k kc a c ⋅=⨯=--，整理得2252b a =， ∴双曲线的渐近线方程为b y x x a =±=．答案：y x =． 点睛： （1）已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程22220x y a b-=就是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程．（2）求双曲线的渐进线方程的关键是求出,a b 的关系，并根据焦点的位置确定出渐近线的形式，并进一步得到其方程．12．10【分析】设直线AB ，与抛物线联立方程，得韦达定理12y y +与12y y ⋅，代入直线与抛物线表示出12x x +与12x x ⋅，然后根据OA OB ⊥，利用数量积代入求解出4t =，从而表示出圆心的坐标，根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，代入列式，利用二次函数的性质求解最小值.【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()()22444160m t t m ∆=--=+>， 得124y y m +=，124y y t ，所以()21212242x x m y y t m t +=++=+，222121216y y x x t ⋅==， 因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以2121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，21248x x m +=+，从而圆心为()224,2O m m +'， 由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和（用向量法易证），得 ()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+ ()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当2m =±时，22MP MQ +的最小值为10． 故答案为：10【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、向量的数量积、三角形的面积等问题． 13．D 【分析】根据椭圆与双曲线有相同焦点，即2c 相等列式得223a b ，求解2c ，代入求解离心率.【详解】由题意得222222a b a b -=+，所以223a b ，在椭圆中，2222224c a b b =-=，所以椭圆的离心率====e .故选：D 14．C 【详解】设直线AB 的方程为y x b =+，由22123{301y x x x b x x y x b=-+⇒++-=⇒+=-=+，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大． 15．B 【解析】//,MP AC BMP BAC ∴∠=∠，又由圆的几何性质可得BAC ABC ∠=∠，,BMP ABC MBP PM PB ∴∠=∠=∠∴=，3PM PC PB PC BC -=-==，且3MC <， P 点到定点()2,0M -与()2,0C 的差为定值，根据双曲线的定义可得点P 的轨迹是双曲线的一部分，故选Ｂ． 16．A 【分析】根据同角的三角函数的基本关系式可判断（1）（3）的正误，计算出星形线内部整点的个数后可判断（2）的正误，利用两个特殊图象的面积可判断（4）的正误. 【详解】（1）把33cos sin x a t y a t⎧=⎨=⎩代入222333x y a +=，此方程成立，故（1）正确； （2）若5a =，则2223335x y +=，显然[]5,5x ∈-， 当5x =±时，0y =，2个整点()5,0±， 当4x =±时，0.4y ≈±，2个整点()4,0±， 当3x =±时，0.8y ≈±，2个整点()3,0±，当2x =±时， 1.3y ≈±，6个整点()2,0±，()2,1±±， 当1x =±时， 1.9y ≈±，6个整点()1,0±，()1,1±±，当0x =时，5y =±，11个整点()0,5-，()0,4-，…，()0,5， 综上，共29个整点，故（2）错误；（3）曲线11221x y +=的参数方程为44cos sin x ty t⎧=⎨=⎩（t 为参数） 星形线的参数方程为33cos sin x ty t⎧=⎨=⎩（t 为参数）， 因为4433cos cos ,sin sin t t t t ≤≤，当且仅当cos 0t =或cos 1t =；sin 0t =或sin 1t =时等号成立， 故()44cos ,sin t t 比()33cos ,sin t t 距离原点近或两者重合，故曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界），故（3）正确；（4）直线y x =交星形线于点33222,2a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，33222,2a a --⎛⎫-- ⎪⎝⎭，数形结合，星形线的围成的面积大于以这两点为直径的圆的面积，即2322ππ24S a a -⎫>=⎪⎭，又显然，星形线围成的面积小于以(),0a ±，()0,a ±四点构成的正方形的面积，即2S a <，所以22π,4S a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故（4）正确； 故选：A ． 【点睛】思路点睛：特殊曲线的性质的判断，可根据其指数的特征进行合理的三角换元，也可以根据曲线的特征进行面积的估计. 17．-2,-4,-1 2.a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或.【解析】分析：将z=1+i ,z 1i =-代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b. 详解：∵z=1+i,∴az+2()()bz a 2b a 2b i,=++- (a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i =(a 2+4a)+4(a+2)i. ∵a,b ∈R,∴由复数相等,22a 4,-24(2).a b a a b a ⎧+=+⎨=+⎩得∴两式相加整理,-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得或 ∴所求实数-2,-4,-1 2.a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩为或点睛：（1）本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.18．【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.19．k =k = 【分析】联立直线和双曲线方程，就二次项系数分类讨论可得所求的k 的值. 【详解】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=， 因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()222302432k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =20．(1)轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.(2)[4,0]-. 【分析】(1)由复数相等的定义化简得出0t y x =-，将其代入200220t t xy ++=中即可得出所求点的轨迹方程；(2)将方程的根转化为直线与圆的交点问题，由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得方程实根的取值范围. 【详解】解:(1)设方程实根为0t .根据题意得200(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R ,即()()2000220t t xy t x y i ++++-=.根据复数相等的充要条件,得20002200t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩① 由①得0t y x =-,代入200220t t xy ++=得2()2()20y x y x xy -+-+=即22(1)(1)2x y -++=.所以所求的点的轨迹方程是22(1)(1)2x y -++=, 轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆. (2)由(1)得圆心为(1,1)-,半径r =直线0t y x =-与圆有公共点,2,即022t +,所以040t -.故方程实根的取值范围是[4,0]-. 【点睛】本题主要考查了复数相等的定义以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 21．（1）4p =；（2）1. 【分析】（1）求出p 后可得焦点到准线的距离.（2）设直线l 的方程为4x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，可用,M N 的坐标表示PB BQ，再联立直线l 的方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简PB BQ可得所求的值.【详解】（1）因为()2,4T -在抛物线上，164p =即4p =，抛物线C 的焦点到准线的距离为4p =.（2）显然直线l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为4x my =-，由248x my y x=-⎧⎨=⎩得28320y my -+=， 由()228320m ∆=->得216m >，设()11,M x y ，()22,N x y ，则128y y m +=，1232y y =，所以()12124my y y y =+. 又114MA y k x =-，224NA y k x =-， 所以直线MA ：()1144y y x x =--，NA ：()2244yy x x =--， 令4x =-，得1184P y y x -=-，2284Q y y x -=-，所以121212124848P QPB y y x y my BQx y my y y --==⋅=⋅-- ()()121121211221221248844184844y y y my y y y y my y y y y y y y +---====-+--．【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 22．（1）11,1612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【分析】（1）设点()00,M x y ，可得()00,N x y --，椭圆的有界性可得出[]200,2y ∈，利用斜率公式结合椭圆方程可得出20172212PM PN k k y ⋅=-++，利用不等式的基本性质可求得PM PN k k ⋅的取值范围；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,Q x y ，分析得出直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()14y k x -=-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由AP QB AQ PB ⋅=⋅可得出()33214x x k -=-，再由3314y k x -=-可得出33220x y +-=，即可得出结论. 【详解】（1）设()00,M x y ，()00,N x y --， 则()22200000222000001111144162121642PM PNy y y y y k k x x x y y -+---⋅=⋅===-+-+--， 所以()202200121271722122212PMPN y kk y y -++⋅==-+++， 因为[]200,2y ∈，所以[]2021212,16y +∈，所以20777,2121612y ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦， 所以11,1612PM PN k k ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦；（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为4x =，此时直线l 与椭圆C 无公共点，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设4:1l yk x，即()14y kx k =+-，联立()2214214x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，得()()()2221241421440k x k k x k ++-+--=， 由0∆>得212810k k --<，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()12241412k k x x k -+=-+，()2122214412k x x k--=+， 设()33,Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，得()()()()23121344x x x x x x --=--（考虑线段在x 轴的射影），所以()()121233842x x x x x x =++-，于是()()()2332241421448421212k k k x x k k----=+⨯-⨯++，整理得()33214x x k -=-， 又3314y k x -=-，代入上式，得33220x y +-=，所以点Q 总在定直线220x y +-=上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.。
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若 P n 3=C n 4，则正整数n=___ ．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ．3.（填空题，4分）直线 y =√3x −1 与直线 y =√33(x −1) 的夹角的大小是 ___ ．4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 6.（填空题，4分）二项式 (x 2−1x )6展开式中的常数项为___ ．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是 ___ ．8.（填空题，5分）若-1，x ，y ，z ，-9（x 、y 、z∈R ）是等比数列，则实数y=___ ． 9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ．10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ．11.（填空题，5分）我们知道： C n m=C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ；② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ．12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列；② a k=a n-k+1（k∈N，-1≤k≤n）；③ 点P在直线l上；④ 若{x n}是等差数列，P点坐标为(x1+x n2，y1+y n2)．其中正确的命题有 ___ ．（填写所有正确命题的序号）．13.（单选题，5分）已知直线l：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l过点（0，0）”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题，5分）已知直线l过点P（3，4），且与坐标轴分别相交于点A、B，若△OAB的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC || 平面EFGH，BD || 平面EFGH，设BEAB=λ(0＜λ＜1)，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若λ=12，则多面体BEF-DGH的表面积等于12SD.若λ=12，则多面体BEF-DGH的体积等于12V17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；（2）求X的分布和数学期望E[X]．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a n x n（n为正整数）．（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13（请用分数作答）．（1）求甲以4：0获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．20.（问答题，16分）在数列{a n}中，a1= 14，a n+1a n=n2(n+2)（n为正整数）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1；（3）若数列{b n}满足b1=1，b n-b n+1=（n+2）a n，求数列{b n}的通项公式．21.（问答题，18分）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA= π，直角梯形ABEF中，BE || AF，3AF=2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF⊥平面ABCD．AB⊥AF，AB=BE= 12（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；，若存在，（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为√3926求出AG的长；若不存在，请说明理由．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）若P n3=C n4，则正整数n=___ ．【正确答案】：[1]27【解析】：根据题意，由排列、组合数公式，可得n（n-1）（n-1）= n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，若P n3=C n4，则有n（n-1）（n-1）= n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，解可得：n=27，故答案为：27．【点评】：本题考查排列、组合数公式，注意排列、组合数公式的形式，属于基础题．2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：直接利用古典概型问题的应用求出结果．【解答】：解：投掷一个正方体骰子，基本事件数为6；朝上数字大于4的基本事件数为2；故概率为P（A）= 26=13．故答案为：13．【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.（填空题，4分）直线y=√3x−1与直线y=√33(x−1)的夹角的大小是 ___ ．【正确答案】：[1]30°【解析】：先求出两直线的斜率，求出倾斜角，然后求解夹角．【解答】：解：直线 y =√3x −1 的斜率等于 √3 ，倾斜角为：60°， 直线 y =√33(x −1) 的斜率等于 √33 ，倾斜角为30°，两直线的夹角为30°． 故答案为：30°．【点评】：本题考查两直线的夹角的求法，已知三角函数值求角，是中档题．4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ． 【正确答案】：[1]3⋅22k+1-2k 【解析】：求出 a k+1，a k 即得解．【解答】：解：由题得， a k =2k +2k+1+2k+2+⋯+22k =2k (1−2k+1)1−2=22k+1−2k ，所以 a k+1=22k+3−2k+1两式相减得 a k+1−a k =22k+3−22k+1+2k −2k+1=3⋅22k+1−2k ， 所以 a k+1−a k =3⋅22k+1−2k ． 故答案为：3⋅22k+1-2k ．【点评】：本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 【正确答案】：[1]（1，-2，3）【解析】：设C 的坐标为（x ，y ，z ），根据向量的坐标运算即可求出．【解答】：解：设C 点的坐标为（x ，y ，z ）， ∵A （-1，2，-3），B （2，-4，6），∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，y-2，z+3）， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-x ，-4-y ，6-z ）， ∵ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴（x+1，y-2，z+3）=2（2-x ，-4-y ，6-z ）=（4-2x ，-8-2y ，12-2z ） ∴ {x +1=4−2xy −2=−8−2y z +3=12−2z ， 解得x=1，y=-2，z=3，∴C（1，-2，3）．故答案为：（1，-2，3）．【点评】：本题考查点的坐标的求法，考查空间坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（填空题，4分）二项式(x2−1x )6展开式中的常数项为___ ．【正确答案】：[1]15【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】：解：二项式(x2−1x )6展开式的通项公式为T r+1= C6r•（-1）r•x12-3r，令12-3r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C64 =15，故答案为：15．【点评】：本题主要二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___ ．【正确答案】：[1]1024【解析】：每一个位置只有亮与不亮两种状态，可得结论．【解答】：解：每一个位置只有亮与不亮两种状态，故可表示的数据个数为210=1024．【点评】：本题考查归纳推理，属中档题．8.（填空题，5分）若-1，x，y，z，-9（x、y、z∈R）是等比数列，则实数y=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知结合等比数列的性质即可直接求解．【解答】：解：根据等比数列的性质可得y2=-1×（-9）=9，所以y=3或y=-3，设等比数列的公比q，当y=3时，q 2=-3不符合题意， 故y=-3． 故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ． 【正确答案】：[1] 3√520【解析】：根据已知条件，结合两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，即可求解．【解答】：解：∵直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0平行， ∴k=-3×2=-6，即直线l 1的方程为2x+y-3b=0， ∴l 1与l 2间距离d=2√22+12 =|(b+32)2+34|√5当b= −32 时，d 取得最小值 3√520 ． 故答案为： 3√520 ．【点评】：本题主要考查两直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，属于基础题． 10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ． 【正确答案】：[1] 187200【解析】：直接利用互斥事件的应用求出结果．【解答】：解：根据题意合格品的概率P （A ）= 710×95100+310×90100 = 187200 ． 故答案为： 187200 ．【点评】：本题考查的知识要点：古典概型问题，互斥事件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.（填空题，5分）我们知道： C n m=C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ；② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式．根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ．【正确答案】：[1] C n m= C n−k m + C n−k m−k【解析】：根据题意，类比题目的思路，用两种方法讨论“从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组”的选法，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组，有2种分析方法：① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组，有 C n m 种选法，② 分2种情况讨论：若其中的某k 个元素都入选，需要从剩下的n-k 个元素中选m-k 个元素，有 C n−k m−k 种选法，若k 个元素都不入选，需要从剩下的n-k 个元素中选m 个元素，有 C n−k m 种选法， 则有 C n m = C n−k m + C n−k m−k ， 故答案为： C n m = C n−k m + C n−k m−k ．【点评】：本题考查合情推理的应用，涉及组合数公式的性质，属于基础题．12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列； ② a k =a n-k+1（k∈N ，-1≤k≤n ）； ③ 点P 在直线l 上；④ 若{x n }是等差数列，P 点坐标为 (x 1+x n 2，y 1+y n2) ． 其中正确的命题有 ___ ．（填写所有正确命题的序号）． 【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】： ① 可以根据题意进行判断；② 根据题干条件当i+j=n+1时，恒有a i =a j ，进行推导； ③ 设出点P 坐标，结合题干条件进行推导； ④ 再第三问基础上进行推导即可．【解答】：解：只有在数列{x n }是等差数列时，数列{y n }是等差数列，根据题意，数列{x n }不一定是等差数列，故数列{y n }不一定是等差数列， ① 错误；因为k+n-k+1=n+1，所以a k =a n-k+1（k∈N ，-1≤k≤n ）， ② 正确；因为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设P （s ，t ）， 则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ，t=a 1y 1+a 2y 2+…+a n y n ，因为A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，所以y 1=2x 1-3，y 2=2x 2-3，…，y n =2x n -3，则a 1y 1=2a 1x 1-3a 1，a 2y 2=2a 2x 2-3a 2，…，a n y n =2a n x n -3a n ，相加得：a 1y 1+a 2y 2+…+a n y n =2（a 1x 1+a 2x 2+…+a n y n ）-3（a 1+a 2+…+a n ）， 因为a 1+a 2+…+a n =1，所以t=2s-3，点P 在直线l 上， ③ 正确；{x n }是等差数列，若n 为偶数，则x 1+x n =x 2+x n-1=…= x n 2+x n 2+1 ，若n 为奇数，则x 1+x n =x 2+x n-1=…=2 x 1+n 2，又当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ），若n 为偶数，则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =a 1（x 1+x n ）+a 2（x 2+x n-1）+…+ a n 2(x n 2+x n 2+1) =（x 1+x n ）（a 1+a 2+…+ a n 2）=x 1+x n2， 同理可得：t=y 1+y n2； 若n 为奇数，则s=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =a 1（x 1+x n ）+a 2（x 2+x n-1）+…+ a 1+n 2x 1+n 2=（x 1+x n ）（a 1+a 2+…+ 12a 1+n 2）=x 1+x n2， 同理可得：t=y 1+y n2； 综上所述：若{x n }是等差数列，P 点坐标为 (x 1+x n 2，y 1+yn 2) ， ④ 正确． 故答案为： ② ③ ④ ．【点评】：本题考查了数列的递推式及分类讨论，难点在于对 ③ 和 ④ 的判断，属于难题． 13.（单选题，5分）已知直线l ：（k+1）x+（3k-2）y=0，“k=0”是“直线l 过点（0，0）”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【正确答案】：A【解析】：先求出不论k 取何值，直线l 过定点（0，0），再利用充要条件的定义判定即可．【解答】：解：∵直线l ：（k+1）x+（3k-2）y=0， ∴k （x+3y ）+（x-2y ）=0， ∴ {x +3y =0x −2y =0，∴ {x =0y =0 ，∴不论k 取何值，直线l 过定点（0，0）， ∴k=0是直线l 过点（0，0）的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查了直线过定点问题，充要条件的判定，属于基础题．14.（单选题，5分）已知直线l 过点P （3，4），且与坐标轴分别相交于点A 、B ，若△OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【正确答案】：C【解析】：由题意，用点斜式设出直线l 的方程为y-4=k （x-3），求出A 、B 的坐标，根据△OAB 的面积为24，求出k 的值，可得结论．【解答】：解：∵直线l 过点P （3，4），且与坐标轴分别相交于点A 、B ，若△OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，设直线的斜率为k ，则直线l 的方程为y-4=k （x-3）， 故直线l 与x 轴的交点为A （ 3k−4k，0），直线l 与y 轴的交点B （0，4-3k ），故△OAB 的面积为 12 ×|3k−4k |×|4-3k|= (3k−4)22|k|=24， 即（3k-4）2=48|k|，求得k= 36+2√389，或k=36−2√389 ，或 k=- 43， ∴这样的直线有3条， 故选：C ．【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线的截距的定义，属于基础题．15.（单选题，5分）甲、乙、丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（）A.120种B.80种C.64种D.20种【正确答案】：A【解析】：根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，可得答案．【解答】：解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中有A63，则共有1×A63=120种情况．故选：A．【点评】：本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．16.（单选题，5分）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC || 平面EFGH，BD || 平面EFGH，设BEAB=λ(0＜λ＜1)，则下列结论正确的是（）A.四边形EFGH是正方形B.AE和AH与平面EFGH所成的角相等C.若λ=12，则多面体BEF-DGH的表面积等于12SD.若λ=12，则多面体BEF-DGH的体积等于12V【正确答案】：D【解析】：对A，证明四边形EFGH是平行四边形．所以选项A错误；对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，所以选项B错误；对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，连接AN，CN．多面体BEF-DGH的表面积S′=2√3+1≠12S，所以选项C错误；对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，设点B到平面EMF的距离为h1，则多面体BEF-DGH的体积=V B-MEF+V EMF-HDG== 12V B−ADC=12V，所以选项D正确．【解答】：解：对A，因为AC || 平面EFGH，AC⊂平面ABC，EF⊂平面EFGH，平面EFGH⋂平面ABC=EF，所以AC || EF，同理AC || GH，所以EF || GH，同理EH || FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以四边形EFGH不一定是正方形，所以选项A错误；对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE=AH，则AB=AD，已知中没有AB=AD，所以AE和AH与平面EFGH所成的角不一定相等，所以选项B错误；对C，假设正四面体ABCD，AB=2，取BD的中点N，连接AN，CN．则BD⊥AN，BD⊥CN，因为AN⋂CN=N，AN，CN⊂平面ACN，所以BD⊥平面ACN，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，前面已经证明四边形EFGH是平行四边形，又EF=FG，所以四边形EFGH是正方形，且EF=FG=1，正四面体的每一个面的面积为12×2×2×sin60°=√3，所以正四面体的表面积为S=4√3，所以多面体BEF-DGH的表面积S′=34×√3×2+14×√3×2+1×1=2√3+1≠12S，所以选项C错误；对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，则多面体EMF-HDG是棱柱，设点B到平面EMF的距离为h1，由于BEAB =12，所以点E是AB的中点，则点M到平面HDC的距离为h1，点B到平面ADC的距离为2h1．则多面体BEF-DGH的体积= V B−MEF+V EMF−HDG=13⋅S△EMF⋅ℎ1+S△EMF⋅ℎ1 = 13⋅14S△ADC⋅ℎ1+14S△ADC⋅ℎ1=13⋅S△ADC⋅ℎ1=12⋅(13⋅S△ADC⋅2ℎ1)=12V B−ADC=12V，所以选项D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查线面角的计算，多面体体积的计算，多面体表面积的计算等知识，属于中等题．17.（问答题，14分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小李工作日上下班出行方式由自驾车改为选择乘坐公共交通或骑共享单车中的一种．根据小李从2020年4月到2020年6月的出行情况统计，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐公共交通单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记小李在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元，假设小李上下班选择出行方式是相互独立的．（小李上下班各计一次单程）．（1）求小李在一个工作日内上下班出行费用为4元的概率；（2）求X的分布和数学期望E[X]．【正确答案】：【解析】：（1）由独立事件概率的乘法公式及互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题意可得X=2，4，6，分别求出对应的概率，可得分布列及数学期望．【解答】：解：（1）由题意可得P（X=4）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48．（2）由题意可得X=2，4，6，P（X=2）=0.6×0.6=0.36，P（X=4）=0.48，P（X=6）=0.4×0.4=0.16，所以X的分布列为：【点评】：本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知（1-3x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a n x n（n为正整数）．（1）若a2=15a0-13a1，求n的值；（2）若n=2022，A=a0+a2+a4+⋯+a2022，B=a1+a3+a5+⋯+a2021，求A+B和A2-B2的值（结果用指数幂的形式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）令x=1即可求出a0，再根据二项式定理的性质分别求出a1，a2，然后解方程即可求解；（2）分别令x=1，x=-1，求出展开式的值，进而可以求解．【解答】：解：（1）令x=1，则a0=1，二项式的展开式中含x项的系数为a1=C n1•(−3)1 =-3n，二项式的展开式中含x2项的系数为a2=C n2•(−3)2 = 9n(n−1)2，则由已知可得9n(n−1)2=15×1−13×(−3n)，即9n2-87n-30=0，解得n=10或- 13（舍去），故n的值为10；（2）若n=2022，则二项式为（1-3x）2022=a0+a1x+a2x2 +....+a 2022x2022，令x=1，则a0+a1+a2+.....+a2022=（1-3）2022=22022① ，令x=-1，则a0-a1+a2-.....+a2022=[1-3×（-1）]2022=42022=24044② ，① + ② 可得A=22021+24043，① - ② 可得B=22021-24043，所以A+B=22022，A2-B2=（A+B）（A-B）=22022•24044=26066．【点评】：本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），已知在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13（请用分数作答）．（1）求甲以4：0获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数少于6局的概率．【正确答案】：【解析】：（1）甲以4：0获胜的概率为P=（23）4，由此能求出结果．（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：① 乙连胜4局，② 前四局乙3胜1负，第五局乙胜，由此能求出乙获胜且比赛局数少于6局的概率．【解答】：解：（1）比赛采用7局4胜制，在每一局比赛中甲、乙获胜的概率分别为23和13，∴甲以4：0获胜的概率为：P=（23）4= 1681．（2）乙获胜且比赛局数少于6局的情况有2种情况：① 乙连胜4局，概率为P1=（13）4= 181，② 前四局乙3胜1负，第五局乙胜，概率为P2= C43(13)3(23)(13) = 8243，∴乙获胜且比赛局数少于6局的概率P=P1+P2= 11243．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.（问答题，16分）在数列{a n}中，a1= 14，a n+1a n=n2(n+2)（n为正整数）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1；（3）若数列{b n}满足b1=1，b n-b n+1=（n+2）a n，求数列{b n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）利用累乘法可求出数列{a n}的通项公式；（2）根据（1）可求出2n⋅a n=1n(n+1)，从而根据裂项相消求和法可证明结论；（3）根据（1）可知b n+1−b n=2[1(n+1)⋅2n+1−1n⋅2n]，从而利用累加法可求出数列{b n}的通项公式．【解答】：解：（1）因为a n+1a n =n2(n+2)，所以a2a1=12×3，a3a2=22×4，a4a3=32×5，a5a4=42×6，…，a na n−1=n−12(n+1)，把以上（n-1）个式子相乘，得a2a1⋅a3a2⋅a4a3⋅a5a4⋅…⋅a na n−1=12×3×22×4×32×5×42×6×…×n−12(n+1)，即a na1=12n−1(13×24×35×46×…×n−1n+1)=12n−1⋅2n(n+1)，所以a n=12n−1⋅2n(n+1)×14，即a n=1n(n+1)⋅2n．证明：（2）因为a n=1n(n+1)⋅2n ，所以2n⋅a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)= 1−1n+1＜1，所以2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n＜1．解：（3）因为b n−b n+1=(n+2)a n=(n+2)⋅1n(n+1)⋅2n =n+2n(n+1)⋅2n=2[1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1]，即b n+1−b n=2[1(n+1)⋅2n+1−1n⋅2n]，所以b2−b1=2(12⋅22−11⋅21)，b3−b2=2(13⋅23−12⋅22)，b4−b3=2(14⋅24−13⋅23)，b5−b4=2(15⋅25−14⋅24)，…，b n−b n−1=2[1n⋅2n −1(n−1)⋅2n−1]，把以上（n-1）个式子相加，得b n−b1=2(12⋅22−11⋅21)+2(13⋅23−12⋅22)+2(14⋅23−13⋅23)+⋯+2[1n⋅2n−1(n−1)⋅2n−1] =2(1n⋅2n −11⋅21)=1n⋅2n−1−1．所以b n=1n⋅2n−1．【点评】：本题考查数列的递推公式及求和公式，考查学生的综合能力，属于难题．21.（问答题，18分）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA= π3，直角梯形ABEF中，BE || AF，AB⊥AF，AB=BE= 12AF=2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为√3926，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得OC⊥AB，进而结合平面ABEF⊥平面ABCD即可证明CO⊥平面ABEF；（2）根据题意，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用坐标法求解即可；（3）假设存在，设AG=λAD，λ∈[0，1]，再根据线面角的向量法求解即可．【解答】：（1）证明：因为在菱形ABCD中，∠CBA=π3，所以△ABC为等边三角形，因为O分别为AB中点，所以OC⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF⋂平面ABCD=AB，CO⊂平面ABCD．所以CO⊥平面ABEF．（2）解：因为直角梯形ABEF中，BE || AF，AB⊥AF，CO⊥平面ABEF，所以，以点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz，因为AB=BE=12AF=2，所以B （1，0，0），E （1，0，2），A （-1，0，0），F （-1，0，4）， D(−2，√3，0) ， C(0，√3，0) ， P (−32，√32，2) ， 所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(52，−√32，0) ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，0) ，所以 cos〈PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=PE⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |PE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52×√7=5√714， 所以异面直线PE 与AB 所成角的大小为 arccos 5√714．（3）解：假设线段AD 上是存在一点G ， 使得直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为√3926，此时AG=λAD ，λ∈[0，1]，则 FG⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1，√3，0)−(0，0，4)=(−λ，√3λ，−4) ， 由（1）知平面ABEF 的法向量为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√3，0) ， 设直线FG 与平面ABEF 所成角为θ， 则 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FG⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=3λ√3•√4λ2+16=√3926，解得 λ=√33∈[0，1] ，所以线段AD 上是存在一点G ，使得直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为 √3926 ， 此时 AG =√33AD =2√33．【点评】：本题主要考查线面垂直的证明，异面直线所成的角的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．。
2020-2021学年上海市杨浦区高二(上)期末数学测试卷
2020-2021学年上海市杨浦区高二（上）期末数学测试卷第I卷（选择题）一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.如果方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A. m<12B. m<2 C. m≤12D. m≤22.已知m∈R，则直线l1:(m−3)x+(m+1)y−6=0与直线l2:(m−3)x+(m+1)y+2=0的距离的最大值为()A. √2B. √3C. 2√2D. 2√33.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A. 9B. 1C. 1或9D. 以上都不对4.已知点P(s,t)在曲线C：y=√3−x22上动点，给出以下命题：p1：在x轴上一定存在两个不同的定点Q、R，满足|PQ|+|PR|为定值；p2：在y轴上一定存在两个不同的定点Q、R，满足||PQ|−|PR||为定值；p3:√(s−√3)2+t2的最小值为√6 2；p4:√(s−√3)2+(t−√6+√3)2−√(s−√3)2+t2的最大值为3√2−√6−√3;则下列命题为真命题的是()A. (¬p1)∨p2B. p1∧(¬p3)C. p3∧(¬p4)D. p2∨p3第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知直线l的斜率为2，且经过点(−2,5)，则直线l的一般式方程为_____．6.过点P(√3,1)且与圆x2+y2=4相切的直线方程______．7.以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点(2,√2)，则该双曲线的方程是______ ．8. 已知定点A(0,0),B(5,0)，若动点P 满足|PA|+|PB|=5，则动点P 的轨迹方程为____________．9. 若直线L 经过原点，且与直线y =√3x +2的夹角为30º，则直线L 方程为________。
10. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(x,1)，若(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数x 等于______．11. 直线x −y −5=0被圆x 2+y 2−4x +4y +6=0所截得的弦的长为______． 12. 已知动点P 到点A(−2,0)，B(−1,0)的距离之比为√2:1，则点P 的轨迹方程是________．13. 已知椭圆E ：x 24+y 2b 2=1(0<b <2)的右焦点为F.短轴的一个端点为M ，直线l ：3x −4y =0，若点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是______ ．14. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y26=1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 分别与双曲线的左支交于点A ，右支交于点B ，若△ABF 2是正三角形，则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为________． 15. 已知A ，B ，C 三点共线，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ1+λ2= ． 16. 已知点A(1,0)，B(−1,1)，且|PA|=√2|PB|，则点P 的轨迹方程为 ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知向量a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，其中e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，求： (1)a ⃗ ⋅b ⃗ ；(2)a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值．18. 若方程x +y −6√x +y +3m =0表示两条直线，求m 的取值范围．19.过点P(4,1)的直线l与双曲线x2−y2=1相交于A、B两点，且P为AB的中点，求4l的方程20.设直线l:x=ty+p与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同两点A、B，点D2为抛物线准线上的一点．(I)若t=0，且三角形ABD的面积为4，求抛物线的方程；(II)当ΔABD为正三角形时，求出点D的坐标．21.已知动圆P与圆F1：(x+1)2+y2=1外切，与圆F2：(x−1)2+y2=9内切．动圆P的圆心轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异两．点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为14(1)求E的方程；(2)证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆的一般方程，注意二元二次方程表示圆的条件限制．圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，若方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，必须满足(−1)2+12−4×m>0，解出即得．【解答】解：根据题意有(−1)2+12−4×m>0，．解得：m<12故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了两平行直线间的距离，属于基础题．由平行线间的距离公式可得．【解答】解：因为直线l1:(m−3)x+(m+1)y−6=0与直线l2:(m−3)x+(m+1)y+2=0平行，所以由平行线间的距离公式得d=22=√2m2−4m+10=，√2(m−1)2+8所以当m=1时，d max=2√2．故选C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用椭圆C的短轴长为6，离心率为45，求出几何量，即可得到结论．【解答】解：由题意，b=3，ca =45又∵b=√a2−c2，解得a=5，c=4∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为5+4=9或5−4=1故选：C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，属于中档题．确定曲线C为椭圆时解题的关键，根据椭圆的性质及其概念求解即可．【解答】解：由y=√3−x22得x26+y23=1(y≥0)，表示焦点在x轴上的椭圆位于x轴及其上方的部分．对p1，当Q、R为椭圆的两个焦点时，满足|PQ|+|PR|为定值，为真命题；对p2，显然是假命题；对p3，椭圆的右焦点为(√3,0)，√(s−√3)2+t2表示椭圆上的点到右焦点的距离，最小值为右顶点到它的距离，为√6−√3，假命题，对于p4:√(s−√3)2+(t−√6+√3)2−√(s−√3)2+t2，当椭圆上的点为左顶点时，取得最大值为3√2−√6−√3，真命题，显然只有B正确，故选B．5.【答案】2x−y+9=0【解析】解：直线l的斜率为2，且经过点(−2,5)，可得直线方程为：y−5=2(x+2)，化为：2x−y+9=0，则直线l的一般式方程为2x−y+9=0，故答案为：2x−y+9=0．利用点斜式可得直线方程．本题考查了直线点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】√3x+y−4=0【解析】解：∵把点P(√3,1)代入圆x2+y2=4成立，∴可知点P(√3,1)是圆x2+y2=4上的一点，圆心O与点P连线的斜率为3，故所求切线的斜率为−√3，则过P(√3,1)的圆x2+y2=4的切线方程为√3x+y−4=0．故答案为√3x+y−4=0．得到点P(√3,1)是圆x2+y2=4上的一点，根据圆的切线的性质可得切线的斜率，即可求出圆的切线方程．本题考查圆的切线方程，是基础题．7.【答案】x22−y22=1【解析】【分析】设等轴双曲线的方程为x2−y2=λ≠0.把点(2,√2)代入解得λ即可．熟练掌握等轴双曲线的标准方程是解题的关键．【解答】解：设等轴双曲线的方程为x2−y2=λ≠0．把点(2,√2)，代入可得：4−2=λ，解得λ=2．∴要求的等轴双曲线的方程为x22−y22=1．故答案为x22−y22=1．8.【答案】y=0(x∈[0,5])【解析】【分析】本题考查定义法求动点的轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键.借助椭圆的定义判断出动点P的轨迹，本题目的易错点是在掌握椭圆定义时一定要明确距离和大于两定点间的距离，当等于两定点间的距离时，动点的轨迹是一条线段．【解答】解：因为动点P满足|PA|+|PB|=5=|AB|，所以动点P的轨迹是以A(0,0)，B(5,0)为端点的线段，所以动点P的轨迹方程是y=0(x∈[0,5])，故答案为y=0(x∈[0,5])．9.【答案】x=0或y=√33x【解析】【分析】本题考查两直线的夹角，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．可得已知直线的倾斜角为为60°，进而所求直线l的倾斜角为30°或90°，可得直线l的方程．【解答】解：∵直线y=√3x+2的斜率为√3，∴倾斜角为60°，当直线l 的倾斜角为90°时，直线的方程为x =0； 直线l 的倾斜角为30°时，直线的方程为y =√33x.故答案为x =0或y =√33x.10.【答案】7【解析】 【解答】解：因为a ⃗ −b ⃗ =(3−x,3)，所以(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ⇒(3−x)×3+3×4=0⇒x =7， 故答案为：7． 【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】√6【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x −y −5=0被圆x 2+y 2−4x +4y +6=0所截得的弦的长即可． 【解答】解：圆x 2+y 2−4x +4y +6=0化为(x −2)2+(y +2)2=2， 所以圆的圆心坐标为(2,−2)，半径为：√2， 圆心到直线x −y −5=0的距离为：d =22=√22， 圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：√(√2)2−(√22)2=√62，所以弦长为：√6． 故答案为：√6．12.【答案】x 2+y 2=2【解析】 【分析】本题考查直接法求轨迹方程，属于基础题． 设P(x,y)，根据|PA ||PB|=√21建立等式求解即可． 【解答】解：设P(x,y)，由题意可得|PA ||PB |=√21， 则√(x+2)2+y 222=√21， 化简整理得：x 2+y 2=2， 故答案为x 2+y 2=2．13.【答案】(0,√32]【解析】解：椭圆E ：x 24+y 2b 2=1(0<b <2)的短轴的一个端点为M(0,b)，点M 到直线l 的距离不小于45，即为√9+16≥45， 即有1≤b <2，又a =2，c =√4−b 2， 则e =c a =√4−b 22∈(0,√32].故答案为：(0,√32].求得椭圆的短轴的一个端点，运用点到直线的距离公式解不等式可得1≤b <2，运用离心率公式，以及不等式的性质，即可得到所求范围．本题考查椭圆的离心率的范围，考查点到直线的距离公式的运用，以及不等式的解法和性质，属于中档题．14.【答案】−4【解析】 【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及向量数量积的计算，属于中档题．由双曲线的定义，以及△ABF 2是正三角形得|AF 1|=2a ，|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a.在△AF 1F 2中，由余弦定理求解得a ，进而取数量积． 【解答】22的左支交于点A ，右支交于点B ，由双曲线的定义知|AF 2|−|AF 1|=2a ，|BF 1|−|BF 2|=2a ． 又△ABF 2是正三角形， ∴|AB|=|AF 2|=|BF 2|，∴|AF 1|=2a ，|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a ． 设双曲线的焦距长为2c ， ∴c 2=a 2+6．在△AF 1F 2中，∠F 1AF 2=120°，∴(2c)2=(2a)2+(4a)2−2×2a ×4acos 120°， ∴c =√7a ． ∵c 2=a 2+6， ∴a =1，∴AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120∘=2×4×(−12)=−4．故答案为−4．15.【答案】1【解析】 【分析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，由A ，B ，C 三点共线知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，k ≠0，由向量的运算得出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1+kkOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出λ1和λ2，相加即可． 【解答】解：因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (k ≠0)， 所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得OC ⃗⃗⃗⃗⃗=−1k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1+kk OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则λ1=−1k ，λ2=1+k k， 所以λ1+λ2=−1k +1+k k=1，故答案为1．16.【答案】x2+y2+6x−4y+3=0【解析】【分析】本题考查与圆有关的轨迹方程问题，属于基础题．设点P(x,y)，由条件|PA|=√2|PB|可建立方程，化简即可求得点P的轨迹方程．【解答】解：设点P(x,y)，由题意得√(x−1)2+y2=√2⋅√(x+1)2+(y−1)2，两边同时平方，化简得x2+y2+6x−4y+3=0，即点P的轨迹方程为x2+y2+6x−4y+3=0．17.【答案】解：(1)∵向量a⃗=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =3e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，其中e1⃗⃗⃗ =(1,0)，e2⃗⃗⃗ =(0,1)，∴a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,1)，a⃗⋅b⃗ =1×3−2×1=1(2)∵|a⃗|=√5，|b⃗ |=√10，∴cos<a⃗，b⃗ >=√5√10=√210；【解析】(1)运算得出a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,1)，根据数量积的运算公式求解即可．(2)根据cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|求解即可．本题考查了平面向量的坐标运算，数量积，夹角问题，计算简单，属于基础题．18.【答案】[0,3)【解析】分析：本题考查直线方程的综合应用，属于基础题。
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020学年交大附中高二年级上学期期末试卷一、填空题1. 复数21i-的虚部为____________． 【答案】1【解析】【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部. 【详解】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1.2. 直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________． 【答案】12【解析】【分析】将直线1l 的方程化为普通方程，根据两直线垂直可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值.【详解】将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=， 2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 故答案为：12. 3. 已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．4. 若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________． 【答案】4-【解析】【分析】将方程整理为：2430x kx k ix ++++=，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k 的值.【详解】因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根，所以0x =，所以40k +=，所以4k =-，故答案为：4-.5. 抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =-【解析】 试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程6. 已知圆锥底面半径为1_____．【答案】2π【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，2=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.7. 已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________．【答案】3 【解析】【分析】取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，计算可得结果.【详解】取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CODO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为AC BC AD BD ====，AB CD ==2CO DO ===，所以112CDO S ==，又因为111333A BCD CDO V AB S -=⨯⨯==，故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.8. 在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 【答案】3R π 【解析】【分析】由已知中在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045东经0120有一座城市B ，设地球半径为R ，我们可以求出北纬45︒纬线圈半径，及连接AB 两点的弦的长，进而求出A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠，代入弦长公式即可得到答案．【详解】由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2R ， 又两座城市的经度分别为东经30和东经120︒， 故连接两座城市的弦长22L R R ==， 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=， 所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 故答案为：3R π. 【点睛】本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R ，一是A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠． 9. 设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________. 【答案】13 【解析】【分析】根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.【详解】由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =，的所以21PF =，或213PF = 经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =.故答案为：13.10. 设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．【解析】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为12z z i +，所以122z z ==+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .11. 已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条．【答案】3【解析】【分析】根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数.【详解】将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ，此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等， 且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条， 综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条，故答案为：3.【点睛】结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在； （2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条； （4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条； （5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.12. 三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ACB ∠的大小为____________．【答案】90或arccos3 【解析】【分析】对ABC ∠为锐角和钝角两种情况讨论，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出ABC 的三边边长，结合余弦定理可求得ACB ∠的大小.【详解】分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，AD =，BC与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，BC =，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan CD CED DE ∠==DE ∴=，3CE a ∴==，CE AB ⊥，3AE a ∴==，3BE a ==，所以，AB AE BE =+=，222AC BC AB ∴+=，所以，90ACB ∠=；（2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，AD =，BC与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，BC =，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan CD CED DE ∠==DE ∴=，3CE a ∴==，CE AB ⊥，3AE a ∴==，3BE a ==，所以，AB AE BE =-=，在ABC 中，AC 2a =，BC =，AB =，由余弦定理可得222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，0180ACB <∠<，所以，arccos3ACB ∠=.综上所述，90ACB ∠=或arccos3.故答案为：90或arccos 3. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对ABC ∠进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出ABC 三边的边长，并结合余弦定理求解.二、选择题13. 设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】本题首先可根据复数z 为纯虚数得出0a =以及0b ≠，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.【详解】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B . 14. 已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（ ）A. 存在k ，1P ，2P 使之无交点B. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D. 无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点【答案】D【解析】【分析】根据12,P P 在直线1y kx =+上且不重合，得到12210a b a b-≠，由此分析两直线的位置关系，从而判断出直线的交点个数.【详解】因为直线1y kx =+经过点()0,1不经过原点，点12,P P 在直线1y kx =+上且不重合， 所以12,OP OP 不共线，所以12210a b a b -≠， 因为11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩，即112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，方程组的系数矩阵为：1122a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以111221220a b D a b a b a b ==-≠，所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解， 所以不论k ，1P ，2P 如何，12,l l 总是唯一交点，故选：D.【点睛】关键点点睛：二元一次方程组的解可以利用行列式去计算，未知数的系数比例关系决定了行列式的值也具有相应的比例关系.15. 平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A. 外心、重心B. 内心、垂心C. 外心、垂心D. 内心、重心【答案】C【解析】【分析】 将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心.【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ，所以11111AA A D A B === 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.16. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】 【分析】先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．【详解】由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽ 又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==， 2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ，由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动， ∴轨迹为圆的一部分故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹.三、解答题17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =． (1) 若1BM AC ⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【答案】（1）1h =（2）arc 【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =． (2) 解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 一个法向量为(),,n x y z = 由0{n AB n AM ⋅=⋅=得0{x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则11sin 2n BA n BA θ⋅===⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sin arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sinarc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18. 已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值．的【答案】（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.19. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC 面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 【答案】（1）160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=．【解析】 【分析】（1）由题意知FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5cos FM θ=，得FBC 的面积为25cos θ，从而得屋顶面积为16022cos FBCABFE S SS θ=+=； （2）别墅总造价为2sin 60096004800057600cos y s h θθ-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()2sin cos f θθθ-=，求导求最值即可求解.【详解】（1）由题意知FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥， 又因为HM⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=， 因此FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而得屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=，所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）在Rt FHM 中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-， 所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令()2sin cos f θθθ-=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222cos sin 2sin 12sin cos cos f θθθθθθθ-+--+'==， 令()0f θ'>解得64ππθ<<，令()0f θ'<解得06πθ<<，所以()2sin cos fθθθ-=在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以当6πθ=时，()2sin cos fθθθ-=取得最小值，即当6πθ=时，总造价最低.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出Rt FHM 的边角关系，表示出FBC 的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度65tan h θ=-即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可.20. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．【答案】（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得； （2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围． 【详解】（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 303AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ， 11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）12233ABD S =⨯⨯=△，11339F ABD V -=⨯⨯=，由长方体性质可得BF =3BD =，3DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥，∴12BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得13=h = （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥， ∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．21. 设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）内切；答案见解析；（3）2l 恒过定点；定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解出,a c 的值，根据222a b c =+求解出22,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）先求解出两圆方程，然后通过计算圆心距和圆的半径，得到圆心距与圆的半径之间的关系，由此确定出两圆的位置关系；（3）根据条件NC ND NC ND +=-可得0NC ND ⋅=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出0NC ND ⋅=对应的坐标形式，由此得到,k m 之间的关系式，从而确定出直线2l 所过的定点.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由条件可知：2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =的以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切；（3）设()()1122,,,C x y D x y ，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因NC ND NC ND +=-，所以0NC ND ⋅=，所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=， 所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=，所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=， 所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m k km k m λλμλμμ-++++++-=， 又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=，所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=， 所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+，所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件； 当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上可知：直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 与过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
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上海中学高二期末数学试卷
2021.01
一. 填空题 1. 若复数
3i
12i
a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为
3. 已知方程22
3212x y λλ
+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是
4. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点
在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为
5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =
6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ
θθ=-⎧⎨=+⎩
（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是
7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是
8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为
9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒， 则12||||PF PF ⋅=
11. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条
渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为
12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积
为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为
二. 选择题
1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22
221x y a b
-=有相同的焦点，则椭圆的离
心率为（ ）
A.
B. 1
2
C. D.
2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 （ ）
A. 3
B. 4
C. 32
D. 42
3. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于
A 、
B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线A
C 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变
化时P 的轨迹是（ ）
A. 椭圆的一部分
B. 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分
D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为
4
a
的圆 在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线， 其方程为2
223
3
3
x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）
（1）星形线的参数方程为：33
cos sin x a t
y a t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；
（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线1
12
2
1x y +=在星形线223
3
1x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4
S a a π
∈；
A. （1）（3）（4）
B.（1）（2）（3）（4）
C. （2）（3）
D.（1）（2）（3）
三. 解答题
1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.
2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.
3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？
4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）求方程的实根的取值范围.
5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；
（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||
||
PB BQ 的值.
6. 已知椭圆22
:142
x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.
（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满 足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.
参考答案
一. 填空题
1. 6-
2. {1}
3. 21λ-<<-
4. 22
1927
x y -=
5. 2
6. 222x y +=
7.
5
4
8. 4
9. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10
二. 选择题
1. D
2. C
3. B
4. D
三. 解答题
1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.
2. min ||z =
3. k =k =
4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.
5.（1）28y x =，4；（2）1.
6.（1）11
[,]1612
-；
（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。