固体物理复习题答案完整版

一·简答题1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。

（答案参考教材P7－8）（1）体心立方基矢：123()2()2()2ai j k a i j k ai j k ααα=+-=-++=-+，体积：312a ，最近邻格点数：8（2）面心立方基矢：123()2()2()2a i j a j k ak i ααα=+=+=+，体积：314a ，最近邻格点数：122.习题1.5、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：因为33121323,a aa a CA CB h h h h =-=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ⋅=，容易证明12312300h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

3.习题1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯，1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a aπππ=== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G hi k j l k a a aπππ=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d Gπ=2221()()()h k l a a a=++22222()a d h k l =++ 4.习题1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)（1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+，(111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。

（2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：B R ai aj =-+，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+，晶向指数[110]。

5.固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？（1）基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式（2）相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. （答案参考教材P49） 6.什么是声子？声子就是指格波的量子，它的能量等于q ω。

在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。

晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。

（答案参考教材P92）7.对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W －K 示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。

（答案参考教材P95－97） 解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系W －K 示意图如下上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。

（2）当波矢q 很小时，w 与q 的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w 的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。

8.试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。

导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带;绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250－254)9.请问德拜模型的基本假设是什么？基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。

（答案参考教材P126－129） 10.晶体由N 个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式 态密度：2_233()2Vg C ωωπ=，频率表达式：_21/3[6()]m N C Vωπ=答案参考教材P127－12911.简述Bloch 定理, 该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材P154－157）（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解ψ具有如下性质：()()nik R r R e r ψψ⋅+=，其中k 为一矢量，此式就是布洛赫定理。

它表明：当平移晶格矢量n R 时，波函数只增加了位相因子nikR e。

（2）边界条件： 11()()r r N ψψα=+22()()r r N ψψα=+33()()r r N ψψα=+其中1N ，2N ，3N 为沿1α，2α，3α方向的原胞数，总的原胞N=1N ∙2N ∙3N 。

二、证明or 计算题1.已知某晶体中相距为r 的相邻原子的相互作用势能可表示为：()m n U r r rαβ=-+，其中α、β、m>n 都是>0的常数，求：a) 平衡时两原子间的距离； b) 平衡时结合能； 思路参考教材P53－54 解：（1）求平衡间距r 0由0)(0==r r drr du ，有：mn nm n m m n n m r r n r m --++⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒=-1101.0100αββαβα结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示） （2）求结合能w （单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即min U即：00011()()22m n W U r r r αβ=-=+- （可代入r 0值，也可不代入）2.已知N 个质量为m ，间距为a 的相同原子组成的一维原子链，(1)推导其色散关系(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。

(3)试求出它的格波态密度函数g(ω)，并作图表示。

解：（1）1111()()(2)n n n n n n n n m μβμμβμμβμμμ+-+-=---=+-设方程的解[]i t naq nAe ωμ-=,代回方程中得到：22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=-=，2sin 2aq m βω= （2），截止频率范围以外的q 值并不能提供其他不同的波，q 的取值范围称为布里渊区。

（3）2_233()2Vg C ωωπ=，代入ω即可得出。

答案参考教材P82－87习题4-3. 电子在周期场中的势能函数()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na na x b m x V 1,0,21222当当ω其中b a 4=，ω为常数，(1)画出此势能曲线，并求其平均值；(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。

解 ：(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以111()()()()a a bL b bV x V x V x dx V x dx L a a --===⎰⎰⎰ 题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是2222232111()()2236b b b b bbb b m m V V x dx b x dx b x x m b a a aωωω----⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰。

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数200021()cos ,()cos ()cos 2222b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdx b b b b bπππ∞=-∞'=+==∑⎰⎰ 11222102,1()cos2bg g m xE V m E b x dx bbωπ===-⎰第一个禁带宽度以代入上式,利用积分公式()2232cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m =+-⎡⎤⎣⎦⎰得 22316m b ωπ=1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式2222()cosbg m xE b x dx bbωπ=-⎰再次利用积分公式有2222m b ωπ=2g E4-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s 态原子能级对应的能带的()εk 函数。

解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：()0()()s ik R s s s Rs E k J J R e ε-⋅==--∑近邻在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =，则这12个最近邻的坐标是：①(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222a a a a②(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222a a a a③(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222a a a a由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R 有相同的值，简单表示为J 1=()S J R 。

又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ϕϕ-=∴在近邻重叠积分*()()()()()s i s s i J R R U V R d ϕξξϕξξ⎡⎤-=--⎣⎦⎰中，波函数的贡献为正∴J 1＞0。

于是，把近邻格矢S R 代入()s S E R 表达式得到：01()sik R s S Rs E k J J e ε-⋅==--∑近邻=()()()()222201x y x y x y x y a a a ai k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---⎡--+++⎢⎣()()()()2222y z y z y z y z aaaai k k i k k i k k i k k eeee-+----+---+++++()()()()2222x z x z x z x z aaaai k k i k k i k k i k k eeee-+----+---⎤+++⎥⎦=012cos ()cos ()cos ()cos ()2222S x y x y y z y z aa a a J J k k k k k k k k ε⎧⎡⎤⎤⎡--++-+++-⎨⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦⎩cos ()cos()2z x z x a k k k k ⎫⎡⎤+++-⎬⎢⎥⎣⎦⎭cos()cos()2cos cos αβαβαβ↓++-==014cos cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a01()8(cos cos cos )222s s x y z a a aE k J J k k k ε=--习题5-1. 晶格常数为α的一维晶体电子能量)2cos 81cos 87()(22ααk k ma h k E +-= 试求：(1)能带宽度；(2)波矢为k 的电子速度；(3)能带底部和顶部的电子有效质量 解：（1）2271()(cos cos 2)88E k ka ka ma =-+ =22ma[78－coska +18(2cos 2ka －1)] ＝224ma [(coska －2)2－1]当ka ＝(2n+1)π时,n=0,±1,±2 (2)max 22()E k ma= 当ka =2n π时, min ()0E k = 能带宽度＝2max min 22E E ma -= （2）1()1(sin sin 2)4dE k ka ka dk ma υ==- (3) 222*11(cos cos 2)2Ek m m ka ka -∂∂⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦当0k =时,带底，*2m m =当k a π=±时,带顶，*23m m =- 习题6.2，习题6.3，习题6.4。