欧拉公式

欧拉公式
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。

其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式——将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。

此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。

中文名
欧拉公式
外文名
Eulers formula
应用
数学
发现人
欧拉
目录
1简介
2分式
3复变函数
4平面几何
5拓扑学
▪空间中的欧拉公式
▪平面上的欧拉公式
6初等数论
7物理学
1简介
（Euler公式）
在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。

[1]
2分式
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c[2]
3复变函数
，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。

的证明：
因为
…
在
的展开式中把x换成±ix.
所以
将公式里的x换成-x，得到：
，然后采用两式相加减的方法得到：
，
.这两个也叫做欧拉公式。

将
中的x取作π就得到：
.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e[1] ，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

[2]
4平面几何
设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有
（1）式称为欧拉公式.
为了证明（1）式，我们现将它改成
（2）式左边是点I对于⊙O的幂：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。

事实上，如图3.21，如果将OI延长交圆于E、F，那么
因此，设AI交⊙O于M，则
因此，只需证明
或写成比例式
为了证明（5）式，应当寻找两个相似的三角形。

一个以长IA、r为边；另一个以长
2R、MI为边。

前一个不难找，图3.21中的△IDA就是，D是内切圆与AC的切点。

后一个也必须是直角三角形，所以一边是直径ML，另一个顶点也应当在圆上。

△MBL就满足要求。

容易证明
因此（5）式成立，从而（1）式成立。

因为
，所以由欧拉公式得出一个副产品，即
5拓扑学
事实上，欧拉公式有平面与空间两个部分：
空间中的欧拉公式
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么
X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

在多面体中的运用：
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
这个公式叫欧拉公式。

公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

平面上的欧拉公式
其中V是图形P的顶点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。

在非简单多面体中，欧位公式的形式为：
其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。

证明
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。

假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。

每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。

因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。

有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。

这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形
的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。

这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。

这时
F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。

因此F′-E′+V′仍然没有变。

即
成立，于是欧拉公式：
得证。

[2]
6初等数论
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是
，其中众
都是素数，而且两两不等。

则有
利用容斥原理可以证明它。

[1]
7物理学
众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。

现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

[1]
数学公式
A-F
▪半角公式▪倍角公式▪蔡勒公式▪差立方
▪差平方▪乘法公式▪导数公式▪到角公式
▪德摩根公式▪定比分点公式▪二倍角公式▪二阶微分方程
以上公式按中文名拼音首字母顺序排列
G-L
▪高斯公式▪格林第二公式▪格林第一公式▪格林公式
▪海伦公式▪和差化积▪和差平方▪和立方
▪和平方▪弧长公式▪弧长计算公式▪换底公式
▪夹角公式▪角平分线长公式▪柯西-阿达马公式▪柯西积分公式
▪拉普拉斯展开▪立方和差▪两点间距离公式▪两角和公式
以上公式按中文名拼音首字母顺序排列
M-R
▪默比乌斯反演公式▪牛顿-寇次公式▪欧拉-笛卡尔公式▪欧拉公式
▪抛物线标准方程▪平方差公式▪平移公式▪婆罗摩笈多公式
▪球的表面积公式▪全概率公式▪全期望公式▪全微分方程
以上公式按中文名拼音首字母顺序排列
S-Z
▪塞尔伯格迹公式▪三倍角公式▪三角不等式▪三角函数差角公式▪三角函数公式▪三角函数和角公式▪三角函数周期公式▪扇形面积公式
▪扇形面积公式▪斯科伦范式▪斯特灵公式▪斯托克斯公式▪素数公式▪泰勒公式▪通项公式▪外尔特征标公式▪完全平方公式▪斜棱柱侧面积公式▪斜棱柱体积▪斜率公式
▪一阶微分方程▪诱导公式▪圆的标准方程▪圆的一般方程▪圆台侧面积公式▪圆柱侧面积公式▪圆锥侧面积公式▪圆锥体体积公式▪正棱台侧面积公式▪正棱锥侧面积公式▪直棱柱侧面积公式▪重心坐标公式▪柱体体积公式▪锥体体积公式。