历年高考文科数学真题汇编+答案解析(8)：坐标系与参数方程

（1）写出 C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cosθ+sinθ)− 2 =0，M 为 l3 与 C 的 交点，求 M 的极径. 学*科@网
【解析】（1）消去参数 t 得 的普通方程 ： = − 2 ; 消去参数 m 得 2的普通方程 2： = +2).
Rt△OPQ
中，
cos
3
|
OP
|
2
，
经检验，点
P(2,
)
3
在曲线
cos
3
2
上．
所以，l的极坐标方程为
cos
3
2
．
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且AP NhomakorabeaOM
，故
的取值范围是
4
垂直，垂足为 P.
（1）当
0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.
【解析】（1）因为
M
0,0 在C上，当0
3
时，
0
4 sin
3
2
3.
由已知得 | OP || OA | cos 2 . 3
设 Q( ,
)
为l上除P的任意一点.在
故tan =− ，从而cos2 = ， sin2 = .
代入 2 cos2 − sin2 = 킠 得 2=5，所以交点 M 的极径为 . 10.（2016 全国 I 卷文 22）
= ⲻcos ，
在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为
（t 为参数，a＞0）. 在以坐标原点为极点，x
= ⲻsin ，
17
17
综上， a 8 或 a 16 .
8．（2017 全国 II 卷文 22）
-5-
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.
（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM | | OP | 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐
（2）直线 l 的普通方程为 x 4 y a 4 0 ，故 C 上的点 (3cos , sin ) 到 l 的距离为
d | 3cos 4sin a 4 | . 17
当 a 4 时， d 的最大值为 a 9 .由题设得 a 9 17 ，所以 a 8 ；
17
17
当 a 4 时， d 的最大值为 a 1 .由题设得 a 1 17 ，所以 a 16 .
，tB
，tP ，则 tP
tA
tB 2
，且 tA
，tB
满足 t2
2
2t sin 1 0 ．
-4-
于是 tA tB 2 2 sin ， tP
2 sin
．又点 P
的坐标 (x, y)
x 满足
y
tP
cos , 2 tP sin .
所以点 P
x 的轨迹的参数方程是
2 sin 2, 2
2
，故
k
4 3
或
k
0
．
经检验，当
k
0
时，
l1
与
C2
没有公共点；当
k
4 3
时，
l1
与
C2
只有一个公共点，
l2
与
C2
有两个
公共点．
当 l2
与 C2
只有一个公共点时，
A 到 l2
所在直线的距离为 2
，所以
|
k 2| k2 1
2
，故
k
0或
k
4 3
．
经检验，当
k
0
时，
l1
与
C2
没有公共点；当
k
4 3
时，
l2
与
（t
均为参数），化为
x2
y
12
a2
①.
∴ C1 为以 0 ，1 为圆心， a 为半径的圆，方程为 x2 y2 2y 1 a2 0 .
令 x cos ， y sin ，
则有 2 2 sin 1 a2 0 ，即为 C1 的极坐标方程.
⑵ C2 ： 4cos 两边同乘 得 2 4 cos 2 x2 y2 ， cos x ，
线为 l2 ．由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2
与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
当
l1
与
C2
只有一个公共点时，
A
到
l1
所在直线的距离为
2
，所以
|
k 2 | k2 1
【解析】（1）曲线 C 的普通方程为 x2 y2 1. 9
当 a 1时，直线 l 的普通方程为 x 4 y 3 0 .
由
x4 x2 9
y y
3 2 1
0
解得
x y
3 0
或
x y
21 25
24 25
.
从而 C 与 l 的交点坐标为 (3, 0) ， ( 21 , 24) . 25 25
标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 ．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． 【解析】（1）由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为
(x 1)2 y2 4 ．
（2）由（1）知 C2 是圆心为 A(1, 0) ，半径为 2 的圆． 由题设知， C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1 ， y 轴左边的射
4 cos
π 3
11
.
7
7
当
2π 3
时，
4 cos
π 3
11 取得最小值7，故C上的点到 l
距离的最小值为
7.
2．（2019 全国 II 卷文 22）
在极坐标系中，O 为极点，点 M (0,0 )(0 0) 在曲线 C : 4 sin 上，直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM
-1-
时，记
tan
k
，则 l
的方程为
y
kx
2 ． l 与 O 交于两点当且仅当 |
2 |1 ， 1 k2
解得
k
1 或
k
1
，即
(
,
)
或
(
,
)
．
42
24
综上，
的取值范围是 ( , )
．
44
（2） l
的参数方程为
x y
t cos, 2t
sin
(t
为参数，
4
4
)．
设 A ，B
，P
对应的参数分别为 tA
,
2
.
所以，P点轨迹的极坐标方程为 4 cos ,
4
,
2
.
3．（2019 全国 III 卷文 22）
如图，在极坐标系 Ox 中， A(2, 0) ， B( 2, ) ，C( 2, ) ， D(2, ) ，弧 AB ， BC ， BC 所在圆的圆
4
4
心分别是 (1, 0) ， (1, ) ， (1, ) ，曲线 M1 是弧 AB ，曲线 M2 是弧 BC ，曲线 M3 是弧 BC . 2
= − 2‫ݔ‬
设 P（x,y），由题设得 =
2‫ ݔ‬消去 k 得 2 − 2 = 킠
）.
所以 C 的普通方程为 2 − 2 = 킠
）.
（2）C 的极坐标方程为 2 cos2 − sin2 = 킠（ ＜θ＜2π，θ π）
-6-
联立 2 cos2 − sin2 = 킠 得 cos − sin = 2（ cos θ sin θ ） cos θ sin θ − 2 =
2 cos
0
π 4
，M2的极坐标方程为
2 sin
π 4
3π 4
，M3
的极坐标方程为
2
cos
3π 4
π
.
-2-
（2）设 P(, ) ，由题设及（1）知
若 0 π ，则 2 cos 3 ，解得 π ；
4
6
若 π 3π ，则 2sin 3 ，解得 π 或 2π ；
4
4
历年高考文科数学真题汇编+答案解析
专题 8 坐标系与参数方程、不等式选讲
（2020 年版）
考查频率：大题二选一（选考） 考试分值：12 分 知识点分布：选修 4-4、选修 4-5
一、坐标系与参数方程
1．（2019 全国 I 卷文 22）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
1
t
2
2
4t 2 1 t2
2 1，所以 C 的直角坐标方程为
x2 y2 1(x 1) . l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 . 4
（2）由（1）可设C的参数方程为
x
y
cos , 2sin
（
为参数，
π
π
）.
C上的点到 l 的距离为 | 2 cos 2
3
sin
11 |
y
2 2
2 cos 2 2
(
为参数， 4
4
)．
7．（2017 全国 I 卷文 22）
x 3cos ,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
sin ,
（θ为参数），直线 l 的参数方程为
x a 4t,
y
1
t,
（t为参数）.
（1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标；
（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.
当
时，S 取得最大值
.
所以△OAB 面积的最大值为
.
9．（2017 全国 III 卷文 22）
x 2+t,
在直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
y
kt,
（t 为参数），直线 l2 的参数方程为
x y
2 m, k
m, （m为参数）.设
l1
与
l2
的交点为
P，当
k
变化时，P
的轨迹为曲线
C．
C2
没有公共点．
综上，所求
C1
的方程为
y
4 3
|
x
|
2
．
5．（2018 全国 II 卷文 22）
-3-
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
y
2 cos θ（, 4sin θ
θ
为参数），直线
l
的参数方程为
x
y
1 t cos α, 2 t sin α
（ t 为参数）．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率．
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1, 2) 在 C 内，所以①有两个解，设为 t1 ，t2 ，则 t1 t2 0 ．
又由①得 t1
t2
4(2 cos sin ) 1 3cos2
，故
2 cos
sin
0
，于是直线 l
的斜率
k
tan
2
．
6．（2018 全国 III 卷文 22）
在平面直角坐标系
标方程；
（2）设点
A
的极坐标为
(2,
π 3
)
，点
B
在曲线
C2
上，求
△OAB
面积的最大值.
【解析】（1）设 P 的极坐标为（ ）（ ＞0），M 的极坐标为
（
）由题设知
|OP|= ， =
.
由
|OP|=16 得 的极坐标方程
因此 的直角坐标方程为
（2）设点 B 的极坐标为
（
. ）.由题设知|OA|=2，
，于是△OAB 面积
x2 y2 4x ，
即 x 22 y2 4 ②.
C3 ：化为普通方程为 y 2x ，
xOy
中，⊙O
的参数方程为
x
y
cos sin
,（
为参数），过点
(0,
2) 且倾斜角为
的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点．
（1）求 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
【解析】（1） O 的直角坐标方程为 x2 y2 1．
当 时， l 与 O 交于两点． 2
当
2
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ. （I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.
【解析】（I）∵
x
y
a cos t 1 a sin t
3
3
若 3π π ，则 2 cos 3 ，解得 5π ．
4
6
综上，P的极坐标为
3,
π 6
或
3,
π 3
或
3,
2π 3
或
3,
5π 6
.
4．（2018 全国 I 卷文 22）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k x 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐
【解析】（1）曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 1 ． 4 16
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ，
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x 1 ．
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程
(1 3cos2 )t2 4(2 cos sin )t 8 0 ．①
，
（t
为参数），以坐标原点
O
为极点，x
轴的
y
1
4t t
2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
【解析】（1）因为
1
1 t2 1 t2
1
，且
x2
y 2
2
1t2
（1）分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标.
【解析】（1）由题设可得，弧 AB ，BC ，BC 所在圆的极坐标方程分别为 2 cos ， 2sin ， 2 cos .
所以M1的极坐标方程为