运筹学4单纯形法迭代原理
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jm1
xj 0; j m 1,...,n
k i
' i
xm t 0
xj0;jm 1,..m . ,t1,m t1,..n.,
x ba x k1 ' '
i
i精品课件 i,mt mt
xik
ai',mtxmt
xik1xikai',mtxmt 0
n
Z Z0 jxj
jm1
a' i,m t < =
xm t
xi bi' ai'jxj, jm1
i1,2 ,m
n
BI, 若
xi bi 精品课a件ijxj
jm1
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
m
n
m
n
Z c jx j cjxj cjxj cixi cjxj
j1
m
j1
n
jm1
i1
n
ci(bi' ai'jxj) cjxj
i1
jm1
Z
Z0 jxj
jm1
jm1
jm1
j精品课件检验数
n
Z Z0 jxj
m
其中 Z0 cibi',
i 1
jm1
j cj zj,
m
z j ciai'j
i 1
（1）最优性判别定理 j 0,jm1,..n.,
（2）有无穷多个“最优解”的判别 定理 j 0 且mt 0
精品课件
n
3、进行基变换
三 单纯形法 迭代原理
精品课件
三. 单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
即从可行域的一个顶点（基本可行
解）开始，转移到另一个顶点（另一个基
本可行解）的迭代过程，转移的条件是使
目标函数值得到改善（逐步变优），当目
标函数达到最优值时，问题也就得到了最
优解。
精品课件
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边形 或凸多面体，一个线性规划问题有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。
Z Z0 jxj
jm1
（1）进基变量的确定——原则：正检验数（或最大正检验
数）所对应的变量进基，目的是使目标函数得到改善。
xmt
（2）离基变量的确定——在保持解的可行性的前提下，
使目标函数较快增大。
X(k)(x1 k,x2 k,.x .m k.,0 ,,.0 .)T .,
x b n
xi bi' ai'jxj
精品课件
在引入人工变量后，与原先的约束方程不完全等价，为此， 需要在目标函数上做些“修正”——大M法或两阶段法
x1
x2
a1m1xm1 a1nxn b1 a2m1xm1 a2nxn b2
xm am x m1 m1 amnxn bm xj 0 ( j 1,2,,n)
非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解：
判断标准是什么？
精品课件
解LP问题单纯形法的基本思路： 初始可行基：设法在约
束矩阵 ARmn 中
构造出一个m阶单位阵
初始基本可行解
检验数
进基变量：检验数 离基精品变课件量：最小比值准则
1.确定初始基本可行解
n
LP:
maxz cjxj
j1
n
s.t. j1
Pj xj
b
xj 0( j 1,2,3,n)
xik ai',mtxmt
若mt 0且pm' t 0
则该LP无最优解。
>
当
a' i,mt
0 时，为使
xikai',mtxmt 0，需要
最小比 值原则
xmt
xik a'
i,m t
x k 1 mt
x 从而， m t
最大可取到 m精i品i课n件 aix',mikt
a' i,mt
0
x
k l
a' l ,m t
a2m1xm1 a2nxn b2
Hale Waihona Puke Baidu
xm am x m1 m1 amnxn bm
xj 0 ( j 1,2,,n)
精品课件
是否还是基本解？是
Z(k1) Z0
n
jxj
Z0
xk
mt mt
jm1
Z 0 Z(k)
从而，目标函数得到了改善。
精品课件
第四节 单纯形表
精品课件
（1）建立初始单纯形表，假定B=I，b≥0
设maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
x1
a1m1xm1 a1nxn b1
s.t.
x2
希望在化LP的标准形 式时，A中都含有一 个m阶单位阵。
？
x1
a1m1xm1 a1n xn b1
x2
a2m1xm1 a2n xn b2
xm amm1xm1 amnxn bm xj 0 ( j 1,2,,n)
精品课件
➢观察法 ——观察系数矩阵中是否含有现成的单位阵？ ➢LP限制条件中全部是“≤”类型的约束 ——将新增的松弛变量(+)作为初始基变量，对应的 系数列向量构成单位阵； ➢LP限制条件有“≥”类型的约束 ——左端新增剩余变量(-)后，再加上一个非负的新 变量—人工变量。 ➢LP限制条件有“=”类型的约束 ——直接在左端加上人工变量。
jm1
m
mn
n
cibi'
ciai'jxj cjxj
jm1
n
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i1
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m
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n
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jm1
典式
m
n
m
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n
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n
n
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x k 1 mt
x
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0
x 离基变量： l
X(k)(x1 k,x2 k,.x .m k.,0 ,,.0 .)T ., X ( k 1 ) ( x 1 k 1 ,x .l k 1 1 .,0 ,.x l k 1 1 ,0 .0 .,x . m k 1 t,0 ,.0 ) T .是 解.可 ！,行
于是，若某线性规划只有唯一的一个最 优解，这个最优解所对应的点一定是可行域 的一个顶点；若该线性规划有多个最优解， 那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一 个最优解。
精品课件
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
X(0)(b 1,b2,.b .m .,0 ,,.0 .)T .,
精品课件
2.建立判别准则
判断：初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基 本可行解—当前解—是否为最优解？
一般（经过若干次迭代），对于基B，用非 基变量表出基变量的表达式 为：
Axb BB xNN xb
xBB1bB1NN x 典式
n
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（1）最优性判别定理 j 0,jm1,..n.,
（2）有无穷多个“最优解”的判别 定理 j 0 且mt 0
精品课件
n
3、进行基变换
三 单纯形法 迭代原理
精品课件
三. 单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
即从可行域的一个顶点（基本可行
解）开始，转移到另一个顶点（另一个基
本可行解）的迭代过程，转移的条件是使
目标函数值得到改善（逐步变优），当目
标函数达到最优值时，问题也就得到了最
优解。
精品课件
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边形 或凸多面体，一个线性规划问题有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。
Z Z0 jxj
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（1）进基变量的确定——原则：正检验数（或最大正检验
数）所对应的变量进基，目的是使目标函数得到改善。
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（2）离基变量的确定——在保持解的可行性的前提下，
使目标函数较快增大。
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在引入人工变量后，与原先的约束方程不完全等价，为此， 需要在目标函数上做些“修正”——大M法或两阶段法
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非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解：
判断标准是什么？
精品课件
解LP问题单纯形法的基本思路： 初始可行基：设法在约
束矩阵 ARmn 中
构造出一个m阶单位阵
初始基本可行解
检验数
进基变量：检验数 离基精品变课件量：最小比值准则
1.确定初始基本可行解
n
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maxz cjxj
j1
n
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若mt 0且pm' t 0
则该LP无最优解。
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最小比 值原则
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Z(k1) Z0
n
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Z 0 Z(k)
从而，目标函数得到了改善。
精品课件
第四节 单纯形表
精品课件
（1）建立初始单纯形表，假定B=I，b≥0
设maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
x1
a1m1xm1 a1nxn b1
s.t.
x2
希望在化LP的标准形 式时，A中都含有一 个m阶单位阵。
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xm amm1xm1 amnxn bm xj 0 ( j 1,2,,n)
精品课件
➢观察法 ——观察系数矩阵中是否含有现成的单位阵？ ➢LP限制条件中全部是“≤”类型的约束 ——将新增的松弛变量(+)作为初始基变量，对应的 系数列向量构成单位阵； ➢LP限制条件有“≥”类型的约束 ——左端新增剩余变量(-)后，再加上一个非负的新 变量—人工变量。 ➢LP限制条件有“=”类型的约束 ——直接在左端加上人工变量。
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于是，若某线性规划只有唯一的一个最 优解，这个最优解所对应的点一定是可行域 的一个顶点；若该线性规划有多个最优解， 那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一 个最优解。
精品课件
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
X(0)(b 1,b2,.b .m .,0 ,,.0 .)T .,
精品课件
2.建立判别准则
判断：初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基 本可行解—当前解—是否为最优解？
一般（经过若干次迭代），对于基B，用非 基变量表出基变量的表达式 为：
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