第7章-热传导

第一类边界条件（记为B.C.I）
直接给出边界上（任意时刻）的数值。
传热 T TS
传质 AAS
第二类边界条件（记为B.C.II）
给出边界上的导数值（梯度值、通量值）
传热 传质
T qys k y S
jAysDAByA S
T
如某一端面(L)绝热，则可具体写为
qk
0
x xl
如温度分布中心对称(x =0)，则写为
又可称截面平均浓度，主体浓度。
有了导热微分基本方程式，就可根据实
际情况选择适当的初始条件和边界条件 来求特定条件下的解。
求解的过程需要用到数学知识
边界条件，初始条件的确定则要凭借工
程经验。
二、一维稳态导热
❖1. 大平板稳态导热 ❖2. 长圆柱体稳态导热 (有内热源) ❖3. 圆球及圆壳内的稳态导热（有内热源）
发生变化时，物体内给定的温度变化到某一确 定值需要的时间，这也是非稳态导热问题。
在本节将着重讨论薄壁、无限大物体、厚 壁物体非稳态导热中的温度分布及求解 方法。
非稳态导热过程中物体内的温度随时间变化，
所以过程的分析和计算比稳态导热困难。
非稳态导热过程的特点
❖非稳态导热过程的最主要特点是，物体内部的
1个时间常数
当 t = tr 时，有TTb e10.368
T0Tb
VC
tr hA
未变分率
0.368
已变分率
0.632
Tb
T
T0
时间常数 tr
当 t = 4 tr 时，
TTb e1 0.368 T0 Tb
TTb e4 0.018
T0 Tb
未变分率
此时即可认为此导热过程已达到稳定状态。
时间常数 tr 是物体在一定换热条件下的属性
TTb eBiF0 T0 Tb
（7-32）
上式反映了薄壁物体在环境温度为常数的对流传热条件下，
物体内的温度随时间呈指数衰减变化关系。
集总热容法 (Bi < 0.1)
• 上面分析了温度随时间的变化关系， • 现在设法找出物体与环境的热交换量， • 即物体传热量随时间变化关系。
瞬时热流量：
Q h (TT b)AhAehVAC t(T0 Tb)
式中长度因次 V/A 为物体的体积与其传热表面 积之比，对于不同的规则物体分别有
球体：
V R A3
4 R 3 3
4 R 2
长圆柱体： V R
A2
R2 L 2RL
LR
正立方体： V L
A6
L3
6 L2
式中 R 为柱和球的半径，L 为柱长或正立方体的边长。
集总热容法
将指数的准数代入上述温度分布式（7-28），得到
球坐标： T t r12 rr2T r
通式：
T1
(xi
T )
t xi x x
2．定解条件
❖导热微分方程是对导热物体内部温度场内在规
律的描述，适用于所有的导热过程，是一普遍 适用方程。
❖要获得特定条件下导热问题的解必须附加限制
条件,这些限制条件称为定解条件。
❖定解条件包括时间条件（初始条件）和边界条
当 Bi < 0.1，物体内各点温度之间的偏差小于0.5%，
可视为薄壁物体导热问题, 采用集总热容法处理。
傅里叶（Fouier）准数
t
F0
(V
A)2
(V
t A)2
故，F0 可视为无因次时间。
s
m2
m
2
s
F0 越大，表示温度扰动越深入物体内部，内部温度也越
接近周围介质温度。因此小F0值导热可视为厚物体导热。
T T 0d(T TT T bb)h VA C0tdt
积分得：
lnT(Tb)|T TohVACt
集总热容法
得到薄壁物体内的温度分布
T Tb
hA t
eVC
T0 Tb
（7-28）
上式给出了薄壁物体在环境温度为常数的对流条件 下，物体内的温度随时间的变化关系，见图 。
未变分数
T Tb
hA t
eVC
集总热容法
在初始时刻（t =0），物体的初始温度为T0 ，将物体 突然置于平均温度为 Tb 的流体中,假定T0 > Tb 。
讨论：物体内温度随时间的变化关系。 解决薄壁物体非稳态导热问题，因为在微分方程的简
化过程中不可能引用边界条件，所以不能直接采用导 热微分方程。
❖ 解决的办法是：
✓ 1. 将边界对流换热条件视为 微分方程中的内热源 ✓ 2. 直接从热平衡概念出发求解。
❖薄壁——当物体内部的导热热阻比物体与环境
的对流热阻小的很多时，可归结为薄壁物体的导热
问题。
❖集总热容法——当物体体积不大，而导热系
数又比较大，认为物体内部的温度在任意时刻都是均
匀的，好像该物体原来连续分布的质量和热容量汇 总到一点，因而只有一个温度值，这种分析法称为
总集热容法。
集总热容法
➢集总热容法是非稳态导热中最简单的物
T x x0 0
第三类边界条件（记为B.C.III）
给出边界上物体与周围流体之间对流传递系数
h, k 以及与周围流体温度或浓度平均值 Tb, Ab
之间的关系式。
传热
T ky|Sh(TST b)
已知 h, Tb
传质
D A B y ASk( A S A)b 已知 kρ , ρAb
B.C.III
它反映了薄壁物体动态过程的一种性质，
tr 越小，响应就越快。
时间常数 tr
tr
VC
hA
❖由该式作为指导，工程制作热电偶时，希望 热电偶的 tr 要小。
❖能在尽可能短的时间内反映流体温度的变化
意味着：
热电偶材料的热容ρ, V, C 要小，
热电偶的体积 V/A 要小,
热电偶尽量放在气流大的位置，即 h 要大。
式中指数具有时间量纲，称为时间常数。
T Tb
hA t
e VC
T0 Tb
用 tr 表示，即
VC
tr hA
当 t = tr 时，有 TTb e1 0.368
T0 Tb
这意味着，经过一个时间常数段，物体与环境的温差 是初始温差 (T0 -Tb) 的36.8%（温度未变分率）
即一个时间常数是物体温度 (T-Tb)相对初始温差变化 了总变量的 63.2 % 所需要的时间。
件。
❖所以，导热问题完整的数学描述应包括其导热
微分方程和相应的定解条件。
定解条件 ❖初始条件（I.C.）
反映研究对象的特定历史条件。 追溯了在某个初始时刻的状态。
❖边界条件（B.C.）
反映所研究对象是处于怎样的特定环境。 环境通过体系的边界将如何影响所研究的对象。
下面以传热为例写出相应的初始条件和边界条件。
候遇害的？
【解】 因为Bi<0.1，采用集总热容公式
T Tb
hV/ At
e C
To Tb
ect
当 t=1h 时， 0 (30)
1小时后体温从8 0C降为0 0C
第七章
热传导
热传导
一、热传导方程及定解条件 二、一维稳态导热 三 、非稳态导热
一、热传导方程及定解条件
1．导热微分方程
直角坐标：
T t x 2 T 2 y 2 T 2 z 2 T 2 C q P
柱坐标：
T t α 1 r r r T r r 1 2 θ 2 T 2 2 z T 2 ρ C q P
方法二--- 对物体进行热衡算
❖环境得到的热量＝物体内部放出的热量
即
h(TTb)A
环境得到 的热量
VC dT
dt
物体内部 放出热量
移项后得
ddT t1Ch(TTb)V A
(7-26)
薄壁导热微分方程
dT 1
A
dtCh(TTb)V
考虑初始条件为 t0, TT0
将上述方程分离变量，时间从 0 t，温度从T0 T 积分得
1）初始条件
给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为：
传热 T T (x ,y ,z,0 )
传质
A A (x ,y ,z,0 )
对于初始时刻物体内温度或浓度处处均匀分布的情况，写为：
传热 传质
t0, TT0
t0 , AA 0
2）边界条件
❖即物体边界上与环境的换热或传质条件。
❖对导热、扩散问题通常有三类不同的边界条件 。
方法一 1 T t x 2T 2 y 2T 2 z 2T 2 k q
-----导热微分方程
导热微分方程
由上面给出的条件，可以得到边界处换热量，进而得 到内热源发热率为
q h(TTb)VA
将上式代入导热微分方程 1 dT q
dT k
得
dT 1
A
dtCh(TTb)V
k C
薄壁导热微分方程
式中右侧第二项称之为Fouier准数，可视为无因次时间
T Tb
hA t
eVC
T0 Tb
毕渥特(Biot)准数的物理意义
hV A
k
VA Bi k
1h
物体内部导热热阻 物体外表面对流热阻
Bi 越大意味着物体内部温度越不均匀，温度梯度较大，
内部导热热阻起控制作用。
Bi 越小物体内部温度趋于均匀，对流热阻起控制作用。
三、非稳态导热
▪ 在工程实践中会遇到温度随时间变化的非
稳态导热问题。
▪ 实际上，只要物体受到加热或冷却，就会产生非
稳态导热问题。
▪ 例如，食物冷却、化冻、工件的淬火、铸件的冷
却、土壤温度的变化、热动力设备起停时部件温 度的变化等，都涉及热量传递的非稳态过程。
三、非稳态导热
在工程问题中，需要知道当物体表面的热状态
球坐标：
T t r 1 2 r r 2 T r r 2 s 1 i n s i T n r 2 s 1 2 i 2 T n C q P
一维( x 向或 r 向)导热微分方程：
直角坐标： T 2T
t
x2
柱坐标： T1rT
t rr r
理模型。
➢将热电偶置于热气流中，测定工作端
点的温度随时间的变化规律就是薄壁导 热模型的典子。
热电偶
集总热容法--- 物理模型
现以一任意形状的薄壁固体传热过程，讨论在常物性 下物体内温度随时间变化的规律（又称温度响应）。
A
V T0
T（t）
h
kC
Tb
图中V为体积，A为物体表面积，T0 为物体内均匀的初始温度， k 为物体导热系数，C 为物体热容，h 为物体与周围流体间的 热对流系数， Tb为流体的平均温度，均为常数。
T0 Tb
（7-28）
温度随时间的衰减关系图
此式表明，物体内部温度随时间呈指数衰减，且经历时间越长，
物体内的温度离初始值越远，最终物体温度趋于流体温度Tb。
分析上式中指数项的物理意义。将指数其分解为
hA t V C
hV A2k
t
kA V2C
hV A
k
t
V (
)2
A
式中右侧第一项称之为Biot准数，可视为两热阻之比
h , T sT b, 则B.C.III 转化为B.C.I
当流体侧为绝热保温材料时，
T h0, y|s0,
则B.C.III 转化为B.C.II
平均温度
Tb AACC PPTududAA
AT uzdA A ub
又可称为热衡算温度，截面平均温度，主体温度。
平均浓度
AuzdA
Ab
A
A ub
【例】应用举例
✓ John警长，在一炎热夏天的凌晨2点，从食品
冰库中发现一具被害尸体，发现时体温为8 0C， 1小时后体温降为0 0C，冰库温度为－30 0C。
✓ 因为被害者被放在某个通风不良的角落中，因
此对流换热系数h很小，由此推断 Bi < 0.1 。
✓请您根据以上数据, 初步判断被害人是什么时
集总热容法 (Bi < 0.1)
QhAehVA C t(T0Tb)
从 0 到 t 时刻间所交换的总热量：
hA
QT
t
Qdt
0
(T0Tb)0thAV eC tdt
hA
(T0Tb)V(C 1eVC t)
以上讨论的均为物体被冷却的情况，同样可以对被加热 或边界条件换为其他形式时的薄壁物体的导热进行求解。
本节主要内容
✓1. 薄壁物体的非稳态导热（集总热容法 Bi < 0.1 ） ✓2. 半无限大物体的非稳态导热（F0 << 0.1） ✓3. 厚壁物体双向非稳态导热 ✓4. 一维非稳态导热的速算图 ✓5. 二维、三维非稳态导热
1. 薄壁物体非稳态导热
----集总热容法 ( lumped capacity method )
k T s S
hT ST b
固体侧界面处的导热通量
流体侧对流传热通量
➢第三类边界条件最为复杂，其实质包含
了第一类边界条件和第二类边界条件
➢在一些特殊情况下可以将 B.C.III 转为
B.C.I或B.C.II，使问题简化。
➢仍以传热为例给以说明。
k T y|Sh(TST b)
当流体侧有强烈的搅拌, 使得物体边界与周围 流体之间的对流热阻非常小时,边界条件可写为
温度场随时间和空间变化。
❖出现这种特点的原因是，当边界上换热情况突
然变化后，随时间推移，物体内部温度将由表 及里地逐渐发生变化。
❖如果边界上维持变化后ຫໍສະໝຸດ Baidu换热状态，则非稳态
导热过程将过渡到稳态过程。
非稳态导热过程的特点
➢从非稳态导热过程的起因——边界换热情况变
化这一因素来看，3种不同边界条件对物
体内部温度随时间和空间变化的影响也有所不 同，但其实质是一样的，都是由于边界条件的 变化引起物体内能变化所造成的。