matlab多元函数极限与偏导数的符号运算及多元Taylor 公式
Matlab-详解导数及偏导数运算ppt课件
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20
du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
u
x
x x2y2z2
u
z
z x2y2z2
u
y
y x2y2z2
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21
例 9 求下列函数的偏导数 z1 arctan( y / x);z2 x y。 解： 输入命令
3
1. 学习Matlab命令
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：
x=sym(‘x’) 建立符号变量 x；
syms x y z
建立多个符号变量 x,y,z；
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4
Matlab 求导命令 diff 调用格式：
diff(f(x))，
求 f (x)的一阶导数 f(x)；
diff(f(x),n)， 求 f(x)的 n阶导 f(n)(x 数 );
实验3 导数及偏导数运算
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1
实验目的：
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
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2
实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
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dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
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19
4. 求多元函数的偏导数
例8 设u x2y2z2，求 u的一阶偏导
解：输入命令
多元函数的Taylor公式
y
f
1, 2
1 2!
x
1
x
y
2
y
2
f
1, 2
f 1, 2 x 1 fx 1, 2 y 2 fy 1, 2
1 ( x 12
2!
f xx
1, 2 2 x 1 y 2
(4) 若函数z f (x, y)在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数.
n阶Taylor公式中关于h和k的n次多项式(或:除去函 数在点(x0+θh,y0+θk)(其中0<θ<1)处所有偏导数项以 后),称为n阶Taylor多项式.
在作近似计算时我们常用以下公式:
(h
x
k
y
)3
f
(0,
0)
3
C3p
p0
h
pk
3
p
x
3 p
f y3
p
(0,0)
2(h k)3
又 f (0, 0) 0,将h x , k y 代入三阶泰勒公式得
其中
R3
ln(1 x y)
(h
x
k
y
)
x
4
y
f ( h,
1 2
(x k)
h
y)2
x
1 3
1 4
(
x y)3
(x
(1 x
R3
y)4
y)4
ky
例2 写出在点(1,-2)附近函数 f x, y 2x2 xy y2
实验三 用matlab求极限和导数
实验三 用matlab 求极限和导数1.求极限、导数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用limit,diff 分别求函数的极限与导数。
可以用help limit, help diff 查阅有关这些命令的详细信息例1首先分别作出函数x y 1cos=在区[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在0=x 附近的形状。
在区间[-1,-0.01]绘图的MA TLAB 代码为： >>x=(-1):0.0001:(-0.01); y=cos(1./x); plot(x,y) 结果如图2.1图2.1函数x y 1cos=的图形根据图形，能否判断出极限x x x x 1sinlim ,1cos lim 00→→的存在性？ 当然，也可用limit 命令直接求极限，相应的MATLAB 代码为：>>clear;>>syms x; %说明x 为符号变量>>limit(sin(1/x),x,0)结果为ans = -1 .. 1，即极限值在-1，1之间，而极限如果存在则必唯一，故极限x x 1sinlim 0→不存在，同样，极限x x 1coslim 0→也不存在。
例2 首先分别作出函数x xy sin =在区间[-1,-0.01],[0.01,1],[-1,-0.001],[0.001,1]等区间上的图形，观测图形在0=x 附近的形状。
在区间[-1,-0.01]绘图的MA TLAB 代码为： >>x=(-1):0.0001:(-0.01); y=sin(x)./x; plot(x,y) 结果如图2.2图2.2 函数x xy sin =的图形根据图形，能否判断出极限1sin lim0=→x xx 的正确性？当然，也可用limit 命令直接求极限，相应的MATLAB 代码为：>>clear; >>syms x;>>limit(sin(x)/x,x,0) 结果为ans =1.例3 观测当n 趋于无穷大时，数列n n n a )11(+=和1)11(++=n n n A 的变化趋势。
MATLAB多元函数极值
多元函数的极值【实验目的】1． 多元函数偏导数的求法。
2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.4． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。
【实验内容】求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值【实验准备】1．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数),(y x f z =步骤2.求解正规方程0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数,,,22222yzC y x z B x z A ∂∂=∂∂∂=∂∂=步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0<A 为极大值;,如果02=-B AC ,判别法失效,需进一步判断;如果02<-BAC ,则该驻点不是极值点.2．计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值 设函数),(y x f z =在有界区域D 上连续，则),(y x f 在D 上必定有最大值和最小值。
求),(y x f 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1. 计算),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；步骤2. 计算),(y x f 在D 的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。
3．函数求偏导数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。
可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 求函数32824-+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y的偏导数>>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y)结果为ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即.48,843y x yzy x x z +-=∂∂-=∂∂再求解正规方程，求得各驻点的坐标。
matlab 偏导数
matlab 偏导数一、什么是偏导数偏导数是多元函数中的一个概念。
在多元函数中，每个自变量都可以独立地变化，而其他自变量保持不变。
对于一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，如果我们只考虑其中的一个自变量$x_i$的变化对$f$的影响，其他自变量保持不变，则称$f$关于$x_i$的偏导数为$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
二、matlab中的偏导数在matlab中，我们可以使用syms命令定义符号变量，然后使用diff 命令求解偏导数。
具体步骤如下：1. 使用syms命令定义符号变量：```syms x y```2. 定义多元函数：```f = x^2 + 2*x*y + y^2;```3. 使用diff命令求解偏导数：```df_dx = diff(f, x);df_dy = diff(f, y);```其中，diff命令第一个参数为要求解的函数，第二个参数为要对哪个自变量求解。
4. 输出结果：```df_dx =2*x + 2*ydf_dy =2*x + 2*y```三、示例下面以一个简单的示例来说明如何在matlab中求解偏导数。
问题：已知$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$，求$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
解答：1. 使用syms命令定义符号变量：```syms x y```2. 定义多元函数：```f = x^3 + y^3 - 3*x*y;3. 使用diff命令求解偏导数：```df_dx = diff(f, x);df_dy = diff(f, y);```4. 输出结果：```df_dx =3*x^2 - 3*ydf_dy =3*y^2 - 3*x```因此，$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-3y$，$\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-3x$。
多元函数的Taylor公式与极值
矩阵为: H f ( x0 )
f11 f21
f12
f
22
f1n
f
2n
设u f (P)在点
f
n1
f
n
2
f
nn
x0
P0 ( x01 , x02 , , x0n ) 的所有二阶偏导数
f11
f12
f1n
f 在点P0的 Hessian
H
f
(P0 )
f21
f
22
f
2n
矩阵为:
f
n1
f
x
, y)2
3 f
2! ,
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
20
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
由假设， (t) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式的条件
于是有 (1) (0) (0) (0)
1!
2!
(n) (0) (n1) ( )
(0
1) .
n!
(n 1)!
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
11
（4）在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
f (x, y)
f
(0,0)
x
x
y
MATLAB的符号运算
MATLAB 的符号运算前面介绍的内容基本上是MATLAB 的数值计算功能,参与运算过程的变量都是被赋了值的数值变量.在MATLAB 环境下,符号运算是指参与运算的变量都是符号变量,即使是数字也认为是符号变量. 数值变量和符号变量是不同的.1 符号微积分下面着重介绍一些与微积分有关的指令,这些指令都需要符号表达式作为输入宗量. 求和symsum(S) 对通项S 求和,其中k 为变量且从0变到k-1.symsum(S,v) 对通项S 求和,指定其中v 为变量且v 从0变到v-1. symsum(S,a,b) 对通项S 求和,其中k 为变量且从a 变到b .symsum(S,v,a,b) 对通项S 求和,指定其中v 为变量且v 从a 变到b . 例：求∑-=10k i i ,键入k=sym('k') % k 是一个符号变量;symsum(k)得 ans = 1/2*k^2-1/2*k例：求∑=1002k k,键入:symsum(k^2,0,10)得 ans = 385 例：求∑+∞=0!k kk x 键入 symsum('x'^k/sym('k!'),k,0,inf),得 ans = exp(x)这最后的一个例子是无穷项求和.求极限limit(P) 表达式P 中自变量趋于零时的极限limit(P,a) 表达式P 中自变量趋于a 时的极限limit(P,x,a,'left') 表达式P 中自变量x 趋于a 时的左极限limit(P,x,a,'right') 表达式P 中自变量x 趋于a 时的右极限 例：求xx x sin lim 0→,键入 P=sym('sin(x)/x');limit(P)得 ans = 1例：求xx 1lim 0+→ 键入 P=sym('1/x');limit(P,'x',0,'right')得 ans = inf 例：求hx h x h sin )sin(lim 0-+→,键入: P=sym('(sin(x+h)-sin(x))/h');h=sym('h');limit(P,h,0)得ans = cos(x) 例：求)lim , )1(lim (-x x x x e xa -∞→-∞→+, 键入 v=sym('[(1+a/x)^x,exp(-x)]');limit(v,'x',inf,'left')得 ans = [ exp(a), 0]求导数diff(S,v) 求表达式S 对变量v 的一阶导数.diff(S,v,n) 求表达式S 对变量v 的n 阶导数.例如：设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21cos 11x e x x b a ,求dx dA 键入命令: syms a b x; A= [1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)];diff(A,'x')得 ans = [0, 1/cos(x)+(b+x)/cos(x)^2*sin(x)][0, 2*x*exp(x^2)]例：求y=sinx+e x 的三阶导数,键入命令:diff('sin(x)+x*exp(x)',3)得 ans = -cos(x)+3*exp(x)+x*exp(x) 例：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xyi n e xy y x y x A 1sin ,求A 的先对x 再对y 的混合偏导数.可键入命令： S=sym('[x*sin(y),x^n+y;1/x/y,exp(i*x*y)]');dsdxdy=diff(diff(S,'x'),'y')得: dsdxdy = [ cos(y), 0][ 1/x^2/y^2, i*exp(i*x*y)-y*x*exp(i*x*y)]例：求y=(lnx)x 的导数.可键入命令：p='(log(x))^x';p1=diff(p,'x')得：p1 = log(x)^x*(log(log(x))+1/log(x))例：求y=xf(x2)的导数.可键入命令：p='x*f(x^2)';p1=diff(p,'x')得：p1 = f(x^2)+2*x^2*D(f)(x^2)例：求xy=e x+y的导数.可键入命令：p='x*y(x)-exp(x+y(x))';p1=diff(p,'x')得：p1 = y(x)+x*diff(y(x),x)-(1+diff(y(x),x))*exp(x+y(x))再键入p2='y+x*dy-(1+dy)*exp(x+y)=0';dy=solve(p2,'dy')%把dy作为变量解方程得dy= -(y-exp(x+y))/(x-exp(x+y))求Taylor展开式taylor(f,v) f对v的五阶Maclaurin展开.taylor(f,v,n) f对v的n-1阶Maclaurin展开.例：求sinxe-x 的7阶Maclaurin展开.可键入f=sym('sin(x)*exp(-x)');F=taylor(f,8)得F = x-x^2+1/3*x^3-1/30*x^5+1/90*x^6-1/630*x^7例：求sinxe-x 在x=1 处的7阶Taylor展开.可键入f=sym('sin(x)*exp(-x)');F=taylor(f,8,1) 得F = sin(1)*exp(-1)+(-sin(1)*exp(-1)+cos(1)*exp(-1))*(x-1)-cos(1)*exp(-1)*(x-1)^2+(1/3*sin(1)*exp(-1)+1/3*cos(1)*exp(-1))*(x-1)^3-1/6*sin(1)*exp(-1)*(x-1)^4+(1/30*sin(1)*exp(-1)-1/30*cos(1)*exp(-1))*(x-1)^5+1/90*cos(1)*exp(-1)*(x-1)^6+(-1/630*cos(1)*exp(-1)-1/630*sin(1)*exp(-1))*(x-1)^7多元函数的Taylor展开MATLAB不能直接进行多元函数的Taylor展开.必须先调用MAPLE函数库中的mtaylor命令.方法为：在MATLAB的工作窗口中键入maple('readlib(mtaylor)')mtaylor的格式为mtaylor(f,v,n)f为欲展开的函数式v 为变量名.写成向量的形式：[var1=p1,var2=p2,…,varn=pn],展开式将在（p1,p2,…,pn ）处进行.如只有变量名,将在0点处展开.n 为展开式的阶数（n -1阶）.要完成Taylor 展开,只需键入maple('mtaylor （f,v,n ）')即可.例：在（x0,y0,z0）处将F=sin xyz 进行2阶Taylor 展开.键入syms x0 y0 z0maple('readlib(mtaylor)');maple('mtaylor(sin(x*y*z),[x=x0,y=y0,z=z0],2)') 得：ans = sin(x0*y0*z0)+cos(x0*y0*z0)*y0*z0*(x-x0)+cos(x0*y0*z0)*x0*z0*(y-y0)+cos(x0*y0*z0)*x0*y0*(z-z0)求积分int(P) 对表达式P 进行不定积分.int(P,v) 以v 为积分变量对P 进行不定积分.int(P,v,a,b) 以v 为积分变量,以a 为下限,b 为上限对P 进行定积分. 例：求⎰+-dx x x 22)1(2,可键入int('-2*x/(1+x^2)^2')得 ans = 1/(1+x^2) 例：求⎰+dz z x )1(2,可键入键入int('x/(1+z^2)','z')得 ans = atan(z)*x例：求⎰+10)1ln(dx x x ,可键入 int('x*log(1+x)',0,1) 得ans = 1/4例：求⎰tt xdx ln sin 2可键入：int('2*x','sin(t)','log(t)') 得：ans = log(t)^2-sin(t)^2对（符号）矩阵积分例：求()⎰⎰dt e dt e att ,输入 int('[exp(t),exp(a*t)]'),得：ans = [ exp(t), 1/a*exp(a*t)]求符号方程的解ⅰ线性方程组的求解线性方程组的形式为A*X=B ；其中A 至少行满秩.X=linsolve(A,B) 输出方程的特解X .例：解方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11cos sin sin cos X t t t t .键入 A=sym('[cos(t),sin(t);sin(t),cos(t)]');B=sym('[1;1]');c=linsolve(A,B)c =[ 1/(sin(t)+cos(t))][ 1/(sin(t)+cos(t))]ⅱ 代数方程的求解solve(P,v)对方程P 中的指定变量v 求解.v 可省略.solve(p1,P2,…,Pn,v1,v2,…,vn)对方程P1,P2,…Pn 中的指定变量v1, v2…vn 求解.例：解r x p =+sin ,可输入solve('p+sin(x)=r') 得：ans =-asin(p-r)例：解⎩⎨⎧=+-=++034322x x y xy x ,可输入： P1='x^2+x*y+y=3';P2='x^2-4*x+3=0';[x,y]=solve(P1,P2) 得：x = [ 1][ 3]y = [ 1][ -3/2]解⎩⎨⎧=-=++1022v u v u a ,可输入： P1='a+u^2+v^2=0';P2='u-v=1';[u,v]=solve(P1,P2,'u','v') 得：u = [ 1/2+1/2*(-1-2*a)^(1/2)][ 1/2-1/2*(-1-2*a)^(1/2)]v = [ -1/2+1/2*(-1-2*a)^(1/2)][ -1/2-1/2*(-1-2*a)^(1/2)]对于有些无法求出解析解的非线性方程组,MATLAB 只给出一个数值解.这一点可以从表示解的数字不被方括号括住而确定.例：解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+20)sin(2y x ye y x x 键入：[x,y]=solve('sin(x+y)-exp(x)*y=0','x^2-y=2') 得：x = -6.0173272500593065641097297117905y = 34.208227234306296508646214438330由于这两个数字没有被[ ]括住,所以它们是数值解.另外,可利用solve 来解线性方程组的通解.例：解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛246714922531372X 键入P1='2*x1+7*x2+3*x3+x4=6'; P2='3*x1+5*x2+2*x3+2*x4=4';P3='9*x1+4*x2+x3+7*x4=2';u=solve(P1,P2,P3,'x1','x2','x3','x4')Warning: 3 equations in 4 variables.u = x1: [1x1 sym]x2: [1x1 sym]x3: [1x1 sym]x4: [1x1 sym]可以看到：屏幕提示“有3个方程4个变量”,意为解不唯一（有时会提示解不唯一）.且输出的是解的结构形式.为进一步得到解,可输入：u.x1,u.x2,u.x3,u.x4, 得：ans = x1ans = -5*x1-4*x4ans = 11*x1+9*x4+2ans = x4这样就得到了原方程组的通解.⑷ 解符号微分方程解符号微分方程的命令格式为： dsolve('eq1','eq2',…).其中eq 表示相互独立的常微分方程、初始条件或指定的自变量.默认的自变量为t .如果输入的初始条件少于方程的个数,则在输出结果中出现常数c1,c2等字符.关于微分方程的表达式有如下的约定：字母y 表式函数,Dy 表示y 对t 的一阶导数；Dny 表示y 对t 的n 阶导数. 例如：求⎪⎩⎪⎨⎧-==x dtdy ydt dx 的解可键入：[x,y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x') 得x =cos(t)*C1+sin(t)*C2y =-sin(t)*C1+cos(t)*C2dsolve 中的输入宗量最多只能有12个,但这并不妨碍解具有多个方程的方程组,因为可以把多个方程或初始条件定义为一个符号变量进行输入.例如求 g f dt df 43+= ,g f dtdg 34+-= , f(0)=0 , g(0)=1 的解.可输入指令： P='Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g';v='f(0)=0,g(0)=1';[f,g]=dsolve(P,v)f = exp(3*t)*sin(4*t)g = exp(3*t)*cos(4*t)注意：微分方程表达式中字母D 必须大写. 例如求解微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=''='=-=0(0)y 0,(0)y 1,y(0)33y dx y d 可输入y=dsolve('D3y=-y','y(0)=1,Dy(0)=0,D2y(0)=0','x') 得:y = (1/3+2/3*exp(1/2*x)*cos(1/2*3^(1/2)*x)*exp(x))/exp(x)最后看一个解非线性微分方程的例子：dsolve('(Dy)^2+y^2=1','y(0)=0','x')ans = [ sin(x)][ -sin(x)]对于无法求出解析解的非线性微分方程,屏幕将提示出错信息.微分方程的数值解及其它问题的数值解ⅰ 常微分方程的数值解MATLAB 提供了求微分方程数值解的指令：[t,x]=ode23('fname',[t0,tf],x0,tol,trace)[t,x]=ode45('fname',[t0,tf],x0,tol,trace)这两个格式中的输入参数意义完全一样.下面介绍这两个格式的有关内容及各参数的意义.这两个格式都采用Runge--Kutta 法求解微分方程的数值解.它们是针对一阶微分方程组设计的.因此,如果待解的是高阶微分方程,那么首先要化成形式为x'=f(t,x)的一阶微分方程组.称为“状态方程”.‘fname ’是f(t,x)的函数名.该函数以x'为输出,以t,x 为输入变量,注意次序不能颠倒. t0和tf 分别是积分的起始值和终止值.x0是初始值,以向量的形式输入.tol 是用来控制精度的参数,可缺省.缺省时ode23默认tol=1.e-3;ode45默认tol=1.e -6.trace 用来控制是否显示中间结果,可缺省.缺省时,默认trace=0,不显示.输出结果t 和x 分别是时间向量和相应的状态向量.虽然ode45比ode23的精度高,但它的运算速度更快.例：求著名的Van der pol 方程⎩⎨⎧=--=x yy x y x )1(2,并绘出其解的图形. 第一步：在编辑器中编写名为fname 的M 文件.function X=fname(t,x)X=zeros(2,1);X(1)=(1-x(2)^2)*x(1)-x(2);X(2)=x(1);第二步：将此文件存放于自己的文件夹中听候调用.第三步：在MATLAB 的命令窗口调用这个函数,即键入如下命令：[t,x]=ode45('fname',[0,20],[0,0.5]);plot(t,x)ⅱ 数值积分quad('fname',a,b,tol,trace) Simpson 法求数值积分.quad8('fname',a,b,tol,trace) Newton-Cotes 法求数值积分.fname 是被积函数文件名b,a 分别是积分上下限用tol 来控制积分精度.可缺省.缺省时默认tol=0.001.用trace 来控制是否用图形显示积分过程.可缺省.缺省时默认trace=0,不显示图形.例如：求 ⎰-302x e dx第一步：在编辑器中建立被积函数的M 文件.取名为fname 即在编辑器中输入： function y=fname(x)y=exp(-x^2);第二步：将此文件存放于自己的文件夹中.第三步：在MATLAB 环境下调用fname.即输入s=quad8('fname',0,3)就可以得到结果：s =8862。
MATLAB的微积分基本运算
MATLAB的微积分基本运算第六章 MATLAB 的微积分基本运算学习⽬标：1、熟悉符号对象和表达式的创建；2、熟悉计算结果的类型与精度控制和转换3、掌握MATLAB 中符号微积分运算：极限、导数、积分的命令及格式。
第⼀节极限⼀、极限概念演⽰：数列极限是指当n ⽆限增⼤时，n u 与某常数⽆限接近或n u 趋向于某⼀定值，就图形⽽⾔，其点列以某⼀平⾏y 轴的直线为渐近线。
函数极限也是如此。
例1：观察数列?+1n n ，当∞→n 时的变化趋势。
输⼊程序：>> n=1:100;xn=n./(n+1); >> for i=1:100;plot(n(i),xn(i),'r') % plot 是⼆维图形作图命令。
hold onend % for ……..end 语句是循环语句，循环体内的语句被执⾏100次由图可看出，随n 的增⼤，点列与直线y=1⽆限接近，所以11lim=+∞→n nn 例2：观察函数 xx f 1sin)(=，当0→x 时的变化趋势。
输⼊程序：>> x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)从图可看到，当0→x 时，x1sin 在-1和1之间⽆限次振荡，极限不存在。
例3：观察函数 xxx f )11()(+=，当∞→x 时的变化趋势输⼊程序：>> x=-1:10:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y)从图可看到，当∞→x 时，函数值与某常数⽆限接近，这个常数就是e 。
⼆、极限计算：如果符号表达式F中只有⼀个变量x，x可以省略，当a=0时0也可以省略。
例：阅读理解下列程序>> syms x n>> limit(x^2*exp(x))ans =>> limit(exp(-1/x),x,0,'left')ans =inf>> limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)ans =exp(6)三、符号对象与表达式的建⽴微积分运算的对象为函数，MATLAB称为符号表达式， MATLAB进⾏微积分运算⾸先要建⽴符号表达式，然后才可以利⽤MATLAB符号数学⼯具箱提供的函数进⾏运算。
用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值
数学实验五 用Matlab 软件求多元函数的偏导数和极值一、多元函数的偏导数1．调用格式一：diff('多元函数','自变量',n)其中，n 为所求偏导数的阶数．例1 已知y x z 2cos 2=，求x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和22y z ∂∂． 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x')p2zpypx=diff(pzpx,'y')p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下：pzpx =2*x*cos(2*y)p2zpypx =-4*x*sin(2*y)p2zpy2 =-4*x^2*cos(2*y)即y x x z 2cos 2=∂∂，y x x y z 2sin 42−=∂∂∂，y x yz 2cos 4222−=∂∂． 2．调用格式二：syms x y z …diff(f,自变量,n)例2 已知)5sin(32z y x u +−=，求x u ∂∂、x y z u ∂∂∂∂3和33z u ∂∂． 解 在命令行中依次输入：syms x y zu=sin(x^2-y^3+5*z);ux=diff(u,x);uxy=diff(ux,y);uxyz=diff(uxy,z);uz3=diff(u,z,3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux =2*cos(x^2-y^3+5*z)*xuxyz =30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*xuz3 =-125*cos(x^2-y^3+5*z)即)5cos(232z y x x xu +−=∂∂，)5cos(303223z y x xy x y z u +−=∂∂∂∂， )5cos(1253233z y x zu +−−=∂∂． 二、隐函数的导数在Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple 中求隐函数导数的命令，调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')例3 求由多元方程xyz z y x =++222所确定的隐函数dxz ∂． 解 在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即 zxy yz x x z 22−−=∂∂． 三、多元函数的极（或最）值在Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab 函数．若要求多元函数u 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u −在该区域内的极（或最）小值．1．非线性无约束情形求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：[x,fval]=fminsearch(‘f ’,x0)f 是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量．例４ 求二元函数2331042),(y xy xy x y x f +−+=的最值点和最值．解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]);[Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]);fmax=-Fmin;Xmin,fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin =1.0016 0.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =2．非线性有约束情形非线性有约束优化问题的数学模型如下：式中，x,b,beq,lb 和ub 是向量，A 和Aeq 是矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量．f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon 参数计算非线性不等式约束c(x)<=0和非线性等式约束ceq(x)=0．例5 求表面积为6m 2的体积最大的长方体体积．解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,i=1,2,3．⑴ 建立函数文件fun1打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：function F=fun1(x) %函数文件必须是function 开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存．⑵ 建立非线性约束函数文件yceqfunction [c,ceq]=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=[];保存方法同上，自动取名为yceq ，再击保存．⑶ 编制主程序：打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=[3;3;3]; %给长宽高一个初值A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[0,0,0];ub=[];[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq'); %函数要加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下：xmax =1.00001.00001.0000Vmax =ubx lb beqx Aeq bx A x ceq x c x f Min ≤≤≤⋅≤⋅=≤0)(0)()(四、上机实验1．用help命令查看函数diff，fminsearch和fmincon等的用法．2．上机验证上面各例．3．作相关小节练习中多元函数的偏导数，极（或最）值．。
matlab偏导数运算
matlab偏导数运算在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来计算函数的偏导数。
符号计算工具箱提供了一套函数和工具，用于代数运算、微积分和线性代数操作。
要使用符号计算工具箱进行偏导数计算，需要首先定义函数作为符号变量。
可以使用syms命令来定义符号变量，例如：```matlabsyms x y```然后，可以使用这些符号变量定义函数。
例如，下面定义了一个二元函数f(x, y) = x^2 + sin(y)：```matlabf = x^2 + sin(y);```一旦定义了函数，就可以使用diff函数来计算偏导数。
diff函数接受两个参数：要计算偏导数的函数以及要对哪个变量进行偏导数计算。
例如，要计算f对x的偏导数，可以使用以下命令：```matlabdf_dx = diff(f, x);```类似地，要计算f对y的偏导数，可以使用以下命令：```matlabdf_dy = diff(f, y);```除了使用diff函数计算一阶偏导数，还可以使用diff函数多次嵌套来计算高阶偏导数。
例如，要计算f对x的二阶偏导数，可以使用以下命令：```matlabd2f_dx2 = diff(df_dx, x);```要计算混合偏导数，可以使用diff函数多次嵌套，并在给定的变量之间交替。
例如，要计算f对x和y的混合偏导数，可以使用以下命令：```matlabdf_dxdy = diff(diff(f, x), y);```在使用上述方法计算偏导数时，需要注意函数的定义和符号变量的声明。
确保符号变量的命名与函数定义中使用的变量名称相匹配，并且在声明符号变量时使用syms命令。
除了基本的偏导数计算外，MATLAB的符号计算工具箱还提供了其他一些函数和工具，用于解析微分方程、积分以及更复杂的符号运算。
这些功能可以进一步扩展偏导数计算的应用和灵活性。
虽然在本文中没有包含链接，但你可以在MATLAB的文档中找到关于偏导数计算的详细说明和示例代码。
MATLAB中的极限、微分与积分
求解 y = f (x) = 0
limit(F，x，a，′left′)
计算左极限 lim F (x) xa
表7-3
例1 计算 lim sin x 。
x0 x
解 >>syms x
>>limit(sin(x)/x，0) ans=
1
∴
lim sin x 1 x0 x
例2
解
>>clear
计算 lim x 2 。 x2 x2 4
>>diff((x * y + y^2 sin(x) cos(y))，y)
ans =
x + 2 * y sin(y)
>>diff((x * y + y^2 sin(x) cos(y))，x，3)
ans =
cos(x)
>>diff(diff(x * y + y^2 sin(x) cos(y)，y)，x)
2
2
∴
x3e x2
dx
(x2 1) 2e x2
c
例10
某产品边际成本函数
1
C(x) x 2
1
，已知生产10 000个
2 000
件产品的总成本是1 200元，求总成本函数。
解
>>syms x
>>int(x ^ (1 / 2) 1 / 2 000 ，x)
ans
2 x ^ (1 / 2) 1 / 2 000 x x 10 000 ，C 1 200 2 x ^ (1 / 2) 1 / 2 000 x
>>int(1 / (1 x) ^ 2 ，x ，1，inf)
泰勒级数MATLAB软件简介及极限运算
泰勒级数MATLAB软件简介及极限运算MATLAB(MATrixLABoratory)是美国MathWorks公司开发的科学与工程计算软件，经过几十年的扩充和完善，MATLAB已经发展成为集科学计算、可视化和编程于一体的高性能的科学计算语言和软件开发环境.MATLAB在工程计算、自动控制、信号处理、图像处理、信号检测、神经网络、小波分析、金融建模设计与分析等领域有着广泛的应用.MATLAB由基本部分和功能各异的工具箱"toolbox"组成.基本部分是MATLAB 的核心，工具箱是用MATLAB的基本语句编成的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题或实现某一类的新算法，是扩展部分，可以任意增减.这里以MATLAB7.0版本为例进行介绍.安装MATLAB7.0成功后，启动MATLAB，就进入默认的操作界面，如下图所示:第一行是菜单栏，第二行是工具栏，第三行是快捷工具栏(ShortcutToolbar)，下面是三个最常用的窗口.右边是命令窗口(CommandWindow)，用于输入命令、运行命令并显示运行结果.左上方前台为当前路径(CurrentDirectory)，显示当前用户工作所在的路径，后台为工作空间(Workspace)，显示内存中MATLAB所有变量的名称、数学结构、字节数及类型.左下方为历史命令窗口(CommandHistory)，用于保存用户输入过的所有的命令，为用户下一次使用同一个命令提供方便，用户可以复制或者运行历史命令窗口中的单行或多行命令.这三个窗口可以单独显示，例如，如果使命令窗口单独显示，可以单击命令窗口右上角的按钮，或者选择菜单"Desktop"→"UndockCommandWindow";单独的命令窗口返回MATLAB界面，可以单击命令窗口右上角的按钮，或者选择命令窗口的菜单"Desktop"→"DockCommandWindow"命令.MATLAB提供了强大而完善的帮助系统，用户可以通过快捷方便的帮助系统来迅速掌握MATLAB的强大功能.单击工具栏的按钮;或选择菜单"Desktop"→"Help";或选择菜单"Help"→"MATLABHelp"都能进入帮助窗口，还可以在命令窗口直接执行helpwin、helpdesk或doc命令进入帮助窗口，帮助窗口如下图所示:Contents选项窗口显示MATLAB的帮助内容.Index选项窗口是MATLAB提供的术语索引表，可以查找命令、函数和专用术语等.Search选项窗口可以通过关键词来查找全文中与之相关的信息.Demos选项窗口提供了联机演示系统，Demos演示界面操作非常方便，为用户提供了图文并茂的演示实例.1.7.2MATLAB基本使用方法MATLAB采用表达式语句，用户在命令窗口提示符""后输入语句，按Enter 键确认，即可得到结果.MATLAB语句有两种常见的形式:(1)表达式;(2)变量=表达式.说明:1.表达式由算符、函数、变量名和数字构成.2.在第一种形式中，表达式被执行后产生的结果将被自动赋给名为"ans"的变量.例如若不想让MATLAB每次都显示运算结果，只需在运算式最后加上分号(;)即可.用Shift+Enter还可以实现命令换行且不运行命令.3.在第二种形式中，等号右边的表达式被赋给等号左边的变量存入内存，并显示在屏幕上.例如4.书写表达式时，运算符号"="、"+"、"-"以及"*"等两侧允许有空格.5.变量名、函数名必须以一个字母开头，变量名中可以包含字母、数字或下划线，但不允许出现标点符号.变量名区分字母的大小写.变量名不能超过31个字符.关键字(如if、while等)不能作为变量名.MATLAB有一些特殊变量，是由系统本身在启动时定义的变量，称为"预定义变量".MATLAB中预定义的变量ans预设的计算结果的变量名i或j虚数单位eps计算机的最小数realmax最大的正实数pi圆周率realmin最小的正实数inf或Inf无穷大flops浮点运算次数NaN不定量MATLAB的数学计算包括数值计算和符号计算，数值运算中必须先对变量赋值，然后才能进行运算，否则会提示出错.符号运算不需要事先对变量赋值，但是符号变量必须先经过定义，才能进行运算和处理.定义符号变量和符号表达式可以使用sym和syms命令.sym用来定义单个符号或符号表达式，其调用格式为:sym('符号字符串')，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式.syms用来创建多个符号变量，其一般调用格式为:symsvar1var2…varn，即syms命令定义了符号变量var1,var2,…,varn.用这种格式定义符号变量时，变量间用空格而不要用逗号分隔.例如下图中，用syms定义了符号变量a、b、c、x，然后又使用已经定义的符号变量a、b、c、x建立了符号表达式.除了用sym函数和用已经定义的符号变量两种方法建立符号表达式外，还可以利用单引号来生成符号表达式.MATLAB常用命令、基本符号和常用函数如下列表格所示.MATLAB工作窗中的常用命令命令功能命令功能quit关闭和退出MATLABdisp显示变量和文字内容clc清除工作窗中的显示内容type显示文件内容clf清除图形窗中的图形who列出内存中驻留的变量名清单clear清除内存中的变量和函数hold控制当前图形窗对象是否被刷新MATLAB基本符号符号(英文状态)功能空格变量分隔符;数组元素分隔符逗号,命令分隔符;变量分隔符;数组元素分隔符点号.数值中的小数点分号;取消运行显示;数组元素行之间的分隔符百分号%注释，在它后面的命令不需要执行单引号''字符串标记符圆括号()引用数组元素;变量列表;确定算术运算的先后次序方括号[]构成向量和矩阵;函数输出列表下划线_变量、函数或文件名的连字符续行号…长表达式续行，后面的行与该行连接构成一个命令MATLAB常用数学函数函数意义函数意义函数意义sin正弦atan反正切max最大值cos余弦acot反余切min最小值tan正切sqrt开方abs绝对值(模)cot余切lcm最小公倍数exp以e为底的指数sec正割gcd最大公因数log自然对数csc余割sign符号函数log10以10为底的对数asin反正弦sum求和round四舍五入acos反余弦floor取整函数1.7.3MATLAB软件函数运算基本函数运算命令有:plot(x,y)绘制x-y二维曲线，可以加线型和颜色参数fplot('f',[a,b])在区间[a,b]描绘f的图形，可以加线型和颜色参数ezplot(f)在默认区间()描绘f的图形ezplot(f,[a,b])在区间(a,b)描绘f的图形finverse(f)求f的反函数finverse(f,v)求f对指定自变量v的反函数compose(f,g)求f=f(x)，g=g(y)的复合函数f[g(y)]compose(f,g,z)求f=f(x)，g=g(y)，y=z的复合函数f[g(z)]compose(f,g,x,z)求f=f(x)，g=g(z)的复合函数f[g(z)]limit(f)，求x趋近于0时f(x)的极限limit(f,x,a)，求x趋近于a时f(x)的极限limit(f,x,a,'left')，求x从a的左侧趋近于a时f(x)的极限limit(f,x,a,'right')，求x从a的右侧趋近于a时f(x)的极限例1绘制的图形.解输入命令如下图，运行得到下面的图形:例2描绘函数的图像，并根据图像判断奇偶性.解输入下列命令运行得到下面的图像，由图像可以判断是偶函数.例3求下列函数的极限:(1);(2);(3);(4)设求极限，，极限是否存在?解由上述运行结果知，(1)时，是负无穷大量;(2);(3);(4)，，所以极限不存在.微分运算中常用命令有:diff(f)函数f对默认变量x求一阶导数diff(f,t)函数f对符号变量t求一阶导数diff(f,n)函数f对默认变量x求n阶导数diff(f,t,n)函数f对符号变量t求n阶导数subs(f,x,a)a取代表达式f中的xsolve('eq')求方程eq关于默认变量的解solve('eq','t')求方程eq关于指定变量t的解fminbnd('f',x1,x2)求一元函数在区间[x1,x2]上的最小值点例1求函数的导数.解即.例2，求.解例3求由方程确定的隐函数对的导数.解例4求函数在区间上的最大值和最小值.解积分有定积分和不定积分，运用函数int可以求得符号表达式的积分. int(f)求函数f对默认自由变量x的不定积分int(f,t)求函数f对符号变量t的不定积分int(f,a,b)求函数f对默认自由变量x从a到b的定积分int(f,t,a,b)求函数f对符号变量t从a到b的定积分例1求.解即.例2求.解即.例3求.解即.例4求由抛物线及直线所围成平面图形的面积.解作出抛物线及直线的平面图形，求两条曲线的交点，为(1,1)，(4，-2)通过积分计算面积1.三维曲面图MATLAB提供的较常用三维绘图命令有:mesh(x,y,z)绘制由矩阵x,y,z所确定的三维网格图surf(x,y,z)绘制由矩阵x,y,z所确定的三维曲面图ezmesh(z(x,y),[a,b,c,d])绘制函数z=z(x,y)在aezmesh(z(x,y),[a,b])绘制函数z=z(x,y)在aezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])绘制参数方程的三维网格图ezmeshc绘制带等高线的三维网格图ezsurf(z(x,y),[a,b,c,d])绘制函数z=z(x,y)在aezsurf(z(x,y),[a,b])绘制函数z=z(x,y)在aezsurfc绘制带等高线的三维曲面图例1描绘双曲抛物面的图形.解取，2.多元函数微分diff(f,t)函数f对变量t求一阶偏导数diff(f,t,n)函数f对变量t求n阶偏导数subs(f,x,a)a取代表达式f中的xsolve('eq')求方程eq关于默认变量的解solve('eq','t')求方程eq关于指定变量t的解例2设，求偏导数.解即，.例3求的二阶偏导数.解因为，，所以;;;.例4求函数的极值.解由上述运行结果知，函数在点取得极大值;点不是极值点.例54.4节例5求目标函数在约束条件限制下的最大值.解构造拉格朗日函数，解方程组得3.二重积分二重积分可以化成二次积分来进行计算，因此只要确定出积分区域，就可以反复使用int命令来计算二重积分.int(f,t,a,b)求函数f对变量t从a到b的积分例6计算二次积分.解例7计算二重积分.解说明:手工计算时，对的积分原函数不是初等函数，必须交换积分次序才能求解.而MATLAB不用交换积分次序就可以计算出结果.1.常微分方程MATLAB提供了dsolve命令可以用于对符号常微分方程进行求解.dsolve('eq','con','v')求微分方程eq满足初始条件con的特解dsolve('eq1,eq2…','con1,con2…','v1,v2…')求微分方程组eq1,eq2,…在初始条件con1,con2,…下的特解说明:(1)'con'省略时则求通解，'v'为指定自由变量，省略时则默认t为自由变量.(2)当y是因变量时，微分方程'eq'的表述规定为:y的一阶导数或表示为Dy，y的n阶导数或表示为Dny.(3)初始条件'con'应写成'y(a)=b，Dy(c)=d'的格式.例1求方程满足初始条件的特解.解即满足初始条件的特解.例2求微分方程的通解.解即原方程的通解为.place变换与Laplace逆变换F=laplace(f,v,p)求函数f(v)的Laplace变换F(p)，若v,p省略，默认为t,sf=ilaplace(F,s,t)求F(s)的Laplace逆变换f(t)例3求和单位阶跃函数的拉氏变换.解即，.例4求的拉氏逆变换.解由于双曲正弦，双曲余弦，可推导出MATLAB提供了求级数和将函数泰勒展开的命令:symsum(s,v,a,b)计算表达式s的级数和说明:s为级数的通项，是一个符号表达式，v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量，a和b是求和的起始项和终止项.taylor(f,n,v,a)将函数f在自变量v=a处展开为泰勒级数，取前n项说明:n的默认值为6，参数a的默认值是0.例1判断级数的敛散性.解例2判断级数绝对收敛还是条件收敛?由上述运行结果知，级数收敛，而级数发散，所以级数条件收敛. 例3在区间内，求幂级数的和函数.解例4将函数展开成的幂级数.解。
matlab编程_微积分处理
ans=4
2.多元函数的偏导数
命令形式1：diff（f,xi） 功能：求多元函数f对变量xi的一阶偏导。 命令形式2：diff（f,xi,n） 功能：求多元函数f对变量xi的n阶偏导。
2 例5.求 z x sin 2 y 关于x的偏导。
解：syms x y; z=x^2*sin(2*y); B=diff(z,x)
2．一元函数的定积分 命令形式1：int（f,x,a,b） 功能：用微积分公式计算定积分 f ( x)dx 例8．求
1 ( x 1/ x ) 12 (1 x x )e . dx
2
b
a
syms x; t=1+x-1/x; y=exp(x+1/x); f=t*y; int(f,x,0.5,2)
a=exp(4)
b=1
1 lim x 2 x x0
解：syms x; y=sqrt(x)-2^(-1/x); limit(y,x,0,'right')
ans=0；
1．一元函数求导
命令形式1：diff（f） 功能：求函数f的一阶倒数，其中f为符号函数。 命令形式2：diff（f,n） 功能：求函数f的n阶倒数，其中f为符号函数。
1.已知
y x sin 3
e x ln x
，求
y
''
。
lim n n n 2.（1）
n
1 1 sin cos （2） lim x x x
数学建模种常用的线性代数知识在Matlab中的实现
1. 向量和矩阵的基本运算 2. 矩阵的变换与分解
4
x0=[-1.2,1] x=fminunc('myfun',x0)
matlab taylor函数用法
matlab taylor函数用法MATLAB Taylor函数使用指南简介在MATLAB中，Taylor函数是一个用于计算函数在某个点处泰勒展开的工具函数。
它可以帮助用户近似计算复杂函数的值，并在数值计算和优化问题中发挥重要作用。
基本语法Taylor函数的基本语法如下：T = taylor(f, x, 'Order', n)其中，• f 表示需要进行泰勒展开的函数（可以是符号表达式或匿名函数）。
•x 表示泰勒展开的中心点。
•n 表示泰勒展开的阶数，用于控制近似的精度。
用法示例下面列举几个常见的用法示例：示例1：计算函数在指定点处的一阶泰勒展开syms x;f = sin(x);T = taylor(f, 0, 'Order', 1)这段代码将计算出函数sin(x)在x = 0处的一阶泰勒展开近似。
示例2：计算函数在指定点处的多阶泰勒展开syms x;f = exp(x);T = taylor(f, 1, 'Order', 3)这段代码将计算出函数exp(x)在x = 1处的三阶泰勒展开近似。
示例3：使用匿名函数进行泰勒展开计算f = @(x) cos(x);T = taylor(f, pi/4, 'Order', 2)这段代码将计算出函数cos(x)在x = pi/4处的二阶泰勒展开近似，其中使用了匿名函数的形式定义了待展开的函数。
注意事项•Taylor函数仅适用于实数函数和符号函数。
在计算复数函数的泰勒展开时需要进行额外处理。
•在选择阶数n时，需要权衡计算精度和计算效率。
•如果使用匿名函数作为输入，需要确保输入的函数定义正确。
结论通过MATLAB的Taylor函数，我们可以方便地进行函数的泰勒展开近似计算。
该函数对于数值计算、优化和函数近似等问题具有重要的实用性。
在使用过程中，我们需要根据实际需求选择合适的阶数，平衡计算精度和计算效率。
利用MATLAB求多元函数的极值(2)
利用MATLAB求多元函数的极值分两种情况，（1）无约束条件；（2）有约束条件。
（2）有约束条件下求极小值的方法:假设多变量非线性函数的数学模型为min f(x)c(x)<=0ceq(x)=0A·x<=bAeq·x<=x<=beqlb<=x<=ubX, b,beq,lb,ub为矢量,A,Aeq为矩阵，c(X),ceq（X)为函数（可非线性）。
命令格式：x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)[x,fval] = fmincon(...)[x,fval,exitflag] = fmincon(...)[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]= fmincon(...) 例如求函数满足条件的极小值解：首先,编制M-file文件function f myfun(x)f=-x(1)*x(2)*x(3)然后重写约束条件为两个小于或等于一个常数的不等式,因为约束条件是线性的，用矩阵表示为Ax<=b 其中；其次,猜测估计提供一个起点,调用优化程序。
x0 = [10; 10; 10]; % 猜测可能的结果作为起点[x,fval] = fmincon(@myfun,x0,A,b)x =24.000012.000012.0000fval =-3.4560e+03A*x-b=-72当x1=24，x2=12，x3=12，时函数有极小值-3.4560e+03。
多元函数Taylor公式与极值
4.1 多元函数的Taloy公式
定义 4.1 设 f ( x ) 是定义在区域 R n 内的 n 元函数，若 f 在
内连续，则称 f 是 上的 C (0) 类函数，记为 f C (0) () ，或
f C () ；若 f 在 内有连续的 m 阶偏导数，则称 f 是 上的 C ( m)
其中 ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
4.2 无约束极值、最大值与最小值
1. 无约束极值
定义 4.2 恒成立不等式 设 f : U (x0 ) Rn R ，若 x U ( x0 ) ，
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) ，则称 f 在点
（2）若 A 0, AC B2 0 ，则 H f ( P 0 ) 为极大值； 0 ) 负定，故 f ( P （3）当 AC B 2 0 ，则 H f ( P 0 ) 不是极值。 0 ) 不定，故 f ( P
求函数 z f ( x , y ) 的极值的步骤
f x ( x , y ) 0 （1） 解方程组 ，求出一切驻点； f y ( x , y ) 0
∴函数 f ( x , y ) 在点 (1, 1) 有极小值 f (1, 1) 1 .
2. 最大值与最小值
最值的求法 :
由于有界闭区域 D 上的连续函数必有最大值和最小值. 因此将函数在 D 内的所有驻点、偏导数不存在的点处的 函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值进行比较，其 中最大(小)者即为函数在 D 上的最大(小)值.
驻点为 (0, 0), (1, 1).
f x x ( x, y ) 6 x,
f x y ( x, y) 3,