蔡氏电路混沌现象仿真

引言
混沌研究最先起源于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程．后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。

而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一。

其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，这个电路是由加州大学伯克利分校的蔡少棠首先发起研究的。

在这个电路中观察到了混沌吸引子。

蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。

蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。

不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号[1]。

该文对产生混沌现象的蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型,利用MATLAB进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。

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1 混沌学概述
1.1混沌与非线性科学
混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。

它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。

所以我在论文中研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。

从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。

“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。

第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。

第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。

1.2混沌的含义
混沌到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，所以只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。

综上所述，可以做出如下的理解：混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性或规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；其不可确定性或无序随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制”，这种“非线性交叉耦合作用”的数学表达式是动力学方程中的非线性项，正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。

所谓确定性系统是指所考虑的物理系统，它的物理量随时间的变化是一个确定性质的常微分方程组或差分方程组所决定的。

只要给定了初始条件，它的解（或称为运动轨道）就是唯一确定的。

在某
些情况和给定的控制参数下，解会呈现出无序的混乱状态，也就是上面所说的混沌状态。

这种确定性系统的混沌现象本质上不同于不受确定性方程约束的所谓完全随机的混乱状态。

混沌现象是"确定性系统"的一种"内在的随机性"，它是有别于可能由系统外部引入的不确定的随机影响（如噪声）而产生的外部随机性。

“确定性”是因为它有内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生；而“随机性”指的是不规则的不能预测的行为。

为了与类似于大量分子热运动的这种随机性和无序性加以区别，称我们所研究的混沌为非平衡混沌，而把系统处于平衡态时所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态混沌。

平衡态混沌与非平衡混沌的另一个差别在于：平衡态混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。

比如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定；非平衡混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，可以预知的。

只有经过长期演化，结果才是不确定的，不可预知的。

在分析力学问题时，通常是在相空间内研究它的运动轨道。

所谓相空间就是由所要研究的物理量本身（位移、速度、压力和温度等）作为坐标分量所构成的广义空间，最常见的相空间是由位移和速度分量构成的相空间。

在每一个确定时刻，所有这些物理量的取值在广义相空间内代表一个点，这些物理量随时间的演变就是在相空间内从一个给定的初始点开始的一条动力学轨道，而混沌状态就是相空间运动轨道所表现出来的无序和不规则性。

就所考虑的物理系统而言，根据它在相空间内随着时间的演变相体积是否收缩可以把系统区分为两大类──保守系统和耗散系统。

这两个系统中出现的混沌现象有着非常明显的本质差别，它们所遵循的物理规律也完全不同，所以必须分别加以讨论。

所谓保守系统是指在相空间内其相体积随时间的变化始终保持不变的动力学系统。

与此相反，耗散系统是指在它的相空间内其体积随时间的变化不断减小的动力学系统。

人类认识混沌现象的过程也渐渐由保守系统混沌走向耗散系统混沌。

正像现实生活中非线性现象远远多于线性现象一样，耗散系统的混沌现象比起保守系统的混沌更加普遍，对耗散系统混沌的更深一步研究将使物理学真正走进人们的日常生活中，在更大的范围内得到统一与和谐[3]。

2 混沌理论
2.1混沌产生的数学模型
科学中有一些简单而并不平庸的典型问题，围绕它们可以叙述和掌握相当广泛的科学内容。

一个例子是二体问题，从经典力学中的开普勒问题、相对论力学中的水星近日点运动，到量子力学中的氢原子和量子场论中的兰姆谱线位移，贯穿了经典和近代物理学的全部发展史。

另一个例子是花粉颗粒在液体中的布朗运动，从爱因斯坦的直观处理和朗之万方程、福克─普朗克方程、到涨落耗散定理的现代表述和随机过程的连续积分表示，引出了整个物理学中的概率论描述体系。

这两个例子，一属确定论，另一个则为概率论。

恰好对于确定论系统中的随机性，即混沌现象，也存在着这样的代表性模型，这就是一维迭代过程。

迭代是研究非线性方程演化过程的有力工具。

为了研究一个物理系统，可以把系统的状态用一组变量x，y，z…描述，它们都是时间t的函数，同一个系统还受某些可以调节的“控制参量”a，b，c…的影响。

最简单的情景是固定一组参量，把时间变化限制成等间隔的t，t+1，t+2…，看下
一个时刻的系统状态如何依赖于当前状态。

在只有一个状态变量x时，这个演化过程可以由一个非线性函数描述。

更一般些，时间跳跃的间隔（或称之为对系统进行观测的采样间隔）Δt可以不是整数，把各个时刻写成相应状态，于是演化方程成为迭代过程（即：一阶差分方程）。

以上操作实质上是在相空间中取一个截面或者做一种时序的对应操作，这是一种简化非线性演化方程的重要方法，称之为取庞加莱截面及庞加莱映象[5]。

取庞加莱截面或做映象是研究复杂系统的重要简化手段，微分方程的解对应于一定维数空间中的连续流，由于D维离散映象至少对应D+1维的流，因此在同样维数下，离散系统的内容总比连续系统更丰富。

比如：一维流只能表达从"源"到"漏"，没有其它花样，而一维映象（即：一维迭代）则可以表现出分岔与混沌等更复杂的行为。

2.1.2 二维非线性系统
一维非线性映射都是不可逆的，只对应于耗散系统，而二维映象在许多方面起着从一维到高维的衔接作用。

二维系统的混沌现象，不仅会出现在耗散系统中，而且它也可能出现在保守系统中。

对于保守系统来说，由于系统的哈密顿函数H＝常数，系统存在一个能量积分，所以一维保守系统不可能出现混沌。

二维哈密顿系统中研究较多的是所谓“标准映象”。

它出现在许多自由度为2的非线性振子理论中，是带电粒子在环行磁场中运动的一种模型。

二维耗散系统中研究最多的一例是所谓埃农（Hénon）映射，只要b≠0，变换就是可逆的，b＝1时，它保持相体积不变，是一种保守系统。

b<1对应耗散系统，b＝0则回到一维映射。

埃农等人研究发现对于某些控制参数和初值，迭代结果迅速收敛到（x，y）平面上接近一维的“吸引子”上。

这个吸引子很像是平滑曲线，但它具有宽度。

如果取来吸引子的一小段不断放大，可以看到越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构。

这是第一个实际观察到的具有非整数维的“奇怪吸引子”。

二维映象中在某些方面表现出了与一维线段映象不同的性质，比如：对b=1的埃农映象的研究给出的结构普适常数δ＝8．7210和标度因子α＝4．018均与一维单锋映象有所不同。

但一维非线性迭代的普适特点在高维映象中仍然保持下来。

2.2奇怪吸引子与分形
保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合称为吸引子。

2.2.1 平庸吸引子
通过常微分方程解的极限集合，即相空间某一区域的点都取作初值时，这些轨道的极限行为。

极限集合的一些平庸情况是熟知的：零维不动点、一维极限环和二维环面等。

如果t→∞时，系统趋向一个与时间无关的定常态，即相空间中的一个特定的点，这就是不动点。

不动点是零维的吸引子。

一维以上的系统原则上就可能具有不动点。

如果t→∞时，系统中剩下一个周期振动，这就是一维的吸引子──极限环。

只有在二维以上的相空间中，才可能出现极限环。

通常极限环是由不动。