FEC原理及应用

a6 a5 a4 a3
误码指示
校正子计算器
S3 S2 S1
3-8 译码器
1.4
循环码
循环码是线性分组码的一个重要子集， 是目前研究得最成熟的一类码，它有许多 特殊的代数性质。
1.4.1 循环码的特点 循环特性是指：循环码中任一许用码 组经过循环移位后，所得到的码组仍然是 许用码组。
F x R x Q x N x N x
（2）码长n与监督元个数r之间满足关系 式： 。
r n 2 1 通常二进制汉明码可以表示为：
n ,k 2
r
1 , 2r 1 r
（7，4）系统汉明码的编码器和译码器 电路：
a6 a5 a4 a3 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
(a) 前向纠错(FEC) 发 能够发现错误的码 应答信号 (b) 检错重发(ARQ) 发 可以发现和纠正错误的码 应答信号 (c) 混合纠错检错(HEC) 收 收
检错重发方式：
信 源 重发控制 编码器和缓 冲存储器 双 向 信 道 解码器 输出缓冲存 储器 正确时输出 错误时删除 收 信 者
指令产生器
检错重发（ARQ）的优点主要表现在：
（1）只需要少量的冗余码，就可以得到 极低的输出误码率； （2）有一定的自适应能力；
某些不足主要表现在： （1）需要反向信道，故不能用于单向传 输系统，并且实现重发控制比较复杂； （2）通信效率低，不适合严格实时传输 系统。 混合纠错方式是前向纠错方式和检错重 发方式的结合。
如果希望用r个监督位构造出r个监督关系 式来指示一位错码的n种可能，则要求：
2r 1 n 或 2r k r 1
例如r ≥ 3，若取r = 3，则n = k+r = 7。假 设 S 3 、 S 2 、 S 1 三位校正字码组与误码位置的 关系如表 8-4 。根据表 8-4 ，可以构成如下关 系式：
1 1 1 0 1 0 0 0 T 1 1 0 1 0 1 0 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 ，其中
0 0 0 0
A a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1、信源编码
2、信道编码（差错控制编码） 差错控制编码是在信息序列上附加上一 些监督码元，利用这些冗余的码元，使原来 不规律的或规律性不强的原始数字信号变为 有规律的数字信号；差错控制译码则利用这 些规律性来鉴别传输过程是否发生错误，或 进而纠正错误。
1.1.2 纠错编码的分类 （1）按照信道编码的不同功能，可以将 它分为检错码和纠错码。 （2）按照信息码元和监督码元之间的检 验关系，可以将它分为线性和非线性码。 （3）按照信息码元和监督码元之间的约 束方式不同，可以将它分为分组码和卷积码。 （4）按照信息码元在编码后是否保持原 来的形式，可以将它分为系统码和非系统码。
Ir
1 1 1 0 1 0 0 P H 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
也可以用矩阵形式来表示：
或表示成为：
a
2
a6 a2 1 1 1 0 a5 a1 1 1 0 1 a 4 a 1 0 1 1 0 a 3
恒比码又称等重码，该码的码字中1和0 的位数保持恒定的比例。具体情况见表8-3。
目前我国电传通信中普遍采用3：2码， 国际上通用的ARQ电报通信系统中，采用3： 4码即7中取3码。
1.3
线性分组码
1.3.1 基本概念
分组码是一组固定长度的码组，可表 示为（n , k），通常它用于前向纠错。在 编码时，k个信息位被编为n位码组长度， 而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。 这样，一个k比特信息的线性分组码可 以映射到一个长度为n码组上。
1.1.2 纠错编码的基本原理 信道编码有关的基本概念：
码长：码字中码元的数目；
码重：码字中非0数字的数目；
码距：两个等长码字之间对应位不同的数 目，有时也称作这两个码字的汉明距离。 最小码距：在码字集合中全体码字之间距 离的最小数值。
纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码 字之间的距离，码的最小距离越大，说明码 字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。 分组码的最小汉明距离d0与检错和纠错 能力之间满足下列关系： （1）当码字用于检测错误时，如果要检 测e个错误，则 d0 ≥ e+1； （2）当码字用于纠正错误时，如果要纠 正t个错误，则 d0 ≥ 2t+1；
（3）若码字用于纠t个错误，同时检e个 错误时（e>t），则 d0≥ t+e+1。
编码效率Rc可以用下式表示：
Rc k n n r n 1 r n
B d0 (a) A t 1 t B A
A
e
t
1
e
B
d0 (b)
d0 (c)
1.2
常用简单分组码
1.2.1 奇偶监督码
可以表示成为（n，n-1）。如果是奇 监督码，在附加上一个监督元以后，码长 为n的码字中“1”的个数为奇数个；如果 是偶监督码，在附加上一个监督元以后， 码长为n的码字中“1”的个数为偶数个。 an-1+an-2+…+a1+a0 = 0
a5 a4 a3 Q
a1 a0 a6
a5 a4
1 1 a3 1 0
1 1 0 1
1 0 a 6 1 1
这时Q = PT，如果在Q矩阵的左边在加上一 个k×k的单位矩阵，就形成了一个新矩阵G：
G I k
1 0 Q 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
这里ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 称为生成矩阵，利用它可以产生整 个码组： A M G a6 a5 a4 a3 G
1.3.3 校验子S
设发送组码A，在传输过程中有可能出 现误码，这时接收到的码组为B。则收发码 组之差为：B A bn 1 bn 2 b0 an 1 an 2
m p Q n n
若一个整数m可以表示为:
pn Q是整数
则在模 n 运算下，有 m ≡ p （模 n ），同样 对于多项式而言：
1.4.2循环码的表示方法 • 一种（7，3）循环码的全部码字
• 表中的第7码字可以表示为：
1.4.3 模N运算 • 在整数运算中，有模n运算。例如，在模2 运算中，有1+1＝2≡0（模2），1+2＝3≡1 （模2），2×3＝6≡0（模2）等。因此，若 一个整数m可以表示为: • 在模n运算下，有m≡p（模n），也就是说， 在模n运算下，一整数m等于其被n除所得的 余数。
（5）按照纠正错误的类型不同，可以将 它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。
（6）按照信道编码所采用的数学方法不 同，可以将它分为代数码、几何码和算术码。 随着数字通信系统的发展，可以将信道 编码器和调制器统一起来综合设计，这就是 所谓的网格编码调制。
1.1.2 差错控制方式
发 可以纠正错误的码 收
接收端收到每个码组后，计算出S3、S2 和S1，如不全为0，则可按表8-4确定误码的 位置，然后予以纠正。不难看出，上述（7， 4）码的最小码距dmin＝3。
1.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G 将（7，4）码的三个监督方程式可以重 新改写为如下形式：
1 a6 1 a5 1 a4 0 a3 1 a2 0 a1 0 a0 0 1 a6 1 a5 0 a4 1 a3 0 a2 1 a1 0 a0 0 1 a 0 a 1 a 1 a 0 a 0 a 1 a 0 5 4 3 2 1 0 6
1.4.4
循环码的生成多项式和生成矩阵
循环码中次数最低的码多项式称为生成多 项式，用g(x)表示。可以证明生成多项式g(x) 具有以下特性：
FEC原理及应用
第四组
差错控制编码
1
2 3 4 5
引言
常用简单分组码 线性分组码 循环码 BCH码
6
RS码
1.1
引言
1.1.1 信源编码与信道编码的基本概念
在数字通信系统中，为了提高数字信号 传输的有效性而采取的编码称为信源编码； 为了提高数字通信的可靠性而采取的编码称 为信道编码。
线性分组码的主要性质如下： （1）任意两许用码之和仍为一许用码， 也就是说，线性分组码具有封闭性； （2）码组间的最小码距等于非零码的最 小码重。 对偶校验时的监督关系。在接收端解码时， 实际上就是在计算： S = bn-1+bn-2+…+b1+b0 若S＝0，则无错；若S＝1就认为有错。
当r个监督方程式计算得到的校正子有r 位，可以用来指示2r-1种误码图样。
S1= a6+a5+a4+a2 , S2= a6+a5+a4+a2 , S3= a6+a4+a3+a0
进而得到下面的方程组形式：
a 6 a 5 a 4 a 2 0 a6 a5 a3 a1 0 0 a 6 a 4 a 3 a 0
a 6 a 5 a 4 a 2 a6 a5 a3 a1 a 6 a 4 a3 a 0
则可以写为：F(x)≡R(x) （模N(x)）。 在循环码中，若A(x)是一个长为n的许用 n x 码组，则在按模 1 运算下，亦是一个许用 码组。例如，
x3 A7 x x3 x 6 x5 x 2 1 x9 x8 x5 x3 x
5
x x
模N运算
• 码多项式系数可按模2运算，即只取值0和1，假设：计算 x4+x2+1除以x3+1的值可得： • 在上述运算中，由于是模2运算，因此，加法和减法是等 价的，在式子中通常用加法运算符，具体模2运算的规则 定义如下：
•
通过上述分析和演算可以得到了一个重要的结论：一个 长度为n的循环码，它必为按模（）运算的一个余式。
3
2
x 模x
7
1
其对应的码组为0101110，它正是下表中 第3码字。
为了利用代数理论研究循环码，可以将 码组用代数多项是来表示，这个多项式被称 为码多项式，对于许用循环码A=(an-1 an-2 … a1 a0)，可以将它的码多项式表示为：
Ax an 1xn 1 an 2 xn 2 a1x a0
奇偶监督码的编码可以用软件实现，也 可用硬件电路实现。
编码输出 A a4 a3 a2 a1 信息组 a4 a3 a2 a1 a0 S 检错信号 M 接收码组 B b0 b1 b2 b3 b4
如果码组B无错，B＝A，则M＝0；如果 码组B有单个（或奇数个）错误，则M＝1。
1.2.2 行列监督码 行列监督码又称水平垂直一致监督码或 二维奇偶监督码，有时还被称为矩阵码。
1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
二维奇偶监督码适于检测突发错码。二 维奇偶监督码不仅可用来检错，还可用来纠 正一些错码。 1.2.3 恒比码
E en 1 en 2 e0
bi ai bi ai
a0
其中：
则接收端利用接收到的码组B计算校正子： S=BHT=(A+E)HT= AHT + EHT = EHT 因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校 正子之间有确定的关系。
0 ei 1
1.3.4 汉明码 汉明码是一种能够纠正单个错误的线性 分组码。它有以下特点： （1）最小码距dmin＝3，可纠正一位错误；