大学物理力矩+转动定律+转动惯量-new

飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
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转动定律的说明
M J
(1)
M J , 与 M 方向相同。
F ma
(2) 为瞬时关系。
(3) 转动中 M J 与平动中 地位相同。
(4) 适用于转轴固定于惯性系中的情 况。
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用转动定律解决的两类问题
第一类: 由角量运动,求力矩。(微分法)
(1) 若力F 不在转动平面内，把力分解为平
行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
其中 Fz对转轴的
F Fz F
z
k
O
F
M z k r F M z rF sin
r
Fz

F
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2
讨论 (2) 合力矩等于各分力矩的矢量和
x
J c dJ x dx
2
1 2 对边缘轴 J A ml 3
1 2 对质心轴 J c ml 12
17
1 2 ml 12
m
L 2 L 2
质量相同，形状相同，转轴不同，J不同。
转动惯量 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的体密度 有关。 （2）与刚体的几何形状及体密度 的分 布有关。
第二类: 由力矩及初始条件,求刚体运动。(积分法) 特别注意 1. 明确转动轴位置。 2. 选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速
度的正负。
3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
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用转动定律解题
解题步骤
1. 认刚体； 2. 定转轴,找运动; 3. 分析力和力矩; 4. 定转向,列方程。
F [ p0 g (h y)]Ldy 0 y 1 2 p0 Lh gLh 2
代入数据，得
h y
10
h
dA
dy
F 5.9110 N
O
x
L
6
例题
dF [ p0 g (h y)]Ldy dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF h M y[ p0 g (h y)]Ldy
31
例题
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN 作用，由转动定律得
m,l O
FN
θ
mg
1 mgl sin J 2
1 2 式中 J ml 3
3g 得 sin 2l
32
例题 由角加速度的定义
dω dω dθ dω ω dt dθ dt dθ
3g ωdω sin θdθ 2l
m,l O
FN
θ
mg
3g 代入初始条件积分得 ω (1 cos θ ) l
33
r 0
J r dm
2 m
R
0
m 1 2 r 2 rdr mR R2 2
2
dr
1 J mR 2 2
16
例题
例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量
x A C 0 L 2 L 2 dx
m 对质心轴 dm dx dx l 2 2 dJ x dm x dx m
M M1 M 2 M 3
(3) 刚体内作用力和反作用力的力 矩互相抵消。
M ij
rj
j
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
M ij M ji
3
例题 例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,水深 100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通 过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
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例题 如令 mC 0 ，可得
mA mB g FT1 mA mB mC 2 (mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
mA mB g FT1 FT2 mA mB
(2) B由静止出发作匀加速直线运动，下 落的速率
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
y
y
x
h
O Q O x
L
4
例题 解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
x
h y O Q
dA
dy
O
x
LHale Waihona Puke Baidu
5
例题 令大气压为 p0 ，则 p p0 g (h y)
dF PdA [ p0 g (h y)]Ldy
0
y
h
dF
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
dy
y O Q
代入数据，得：
M 2.14 10 N m
12
7
转动定律 （1）单个质点 m与转
z
M
O
轴刚性连接
Ft
Ft mat mr
M rF sin θ
M rFt mr 2 M mr
（3）与转轴的位置有关。
表4-2中的几种特殊形状的转动惯量需要记忆
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平行轴定理
质量为m的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
0
m R d mR 2 2
2
15
J c mR2
相当于质量为m的质点对轴的J
例题
例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量 C R 解：可视圆盘由许多小圆环组成。 （ 1 ） 选微元 d m m m dm ds 2rdr 2 rdr 2 R (2) 求 d J 利用上题结果 dJ = r2 dm (3) 求 J
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例题 例1 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计。(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
2 j j 2 j
dm：质量元 dV ：体积元
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r dV
2 V
例题
例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量
C
dm
R
（1） 选取微元 dm
m
m
（2）求 d J （3）求 J
m dm dl Rd d 2 R 2
m dJ R dm R d 2
2 2
J
2
j
2 j j
J r dm
2
转动惯量的单位：kg· m2 J 的意义：转动惯性的量度 .
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转动惯量的计算
J 的计算方法 质量离散分布
J m r m r m r m r
2 j j 2 11 2 2 2
2 j j
质量连续分布
J m r r dm
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例题 例2 一长为 l 、质量 为 m 匀质细杆竖直放置， m,l 其下端与一固定铰链O相 θ 接，并可绕其转动．由于 mg O 此竖直放置的细杆处于非 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角加速度和角速度．
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例题 解 (1) 用隔离法分别 对各物体作受力分析，取 如图所示坐标系。
A
FT1
PC
FC
mA
FN F T1 mA O x PA
C
FT2
mC
FT2
mB PB y
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O
mB B
例题
FT1 mA a mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
2
r
F
m Fn
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转动定律 （2）刚体
内力 Fij
质量元受外力 Fej，
2 j j
z
O
r j m j
Fej
M ej M ij m r
外力矩 内力矩
ej
Fij
M
j
M ij m r
2 j j j
9
转动定律
M ij M ji
O2 O2’
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计算转动惯量的几条规律
1、对同一轴可叠加：
2、平行轴定理：
J Ji
i
Jc
J
J Jc md 2
m
C 质心 d
3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：
z yi
Jz Jx Jy
ri y
R
xi
x
1 mR 2 2
1 mR 2 4
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Δ mi
讨论
竿 子 长 些 还 是 短 些 更 稳 ？
力矩 用来描述力对刚体 的转动作用。
z 的力矩 F 对转轴 M r F M Fr sin Fd
z
O
M
F
r
d
*
P

F
i
Fi 0,
Mi 0
i
d : 力臂 F
F
i
F
i
1
Fi 0, M i 0
讨论
O
ex F in j
in F ji
ex Fi
M ji
mi
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
11
转动定律 M
J
（1）M 0， ω不变
M （ 2） J
d （3） M J J dt
12
转动惯量
J m r
FN mA FT1 O x PA
FT1
PC
FC
FT2
FT2
mB PB y
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O
例题
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
d
C
m
O
J O J C md
2
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平行轴定理 J J c md 圆盘对P 轴的转动惯量
2
1 2 2 J P mR mR 2
1 2 J c mL 12
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
O1 O1’
L 2 1 2 J J c m( ) mL 2 3
d=L/2
M ij 0
j
z
O
M ij Fij
M ji
ex F in j
in F ji
ex Fi
内力矩为零
mi
M
j
ej
( m r )α
2 j j
J m r
j
2 j j
转动惯量
J r dm
2
10
转动定律
z
转动定律
M J
文字描述
M ij Fij